电影先生365网站:小学五年级奥数专题讲座27:逻辑问题（一）

小学五年级奥数专题讲座27:逻辑问题（一）

小升初数学广角

第27讲 逻辑问题（一）

　　四年级已经学习过用列表法和假设法解答逻辑推理问题。从广义上说，任何一道数学题，任何一个思维过程，都需要逻辑分析、判断和推理。我们这里所说的逻辑问题，是指那些主要不是通过计算，而是通过逻辑分析、判断和推理，得出正确结论的问题。

　　逻辑推理必须遵守四条基本规律：

　　（1）同一律。在同一推理过程中，每个概念的含义，每个判断都应从始至终保持一致，不能改变。

　　（2）矛盾律。在同一推理过程中，对同一对象的两个互相矛盾的判断，至少有一个是错误的。例如，“这个数大于8”和“这个数小于5”是两个互相矛盾的判断，其中至少有一个是错的，甚至两个都是错的。

　　（3）排中律。在同一推理过程中，对同一对象的两个恰好相反的判断必有一个是对的，它们不能同时都错。例如“这个数大于8”和“这个数不大于8”是两个恰好相反的判断，其中必有一个是对的，一个是错的。

　　（4）理由充足律。在一个推理过程中，要确认某一判断是对的或不对的，必须有充足的理由。

　　我们在日常生活和学习中，在思考、分析问题时，都自觉或不自觉地使用着上面的规则，只是没有加以总结。例如假设法，根据假设推出与已知条件矛盾，从而否定假设，就是利用了矛盾律。在列表法中，对同一事件“√”与“×”只有一个成立，就是利用了排中律。

　　例1 张聪、王仁、陈来三位老师担任五（2）班的语文、数学、英语、音乐、美术、体育六门课的教学，每人教两门。现知道：

　　（1）英语老师和数学老师是邻居；

　　（2）王仁年纪最小；

　　（3）张聪喜欢和体育老师、数学老师来往；

　　（4）体育老师比语文老师年龄大；

　　（5）王仁、语文老师、音乐老师三人经常一起做操。

　　请判断各人分别教的是哪两门课程。

　　分析与解：题中给出的已知条件较复杂，我们用列表法求解。先设计出右图的表格，表内用“√”表示肯定，用“×”表示否定。因为题目说“每人教两门”，所以每一横行都应有2个“√”；因为每门课只有一人教，所以每一竖列都只有1个“√”，其余均为“×”。

　　

　　由（3）知，张聪不是体育、数学老师；由（5）知，王仁不是语文、音乐老师；由（2）（4）知，王仁不是体育老师，推知陈来是体育老师。至此，得到左下表。

　　　　　

　　由（3）知，体育老师与数学老师不是一个人，即陈来不是数学老师，推知王仁是数学老师；由（1）知，数学老师王仁不是英语老师，推知王仁是美术老师。至此，得到右上表。

　　由（4）知，体育老师陈来与语文老师不是一个人，即陈来不是语文老师，推知张聪是语文老师；由（5）知，语文老师张聪不是音乐老师，推知陈来是音乐老师；最后得到张聪是英语老师，见下表。

　　

　　所以，张聪教语文、英语，王仁教数学、美术，陈来教音乐、体育。

　　以上推理过程中，除充分利用已知条件外，还将前面已经推出的正确结果作为后面推理的已知条件，充分加以利用。另外，还充分利用了表格中每行只有两个“√”，每列只有一个“√”，其余都是“×”这个隐含条件。

　　例1的推理方法是不断排斥不可能的情况，选取符合条件的结论，这种方法叫做排他法。

　　例2 小明、小芳、小花各爱好游泳、羽毛球、乒乓球中的一项，并分别在一小、二小、三小中的一所小学上学。现知道：

　　（1）小明不在一小；

　　（2）小芳不在二小；

　　（3）爱好乒乓球的不在三小；

　　（4）爱好游泳的在一小；

　　（5）爱好游泳的不是小芳。

　　问：三人上各爱好什么运动？各上哪所小学？

　　分析与解：这道题比例1复杂，因为要判断人、学校和爱好三个内容。与四年级第26讲例4类似，先将题目条件中给出的关系用下面的表1、表2、表3表示：

　　

　　因为各表中，每行每列只能有一个“√”，所以表3可补全为表4。

　　

　　由表4、表2知道，爱好游泳的在一小，小芳不爱游泳，所以小芳不在一小。于是可将表1补全为表5。对照表5和表4，得到：小明在二小上学，爱好打乒乓球；小芳在三小上学，爱好打羽毛球；小花在一小上学，爱好游泳。

