秦朝历史视频:名校真题测试卷

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名校真题       测试卷·组合原理篇
时间：15分钟   满分5分           姓名_________  测试成绩_________
1．         (2009年清华附中入学测试题)如图，在时钟的表盘上任意作 个 的扇形，使得每一个扇形都恰好覆盖 个数，且每两个扇形覆盖的数不全相同，求证：一定可以找到 个扇形，恰好覆盖整个表盘上的数．并举一个反例说明，作 个扇形将不能保证上述结论成立．
2．         (2009年清华附中入学测试题)对四位数 ，若存在质数 和正整数 ，使 ，且 ，求这样的四位数的最小值，并说明理由．
3．         (2008年西城实验考题)有5个连续自然数，它们的和为一个平方数，中间三数的和为立方数，则这五个数中最小数的最小值为        ．
4．         (2008年101中学考题)一根101厘米长的木棒，从同一端开始，第一次每隔2厘米画一个刻度，第二次每隔3厘米画一个刻度，第三次每隔5厘米画一个刻度，如果按刻度把木棒截断，那么可以截出        段．
【解析】
1．         在表盘上共可作出12个不同的扇形，且1～12中的每个数恰好被4个扇形覆盖．将这12个扇形分为4组，使得每一组的3个扇形恰好盖住整个表盘．那么，根据抽屉原理，从中选择9个扇形，必有 个扇形属于同一组，那么这一组的3个扇形可以覆盖整个表盘．
另一方面，作8个扇形相当于从全部的12个扇形中去掉4个，则可以去掉盖住同一个数的4个扇形，这样这个数就没有被剩下的8个扇形盖住，那么这8个扇形不能盖住整个表盘．
2．         因为 ， ， 太大，所以 ．因为 是3的幂，所以四个数字中不能包含3以外的质因子，也就是说只能含有1，3，9．
观察可知恰好有 ，所以最小的这样的四位数是1399．
3．         设中间数是 ，则它们的和为 ， 中间三数的和为 ．
由于 是平方数，设 ，则 ．
是立方数，设 ，则 ， ，即 ， ，故 ，所以 ，那么 ， 至少是225，中间的数至少是1125，这五个数中最小数的最小值为1123．经检验，当中间的数为1125时，它们的和为 ，中间三数的和为 ，满足题意，所以本题答案为1123．
4．         要求出截出的段数，应当先求出木棒上的刻度数，而木棒上的刻度数，相当于1、2、3、…、100、101这101个自然数中2或3或5的倍数的个数，为：
，故木棒上共有74个刻度，可以截出75段．
名校真题                    测试卷·工程比例经济浓度篇
时间：15分钟   满分80分               姓名_________  测试成绩_________
1．         (2008年清华附中考题)甲、乙、丙三人承包一项工程，发给他们工资共1800元，三人完成这项工程的具体情况是：甲、乙两人合作6天完成了工程的 ，因为甲有事，由乙、丙合作2天完成余下工程的 ，以后三人合作5天完成了这项工程，按完成量的多少来付劳动报酬，甲、乙、丙各得多少元？
2．         (2009年四中入学测试题)有甲、乙两桶油，甲桶油的质量是乙桶的 倍，从甲桶中倒出5千克油给乙桶后，甲桶油的质量是乙桶的 倍，乙桶中原有油        千克．
3．         (2008年实验中学考题)某种商品按定价卖出可得利润 元，若按定价的 出售，则亏损 元．问：商品的购入价是________元．
4．         (2008年101中学考题) 种酒精浓度为 ， 种酒精浓度为 ， 种酒精浓度为 ，它们混合在一起得到了11千克浓度为 的酒精溶液，其中 种酒精比 种酒精多3千克，则 种酒精有        千克．
【解析】
1．         设工程总量为1，甲、乙、丙三人每天完成的工程量分别为 、 、 ，依题意，有：
，解得： ， ， ，
则，甲完成的工程量为： ，乙完成的工程量为： ，丙完成的工程量为： ，所以，甲应得 元，乙应得 元，丙应得 元．
2．         原来甲桶油的质量是两桶油总质量的 ，甲桶中倒出5千克后剩下的油的质量是两桶油总质量的 ，由于总质量不变，所以两桶油的总质量为 千克，乙桶中原有油 千克．
3．         该商品的定价为： (元)，则购入价为： (元)．
4．         设 种酒精有 千克， 种酒精有 千克， 种酒精有 千克，则：
