李宁超轻10赞助版:13一元一次方程的相关概念及解法

一元一次方程的相关概念及解法
撰稿：董萍 　　审稿：柏干　　 责编：孙景艳
【知识结构】

【基本要求】
1．正确区分代数式、等式、方程的概念.
2．能说出等式的意义和等式的两条性质，并能运用等式的性质说明等式变形的依据.
3．会列简单的方程，会检验一个数是不是所给方程的解.
4．会灵活求解一元一次方程. 解方程不要生搬硬套解方程的步骤，具体问题具体分析，找到最佳解法.
【知识点】
1．只含有一个未知数的方程叫做一元方程，一元方程的解也叫做根.
2．在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的次数是1(系数不为零)的方程叫做一元一次方程.
3．形如ax+b=0（其中a≠0，a，b为已知数）的方程叫做一元一次方程的标准形式.
4．形如ax=b（其中a≠0，a，b为已知数）的方程叫做一元一次方程的最简形式.
5．等式的性质：
性质1：等式两边同时加(或减)同一个数或式子，结果仍相等。
即： 如果a=b ，那么a±c=b±c
性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为零的数，结果仍相等。
即：如果a=b ，那么ac=bc；如果a=b（c≠0），那么.
6．解一元一次方程的一般步骤是通过去分母、去括号、移项、合并同类项等同解变形，把原方程逐步
进行化简，转化为一元一次方程的最简形式（如ax=b, 其中a≠0），只要把未知数的系数化为1，就
可求得原方程的解.
变形名称 具体做法 变形根据 注意事项
去分母 在方程两边都乘以各分母的最小公倍数 等式的性质2 1.不要漏乘不含分母的项
2.分子是一个多项式时，
要加上括号
去括号 一般先去小括号，再去中括号，后去大括号 乘法分配律及去括号法则等 1.不要漏乘括号里面的项
2.不要弄错符号
移项 一般把含有未知数的项都移到方程的左边，不含未知数的项移到右边 移项法则 1.移项要变号
2.不要漏项
合并同类项 把方程化成ax=b(a≠0) 的形式 合并同类项法则 1.系数相加
2.字母及指数不变
系数化为1 等式两边都除以未知数的系数a得到等式的性质2 除数不为0，不要把分子、分母搞颠倒
【典型例题】
1、选择题
(1)下列说法中正确的是( ).
A、2a-a=a不是等式 　　　B、x2-2x-3是方程
C、方程是等式 　　　　　D、等式是方程
(2)方程的解是( ).
A、x=6 　　　B、x=-6　　　 C、x=12　　　 D、x=-12
分析：表示相等关系的式子叫做等式。含有未知数的等式叫做方程。解方程就是求出使方程中等号两边相等的未知数的值，这个值就是方程的解。
答案： (1)C (2)B
2．下面方程变形中，错在哪里：
（1）由2+x=-4, 得x=-4+2.
答：不正确.错在数2从方程的等号左边移到右边时没有变号.
（2）由9x=-4, 得.
答：不正确，错在被除数与除数颠倒（或分子与分母颠倒了）。
（3）由5=x-3, 得x=-3-5.
答：不正确.错在移项或等号两边的项对调时把符号弄错，正确的变形是
由5=x-3，得5+3=x, 即x=5+3.
（4）由，得3x-2=5-4x+1.
答：不正确，没有注意到分数中的“分数线”也起着括号的作用，因此当方程两边的各项
都乘以5时，+1没有变号。
（5）方程2x=2y两边都减去x+y，得2x-(x+y)=2y-(x+y), 即x-y=-(x-y).
方程 x-y=-(x-y)两边都除以x-y, 得1=-1.
答：错在第二步，方程两边都除以x-y，由等式性质2要除以不为零的数.
（6），去分母，得3(3-7x)=2(2x+1)+2x，去括号，得9-21x=4x+2+2x.
答：错在第一步，去分母时2x项没乘以公分母6。
3．已知关于x的方程 ax + 5 = -2 - 3a与方程-3x -13= 17的解相同, 则a = _________.
分析：首先方程-3x -13= 17的解为x=-10，方程 ax + 5 =-2 - 3a与方程-3x -13= 17同解，所以方程 ax + 5 = -2 - 3a的解为x=-10，那么-10a+5=-2-3a成立，这是关于a的一元一次方程，进而可求得a。
答：1
4．解方程
（1）解方程7+2{5-3[11-4(5x-3)]}=-1.
分析：为了将方程化简，可利用乘法分配律及合并同类项法则从里往外依次去掉小括号、中括号和大括号，也可利用等式的性质从外往里依次去掉大括号、中括号和小括号，将方程化为一元一次方程的最简形式ax=b.
解法1：
∴ 原方程的解为x=1.
解法2：7+2{5-3[11-4(5x-3)]}=-1，
2{5-3[11-4(5x-3)]}=-1-7,
5-3[11-4(5x-3)]=-4,
-3[11-4(5x-3)]=-4-5,
11-4(5x-3)=3,
-4(5x-3)=3-11,
-4(5x-3)=-8
5x-3=2,
5x=2+3,
x=1.
∴ 原方程的解为x=1.
（2）解方程.
解：去分母，得6(y+4)+30y+180=15(y+2)-10(y-5),
去括号，得6y+24+30y+180=15y+30-10y+50,
移项，得6y+30y-15y+10y=30+50-24-180,
合并同类项，得31y=-124,
系数化为1，得y=-4.
∴ 原方程的解为y=-4.
（3）解方程.
解：原方程化为，
去分母，得5(10x+5)-2(20x-5)+125=0,
去括号，得 50x+25-40x+10+125=0,
移项，得50x-40x=-25-10-125,
合并同类项，得 10x=-160,
系数化为1，得x=-16.
∴ 原方程的解为x=-16.
5．若关于x的方程(k-4)x=6有正整数解，求自然数k的值.
解：(k-4)x=6,
,
∵为正整数，且k为自然数，
∴k-4为6的正约数，即k-4的值分别为1，2，3，6.
当k-4=1时，k=5;
当k-4=2时，k=6;
当k-4=3时，k=7;
当k-4=6时，k=10.
答：自然数k的值分别为5，6，7，10.
6．解关于x的方程：
(1) (m-1)x=(m-1)(m-2)
解：(m-1)x=(m-1)(m-2)
当m-1≠0，即m≠1时，
方程的解为x=m-2.
当m-1=0，即m=1时，原方程变为0·x=0.这时原方程的解为任意有理数.
综上，当m≠1时，方程的解为x=m-2；当m=1时，原方程的解为任意有理数。
(2) (m-1)(m-2)x=m-1.
解：(m-1)(m-2)x=m-1
当(m-1)(m-2)≠0，即m≠1且m≠2时，方程的解为.
当m-1=0，即m=1时，原方程变为0·x=0.这时原方程的解为任意有理数.
当m-2=0，即m=2时，原方程变为0·x=1，这时原方程无解.
综上，当m≠1且m≠2时，方程的解为；当m=1时，原方程的解为任意有理数；
当m=2时，原方程无解.