安庆汇峰广场有什么:2010全国中考数学试题汇编:压轴题(四)及答案
来源:百度文库 编辑:偶看新闻 时间:2024/04/28 08:01:34
2010年部分省市中考数学试题分类汇编
压轴题(四)
23.(安徽省)如图,已知,相似比为k(k>1),且的三边长分别为a、b、c(a>b>c),的三边长分别为、、.
(1)若c=a1,求证:a=kc;
[证]
(2)若c=a1,试给出符合条件的一对,使得a、b、c和、、都是正整数,并加以说明;
[解]
(3)若b=a1,c=b1,是否存在使得k=2?请说明理由.
[解]
解:(1)证:,且相似比为
又 (3分)
(2)解:取 (8分)
此时且 (10分)
注:本题也是开放型的,只要给出的和符合要求就相应赋分.
(3)解:不存在这样的和.理由如下:
若则
又,
(12分)
,而
故不存在这样的和,使得 (14分)
注:本题不要求学生严格按反证法的证明格式推理,只要能说明在题设要求下的情况不可能即可.
24.(芜湖市 本小题满分14分)如图,在平面直角坐标系中放置一矩形ABCO,其顶点为A(0,1)、B(-3,1)、C(-3,0)、O(0,0).将此矩形沿着过E(-,1)、F(-3,0)的直线EF向右下方翻折,B、C的对应点分别为B′、C′.
(1)求折痕所在直线EF的解析式;
(2)一抛物线经过B、E、B′三点,求此二次函数解析式;
(3)能否在直线EF上求一点P,使得△PBC周长最小?如能,求出点P的坐标;若不能,说明理由.
解:
(2)设矩形沿直线向右下方翻折后,、的对应点为.
,
.
.
[此时需说明]. 6分
设二次函数解析式为:
抛物线经过、、.
得到解得
. 9分
(3)能,可以在直线上找到点,连接.
由于、在一条直线上,故的和最小,
由于为定长,所以满足周长最小. 10分
设直线的解析式为:
. 12分
. 14分
[注:对于以上各大题的不同解法,解答正确可参照评分!]
26.( 重庆市綦江县) 已知:抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的图象经过点B(12,0)和C(0,-6),对称轴为x=2.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)点D在线段AB上且AD=AC,若动点P从A出发沿线段AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动,同时另一动点Q以某一速度从C出发沿线段CB匀速运动,问是否存在某一时刻,使线段PQ被直线CD垂直平分?若存在,请求出此时的时间t(秒)和点Q的运动速度;若不存在,请说明理由;
(3)在(2)的结论下,直线x=1上是否存在点M,使△MPQ为等腰三角形?若存在,请求出所有点M的坐标;若不存在请说明理由.
解:方法一:∵抛物线过C(0,-6)
∴c=-6, 即y=ax2+bx-6
由 解得:a= ,b=-
∴该抛物线的解析式为y=x2-x-6 -----------------3分
方法二:∵A、B关于x=2对称
∴A(-8,0) 设y=a(x+8)(x-12)
C在抛物线上 ∴-6=a×8×(-12) 即a=
∴该抛物线的解析式为:y=x2-x-6 --------3分
(2)存在,设直线CD垂直平分PQ,
在Rt△AOC中,AC==10=AD
∴点D在对称轴上,连结DQ 显然∠PDC=∠QDC,-----------4分
由已知∠PDC=∠ACD
∴∠QDC=∠ACD ∴DQ∥AC -----------------------------5分
DB=AB-AD=20-10=10
∴DQ为△ABC的中位线 ∴DQ=AC=5 -----------------6分
AP=AD-PD=AD-DQ=10-5=5
∴t=5÷1=5(秒)
∴存在t=5(秒)时,线段PQ被直线CD垂直平分-----------7分
在Rt△BOC中, BC==6 ∴CQ=3
∴点Q的运动速度为每秒单位长度.------------------8分
(3)存在 过点Q作QH⊥x轴于H,则QH=3,PH=9
在Rt△PQH中,PQ==3 --------------------9分
①当MP=MQ,即M为顶点,
设直线CD的直线方程为:y=kx+b(k≠0),则:
解得:
∴y=3x-6
当x=1时,y=-3 ∴M1(1, -3) ------------------------10分
②当PQ为等腰△MPQ的腰时,且P为顶点.
设直线x=1上存在点M(1,y) ,由勾股定理得:
42+y2=90 即y=±
∴M2(1,) M3(1,-) -----------------------11分
③当PQ为等腰△MPQ的腰时,且Q为顶点.