解得 ， ， ，故 种酒精有7千克．
名校真题                              测试卷· 几何篇㈡
时间：15分钟   满分80分              姓名_________  测试成绩_________
1．         (2009年十三分入学测试题)图中的长方形的长与宽的比为 ，求阴影部分的面积．
2．         (2008年四中考题)已知三角形 是直角三角形， 厘米， 厘米，求阴影部分的面积．
3．         (2008年实验中学考题)如图，有一个边长是5的立方体，如果它的左上方截去一个边分别是5，3，2的长方体，那么它的表面积减少了百分之        ．
4．         (2008年清华附中试题)选项中有4个立方体，其中是用左边图形折成的是(     )．
【解析】
1．         如下图，设半圆的圆心为 ，连接 ．
从图中可以看出， ， ，根据勾股定理可得 ．
阴影部分面积等于半圆的面积减去长方形的面积，
为： ．
2．         设两个半圆的交点为 ， 连接 ．
(从图中也可以看出，大半圆的面积加上小半圆的面积等于整个图形的面积加上中间阴影部分的面积，所以大半圆的面积加上小半圆的面积再减去三角形 的面积就等于图中三块阴影部分的面积之和)，
所以， (平方厘米)．
3．         减少的面积为 ，立方体原来的表面积为 ，表面积减少了
4．         图中 、 、 项展开后的图形均为下图，只有 项展开后的图形与题中左边图形相符，所以答案为 ．
名校真题                              测试卷· 几何篇㈠
时间：15分钟   满分80分              姓名_________  测试成绩_________
1．         (2008年四中考题)如右图， ， ，已知阴影部分面积为5平方厘米， 的面积是        平方厘米．
2．         (2008年西城实验考题)如图， 与 均为正方形，三角形 的面积为6平方厘米，图中阴影部分的面积为        ．
3．         (2007年人大附中考题)如图，边长为1的正方形 中， ， ，求三角形 的面积．
4．         (2008年101中学考题)如图，3个边长为2的正方形，甲的中心在乙的一个顶点上，乙的中心在丙的一个顶点上，甲与丙不重叠，求甲、乙、丙总共覆盖的面积是        ．
【解析】
1．         连接 ．根据题意可知， 的面积为 面积的 ， 的面积为 面积的 ，所以 的面积为 面积的 ．而 的面积为5平方厘米，所以 的面积为 (平方厘米)．
2．         如图，连接 ，比较 与 ，由于 ， ，即 与 的底与高分别相等，所以 与 的面积相等，那么阴影部分面积与 的面积相等，为6平方厘米．
3．         连接 ．
因为 ， ，所以 ．
因为 ，根据蝴蝶定理， ，
所以 ．
所以 ，
即三角形 的面积是 ．
4．         观察图中两个被标上阴影的三角形，它们的面积是相等的，所以正方形乙、丙的重合部分的面积为正方形乙的面积的 ，同理可知正方形甲、乙的重合部分的面积为正方形甲的面积的 ，所以甲、乙、丙总共覆盖的面积为： ．
名校真题                              测试卷· 行程篇㈡
时间：15分钟   满分80分            姓名_________  测试成绩_________
1．         (2008年三帆中学考题)甲、乙两车往返于 、 两地之间．甲车去时的速度是每小时60千米，回来时速度是每小时80千米．乙车往返的速度都是每小时70千米．甲、乙往返一次所用时间的比是        ．
2．         (2008年清华附中考题)如图，甲、乙分别从 、 两地同时出发，匀速相向而行，他们的速度之比为 ，相遇于 地后，甲继续以原来的速度向 地前进，而乙则立即调头返回，并且乙的速度比相遇前降低 ，这样当乙回到 地时，甲恰好到达离 地18千米的 处，那么 、 两地之间的距离是多少千米？
3．         (2008年四中考题)张、王两人都从东村到西村去，速度比为 ．当张行了11千米时，王行了 千米；当张到达西村时，王离西村还有 的路程．东、西两村相距多少千米？
4．         (2009年五中分入学测试题)王、李二人往返于甲、乙两地，王从甲地，李从乙地同时出发，相向而行，第一次在距甲地3千米处相遇，第二次在距甲地6千米处相遇，(追上也算相遇)则甲、乙两地的距离为        ．
