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美丽数学
by Riverstrong
 
前言
“只有在内心感到真实的美的时候，数学才是完美的”——格塞
 
数学是人类最早的学科之一，也是人们生活中最基础的组成部分，关于数学研究的终极目的，从数学学科诞生之日至今为止，还没有找到一个统一的理解。曾有过许许多多解释，哲学理论的，现实应用的，形形色色，众口不一。这里，我想引用中国著名数学家，华罗庚的学生，曾把歌德巴赫猜想推进到2+3的王元教授说的一段话：
“数学的评价标准和艺术一样，主要是美学标准。美学标准对物理科学也很重要，但对数学，它是第一标准。”

一、和谐美
“最和谐的即是最美的。”——苏格拉底
 
把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，这就是著名的黄金分割。
 
黄金分割被数学家称为最和谐最完美的分割，虽说近似于0.618的黄金分割数是一个无理数，可它却成为了世界上最“有理由”存在的数。
许多基础形状都包括了黄金分割，五角星中所有线段之间的长度关系都是符合黄金分割比的；正五边形对角线连满后出现的所有三角形都是黄金分割三角形。
自然界中的许多事物也包括了黄金分割，鹦鹉螺的螺旋中暗含了菲波纳切数列，而菲波纳切数列的两项间比值也是无限接近黄金分割数的。大自然本身就是一个大数学家，许多植物的花序或叶瓣夹角也符合137o28'的黄金分割角。
艺术作品里也有黄金分割，意大利天才科学家、艺术家达芬奇的《蒙娜丽莎》中蒙娜丽莎的脸也符合黄金矩形，另外一幅作品《最后的晚餐》同样也应用了该比例；建筑物中某些线段的比采用了黄金分割，比如希腊雅典的帕撒神农庙就是一个很好的例子，类似的还有古埃及金字塔，巴黎圣母院，法国埃菲尔铁塔；音乐家也认为，将琴码放在琴弦黄金分割点处能演奏出最优美的声音。
甚至连生活中也离不开黄金分割，据说日常生活中所见到的人中腿长和身长符合黄金分割的人身材最完美，可口可乐罐头的直径和高度比值就是黄金分割的整数倍，舞台上的报幕员以站在舞台长度的黄金分割点的位置最美观。
 
美国太空总署曾把一幅名画《维特鲁威人》的拷贝用航天器发射到太空中，作为与有生命意识的外星生命文明交流的纽带，据说这幅画最能描述生活在地球上的人类——而这幅作品就是达芬奇严格根据黄金分割绘制出的人体和方圆。
 
类似于黄金分割这样的异数在数学中还有很多，比如说正方形切去内切圆后与剩余部分面积的比值，这也是一个无理数，近似于78:22，这一数字被称为宇宙大法则，事物琐碎的多数与重要的少数的比值就很接近这个数值，最熟悉的莫过于大气中氮气与氧气的比值。

二、符号美
“数字是上帝用来书写宇宙的文字。”——伽利略
 
当一个中世纪的神学者来到现代，看到数学书上密密麻麻的符号，一定会以为这些神秘符号组成的魔咒，如果念对，会带来无穷无尽的力量。
如果抛开科学的眼光，数学和魔咒的确极为相似，都是用符号来描述我们生存的这个世界然后改变它。然而，为了念对数学这个魔咒，人类经历了漫长的几千年时间。
从发明文字以来，数字符号便存在于人类文明先河之中，起初数字符号只是用来记数，比如说在物品交换时记下自己和对方的牛羊头数，后来在古希腊数学家刁藩伟大的创造下，代数这个用符号逻辑代替文字逻辑的事物产生了。代数的产生、符号的使用大大增强了数学家的逻辑能力，难怪F.克莱因曾说过：“符号常常比发明他们的数学家更能推理。”
 
数学符号的推广和发展并非一帆风顺。印度人的9个数字符号和阿拉伯人发明的“0”的符号在最初引入西方时，“0”曾经引起极大困惑，因当时西方认为所有数都是可数，而且“0”这个数字会使很多算式逻辑不能成立(比如说，除0)， 所以“0”被认为认为是魔鬼数字而被禁用。然而15世纪晚期，当“0”这个抽象符号被广泛认可和接受后，数学的发展便突飞猛进，“如黄河泛滥，一发而不可收拾”。继“0”之后，分数，负数，有理数，实数，四元数，微积分，矩阵，分形几何维数，集合超限数......如雨后春笋，相继在数学世界里诞生。每一个新符号的发明，便是人类对于自身、对于宇宙的又一次重新认识。
 
