2017结婚迁户口流程:数学思想方法的源头

一、《几何原本》思想方法的体例及特点

《几何原本》共有十三篇，第一篇到第四篇是关于平面几何一一直线形和圆的理论，第五篇是比例论，第六篇讲平面相似形，第七、八、九篇则阐述算术(数论)，第十篇是关于“不可通约量”的理论，第十一、十二、十三篇是关于立体几何的理论和“穷竭法”。从内容上来看，可以说，包括了当时希腊数学各个方面的成就。《几何原本》思想方法上的特点，可以表述如下。

（1）封闭的演绎体系

《几何原本》就是一个最早的标准的演绎体系：由少数不定义的概念，如点售线、平面等等，和不证明的命题——公理与公设——出发，在需要的地方，定义出相应的概念，按着一定的逻辑规则，演绎出所有其他命题来。在《几何原本》的演绎体系中，公理是最一般的命题，它们是一系列演绎推理的前提，这个体系的所有其他命题，都是从公理(通过适当的定义)推导出来的。除了推导所需要的逻辑规则外，《几何原本》的由一系列公理、定义、定理等构成的数学理论体系，原则上不必依赖于其他东西。当然，在实际上，《几何原本》在某些地方背离了这个原则：证明某些命题时运用了公理和逻辑规则之外的“直观”。但是，那只是个别的地方，并不影响体系的大局；而且，正是作为《几何原本》的“缺陷”而受到了人们的指责的，后来的人们按欧几里得的原意，不断地在体系中排除直观，得到更严格 的数学理论体系，其指导思想正是由《几何原本》开始的。由于《几何原本》的这种思想原则和结构方式，从实质上说，《几何原本》是一个比较完整的、相对封闭的数学理论体系。

（2）抽象化的内容

《几何原本》以及以它为代表的古希腊数学著述，都是论述一般的、抽象的数学概念和命题的，它们探讨的只是概念和命题的各种逻辑关系，由一些给定了的概念和命题推演出另一些概念和命题。它不考虑产生这些概念和命题的社会背景，也不研究这些数学“模型”所由之产生的那些现实原型。比如在《几何原本》中研究了“所有的”矩形(即抽象的“矩形”概念)的性质，但却不研究任何一个具体的矩形的实物的大小。又如在《几何原本》中，研究数的若干性质，但却一点也不涉及具体的数的计算和应用。它用线段表示数，即一般的、抽象的数，用演绎推理研究其性质。它排斥各种理论的实际应用，重视抽象理论、鄙视具体运用是《几何原本》的基本倾向。

（3）公理化的方法

作为现代数学的一种基本的表述方法和发展方式的公理法就是以欧几里得的《几何原本》开其端的。它采用了前面我们说的比较严格的演绎体系——通常称为公理体系，而建立公理体系的方法就称为公理方法。欧几里得的公理法对后世影响极大，《几何原本》作为公理法的典范对数学以及科学的发展起了很大的作用。现代数学和各门科学中的公理法正是由《几何原本》的公理法发展出来的。

作为现代数学的一种基本的表述方法和发展方式的公理法就是以欧几里得的《几何原本》开其端的。它采用了前面我们说的比较严格的演绎体系——通常称为公理体系，而建立公理体系的方法就称为公理方法。

《几何原本》13篇，共给出475个(有的版本是477个)命题，其中10个作为公理(原书分为5个“公理”，5个“公设”——公理是指在“所有”科学中都适用的而公设则仅适用于“几何学”，现代人们不加区别，一概称为公理)，其余465个命题都是由这些公理及有关概念的定义演绎推导出来的。在每一篇的开头都先给出本篇中所需要的概念的定义，共给出119个定义。其中除了“点”、“线”、“面”等应看作不定义的概念以及个别定义不确外，基本上都是符合逻辑上对定义的要求的。

从结构上来看，在第一篇开头给出了10个公理，这是对全书都有效的，然后给出23个定义，定义之后开始逐一引入和证明定理。定理的引入是有序的，因为在一个定理的证明中，允许采用的论据只有公理和前面已经证过的定理。以后各篇除了不再给出公理外也都照此办理，全书来看也符合这种有序性：后面各篇中可以利用前面各篇中的定义和定理作为证明的依据。除了个别定理的证明不够严格，例如利用了图形的直观等，还有个别证错的以外，

大部分证明从今天的观点来看也是正确的。

欧几里得的公理法对后世影响极大，《几何原本》作为公理法的典范对数学以及科学的发展起了很大的作用。现代数学和各门科学中的公理法正是由《几何原本》的公理法发展出来的。