【解析】
1．         假设 、 两地之间的距离为 千米，那么甲往返一次所用的时间为： 小时；乙往返一次所用的时间为： 小时，所以甲、乙往返一次所用时间的比是 ．
2．         由于甲、乙的速度之比为 ，所以， ，乙调头后的速度为原来速度的 ，所以乙调头后两人速度之比为 ，而乙回到 地时甲恰好到达 处，所以 ，即 ，则 (千米)，即 、 两地之间的距离为72千米．
3．         当张行了11千米时，王行了 千米，两人行的路程之比为 ，而两人的速度之比为 ，说明两人不是同时出发的．由于 ，所以张先出发，且王出发时张已经行了 千米．
张行了 千米后王出发，两人在相同的时间内走的路程之比等于速度的比，当张到达终点时王走了全程的 ，那么这段时间内张走了全程的 ，所以在王出发前张走了全程的 ，所以全程为 千米，即东、西两村相距44千米．
4．         由于两人同时出发相向而行，所以第一次相遇一定是迎面相遇；由于本题中追上也算相遇，所以两人第二次相遇可能为迎面相遇，也可能为同向追及．
①如果第二次相遇为迎面相遇，如下图所示，两人第一次在 处相遇，第二次在 处相遇．由于第一次相遇时两人合走1个全程，小王走了3千米；从第一次相遇到第二次相遇，两人合走2个全程，所以这期间小王走了 千米，由于 、 之间的距离也是3千米，所以 与乙地的距离为 千米，甲、乙两地的距离为 千米；
②如果第二次相遇为同向追及，如上图，两人第一次在 处相遇，相遇后小王继续向前走，小李走到甲地后返回，在 处追上小王．在这个过程中，小王走了 千米，小李走了 千米，两人的速度比为 ．所以第一次相遇时小李也走了9千米，甲、乙两地的距离为 千米．
所以甲、乙两地的距离为 千米或12千米．
名校真题                        测试卷· 计算计数篇
时间：15分钟   满分80分               姓名_________  测试成绩_________
1．         (2008年101中学考题)
计算：        ．
2．         (2008年清华附中考题)
．
3．         (2008年清华附中考题)由0，1，2，3，4，5组成的没有重复数字的六位数中，百位不是2的奇数有        个．
4．         (2008年实验中学考题)新年联欢会上，共有90人参加了跳舞、合唱、演奏三种节目的演出．如果只参加跳舞的人数三倍于只参加合唱的人数；同时参加三种节目的人比只参加合唱的人少7人；只参加演奏的比同时参加演奏、跳舞但没有参加合唱的人多4人；50人没有参加演奏；10人同时参加了跳舞和合唱但没有参加演奏；40人参加了合唱；那么，同时参加了演奏、合唱但没有参加跳舞的有________人．
名校真题                              测试卷· 行程篇㈠
时间：15分钟   满分80分                     姓名_________  测试成绩_________
1．         (2008年四中考题)一列火车通过396米的大桥需要26秒，通过252米的隧道需要18秒，这列火车车身长是多少米？
2．         (2009年五中分入学测试题)一位少年短跑选手，顺风跑90米用了10秒，在同样的风速下逆风跑70米，也用了10秒，则在无风时他跑100米要用        秒．
3．         (2009年四中入学测试题)在公路上，汽车 、 、 分别以 ， ， 的速度匀速行驶，若汽车 从甲站开往乙站的同时，汽车 、 从乙站开往甲站，并且在途中，汽车 在与汽车 相遇后的两小时又与汽车 相遇，求甲、乙两站相距多少 ？
4．         (2008年三帆中学考题)一艘船往返于甲、乙两港之间，已知船在静水中的速度为每小时9千米，平时逆行与顺行所用的时间比是 ．一天因下暴雨，水流速度为原来的2倍，这艘船往返共用10小时，问：甲、乙两港相距        千米．
【解析】
1．         火车的速度为： (米/秒)，火车的车长为： (米)
2．         本题类似于流水行船问题．
根据题意可知，这个短跑选手的顺风速度为 米/秒，逆风速度为 米/秒，那么他在无风时的速度为 米/秒．
在无风时跑100米，需要的时间为 秒．
3．         汽车 在与汽车 相遇时，汽车 与汽车 的距离为： 千米，此时汽车 与汽车 的距离也是260千米，说明这三辆车已经出发了 小时，那么甲、乙两站的距离为： 千米．