有些符号的引入，是和物理学的实践同步的，比如矩阵在计算机领域的应用。而另一些符号，则是完全领先于其它学科的时代背景。
16世纪虚数发明时——和当初的“0”一样——引起了数学界的一片困惑，有人曾迷惑不解地问，这些只是书面上虚无缥缈的抽象符号，实际现实中根本找不到它们的影子，甚至在随后的几个世纪里，仍有许多大数学家也不愿接受它，德国数学家菜不尼茨1702年说：“虚数是神灵遁迹的精微而奇异的隐避所，它大概是存在和虚妄两界中的两栖物”，瑞士数学大师欧拉也不屑地说道：“它们既不是什么都不是，也不比什么都不是多些什么，更不比什么都不是少些什么，它们纯属虚幻。”然而到了近代，随着原子物理、核物理、微观粒子学的发展，虚数终于得到了广泛的应用，这个自然数之家的弃儿，也终于重新回到了家庭的怀抱，不再是像幽灵一样在外游荡了。

三、悖论美
“楚人有鬻盾与矛者，誉之曰：‘吾盾之坚，物莫能陷也。’又誉其矛曰：‘吾矛之利，于物无不陷也。’或曰：‘以子之矛陷于之盾，何如？’其人弗能应也。——韩非
 
数学中的悖论，在物理学中称为佯谬，哲学中称为二律相悖。
 
从方法学的角度来看，悖论的出现是必然的。因为根据哥德尔“不可判定性定理”，所有的体系永远都是“部分真”，在一个体系试图以“部分真”来含盖“无限”时，其本身便成为了一个悖论。悖论的产生，使旧体系中深层次的矛盾暴露出来；悖论的解决，则是依靠融合了原来体系与悖论问题产生出的新体系，而新体系的诞生，又使该学科的思维进入了一个崭新的阶段。
从数学史的角度来看，每次悖论的产生，都伴随着一次数学史上的危机，而危机的解决，极大程度上改变了人们对于数学的认识，这个凤凰涅磐般的过程，使数学这门学科得到一次又一次质的飞跃。
 
数学史上第一次危机，是和数的悖论有关。古希腊毕达哥拉斯学派认为，所有的数要么是整数，要么是整数的比（现在所说的分数）。毕达哥拉斯学派认为整数是最神圣的，他们甚至为有些整数找到了哲学含义：1代表理性，是万数之源；2代表见解；3代表力量；4代表正义；5代表婚姻，因为5是第一个阴性数2和第一个阳性数3之和；6暗示了冷热变化的原因；7蕴含了健康青春的奥秘；8隐藏了爱的真谛，因为8=3（力量）+5（婚姻）......毕达哥拉斯有个杰出的学生——希伯斯，他根据毕达哥拉斯定理（即中国勾股定理），研究边长是1的正方形对角线长度时发现：如果这个长度是整数或者整数之比，就会产生分母既不是奇数又不是偶数的悖论。当他找到自己的老师宣布发现的悖论时，可以想象，带给毕达哥拉斯的思想冲击是极大的，以至于他的老师不愿接受这个事实，而让手下的门徒把希伯斯手脚绑起来抛入了茫茫大海。现在几乎所有中学生都知道，这个数（即“根号2”）是一个无理数，无理数和之后的一些数的引入，使现代数学的面貌已经远非古希腊时所能想象，而希伯斯也因为其用生命的代价挑战权威的精神，被后人誉为无理数之父。
 
