塔王之王1.17.0:列方程解稍复杂的百分数实际问题

小学数学总复习专题讲解及训练（三）

主要内容
列方程解稍复杂的百分数实际问题

学习目标
1、引导学生在已学会的一些基本的百分数实际问题的基础上，引出列方程解一些稍复杂的百分数实际问题的方法。
2、能根据题中的信息，熟练地找出基本的数量关系，培养学生的分析解题能力。
3、通过练习，沟通百分数和分数的联系，提高学生解决相关问题的能力。

考点分析
1、解答稍复杂的百分数应用题和稍复杂的分数应用题的解题思路、解题方法完全相同。
2、用字母或含有字母的式子表示题中两个未知的数量，找出数量间的相等关系。根据求一个数的百分之几是多少用乘法列方程求解，或者根据除法的意义，直接解答。
3、“已知比一个数多（少）百分之几的数是多少，求这个数”的实际问题，可以根据数量间的相等关系列方程求解；或者根据除法的意义，直接解答。
4、灵活运用本单元所学知识，、解决稍复杂的百分数实际问题，沟通分数、百分数应用题之间的联系。

典型例题
例1、（列方程解答和倍问题）
一根绳子长48米，截成甲、乙两段，其中乙绳长度是甲绳的60％。甲、乙两绳各长多少米？
分析与解：乙绳长度是甲绳的60％，把甲绳长度看作单位“1”。
ｘ米
甲绳
 |
（ ）米     |           48米
乙绳  
乙绳是甲绳的60％
等量关系式：甲绳长度 + 乙绳长度 = 总长度
解答：设甲绳长ｘ米，则乙绳长60％ｘ米。
     ｘ + 60％ｘ = 48
           1.6ｘ = 48
          ｘ = 30
60％ｘ = 30 × 60％ = 18
答：甲绳长30米，则乙绳长18米。
检验：30 + 18 = 48（米），符合甲、乙两绳共长48米。
18 ÷ 30 = 60％，符合乙绳长度是甲绳的60％。

例2、（列方程解答差倍问题）
体育馆内排球的个数是篮球的75％，篮球比排球多6个。篮球和排球各有多少个？
分析与解：排球的个数是篮球的75％，是把篮球个数看作单位“1”。
ｘ个
篮球
|
（）个      |多6个
排球
排球的个数是篮球的75％
等量关系式：篮球 – 排球 = 6个
解答：设篮球有ｘ个，则排球有75％ｘ个。
     ｘ - 75％ｘ = 6
          0.25ｘ = 6
              ｘ = 24
75％ｘ = 24 × 0.75 = 18
答：篮球有24个，排球有18个。
你会自己检验吗？  
检验：24 - 18 = 6（个），符合篮球比排球多6个。
18 ÷ 24 = 75％，符合排球的个数是篮球的75％。
点评：在列方程解答和倍、差倍问题的题目时，要注意找准单位“1”的量，通常情况下设单位“1”的量为ｘ，再用另一个量和单位“1”之间的关系，用含有ｘ的式子表示出另一个量，最后根据它们的和或差列出方程。

例3、六年级男生比女生少40人，六年级女生人数相当于男生人数的140％，六年级男生有多少人？
错误解法：设：女生有ｘ人，男生就有140％ｘ人。
140％ｘ - ｘ = 40
                   0.4ｘ = 40
                      ｘ = 100
140％ｘ = 100 × 1.4 = 140
分析与解：根据“六年级女生人数相当于男生人数的140％”，可以把男生人数看作单位“1”的量，设男生人数为ｘ人，女生人数就是140％ｘ人，再根据“六年级男生比女生少40人”，可以得出数量关系式：“女生人数 – 男生人数 = 40”，根据此数量关系式列出方程。
正确解答：设男生有ｘ人，女生就有140％ｘ人。
140％ｘ - ｘ = 40
                   0.4ｘ = 40
                      ｘ = 100
答：男生有100人。
点评：解错此题的原因是单位“1”的量找错了，要记住找单位“1”的量时候，首先要去找分率（百分率），因为没有分率就没有单位“1”的量，就不能看到“比”，而“比”后面的那个量就是单位“1”的量。
例4、（列方程解决“已知比一个数少百分之几的数是多少，求这个数”的百分数实际问题）
白兔有36只，比灰兔少20％。灰兔有多少只？
分析与解：白兔比灰兔少20％，把灰兔看作单位“1”。

只
灰兔
|
36只          |
      白兔                      ????
比灰兔少20％

等量关系式：灰兔的只数 – 白兔比灰兔少的只数 = 白兔的只数
解答：设灰兔有ｘ只。
     ｘ - 20％ｘ = 36
          0.8ｘ = 36
              ｘ = 45
答：灰兔有45只。
检验：45 – 45 × 20％ = 36 或 （45 – 36）÷ 45 =  20％，符合题意。

