学诚法师百法讲记:【8】“应用数学过程”：一种常规武器——与青年朋友谈科研（8）

前几天我们谈了一些科研入门的注意事项，从今天起，我想与青年朋友一起探讨自然科学研究中的常用方法和要领。就从阐述“应用数学过程”开始，我认为这是从事理工科基础研究的一种常规武器，一把利剑。文中对“应用数学过程”作一般描述，并述及若干经常出现的问题。

1978年，著名应用数学家、力学家林家翘教授（中科院外籍院士）提出了解决实际问题的“应用数学过程”，我在1979年他到访清华大学时第一次听他详细讲述了相关内容。他指出，在研究数理科学的实际问题时，经常采用：

搜集实验、观测资料→建立数学模型→发明数学工具或沿用已有方法解决模型中的问题→验证所得到的结果→总结出普遍规律。

这就是所谓“应用数学过程”。自然科学中，许多基本规律的发现、解析和描述，都或多或少地运用了应用数学过程。

后来，Brown大学的谢定裕教授到我所讲学，谈及治学之道时，也讲授了这一应用数学过程。并用牛顿建立三大定律为例子加以阐释，牛顿搜集伽利略关于落体运动的实验结果和行星运动的观测数据，特别是了解了关于行星运动的开普勒定律，对物体的运动与作用力之间的关系有了清晰的认识；在此基础上建立了数学模型（物体运动方程）：F=ma等；并发明了微积分，求得了运动方程的解；这些解在实验、观测中得到了验证，最后总结出牛顿三大定律。这是一个完美的“应用数学过程”。1987年，谢定裕先生把上述看法写进了《流体力学》（南开大学出版社）的序言中了。

在此后的研究生教学和本科生教学中，我一再向学生们介绍了这一“应用数学过程”，在关于科研方法的讲座中，也包含了这方面内容。例如，在给研究生讲授流体力学时，我花费很多时间来阐明纳维-斯托克斯方程的导出过程，强调这是在流体力学中实践应用数学过程的绝好例子，特别是其中的数学建模的思路值得效仿。

在实施应用数学过程中，至关重要的是：掌握了足够的实验、观测数据后，从千头万绪的现象中进行梳理、简化，掌握其中的本质要旨，建立合理和可解的数学模型，这是最为艰巨的工作。因此，我们追溯牛顿的学术贡献时，经常把他建立牛顿三大定律放在最重要的地位。

经我留意观察，初涉科研的人们，有不少人不自觉地实施了应用数学过程，而且做得相当出色。如果说有不足之处，主要问题是对应用数学过程认识不清晰和执行得不完整。正如谢定裕教授所指出的，“现代科学的迅速发展，已使一个人很难独立完成某项有意义的工作的整个应用数学过程，……，所以，一个人往往只能从事这一过程的一个或两个环节的工作，……。然而，我们不应忘记整个应用数学过程，应当明了应用数学过程各个环节的相对重要性。”

人们在实施应用数学过程中所出现的问题主要有：

1.      没有充分掌握所研究的问题的实验、观测数据。尽管由于分工不同，我们不一定亲历亲为地去作实验观测，但必须通过各种调研掌握必要的实际观测资料，并进行仔细剖析，了解工程或科学问题的第一手材料，抓住其中的本质性的东西，为数学建模奠定基础；

2.      对于作沿用的数学模型不了解其源头。人们在科研中常利用现成的模型，但不少年青人对所用模型的来龙去脉不甚了了。例如，在流体力学研究中要用纳维-斯托克斯方程，但不了解这组方程赖以成立的基本假设（三个本质的假设、三个重要的假设以及其它次要假设），不顾实际情况拿来就用，往往会岀岔子；

3.      不善于独立建模。对有些问题，没有现成的模型可供借鉴，必须自己按实际问题来建模。不少年青人的建模能力较差，需要磨练（日后细谈）；

4.      不重视结果的验证。有些年青人给出了问题的解后就“开小差”了，没有在结果的验证上下功夫，也就是说，忽视应用数学过程的第四个环节。有些作理论分析的朋友认为，我已经给你解答了，结果的应用和验证是别人的事情。这种想法很要不得，因为在求解过程中，你引进了各种近似假设，结果是否成立？何时成立？研究者必须责无旁贷地给出明确的说法。

5.      不重视总结规律。我们不是牛顿，也许总结不出牛顿定律那样的大规律，但总能发现一些小规律吧！经常见到年青人的习作中，把公式、数据、图表等一一列出后就“溜之乎也”，这实在是一个坏习惯，也往往会糟蹋了好工作、好结果。我在乐乎博客中已多次提及这一点。最近重读《李政道传》，我发现，他在得到重要问题一些基本结果后，分析、讨论、总结规律的时间甚至长于演绎结果的时间。

必须指出，“应用数学过程”是应用数学和力学界前辈学者总结出来的一种提法，实际上在其它学科门类中可能有类似的提法。我们主要领会其中的精神实质。

总而言之，应用数学过程是理工科科学研究中的一种常规武器，希望青年朋友门好好体会、运用，而且在实践中逐步形成良好的科研习惯。

欢迎广泛地进行讨论。