过点Q作QE⊥y轴于E,交直线x=1于F,则F(1, -3)
设直线x=1存在点M(1,y), 由勾股定理得:
(y+3)2+52=90 即y=-3±
∴M4(1, -3+) M5((1, -3-) --------------------12分
综上所述:存在这样的五点:
M1(1, -3), M2(1,), M3(1,-), M4(1, -3+),
M5((1, -3-).
25.(山东省滨州市 本题满分l0分)
如图,四边形ABCD是菱形,点D的坐标是(0,),以点C为顶点的抛物线恰好经过轴上A、B两点.
(1)求A、B、C三点的坐标;
(2)求过A、B、C三点的抛物线的解析式;
(3)若将上述抛物线沿其对称轴向上平移后恰好过D点,求平移后抛物线的解析式,并指出平移了多少个单位?
解:①由抛物线的对称性可知AM=BM
在Rt△AOD和Rt△BMC中,
∵OD=MC,AD=BC,
∴△AOD≌△BMC.
∴OA=MB=MA.………………………………………l分
设菱形的边长为2m,
在Rt△AOD中,
解得m=1. http://www.czsx.com.cn
∴DC=2,OA=1,OB=3.
∴A、B、C三点的坐标分别为(1,0)、(3,0)、(2,)………………… 4分
②设抛物线的解析式为y=(—2)2+
代入A点坐标可得=—
抛物线的解析式为y=—(—2)2+……………………………………7分
③设抛物线的解析式为y=—(一2)2+k
代入D(0,)可得k=5
所以平移后的抛物线的解析式为y=—(一2)2+5…………………………9分
平移了5一=4个单位.…………………………………………………l0分
26.(山东省烟台市 本题满分14分)
如图,已知抛物线y=x2+bx-3a过点A(1,0),B(0,-3),与x轴交于另一点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若在第三象限的抛物线上存在点P,使△PBC为以点B为直角顶点的直角三角形,求点P的坐标;
(3)在(2)的条件下,在抛物线上是否存在一点Q,使以P,Q,B,C为顶点的四边形为直角梯形?若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
解:(1)把A(1,0),B(0,-3)代入y=x2+bx-3a中,得
1+b-3a=0
-3a=-3
a=1
解得
b=2
∴抛物线的解析式为
y=x2+2x-3………………………………………4分
(2)令y=0,得x2+2x-3=0,
解得x1=-3,x2=1
∴点C(-3,0)……………………………………………………5分∵B(0,-3)
∴△BOC为等腰直角三角形.
∴∠CBO=45°……………………………………………………6分过点P作PD⊥y轴,垂足为D,
∵PB⊥BC,∴∠PBD=45°∴PD=BD……………………………8分
所以可设点P(x,-3+x)
则有-3+x=x2+2x-3,∴x=-1,所以P点坐标为(-1,-4)………………………10分
(3)由(2)知,BC⊥BP
当BP为直角梯形一底时,由图象可知点Q不可能在抛物线上.
若BC为直角梯形一底,BP为直角梯形腰时,
∵B(0,-3),C(-3,0),
∴直线BC的解析式为y=-x-3…………………………11分
∵直线PQ∥BC,且P(-1,-4),
∴直线PQ的解析式为y=-(x+1)-3-1
即y=-x-5…………………………………………………12分
y=-x-5
联立方程组得
y=x2+2x-3
解得x1=-1,x2=-2…………………………………………………………………………13分
∴x=-2,y=-3,即点Q(-2,-3)
∴符合条件的点Q的坐标为(-2,-3)………………………………………………14分
28.(四川省成都市)在平面直角坐标系中,抛物线与轴交于两点(点在点的左侧),与轴交于点,点的坐标为,若将经过两点的直线沿轴向下平移3个单位后恰好经过原点,且抛物线的对称轴是直线.
(1)求直线及抛物线的函数表达式;
(2)如果P是线段上一点,设、的面积分别为、,且,求点P的坐标;
(3)设的半径为l,圆心在抛物线上运动,则在运动过程中是否存在与坐标轴相切的情况?若存在,求出圆心的坐标;若不存在,请说明理由.并探究:若设⊙Q的半径为,圆心在抛物线上运动,则当取何值时,⊙Q与两坐轴同时相切?