例5、（列方程解决“已知比一个数多百分之几的数是多少，求这个数”的百分数实际问题）
白兔有48只，比灰兔多20％。灰兔有多少只？
分析与解：白兔比灰兔多20％，把灰兔看作单位“1”。

只
灰兔
|比灰兔多20％
  | 
      白兔                                   
48只

等量关系式：灰兔的只数 + 白兔比灰兔多的只数 = 白兔的只数
解答：设灰兔有ｘ只。
     ｘ + 20％ｘ = 48
          1.2ｘ = 48
              ｘ = 40
答：灰兔有40只。
检验：40 + 40 × 20％ = 48 或 （48 – 40）÷ 40 =  20％，符合题意。

点评：和前面例题一样，都是去求单位“1”的量。在解题时同样要注意找准单位“1”的量，看问题求什么，确定用什么方法计算。
例6、（难点突破）
某商品如果按现价18元出售，则亏了25％，原来成本是多少元？如果想盈利25％，应按多少元出售该商品？
分析与解：不管是亏25％，还是盈利25％，单位“1”都是这件商品的成本。所以要先求这件商品的成本。18元亏25％，说明18元比成本少25％，即是成本的（1 - 25％）。盈利25％，说明盈利的是原来成本的25％，实际售价是原来成本的（1 + 25％）。
解答：设原来成本是ｘ元。
        ｘ - 25％ｘ = 18
          0.75ｘ = 18
              ｘ = 24
24 × （1 + 25％） = 30（元）
答：原来成本是24元，应按30元出售该商品。
点评：通常情况下，商品的盈利和亏损都是以成本作单位“1”的 。解答这道题目的关键是确定好单位“1”，这也是解百分数应用题时最重要的。
例7、（考点透视）
水果批发部要运进一批水果，第一次运进总量的22％，第二次运进1.5吨，两次共运进这批水果的62％，这批水果一共有多少吨？
分析与解：根据题意可以画出下面的线段图：
62％

 

第一次22％     1.5吨

“1”? 吨
从图中可以看出：两次一共运的吨数 -  第一次运的吨数 = 1.5吨，单位“1”的量是这批水果的总吨数，设这批水果一共有ｘ吨，那么两次一共运了62％ｘ吨，第一次运进了22％ｘ吨。
解：设这批水果一共有ｘ吨。
62％ｘ - 22％ｘ = 1.5
          40％ｘ = 1.5
              ｘ = 3.75
答：这批水果一共有3.75吨。
点评：在解答稍复杂的百分数应用题时，要学会画线段图，它的好处是：使题目的条件变得简洁，找数量关系式时更加容易、方便。画图的时候，要先找准单位“1”的量，用一根线段表示出单位“1”的量之后，再去表示其他的量。
 小学数学总复习专题讲解及训练（三）
模拟试题
一、基本训练：
1、找出下列各题中的单位“1”。
①男生人数占女生人数60%。②男生人数比女生人数多20%。③女生人数比男生人数少25%。④加工一批零件，已完成了80%。    ⑤今年的猪肉单价比去年上涨了80%。2、根据所给信息，说出数量间的相等关系
①一条路，已修了全长的60%②一种彩电，现价比原价降低10%③松树的棵数比柏树多13 
3、看图列式。
  用去30%                                                     ? 只
                                               灰兔                          比灰兔多25%
用去 ? 吨          还剩28吨                  白兔
                                                                     
30只4、列式计算：
（1）一个数的75%比30的25%多1.5，求这个数。（2）一个数的25%比它的75%少30，求这个数。二、解决问题：
1、对比练习
（1）某工厂六月份用煤60吨，六月份比五月份少用煤25％，五月份用煤多少吨？ （2）某工厂六月份用煤60吨，五月份比六月份多用煤25％，五月份用煤多少吨？ 2、一张课桌比一把椅子贵10元，如果椅子的单价是课桌单价的60%，课桌和椅子的单价各是多少元？  3、果园里的梨树和苹果树共有360棵，其中的苹果树的棵树是梨树的棵树的20%。苹果树和梨树各有多少棵？  4、一套桌椅的价格是78元，其中椅子的价格是桌子的30%。桌子和椅子的价格各是多少元？5、一条绳子，第一次剪去全长的25%，第二次剪去全长的35%，两次共剪去6米，这条绳子共长多少米？
6、一条绳子，第一次剪去全长的25%，第二次剪去全长的35%，第二次比第一次多剪了1米，这条绳子长多少米？ 
7、根据问题列式。
平山茶场去年原计划种茶20公顷，实际种茶25公顷，________?
①实际种茶的公顷数是原计划的百分之几？②计划种茶的公顷数是实际的百分之几？③实际种茶的公顷数比原计划多百分之几？④计划种茶的公顷数比实际少百分之几？
8、根据算式填条件
果园里有苹果树200棵，    ，梨树有多少棵？
①200÷20%
②200×20%
③200÷（1+20%）
④200÷（1-20%）
⑤200×（1-20%）
⑥200×（1+20%）
参考答案：
一、基本训练：
1、找出下列各题中的单位“1”。
①男生人数占女生人数60%。   把女生人数看作单位“1”
②男生人数比女生人数多20%。 把女生人数看作单位“1”
③女生人数比男生人数少25%。 把男生人数看作单位“1”
④加工一批零件，已完成了80%。    把一批零件看作单位“1”
⑤今年的猪肉单价比去年上涨了80%。把去年的猪肉单价看作单位“1”
2、根据所给信息，说出数量间的相等关系
①一条路，已修了全长的60%       全长 × 60% = 已修
②一种彩电，现价比原价降低10%   原价 × 10% = 降价
原价 ×（1-10%）= 现价
③松树的棵数比柏树多13            柏树 × 13 = 松树比柏树多的棵数
柏树 ×（1+13 ）= 松树
3、看图列式。
  用去30%                                                     ? 只
                                               灰兔                          比灰兔多25%
用去 ? 吨          还剩28吨                  白兔
                                                                   