二 《几何原本》的思想方法源远流长

《几何原本》可以说是古希腊数学思想的集中表现，它把古希腊数学的特点，数学思想方法的特点发扬光大了。考察古希腊数学思想的来源，则要追溯到古希腊人进入文明的自然历史条件。

希腊文明是一个海上文明，希腊半岛被海湾地峡和高山分隔为彼此几乎隔绝的小区域，又有爱琴海上和爱奥尼亚海上希腊两边诸岛屿，把希腊半岛和小亚细亚)意大利连接起来。当船在海上航行时，前后都有肉眼可以望得见的岛屿，能够指示航程，这种条件几乎是世界上任何其他地区都不具备的。希腊海上文明以向海外移民的方式进行发展，移民点首先形成城邦国家，海外贸易成为极其重要的经济活动。

正是希腊奴隶制国家的这种独特的城邦制度决定了古希腊文化以及数学的特点。

在古希腊的社会生活中，需要应用数学来解决的问题，当然包括办理事务、商业贸易、以及最基本的社会生产实践——农业、手工业—一等方面的问题。对于利用数学来解决这些问题，—方面在古埃及数学，巴比伦数学中已小有基础，稍加改变就可以应用；另一方面由于古希腊城邦制度，大量使用奴隶劳动，而同时，古希腊的手工业和商业都是私人的事业，因而实际上在颇大的程度上，它们也是由奴隶(管家)具体经营的，奴隶可以采用古代东方传来的数学解决这些问题。在奴隶社会中，奴隶主阶级是不会从事奴隶所做之事的，这就使得作为奴隶主阶级中人的古希腊数学家所创立的数学体系中不包含实际应用数学的内容。古希腊数学家十分鄙视“应用”数学，这也是一个重要的原因。

那么当时的社会实践向数学家(他们都是哲学家)提出了什么问题呢？提出了在政治生活中怎样提高辩论技巧的问题。由于古希腊的城邦制度，奴隶主阶级成员都享有广泛的民主，“民主生活又使得议事会、陪审法庭和公民大会成为说话的艺术即雄辩术的广阔的用武之地，雄辩术可以使一个普通公民成为民众的领袖。” 辩论术成为希腊哲学家(他们也是数学家)所努力研究的对象，而数学是辩论术的有力工具。不过辩论术需要的数学和农业、手工

业及商业中需要的数学是不一样的。用数学作为辩论术的工具就要强调数学概念的准确性、逻辑推理的严谨性、发展数学证明的技巧和方法等等。实际上，古希腊的逻辑学就是与数学有关地发展起来的。

古希腊社会生活中的实践需要，促使了数学演绎方法的发展，促进了形式逻辑的发展，这种家展反过来又作用于数学，在一定程度上左右了数学发展的方向，于是逐渐发展了公理化的方法，强调抽象化的理论，形成了封闭的演绎体系。当然，这个体系的形成是一个较长的历史过程。

古希腊的泰勒斯(Thales，约公元前624—547年)首先开始采用数学证明的方法，他是公认的希腊哲学的鼻祖。泰勒斯早年是一个商人，曾游访巴比伦、埃及等地，学到了古代的知识。后来开始从自然现象中去寻找真理，创立了伊奥尼亚学派。据说，泰勒斯曾测量过埃及金字塔的高度，还预言过公元前585年5月28日发生的一次日蚀。他的最大的贡献则是开始采用证明方法，它标志着希腊人的数学走上了抽象化发展的道路。

稍后，有毕达哥拉斯(Pythagoras，约公元前580—500年，希腊)及其学派的数学工作。他们企图用数来解释一切，不仅仅认为万物都包含数，而且说万物都是数。毕达哥拉斯发现了勾股定理，可能他学派中的成员还给出了证明(西方称为毕达哥拉斯定理)，并且由此导致不可通约量的发现。他们还找到用三个正整数表示直角三角形三边长的一种公式，发现了五种正多面体。在毕达哥拉斯学派那里，数学完全离开了人们的实际应用(泰勒斯还把数学应用于实际问题)成为一门抽象的科学。

公元前5世纪，雅典出现了智人学派，他们把数学与雄辩术、文法、逻辑、天文等结合起来探讨。他们在数学上研究的中心问题是尺规作图的三大问题：1．三等分任意角；2．倍立方—一求作一个立方体，使其体积是一已知立方体的二倍；3．化圆为方——求作一正方形，使其面积等于一已知圆。这三个问题当时并没有解决，但对它的研究促进了数学的抽象化发展，实际上，“智人”们探讨作图问题的兴趣并不在于图形的实际作出，而是在尺规的限制下从理论上去解决这些问题，这是数学从实际应用向理论研究过渡的一个重要的步骤。尺规作图的研究为公理的形成奠定了基础——关于尺规作图的规定与后来欧几里得《几何原本》中的若干公理是一致的。