解:(1)∵沿轴向下平移3个单位后恰好经过原点,
∴,。
将 代入,得。解得。
∴直线AC的函数表达式为。
∵抛物线的对称轴是直线
∴解得
∴抛物线的函数表达式为。
(2)如图,过点B作BD⊥AC于点D。
∵,
∴
∴。
过点P作PE⊥x轴于点E,
∵PE∥CO,∴△APE∽△ACO,
∴,
∴
∴,解得
∴点P的坐标为
(3)(Ⅰ)假设⊙Q在运动过程中,存在与坐标轴相切的情况。
设点Q的坐标为。
① 当⊙Q与y轴相切时,有,即。
当时,得,∴
当时,得,∴
② 当⊙Q与x轴相切时,有,即
当时,得,即,解得,∴
当时,得,即,解得,∴,。
综上所述,存在符合条件的⊙Q,其圆心Q的坐标分别为,,,,。
(Ⅱ)设点Q的坐标为。
当⊙Q与两坐标轴同时相切时,有。
由,得,即,
∵△=
∴此方程无解。
由,得,即,
解得
∴当⊙Q的半径时,⊙Q与两坐标轴同时相切。
8.(四川省泸州市本题满分l2分)
已二次函数及一次函数.
(l)求该二次函数图象的顶点坐标以及它与轴的交点坐标;
(2)将该二次函数图象在轴下方的部分沿轴翻折到轴上方,图象的其余部分不变,得到一个新图象,请你在图10中画出这个新图象,并求出新图象与直线有三个不同公共点时的值:
(3)当时,函数的图象与轴有两个不同公共点,求的取值范围.
解:(1)二次函数图象的顶点坐标为,与轴的交点坐标为
(2)①当直线位于时,此时过点,
∴,即。
②当直线位于时,此时与函数的图象有一个公共点。
∴方程有一根,
∴,即
当时,满足,
由①②知,或。
(3)∵
∵当时,函数的图象与x轴有两个不同交点,
∴应同时满足下列三方面的条件:
①方程的判别式△=,
②抛物线的对称轴满足,
③当时,函数值,当时,函数值
即,解得。
∴当时,函数图象()的图象与轴有两个不同公共点.
26.(重庆市江津区)如图,抛物线与轴交于两点A(-1,0),B(1,0),与轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)过点B作BD∥CA与抛物线交于点D,求四边形ACBD的面积;
(3)在轴下方的抛物线上是否存在一点M,过M作MN⊥轴于点N,使以A、M、N为顶点的三角形与△BCD相似?若存在,则求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
解:(1)把A B代入得:
解得:
………………………………………………………………………3分
(2)令,得 ∴ ……………………………………………4分
∵OA=OB=OC= ∴BAC=ACO=BCO=ABC =
∵BD∥CA, ∴ABD=BAC
过点D作DE轴于E,则BDE为等腰直角三角形
令 ,则 ∴
∵点D在抛物线上 ∴
解得,(不合题意,舍去)
∴DE=
(说明:先求出直线BD的解析式,再用两个解析式联立求解得到点D的坐标也可)
∴四边形ACBD的面积=AB•OC +AB•DE
………………………………7分
(说明:也可直接求直角梯形ACBD的面积为4)
(3)存在这样的点M……………………………………………………………………8分
∵ABC=ABD= ∴DBC=
∵MN轴于点N, ∴ANM=DBC =
在Rt△BOC中,OB=OC= 有BC=
在Rt△DBE中,BE=DE= 有BD=
设M点的横坐标为,则M
①点M在轴左侧时,则
(ⅰ) 当AMN CDB时,有
∵
即 解得:(舍去)
则
(ⅱ) 当AMN DCB时,有
即 解得(舍去) (舍去)…………10分
② 点M在轴右侧时,则
(ⅰ) 当AMN DCB时,有
∵
∴
解得(舍去)
∴
(ⅱ) 当AMN CDB时,有
即 解得:(舍去)
∴
∴M点的坐标为…………………………12分
25.(黄冈市15分)已知抛物线顶点为C(1,1)且过原点O.过抛物线上一点P(x,y)向直线作垂线,垂足为M,连FM(如图).
(1)求字母a,b,c的值;
(2)在直线x=1上有一点,求以PM为底边的等腰三角形PFM的P点的坐标,并证明此时△PFM为正三角形;
(3)对抛物线上任意一点P,是否总存在一点N(1,t),使PM=PN恒成立,若存在请求出t值,若不存在请说明理由.
解:(1)a=-1,b=2,c=0
(2)过P作直线x=1的垂线,可求P的纵坐标为,横坐标为.此时,MP=MF=PF=1,故△MPF为正三角形.
(3)不存在.因为当t<,x<1时,PM与PN不可能相等,
同理,当t>,x>1时,PM与PN不可能相等.