       28 ÷（1 - 30%）×30% = 12（吨）                          30只
                                                ｘ + 25％ｘ = 30
                                                ｘ = 24
4、列式计算：
（1）一个数的75%比30的25%多1.5，求这个数。75％ｘ – 30 × 25% = 1.5
ｘ = 12
（2）一个数的25%比它的75%少30，求这个数。75％ｘ – 25%ｘ = 30
ｘ = 60二、解决问题：
1、对比练习
（1）某工厂六月份用煤60吨，六月份比五月份少用煤25％，五月份用煤多少吨？
解：设五月份用煤ｘ吨。        ｘ – 25%ｘ = 60
ｘ = 80
（2）某工厂六月份用煤60吨，五月份比六月份多用煤25％，五月份用煤多少吨？
60 + 60 × 25% = 75（吨）2、一张课桌比一把椅子贵10元，如果椅子的单价是课桌单价的60%，课桌和椅子的单价各是多少元？
解：设课桌的单价是ｘ元，椅子的单价是60%ｘ元。
ｘ – 60%ｘ = 10
ｘ = 25
25 × 60% = 15（元）或 25 – 10 = 15（元）
答：课桌的单价是25元，椅子的单价是15元。
3、果园里的梨树和苹果树共有360棵，其中的苹果树的棵树是梨树的棵树的20%。苹果树和梨树各有多少棵？
解：设梨树的棵树是ｘ棵，苹果树的棵树是20%ｘ棵。
ｘ + 20%ｘ = 360
ｘ = 300
300 × 20% = 60（棵）或 360 – 300 = 60（棵）
答：梨树的棵树是300棵，苹果树的棵树是60棵。
4、一套桌椅的价格是78元，其中椅子的价格是桌子的30%。桌子和椅子的价格各是多少元？
解：设课桌的单价是ｘ元，椅子的单价是30%ｘ元。
ｘ + 30%ｘ = 78
ｘ = 60
60 × 30% = 18（元）或 78 – 60 = 18（元）
答：课桌的单价是60元，椅子的单价是18元。 
5、一条绳子，第一次剪去全长的25%，第二次剪去全长的35%，两次共剪去6米，这条绳子共长多少米？
解：设这条绳子共长ｘ米。
25%ｘ + 35%ｘ = 6
ｘ = 10
答：这条绳子共长10米。6、一条绳子，第一次剪去全长的25%，第二次剪去全长的35%，第二次比第一次多剪了1米，这条绳子长多少米？
解：设这条绳子共长ｘ米。
35%ｘ - 25%ｘ = 1
ｘ = 10
答：这条绳子共长10米。7、根据问题列式。
平山茶场去年原计划种茶20公顷，实际种茶25公顷，________?
①实际种茶的公顷数是原计划的百分之几？  25 ÷ 20 =  125%
②计划种茶的公顷数是实际的百分之几？    20 ÷ 25 =  80%
③实际种茶的公顷数比原计划多百分之几？  （25 – 20） ÷ 20 =  25%
④计划种茶的公顷数比实际少百分之几？    （25 – 20） ÷ 25 =  20%
8、根据算式填条件
果园里有苹果树200棵，    ，梨树有多少棵？
①200÷20%            苹果树是梨树的20%
②200×20%            梨树是苹果树的20%
③200÷（1+20%）      苹果树比梨树多20%
④200÷（1-20%）      苹果树比梨树少20%
⑤200×（1-20%）      梨树比苹果树少20%
⑥200×（1+20%）     梨树比苹果树多20%