龙辰院子:1.2.1 函数的概念

1.2.1  函数的概念（第一课时）

课    型：新授课

教学目标：

（1）通过丰富实例，学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；

（2）了解构成函数的三要素；

（3）能够正确使用“区间”的符号表示某些集合。

教学重点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数。

教学难点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数。

教学过程：

一、问题链接：

1． 讨论：放学后骑自行车回家，在此实例中存在哪些变量？变量之间有什么关系？

2．回顾初中函数的定义：

在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与之对应，此时y是x的函数，x是自变量，y是因变量。

表示方法有：解析法、列表法、图象法.

二、合作探究展示：

探究一：函数的概念：

思考1：（课本P15）给出三个实例：

  A．一枚炮弹发射，经26秒后落地击中目标，射高为845米，且炮弹距地面高度h（米）与时间t（秒）的变化规律是。

  B．近几十年，大气层中臭氧迅速减少，因而出现臭氧层空洞问题，图中曲线是南极上空臭氧层空洞面积的变化情况。（见课本P15图）

  C．国际上常用恩格尔系数（食物支出金额÷总支出金额）反映一个国家人民生活质量的高低。“八五”计划以来我们城镇居民的恩格尔系数如下表。（见课本P16表）

讨论：以上三个实例存在哪些变量？变量的变化范围分别是什么？两个变量之间存在着怎样的对应关系？ 三个实例有什么共同点？

归纳：三个实例变量之间的关系都可以描述为：对于数集A中的每一个x，按照某种对应关系f，在数集B中都与唯一确定的y和它对应，记作：

函数的定义：

设A、B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么称为从集合A到集合B的一个函数（function），记作：

其中，x叫自变量，x的取值范围A叫作定义域（domain），与x的值对应的y值叫函数值，函数值的集合叫值域（range）。显然，值域是集合B的子集。

注意：

① “y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；

②函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x．

思考2：构成函数的三要素是什么？

答：定义域、对应关系和值域

小试牛刀．1下列四个图象中，不是函数图象的是（ B   ）.

2．集合，，给出下列四个图形，其中能表示以M为定义域，N为值域的函数关系的是（ B   ）.

归纳：（1）一次函数y=ax+b (a≠0)的定义域是R，值域也是R；

      （2）二次函数 (a≠0)的定义域是R，值域是B；当a>0时，值域；当a﹤0时，值域。

      （3）反比例函数的定义域是，值域是。

探究二：区间及写法：

设a、b是两个实数，且a，则：

（1） 满足不等式的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]；

（2） 满足不等式的实数x的集合叫做开区间，表示为（a,b）；

（3） 满足不等式的实数x的集合叫做半开半闭区间，表示为；

这里的实数a和b都叫做相应区间的端点。（数轴表示见课本P17表格）

符号“∞”读“无穷大”；“－∞”读“负无穷大”；“+∞”读“正无穷大”。我们把满足的实数x的集合分别表示为

。

小试牛刀：

用区间表示R、{x|x≥1}、{x|x>5}、{x|x≤-1}、{x|x<0}

（学生做，教师订正）

（三）例题讲解：

例1．已知函数，

（1） 求的值；

（2） 当a>0时，求的值。

（答案见P17例一）

练习．已知函数f(x)=x2+2,求f(-2),f(-a),f(a+1), f(f(x)).

答案:f(-2)=6 f(-a)=a2+2  f(a+1)=a2+2a+3 f(f(x))=x4+4x2+6

【例2】已知函数.

（1）求的值；（2）计算：.

解：（1）由.

（2）原式

点评：对规律的发现，能使我们实施巧算. 正确探索出前一问的结论，是解答后一问的关键.

（四）随堂检测： 

   1． 用区间表示下列集合：

2． 已知函数f(x)=3x＋5x－2,求f(3)、f(-)、f(a)、f(a+1)的值；

3． 课本P19练习2。

4．已知＝＋x＋1，则＝__3+____；f［］＝_57_____．

5．已知，则=  —1    .