爱利亚(E1ea，意大利半岛南端)学派的巴门尼德(Parmenides，约公元前6世纪末一公元前5世纪中叶以后，希腊)第一个采用了反证法，反证法的采用使得人们得到某种抽象的思想事物的“存在”性，从而实现了认识中从个别到一般的转化，对数学理论的发展具有重大的意义。这一个学派的芝诺(Zeno，约公元前49—43年，希腊)在证明中使用了归谬法，而且他提出的四个悖论(二分悖论，追龟悖论、飞箭不动、运动场悖论)对逻辑的发展也起了巨大的推动作用。

雅典学派的柏拉图(Phton，约公元前427—347年，希腊)非常重视数学，论述了许多论证方法、定义方法及一些逻辑规律，他最先要求数学定义要准确，假设要清楚并提出证明的某些逻辑要求。柏拉图的学生亚里士多德(Aristotcles，公元前384—322，希腊)对古希腊数学体系的形成作出了重大贡献。首先，他给出西方第一个逻辑系统；他对各种逻辑规律，例如矛盾律、排中律、同一律都作了论述，指出它们在逻辑证明中的重要意义；他发展了三段论法这种演绎推理的基本方法，实际上，他的三段论体系就是一个初级的公理体系，明显的表现出公理化的倾向；他论述了一个体系内不定义的概念和不证明的公理存在的必要性，并在实际上给出后来欧几里得所采用的某些公理。亚里士多德奠定了古希腊数学的、逻辑基础，欧几里得正是在这个基础上完成了自己的体系的。

《几何原本》的公理化方法是一种严格的演绎推理方法，每一步推理都要求有根据，这种严格性本身就不能接受“无限”的观念。这也是古希腊数学思想的一个传统，亚里士多德就不承认“实无限”——实际上的、真实存在的完成了的无限——的存在，他认为只有“潜无限”——一种潜在的、不断继续的、不能完成的过程——概念。《几何原本》继承了这种思想并以一种数学体系来表达出这一点。但不承认“实无限”与数学本身是有矛盾的，例如巴门尼德的存在性证明，芝诺的归谬法，都是《几何原本》中采用的有效论证方法，但它们实际上是依赖于“实无限”的观念的——只有承认无限集合是一个完成了的“存在”，才能对其使用排中律，这是反证法的依据。此外，“不可通约”量的“存在”也就是实无限的存在，在古希腊数学发展之初，就由于发现不可通约量而引起了一场“危机”，这实际就是这种矛盾的——种表现。对这个矛盾，《几何原本》采取了回避的办法，例如一条直线的延长可能，不说成可以“无限”延长，而说成可以“任意”延长；第五公设的表述方式最能体现这一点：不采用过直线外一点只能引该直线的一条平行线这一命题，而采用“如果一直线和两直线相交，所构成的两个同侧内角之和小于两直角，那么，把这两直线延长，它们一定在那两内角所在的一侧相交”这种说法，回避了检验平行的无限延长问题。但回避并不等于不存在矛盾，《几何原本》的—些缺点，例如有的地方过于依赖直观没有引入相应公理夕在很大程度上也与这种“回避”有关，因为例如连续性也是依赖于“实无限”观。

《几何原本》是古希腊数学由泰勒斯和毕达哥拉斯开其端的传统发展的产物，可以说是古希腊数学的最高成就。它开拓了数学思想发展的一个取之不竭的源泉，对人类文化的发展做出了重大的贡献。但它本身，随着希腊文明的兴衰，却有着一段曲折的经历。

公元前4世纪，由于马其顿人征服了希腊，希腊文化得以传到地中海沿岸的广大地区，特别是埃及的亚历山大成为学术的中心，希腊本土反而退居次要地位。公元前146年，罗马人灭亡希腊，并主宰了地中海沿岸地区，亚历山大的希腊学者仍能继承前人的工作，数学上有所建树。在当时的社会急剧变化的情况下，数学也有了多方面的发展，如数论、大地测量、算术等，而欧几里得《几何原本》提供的体系上、思想方法上的范例仍然是一条主线。

公元325年，罗马帝国君土坦丁大帝开始利用宗教作为统治工具，把一切学术都置于基督教神学的控制之下。529年，东罗马 帝国皇帝查土丁尼下令关闭雅典的柏拉图学园以及其他学校，严禁传授数学。许多学者逃到叙利亚和波斯等地。希腊数学受到沉重的打击。641年，亚历山大被阿拉伯人占领，图书馆被毁，古希腊数学至此中断。

这时的欧洲，已进入中世纪的“黑暗时代”，数学受到了冷遇，《几何原本》也无人问津了。