数学史上第二次危机，是由古希腊数学家芝诺提出的阿喀琉斯悖论所导致的。阿喀琉斯是荷马史诗中最善跑的英雄，就是电影《特洛伊》中布拉德.皮特扮演的那一个。芝诺提出：“阿喀琉斯在赛跑中不可能追上起步稍微领先于他的乌龟，因为当他要到达乌龟出发的那一点，乌龟又向前爬动了。阿基里斯和乌龟的距离可以无限地缩小，但永远追不上乌龟。”芝诺同时还提出了两个相似的悖论“二分悖论”和“飞矢不动”，有点类似同时代中国庄子提出的“一尺之捶，日取其半，万世不竭”。芝诺悖论的提出，使数学家们第一次对有限和无限的概念有了极深的印象，在这之后，随着牛顿、莱布尼兹发明，波尔查诺、阿贝尔、柯西、狄里克莱等改进，最终由威尔斯特拉斯、戴德金和康托尔彻底完成的微积分学，经历了半个多世纪，终于成为一门严谨的基础数学，向人们阐述着有限和无限的深刻内涵。
 
数学史上第三次危机，也间接与古希腊这个现代数学代数、几何的诞生地有关。古希腊克里特岛的哲学家埃比罗尼德有句名言：“所有的克里特人都撒谎。”这句话导致了一个问题：当一个陌生人来到克里特岛，遇到一个克里特人，他说‘我在撒谎’时，他到底有没有撒谎？如果他撒谎了，那么他这句话就是假的，换句话说，他没有撒谎；而如果他没有撒谎，那么他的话就是对的，也就是他撒谎了。“克里特人悖论”当时只是作为了一个趣事而被人们讨论，直到19世纪，伟大的哲学家和数学家，同时也是诺贝尔文学奖得主的罗素在研究了“克里特人悖论”、最大基数悖论等六个悖论的基础上，提出了著名的罗素悖论，又称“理发师悖论”。罗素悖论的通俗表达是：“理发师宣布了这样一条原则：他只给所有不给自己刮脸的人刮脸。问题是：理发师是否自己给自己刮脸？如果他不给自己刮脸，那么他按原则就该为自己刮脸；如果他给自己刮脸，那么他就不符合他的原则。”罗素悖论的提出，使整个数学大厦的根基动摇了，因为当时的数学是建立在集合论的基础上，而罗素悖论则恰好揭示了集合论的固有矛盾。为了解决罗素悖论，数学界展开了轰轰烈烈的公理化集合论运动，并直接导致了近代数学的三个分支的产生，这三个分支分别是：由希尔伯特创立的形式主义，由布劳威尔创立的直觉主义，和由罗素自己和怀特海创立的逻辑主义。

四、如果美
“自然的终极秘密是用一种我们还不能阅读的语言书写，数学为这种原文提供了注释。” ——苏顿
 
1900年，世界各地最杰出数学家会集巴黎参加世界数学家大会。会议期间，数学家希尔伯特作了一次具的演讲，开创性地把数学发展中遇到的难题和猜想提高到里程碑式的位置。在这次有历史意义的数学大会上，希尔伯特将23个著名的数学猜想列为一组，号召人们去攻克它们。从此揭开了20世纪数学发展的序幕。
后来，数学家韦尔评价希尔伯特的壮举时形容道：“他就像身穿杂色衣服的风笛手，用甜蜜的笛声诱惑了如此多的数学老鼠，心甘情愿地跟随着他跳入数学的深河。”
 
希尔伯特为什么要把数学难题和猜想抬到这么高的位置呢？
许多人都认为数学是一门逻辑的学科，条理严谨，循规蹈矩。他们恰恰误解了数学的本质。数学其自身包含了两个极端，是直觉与逻辑、主观美感与客观真实的完美结合。而数学猜想大多具有简洁、直观、和谐的主观美感，正是因为这种美只存在于想象的世界而未被证实，数学家们才会孜孜不倦地寻求解决之道，甚至付出终生的努力。
 