4．         设平时水流速度为 千米/时，则平时顺水速度为 千米/时，平时逆水速度为 千米/时，由于平时顺行所用时间是逆行所用时间的一半，所以平时顺水速度是平时逆水速度的2倍，所以 ，解得 ，即平时水流速度为3千米/时．
暴雨天水流速度为6千米/时，暴雨天顺水速度为15千米/时，暴雨天逆水速度为3千米/时，暴雨天顺水速度为逆水速度的5倍，那么顺行时间为逆行时间的 ，故顺行时间为往返总时间的 ，为 小时，甲、乙两港的距离为 (千米)．
名校真题                               测试卷·数论篇㈡
时间：15分钟   满分80分              姓名_________  测试成绩_________
1．         (2008年清华附中考题)已知一个四位数加上它的各位数字之和后等于2008，则所有这样的四位数之和为        ．
2．         (2008年实验中学考题)在1，2，3，……，7，8的任意排列中，使得相邻两数互质的排列方式共有        种．
3．         (2008年101中学考题)将200分拆成10个质数之和，要求其中最大的质数尽可能的小，那么此时这个最大的质数是        ．
4．         (2009年清华附中考题)设 ， 是两个正整数，它们的最小公倍数是 ，那么这样的有序正整数对 共有        组．
【解析】
1．         设这样的四位数为 ，则 ，即 ，则 或2．
⑴若 ，则 ，得 ， ， ；
⑵若 ，则 ，由于 ，所以 ，所以 ，故 为9， ，则 为偶数，且 ，故 ，由 为偶数知 ， ， ；
所以，这样的四位数有2003和1985两个，其和为： ．
2．         这8个数之间如果有公因子，那么无非是2或3．
8个数中的4个偶数一定不能相邻，对于这类多个元素不相邻的排列问题，考虑使用“插入法”，即首先忽略偶数的存在，对奇数进行排列，然后将偶数插入，但在偶数插入时，还要考虑3和6相邻的情况．
奇数的排列一共有 种，对任意一种排列4个数形成5个空位，将6插入，可以有符合条件的3个位置可以插，再在剩下的四个位置中插入2、4、8，一共有 种，所以一共有 种．
3．         ，即这10个质数的平均数为20，那么其中最大的数不小于20，又要为质数，所以至少应为23；而由 可知，将200分拆成8个23与1个11和1个5，满足条件，所以符合题意的最大质数为23．
4．         先将9504分解质因数： ， 所含2的幂的情况可能是(0，5)，(1，5)，(2，5)，(3，5)，(4，5)，(5，5)；(5，0)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，共11种，同理3的幂的情况有7种，11的幂的情况有3种，所以总共有 种．
名校真题                            测试卷·数学思想篇
时间：15分钟   满分80分               姓名_________  测试成绩_________
1．         (2009年四中考题) 某校120名学生在植树劳动中推车运土，若规定每两名男生推一辆车，每三名女生推一辆车，则恰好使用了48辆小推车，请问：这120名学生中有多少名女生？
2．         (2009年清华附中考题) 某工厂接到任务要用甲、乙两种原料生产 、 两种产品共 件，已知每生产一件 产品需甲原料 千克和乙原料 千克；每生产一件 产品需甲原料 千克和乙原料 千克．现在工厂里只有甲原料 千克和乙原料 千克，那么该工厂利用这些原料，应该生产 、 两种产品各多少件，才能完成任务？请求出所有的生产方案．
3．         (2009年101中学考题)有 、 两个整数， 的各位数字之和是26， 的各位数字之和是45，两数相加时进位3次，那么 的各位数字之和是        ．
4．         (2008年实验中学考题)如果自然数 的各位数字之和等于10，则 称为“和谐数”．将所有的“和谐数”从小到大排成一列，则2008排在第        个．
【解析】
1．         (方法一，方程法)设女生数量为 人，则依题意有 ，解得
(方法二，假设法，趣味点)假设有种火星鸡，每只长 条腿，有种火星兔，每只长 条腿，现有火星动物 只，腿 条．问火星鸡几只．可用标准的鸡兔同笼假设法，全部假设为兔，则火星鸡有 只．