　　例1、例2用列表法求解。下面，我们用分析推理的方法解例3、例4。

　　例3小说《镜花缘》中有一段林之祥与多久公飘洋过海的故事。有一天他们来到了“两面国”，却忘记了这一天是星期几。迎面见了“两面国”里的牛头和马面。他们知道，牛头在星期一、二、三说假话，在星期四、五、六、日说真话；马面在星期四、五、六说假话，在星期一、二、三、日说真话。牛头说：“昨天是我说假话的日子。”马面说：“真巧，昨天也是我说假话的日子。”

　　请判断这一天是星期几。

　　分析与解：因为牛头、马面只有星期日都说真话，其它时间总是一个说真话，另一个说假话，所以这一天不是星期日，否则星期六都说假话，与题意不符。

　　由题意知，这一天说真话的，前一天必说假话；这一天说假话的，前一天必说真话。推知这一天同时是牛头、马面说假话与说真话转换的日子。因为星期二、三、五、六都不是说假话与说真话转换的日子，所以这一天不是星期二、三、五、六；星期一是牛头由说真话变为说假话的日子，但不是马面由说假话变为说真话的日子，所以这一天也不是星期一；星期四是牛头由说假话变为说真话的日子，也是马面由说真话变为说假话的日子，所以这天是星期四。

　　例4 A，B，C，D四个同学中有两个同学在假日为街道做好事，班主任把这四人找来了解情况，四人分别回答如下。

　　A：“C，D两人中有人做了好事。”

　　B：“C做了好事，我没做。”

　　C：“A，D中只有一人做了好事。”

　　D：“B说的是事实。”

　　最后通过仔细分析调查，发现四人中有两人说的是事实，另两人说的与事实有出入。到底是谁做了好事？

　　分析与解：我们用假设法来解决。题目说四人中有两人说的是事实，另两人说的与事实有出入。注意，此处的“与事实有出入”表示不完全与事实相符，比如，当B，C都做了好事，或B，C都没做好事，或B做了好事而C没做好事时，B说的话都与事实有出入。

　　因为B与D说的是一样的，所以只有两种可能，要么B与D正确，A与C错；要么B与D错，A与C正确。（1）假设B与D说的话正确。这时C做了好事，A说C，D两人中有人做了好事，A说的话也正确，这与题目条件只有“两人说的是事实”相矛盾。所以假设不对。

　　（2）假设A与C说的话正确。那么做好事的是A与C，或B与D，或C与D。若做好事的是A与C，或C与D，则B说的话也正确，与题意不符；若做好事的是B与D，则B说的话与事实不符，符合题意。

　　综上所述，做好事的是B与D。 

 

练习27

　　1.A，B，C，D，E五个好朋友曾在一张圆桌上讨论过一个复杂的问题。今天他们又聚在了一起，回忆当时的情景。

　　A说：“我坐在B的旁边。”

　　B说：“坐在我左边的不是C就是D。”

　　C说：“我挨着D。”

　　D说：“C坐在B的右边。”

　　实际上他们都记错了。你能说出当时他们是怎样坐的吗？没有发言的E的左边是谁？

　　2.从A，B，C，D，E，F六种产品中挑选出部分产品去参加博览会。根据挑选规则，参展产品满足下列要求：

　　（1）A，B两种产品中至少选一种；

　　（2）A，D两种产品不能同时入选；

　　（3）A，E，F三种产品中要选两种；

　　（4）B，C两种产品都入选或都不能入选；

　　（5）C，D两种产品中选一种；

　　（6）若D种产品不入选，则E种也不能入选。

　　问：哪几种产品被选中参展？

　　3.三户人家每家有一个孩子，分别是小平（女）、小红（女）和小虎（男），孩子的爸爸是老王、老张和老陈，妈妈是刘英、李玲和方丽。

　　（1）老王和李玲的孩子都参加了少年女子体操队；

　　（2）老张的女儿不是小红；

　　（3）老陈和方丽不是一家人。

　　请你将三户人家区分开。

　　4.甲、乙、丙三人，他们的籍贯分别是辽宁、广西、山东，他们的职业分别是教师、工人、演员。已知：

　　（1）甲不是辽宁人，乙不是广西人；

　　（2）辽宁人不是演员，广西人是教师；

　　（3）乙不是工人。

　　求这三人各自的籍贯和职业。

　　5.甲说：“乙和丙都说谎。”乙说：“甲和丙都说谎。”丙说：“甲和乙都说谎。”根据三人所说，你判断一下，下面的结论哪一个正确：

　　（1）三人都说谎；

　　（2）三人都不说谎；

　　（3）三人中只有一人说谎；

　　（4）三人中只有一人不说谎。

　　6.五号楼住着四个女孩和两个男孩，他们的年龄各不相同，最大的10岁，最小的4岁，最大的女孩比最小的男孩大4岁，最大的男孩比最小的女孩也大4岁，求最大的男孩的岁数。