也许，数学猜想就像老人口中一个古老优美的谜语，牢牢抓住了听过谜语的那个孩子的心灵。
 
数学家大多都是专业出生，或天赋异秉，或从师名门，也许只有法国业余数学家费马是个例外。这位17世纪法国最伟大的数学家，一次无意间在研究关于勾股定理的页边上，随手写下了这么一段猜想：当n>=3时，x的n次方+y的n次方=z的n次方没有整数解，这个猜想就是后来就称为数学史上三大难题之一的费尔马大定理。虽然费马还有许许多多的猜想，比如费马小定理（每个4K+1型质数都是两个完全平方数的和），但没有一个猜想像费马大定理那样产生深远影响。费马大定理以其巨大的魅力和美感，吸引了随后几个世纪里无数科学家。1986年夏，贝克莱·瑞波特证明了:费尔马大定理包含在“谷山丰—志村五朗猜想 ” 之中，此举激发了怀尔斯的极大兴趣，它将自己关入书房整整7年，并于1993年在剑桥大学宣布证明了费马大定理。一时间，举世皆惊，然而事后证明怀尔斯的证明有漏洞。怀尔斯为此痛苦不已，但他并没有放弃，终于，命运之神在一个星期一的早晨光顾了曾被她戏弄的怀尔斯，怀尔斯惊奇地发现，原来被自己抛掉的论证中竟然有费马大定理关键的钥匙，用他自己的话来说“答案在废墟中”。1995年同样是怀尔斯，一篇史诗性长文“模椭圆曲线和费尔马大定理”宣告了费马大定理被彻底证实，从而圆了数学界的一个百年之梦。
 
有些猜想在当时的历史条件下无法被证明，而要靠未来的技术才有可能实现论证，数学史上三大难题之一的四色问题就是这样一个猜想。四色问题的内容是：“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。”用数学语言表示，即“将平面任意地细分为不相重迭的区域，每一个区域总可以用1，2，3，4这四个数字之一来标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。”四色问题是由伦敦大学的弗南西斯·格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时发现的，因为看上去很简单，一开始并没引起数学界多大注意，直到所有试图论证它的努力失败后，数学家们才发觉原来四色问题是一个足以和费马大定理媲美的世纪难题，但以那时的纸和笔并没有办法证实它。直到电子计算机问世以后，由于演算速度迅速提高，大大加快了对四色猜想证明的进程。1976年6月，哈肯和与阿佩尔合作，在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，终于完成了四色定理的证明。看上去简简单单的四色问题，竟然用了1200个小时，作了100亿次判断才得出了最终的证明。 
 
和数有关的数学猜想中，最著名的当然就是“哥德巴赫猜想”了，它也是数学史上三大难题中唯一一个到目前为止仍没有被证明的猜想。1742年6月7日，德国数学家哥德巴赫在写给著名数学家欧拉的一封信中，提出了一个大胆的猜想：任何不小于6的偶数，都是两个奇质数之和。 这个猜想被形象地表述为1+1=2。哥德巴赫猜想从诞生之日起，就以其极端简洁的美吸引了数学家们。然而，越是看似简单的问题，越是难以解答，哥德巴赫猜想的难度，远远超出了人们的想象，也难怪有的数学家把哥德巴赫猜想比喻为“数学王冠上的明珠”。 1920年，挪威数学家布朗证明了定理“9＋9”，由此划定了进攻“哥德巴赫猜想”的“大包围圈”，随后数学家运用了圆法、密率法和三角和法等等高深的数学方法，逐步虽小了这个包围圈。值得一提的是，“哥德巴赫猜想”与中国有着不解之缘，1957年，我国数学家王元证明了“2＋3”。1962年，中国数学家潘承洞证明了“1＋5”，同年又和王元合作证明了“1＋4”，1966年，我国著名数学家陈景润攻克了“1＋2”，也就是：“任何一个足够大的偶数，都可以表示成两个数之和，而这两个数中的一个就是奇质数，另一个则是两个奇质数的和。”这个定理被世界数学界称为“陈氏定理”，体现了筛选法集大成于一体的威力，人们离开摘取“数学王冠上的明珠”只有一步之遥，然而这一步，不知道要跨越多少时间，不知道要多少数学家为此付出毕生心血，结果却仍然是个未知数。
 
 
 
2000年5月24日，就在希尔伯特提出23个世纪难题之后的整整一百年后，巴黎法兰西学院提出了21世纪的新的7个数学难题，号召年轻有为的数学家们来攻克难关。令人欣喜的是，其中庞加莱臆测已经被俄罗斯数学家斐雷曼证实。数学家们孜孜不倦地投入，也许证明了：只要数学存在一天，人类对于未知的探寻，对于美的追求，就永远不会停下脚步。（完）