归纳小结：

函数模型应用思想；函数概念；二次函数的值域；区间表示

作业布置：

习题1.2A组，第4，5，6； 

1.2.1函数的概念（第二课时）

课    型：新授课

教学目标：

（1）会求一些简单函数的定义域与值域，并能用“区间”的符号表示；

（2）掌握复合函数定义域的求法；

（3）掌握判别两个函数是否相同的方法。

教学重点：会求一些简单函数的定义域与值域。

教学难点：复合函数定义域的求法。

教学过程：

一、问题链接：

1. 提问：什么叫函数？其三要素是什么？函数y＝与y＝x是不是同一个函数？为什么？

2. 用区间表示函数y＝ax＋b（a≠0）、y＝ax＋bx＋c（a≠0）、y＝(k≠0)的定义域与值域。

二、合作探究展示：

探究一：函数定义域的求法：

      函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合。

例1：求下列函数的定义域

① ；② ；③ .

解：①∵x-2=0，即x=2时，分式无意义，

而时，分式有意义，∴这个函数的定义域是.

②∵3x+2<0，即x<-时，根式无意义，

而，即时，根式才有意义，

∴这个函数的定义域是{|}.

③∵当，即且时，根式和分式 同时有意义，

∴这个函数的定义域是{|且}

另解：要使函数有意义，必须：   T 

    ∴这个函数的定义域是： {|且}  

学生试求→订正→小结：定义域求法（分式、根式、组合式）

说明：求定义域步骤：列不等式（组） → 解不等式（组）

引导学生小结几类函数的定义域：

（1）如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R .

（2）如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合 .

（3）如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合.

（4）如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合.（即求各集合的交集）

    （5）满足实际问题有意义.

 探究二：复合函数的定义域求法：

  （1）已知f(x)的定义域为（a,b），求f(g(x))的定义域；

求法：由a

  （2）已知f(g(x))的定义域为（a,b），求f(x)的定义域；

求法：由a

例2．已知f(x)的定义域为[0,1]，求f(x＋1)的定义域。

答案：

练习．已知函数的定义域为，则的定义域为（ C   ）.

   A．  B．  C．  D．

例3．已知f(x-1)的定义域为[-1,0]，求f(x+1)的定义域。

答案：

巩固练习：

1．求下列函数定义域：

（1）；  （2）

答案：（1）   （2）

2．（1）已知函数f(x)的定义域为[0，1]，求的定义域；

  （2）已知函数f(2x-1)的定义域为[0，1]，求f(1-3x)的定义域。

答案：（1） （2）

探究三：求函数的值域

已知函数求

（1）

（2）x

（3）x

答案：（1）（2）（3）

探究四：函数相同的判别方法：

例5．（课本P18例2）下列函数中哪个与函数y=x相等？

（1）；                 （2）；

（3）；                  （4） 。

分析：

1 构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）

2 两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。

解：⑴＝（）,，定义域不同且值域不同，不是； 

⑵＝（）,，定义域值域都相同，是同一个函数；

⑶＝||=,；值域不同，不是同一个函数。

（4） 定义域不同，不是同一个函数。

练习1．下列各组函数中，表示同一函数的是（  C  ）.

  A.                  B. 

 C.                  D. 

2 下列各组中的两个函数是否为相同的函数？

①          （定义域不同）

②     （定义域不同）

③        （定义域、值域都不同）

（三）随堂检测： 

   1．课本 P19练习1，3；

2．求函数y＝－x＋4x－1 ，x∈[-1,3) 的值域。

归纳小结：

本堂课讲授了函数定义域值域的求法以及判断函数相等的方法。

作业布置：

习题1.2A组，第1，2； 

1.2.1函数（二）

教学目标：理解映射的概念；

          用映射的观点建立函数的概念.

教学重点：用映射的观点建立函数的概念.

教学过程：

1．通过对教材上例4、例5、例6的研究，引入映射的概念.