2．         设生产 产品 件，则生产 产品 件．
需要甲原料 千克，需要乙原料 千克．为避免原料不够用，则 ，解得 ．所以共有三种生产方案，分别为 ， ， ．
3．         两数相加时，每进位一次数字和就减少9，由于 、 两数相加时进位3次，所以数字和减少27，那么 的各位数字之和是 ．
4．         一位数的和谐数个数为0，
二位数的和谐数有：19、28、……、91，共9个．
三位数的和谐数有：109、118、127、136、……、190；
208、217、216、……、280；
307、316、325、……、370；
…… ……
901，910
共有 个．
四位数，且千位数是1的和谐数有：1009、1018、1027、……、1090；
1108、1117、1126、……、1180；
……
1801、1810；
1900
共 个．
2008是千位数为2的第一个和谐数，所以它排在第 个．
名校真题                               测试卷·数论篇㈠
时间：15分钟   满分80分              姓名_________  测试成绩_________
1．         (2008年实验中学考题)已知四位数的个位数与千位数之和为10，个位数既是偶数又是质数，百位数与十位数组成两位数是个质数，又知这个四位数能被36整除，则所有满足条件的四位数中最大的是        ．
2．         (2008年101中学考题)已知 数有7个约数， 数有12个约数，且 、 的最小公倍数 ，则         ．
3．         (2008年101中学考题) 除以7的余数是        ．
4．         (2009年清华附中考题)设 ，这里 ， 都是正整数，那么 的最大值为        ．
【解析】
1．         因为个位数既是偶数又是质数，所以个位数字为2，又因为个位数与千位数之和为10，所以千位数字为8，因为这个四位数能被36整除，所以能被4与9整除，由于个位数与千位数之和为10，所以百位数与十位数的和除以9余8，又因为百位数与十位数之和不超过18，所以百位数与十位数的和为8或17．由于能被4整除，所以后两位数能被4整除，由于个位数字为2，所以十位数字只能为1，3，5，7，9，若百位数字为9，由于十位数字为奇数，所以其和不能等于8或17，所以百位数字最大为8，此时个位数字为9，且89是质数，符合题意，故答案为8892．
2．         ，由于 数有7个约数，而7为质数，所以 为某个质数的6次方，由于1728只有2和3这两个质因数，如果 为 ，那么1728不是 的倍数，不符题意，所以 ，那么 为 的约数，设 ，则 ，得 ，所以 ．
3．         除以7的余数为1， ，所以 ，其除以7的余数为： ；2008除以7的余数为6，则 除以7的余数等于 除以7的余数，为1；所以 除以7的余数为： ．
4．         只要看里面5的因子个数，因为2的因子个数一定足够多．
101到2009里面共有 个数．其中，这里面的后625个一定含有125个5的倍数，25个25的倍数，5个125的倍数和1个625的倍数；前12个中，110和125共含有4个因子5．所以，含有5的因子个数为 ．
【解析】
1．         原式
2．         设 ， ，
原式
3．         由0，1，2，3，4，5组成的没有重复数字的奇六位数，个位可以为1，3，5，有3种选法；个位选定后，十万位不能与个位相同，且不能为0，有4种；十万位选定后万位有4种；……；故由0，1，2，3，4，5组成的没有重复数字的奇六位数的个数为： 个；
由0，1，2，3，4，5组成的没有重复数字且百位为2的奇六位数，个位可以为1，3，5，有3种选法；十万位不能与个位相同，且不能为0、2，有3种；十万位选定后万位有3种；……；故由0，1，2，3，4，5组成的没有重复数字且百位为2的奇六位数的个数为： 个；
所以，满足条件的数有： 个．
4．         设只参加合唱的有 人，那么只参加跳舞的人数为 ，由50人没有参加演奏、10人同时参加了跳舞和合唱但没有参加演奏，得到只参加合唱的和只参加跳舞的人数和为 人，即 ，得 ，所以只参加合唱的有10人，那么只参加跳舞的人数为30人，又由“同时参加三种节目的人比只参加合唱的人少7人”，得到同时参加三项的有3人，所以参加了合唱的人中“同时参加了演奏、合唱但没有参加跳舞的”有： 人．