26.( 湖南常德市)如图10,若四边形ABCD、四边形CFED都是正方形,显然图中有AG=CE,AG⊥CE.
(1)当正方形GFED绕D旋转到如图11的位置时,AG=CE是否成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.
(2)当正方形GFED绕D旋转到如图12的位置时,延长CE交AG于H,交AD于M.
①求证:AG⊥CH;
②当AD=4,DG=时,求CH的长。
解:(1)成立.
四边形、四边形是正方形,
∴ ……………1分
∠∠.
∴∠90°-∠∠. ……………2分
∴△△.
∴. ……………3分
(2)①类似(1)可得△△,
∴∠1=∠2 …………………4分
又∵∠=∠.
∴∠∠=.
即 …………………5分
② 解法一: 过作于,
由题意有,
∴,则∠1=. ………6分
而∠1=∠2,∴∠2==∠1=.
∴ ,即. …………………7分
在Rt中,==,………8分
而∽,∴, 即,
∴. …………………9分
再连接,显然有,
∴.
所求的长为. …………………10分
解法二:研究四边形ACDG的面积
过作于,
由题意有,
∴,. ………………8分
而以CD为底边的三角形CDG的高=PD=1,
,
∴4×1+4×4=×CH+4 ×1.
∴=. ………………10分
注:本题算法较多,请参照此标准给分.
25.(上海市)如图9,在Rt△ABC中,∠ACB=90°.半径为1的圆A与边AB相交于点D,与边AC相交于点E,连结DE并延长,与线段BC的延长线交于点P.
(1)当∠B=30°时,连结AP,若△AEP与△BDP相似,求CE的长;
(2)若CE=2,BD=BC,求∠BPD的正切值;
(3)若,设CE=x,△ABC的周长为y,求y关于x的函数关系式.
图9 图10(备用) 图11(备用)
解:(1)∵∠B=30°∠ACB=90°∴∠BAC=60°
∵AD=AE ∴∠AED=60°=∠CEP
∴∠EPC=30°
∴三角形BDP为等腰三角形
∵△AEP与△BDP相似
∴∠EAP=∠EPA=∠DBP=∠DPB=30°
∴AE=EP=1
∴在RT△ECP中,EC=EP=
(2)过点D作DQ⊥AC于点Q,且设AQ=a,BD=x
∵AE=1,EC=2
∴QC=3-a
∵∠ACB=90°
∴△ADQ与△ABC相似
∴
即,∴
∵在RT△ADQ中
∵
∴
解之得x=4,即BC=4
过点C作CF//DP
∴△ADE与△AFC相似,
∴,即AF=AC,即DF=EC=2,
∴BF=DF=2
∵△BFC与△BDP相似
∴,即:BC=CP=4
∴tan∠BPD=
(3)过D点作DQ⊥AC于点Q,则△DQE与△PCE相似,设AQ=a,则QE=1-a
∴且
∴
∵在Rt△ADQ中,据勾股定理得:
即:,解之得
∵△ADQ与△ABC相似
∴
∴
∴三角形ABC的周长
即:,其中x>0
22.(福州市 满分14分)
如图1,在平面直角坐标系中,点B在直线上,过点B作轴的垂线,垂足为A,OA=5。若抛物线过点O、A两点。
(1)求该抛物线的解析式;
(2)若A点关于直线的对称点为C,判断点C是否在该抛物线上,并说明理由;
(3)如图2,在(2)的条件下,⊙O1是以BC为直径的圆。过原点O作O1的切线OP,P为切点(P与点C不重合),抛物线上是否存在点Q,使得以PQ为直径的圆与O1相切?若存在,求出点Q的横坐标;若不存在,请说明理由。
解:(1)把、分别代入,
得 解得 …………3分
∴该抛物线的解析式为 ……………4分
(2)点在该抛物线上. ………………………5分
理由:过点作轴于点,连结,设与相交于点.
∵点在直线上, ∴
∵点、关于直线对称,
∴,,,,.
又∵轴,,由勾股定理得.
∵,∴, ∴.
∵,,∴.
又∵,∴∽.
∴360docimg_501_. ∴360docimg_502_,360docimg_503_.∴360docimg_504_. ……8分
当360docimg_505_时,360docimg_506_.
∴点360docimg_507_在抛物线360docimg_508_上. ………………9分
(3)抛物线上存在点360docimg_509_,使得以360docimg_510_为直径的圆与360docimg_511_相切.
过点360docimg_512_作360docimg_513_轴于点360docimg_514_;连结360docimg_515_;过点360docimg_516_作360docimg_517_轴于点360docimg_518_.