注：1，补充例子：投掷飞标时，每一支飞标射到盘上时，是射到盘上的唯一点上。于是，如果我们把A看作是飞标组成的集合，B看作是盘上的点组成的集合，那么，刚才的投飞标相当于集合A到集合B的对应，且A中的元素对应B中唯一的元素，是特殊的对应.

同样，如果我们把A看作是实数组成的集合，B看作是数轴上的点组成的集合，或把A看作是坐标平面内的点组成的集合，B看作是有序实数对组成的集合，那么，这两个对应也都是集合A到集合B的对应，并且和上述投飞标一样，也都是A中元素对应B中唯一元素的特殊对应.

一般地，设A，B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应(包括集合A，B以及A到B的对应法则f)叫做集合A到集合B的映射，记作f:A→B.其中与A中的元素a对应的B中的元素b叫做a的象，a叫做b的原象.

2，强调象、原象、定义域、值域、一一对应和一一映射等概念

3．映射观点下的函数概念

如果A，B都是非空的数集，那么A到B的映射f：A→B就叫做A到B的函数，记作y=f(x)，其中x∈A，y∈B.原象的集合A叫做函数y=f(x)的定义域，象的集合C（CB）叫做函数y=f(x)的值域.函数符号y=f(x)表示“y是x的函数”，有时简记作函数f(x).

这种用映射刻划的函数定义我们称之为函数的近代定义.

注：新定义更抽象更一般

如：

   4．补充例子：

   例1，已知下列集合A到B的对应，请判断哪些是A到B的映射？并说明理由：

⑴ A=N，B=Z，对应法则：“取相反数”；

⑵A={-1，0，2}，B={-1，0，1/2}，对应法则：“取倒数”；

⑶A={1，2，3，4，5}，B=R，对应法则：“求平方根”；

⑷A={|00900}，B={x|0x1}，对应法则：“取正弦”.

   例2, 

1，（x，y）在影射f下的象是(x+y,x-y),则(1,2)在f下的原象是_________

2,已知：f：xy=x2是从集合A=R到B=[0,+]的一个映射，则B中的元素1在A中的原象是_________

3，已知：A={a,b},B={c,d},则从A到B的映射有几个 

课堂练习：教材第39页 练习A、B

小结：学习用映射观点理解函数，了解映射的性质。

课后作业：第56页  习题2-1A第1、2题

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同步练习 g3.1043三角函数的概念

1、设是第三、四象限角，，则的取值范围是　　　　　

　　A、（－1,1）　　B、（－1，　　　C、（－1，　　　D、

2、如果是第一象限角，那么恒有　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　A、＞0　　B、＜1　　C、＞　　D、＜

3、将时钟拨慢10分钟，则分针转过的弧度数是　　　　　　　　　　　　

　　A、　　　　　B、　　　　C、　　　　D、

4、（05全国卷Ⅲ）已知为第三象限角，则所在的象限是  

    （A）第一或第二象限                  （B）第二或第三象限

（C）第一或第三象限                  （D）第二或第四象限

5、（05山东卷）已知函数，则下列判断正确的是（  ） 

  （A）此函数的最小正周期为，其图象的一个对称中心是

  （B）此函数的最小正周期为，其图象的一个对称中心是

  （C）此函数的最小正周期为，其图象的一个对称中心是

  （D）此函数的最小正周期为，其图象的一个对称中心是

 6、（05天津卷）要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点的（）

(A)横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）,再向左平行移动个单位长度

(B)横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度

(C)横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度

(D)横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度

7、的终边与的终边关于直线对称，则＝＿＿＿＿＿＿。

8、函数的值域是＿＿＿＿＿＿＿。

9、已知角的终边经过点P(－)（），且，求的值。

10、已知扇形AOB的周长是6cm，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。

11、若，试判断的符号。

12、已知一扇形的周长为，当扇形的中心角为多大时，它有最大的面积？ 

答案：

作业：1—6、CBADBC

7、　8、｛－2,0，4｝　　　　　　　　　　　

9、当时，，当时，　　

10、2　　11、＜0　　12、2弧度