紫钗奇缘那能看:2.1.2指数函数及其性质

课题：§2.1.2指数函数及其性质
教学任务：（1）使学生了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活及其他学科的联系；
（2）理解指数函数的的概念和意义，能画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性和特殊点；
（3）在学习的过程中体会研究具体函数及其性质的过程和方法，如具体到一般的过程、数形结合的方法等．
教学重点：指数函数的的概念和性质．
教学难点：用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质．
教学过程：
一、 引入课题
（备选引例）
1． （合作讨论）人口问题是全球性问题，由于全球人口迅猛增加，已引起全世界关注．世界人口2000年大约是60亿，而且以每年1.3%的增长率增长，按照这种增长速度，到2050年世界人口将达到100多亿，大有“人口爆炸”的趋势．为此，全球范围内敲起了人口警钟，并把每年的7月11日定为“世界人口日”，呼吁各国要控制人口增长．为了控制人口过快增长，许多国家都实行了计划生育．
我国人口问题更为突出，在耕地面积只占世界7%的国土上，却养育着22%的世界人口．因此，中国的人口问题是公认的社会问题．2000年第五次人口普查，中国人口已达到13亿，年增长率约为1%．为了有效地控制人口过快增长，实行计划生育成为我国一项基本国策．
1 按照上述材料中的1%的增长率，从2000年起，x年后我国的人口将达到2000年的多少倍？
2 到2050年我国的人口将达到多少？
3 你认为人口的过快增长会给社会的发展带来什么样的影响？
2． 上一节中GDP问题中时间x与GDP值y的对应关系y=1.073x（x∈N*，x≤20）能否构成函数？
3． 一种放射性物质不断变化成其他物质，每经过一年的残留量是原来的84%，那么以时间x年为自变量，残留量y的函数关系式是什么？
4． 上面的几个函数有什么共同特征？
二、 新课教学
（一）指数函数的概念
一般地，函数叫做指数函数（exponential function），其中x是自变量，函数的定义域为R．
注意：1 指数函数的定义是一个形式定义，要引导学生辨析；
2 注意指数函数的底数的取值范围，引导学生分析底数为什么不能是负数、零和1．
巩固练习：利用指数函数的定义解决（教材P68例2、3）
（二）指数函数的图象和性质
问题：你能类比前面讨论函数性质时的思路，提出研究指数函数性质的内容和方法吗？
研究方法：画出函数的图象，结合图象研究函数的性质．
研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性．
探索研究：
1．在同一坐标系中画出下列函数的图象：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
2．从画出的图象中你能发现函数的图象和函数的图象有什么关系？可否利用的图象画出的图象？
3．从画出的图象（、和）中，你能发现函数的图象与其底数之间有什么样的规律？
4．你能根据指数函数的图象的特征归纳出指数函数的性质吗？
图象特征
函数性质




向x、y轴正负方向无限延伸
函数的定义域为R
图象关于原点和y轴不对称
非奇非偶函数
函数图象都在x轴上方
函数的值域为R+
函数图象都过定点（0，1）

自左向右看，
图象逐渐上升
自左向右看，
图象逐渐下降
增函数
减函数
在第一象限内的图象纵坐标都大于1
在第一象限内的图象纵坐标都小于1


在第二象限内的图象纵坐标都小于1
在第二象限内的图象纵坐标都大于1


图象上升趋势是越来越陡
图象上升趋势是越来越缓
函数值开始增长较慢，到了某一值后增长速度极快；
函数值开始减小极快，到了某一值后减小速度较慢；
5． 利用函数的单调性，结合图象还可以看出：
（1）在[a，b]上，值域是或；
（2）若，则；取遍所有正数当且仅当；
（3）对于指数函数，总有；
（4）当时，若，则；
（三）典型例题
例1．（教材P66例6）．
解：（略）
问题：你能根据本例说出确定一个指数函数需要几个条件吗？
例2．（教材P66例7）
解：（略）
问题：你能根据本例说明怎样利用指数函数的性质判断两个幂的大小？
说明：规范利用指数函数的性质判断两个幂的大小方法、步骤与格式．
巩固练习：（教材P69习题A组第7题）
三、 归纳小结，强化思想
本节主要学习了指数函数的图象，及利用图象研究函数性质的方法．
四、 作业布置
1． 必做题：教材P69习题2．1（A组） 第5、6、8、12题．
2． 选做题：教材P70习题2．1（B组） 第1题．
课题：2.1.2指数函数及其性质2
一、学习目标：
1.熟练掌握指数函数概念、图象、性质；
2.能求由指数函数复合而成的函数定义域、值域；
3.掌握比较同底数幂大小的方法；
4. 培养学生数学应用意识。
二、学法指导：自主学习
三、教学过程：
（一）复习：的图象和性质
a>1
0图
象