∴360docimg_519_∥360docimg_520_∥360docimg_521_.
∵360docimg_522_,360docimg_523_.点360docimg_524_是360docimg_525_的中点,
由平行线分线段成比例定理得,360docimg_526_
∴360docimg_527_,同理可得:360docimg_528_.
∴点360docimg_529_的坐标为360docimg_530_. ……………………10分
∵360docimg_531_,∴360docimg_532_为360docimg_533_的切线.
360docimg_534_又∵360docimg_535_为360docimg_536_的切线,∴360docimg_537_.
∴四边形360docimg_538_为正方形.∴360docimg_539_.
∴360docimg_540_.又∵360docimg_541_=360docimg_542_,
∴360docimg_543_≌360docimg_544_.
∴360docimg_545_,360docimg_546_.∴360docimg_547_.…………12分
设直线360docimg_548_的解析式为360docimg_549_
把360docimg_550_、360docimg_551_分别代入360docimg_552_,
得 360docimg_553_ 解得,360docimg_554_
∴直线360docimg_555_的解析式为360docimg_556_
若以360docimg_557_为直径的圆与360docimg_558_相切,则点360docimg_559_为直线360docimg_560_与抛物线的交点.
可设点360docimg_561_的坐标为360docimg_562_ ,则有360docimg_563_,360docimg_564_.
∴360docimg_565_.整理得360docimg_566_,
解得360docimg_567_.∴点360docimg_568_的横坐标为360docimg_569_或360docimg_570_.……14分
24.(日照市 本题满分10分)
如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O交AC与E,交BC与D.求证:
(1)D是BC的中点;
(2)△BEC∽△ADC;
(3)BC2=2AB·CE.
360docimg_571_
解:(1)证明:∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90° ,
360docimg_572_即AD是底边BC上的高. ………………………………………1分
又∵AB=AC,∴△ABC是等腰三角形,
∴D是BC的中点;………… ……………………………………………3分
(2) 证明:∵∠CBE与∠CAD是同弧所对的圆周角,
∴ ∠CBE=∠CAD.…………………………………………………5分
又∵ ∠BCE=∠ACD,
∴△BEC∽△ADC;…………………………………………………6分
(3)证明:由△BEC∽△ADC,知360docimg_573_,
即CD·BC=AC·CE. …………………………………………………8分
∵D是BC的中点,∴CD=360docimg_574_BC.
又 ∵AB=AC,∴CD·BC=AC·CE=360docimg_575_BC ·BC=AB·CE
即BC360docimg_576_=2AB·CE.……………………………………………………10分
27.(四川省凉山州)已知:抛物线360docimg_577_,顶点C(1,-4),与x轴交于A、B两点,A(-1,0).
(1)求这条抛物线的解析式;
(2)如图,以AB为直径作圆,与抛物线交于点D,与抛物线的对称轴交于
360docimg_578_E,依次连接A、D、B、E,点Q为AB上一个动点(Q与A、B两点不重合),过点Q作QF⊥AE于F,QG⊥DB于G,请判断 是否为定值,若是,请求出此定值,若不是,请说明理由;
(3)在(2)的条件下,若点H是线段EQ上一点,过点H作MN⊥EQ,
MN分别与边AE、BE相交于M、N(M与A、E不重合,N与E、B不重合),
360docimg_579_请判断 是否成立,若成立,请给出证明,若不成立,请说明理由.
360docimg_580_
解:(1)设抛物线解析式为360docimg_581_ ………………1分
将A(-1,0)带入360docimg_582_
得360docimg_583_ ……………………………………………2分
∴360docimg_584_
360docimg_585_即360docimg_586_……………………………………3分
(2) 是定值1…………………………………4分
∵AB是直径
∴∠AEB=90°
∵QF⊥AE
∴QF∥BE
∴360docimg_587_
360docimg_588_ 同理可得 ………………………………5分
∴360docimg_589_
360docimg_590_ ∴ 为固定值1.…………………………6分
360docimg_591_ (3) 成立……………………………………7分
∵直线EC为抛物线对称轴
∴EC垂直平分AB
∴AE=EB
∴∠FAQ=45°
∴AF=FQ…………………………………………8分
∵QF∥BE
360docimg_592_∴
∴360docimg_593_ ………………………………………9分
∵MN⊥EQ
∴∠QEF=∠MNE
又∵∠QFE=∠MEN=90°
∴△QEF≌△MNE
360docimg_594_∴ ……………………………………10分
360docimg_595_
360docimg_596_ ∴ ……………………………………11分