性
质
(1)定义域：R
（2）值域：（0，+∞）
（3）过点（0，1），即x=0时，y=1
（4）在 R上是增函数
（4）在R上是减函数
（二）新课讲解：
求下列函数的定义域、值域：
⑴     ⑵   ⑶
分析：此题要利用指数函数的定义域、值域，并结合指数函数的图象注意向学生指出函数的定义域就是使函数表达式有意义的自变量x的取值范围
解（1）由x-1≠0得x≠1
 所以，所求函数定义域为{x|x≠1}
由         ，得y≠1
所以，所求函数值域为{y|y>0且y≠1}
说明：对于值域的求解，在向学生解释时，可以令，考察指数函数y=,并结合图象直观地得到，以下两题可作类似处理
（2）由5x-1≥0得
所以，所求函数定义域为{x|}
由 ≥0得y≥1
所以，所求函数值域为{y|y≥1}
（3）所求函数定义域为R
由>0可得+1>1
所以，所求函数值域为{y|y>1}
通过此例题的训练，学会利用指数函数的定义域、值域去求解指数形式的复合函数的定义域、值域，还应注意书写步骤与格式的规范性
四、课堂小练  81页第2题
五、课堂小结：本节课学习了以下内容：指数形式的函数定义域、值域的求法
六、学习感悟
七、作业：  82页第2、3题
指数与指数函数
一、选择题（每小题5分，共60分，请将所选答案填在括号内）
1．化简［3］的结果为 （    ）
A．5 B．C．－D．－5
2．化简的结果为 （    ）
A．a16  B．a8 C．a4 D．a2
3．设函数（    ）
A．(－1，1) B．(－1，＋)
C．D．
4．设，则 （    ）
A．y3＞y1＞y2 B．y2＞y1＞y3 C．y1＞y2＞y3 D．y1＞y3＞y2
5．当x∈［－2，2时，y=3－x－1的值域是 （    ）
A．［－，8］ B．［－，8］ C．(，9) D．［，9］
6．在下列图象中，二次函数y=ax2＋bx＋c与函数y=()x的图象可能是 （    ）
7．已知函数f(x)的定义域是(0，1)，那么f(2x)的定义域是 （    ）
A．(0，1) B．(，1) C．(－∞，0) D．(0，＋∞)
8．若，则等于 （    ）
A．2－1 B．2－2C．2＋1 D． ＋1
9．设f(x)满足f(x)＝f(4－x)，且当x＞2 时f(x)是增函数，则a＝f(1.10.9)，b= f(0.91.1)，c＝的大小关系是 （    ）
A．a＞b＞c       B．b＞a＞c        C．a＞c＞b      D．c＞b＞a
10．若集合，则M∩P= （    ）
A．B．C．D．
11．若集合S＝{y|y＝3x，x∈R}，T＝{y|y＝x2－1，x∈R}，则S∩T是 （    ）
A．S B．T C．? D．有限集
12．下列说法中，正确的是 （    ）
①任取x∈R都有3x＞2x
②当a＞1时，任取x∈R都有ax＞a－x
③y=()－x是增函数
④y=2|x|的最小值为1
⑤在同一坐标系中，y=2x与y=2－x的图象对称于y轴
A．①②④ B．④⑤ C．②③④ D．①⑤
二、填空题（每小题4分，共16分，请将答案填在横线上）
13．计算： ＝                            ．
14．函数在上的最大值与最小值的和为3，则                ．
15．函数y=的值域是_                   _______．
16．不等式的解集是                        ．
三、解答题（本大题共74分，17—21题每题12分，22题14分）
17．已知函数f(x)=ax＋b的图象过点(1，3)，且它的反函数f－1(x)的图象过(2，0)点，试确定f(x)的解析式．
18．已知求的值．
19．求函数y=3的定义域、值域和单调区间．
20．若函数y=a2x＋b＋1(a＞0且a≠1，b为实数)的图象恒过定点(1，2)，求b的值．
21．设0≤x≤2，求函数y=的最大值和最小值．
22．设是实数，，试证明：对于任意在上为增函数．
参考答案
一、选择题： BCDDA  ACADC  AB
二、填空题：13.，14.2，15. (0，1) ，16.．
三、解答题：
17.解析： 由已知f(1)=3，即a＋b=3    ①
又反函数f－1(x)的图象过(2，0)点即f(x)的图象过(0，2)点．
即f(0)=2  ∴1＋b=2
∴b=1代入①可得a=2
因此f(x)=2x＋1
18.解析：由可得x＋x－1=7
∵
∴=27
∴ =18，
故原式=2
19.解析：(1)定义域显然为(－∞，＋∞)．
(2)是u的增函数，
当x=1时，ymax=f(1)=81，而y=＞0．
∴．
(3) 当x≤1 时，u=f(x)为增函数， 是u的增函数，
由x↑→u↑→y↑
∴即原函数单调增区间为(－∞，1］；
当x＞1时，u=f(x)为减函数，是u的增函数，
由x↑→u↓→y↓
∴即原函数单调减区间为［1，＋∞.
20.解析：∵x=－时，y=a0＋1=2
∴y=a2x＋b＋1的图象恒过定点(－，2)
∴－=1，即b=－2
21.解析：设2x=t，∵０≤x≤2，∴1≤t≤4
原式化为：y=(t－a)2＋1
当a≤1时，ymin=；
当1＜a≤时，ymin=1，ymax=；
当a≥4时，ymin=．
22.证明：设，则
，
由于指数函数在上是增函数，且，所以即，
又由，得，，∴即，
所以，对于任意在上为增函数．
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