武警云南总队队歌:有效利用数学课堂学习中的错误

    一、问题的提出
    在课堂教学中，教师反复强调的地方，学生还是会重复犯错。教学经验丰富的教师，在教学预设的过程中，对学生可能出现的种种错误和易错点作了充分的估计，但他们在课上更想做的是避免学生犯某些错误，以确保课堂教学的顺畅。这样的做法是否正确呢，在课堂教学中，教师是应该尽量避免学生犯错，还是应该让学生充分暴露出他们的错误，有效利用学生的错误呢？
    教育心理学中的很多观点给了我们答案。认知心理学派认为：错误是学习的必然产物，学生的知识背景、思维方式、情感体验、表达形式往往和成人截然不同，他们在学习过程中出现各种各样的错误是十分正常的。
    建构主义的观点认为，学生在数学课堂教学中出现错误是不可避免的，出现错误是学生学习数学的一个必不可少的环节。那么，对待学生的错误，教师应该持有合理的和科学的错误观(Labinowicz, 1985)。因此我们应该重视教师对待学生错误的方式。[1]
    心理学家盖耶认为：“谁不考虑尝试错误，不允许学生犯错误，就将错过最富成效的学习时刻。”教师要以一颗“宽容心”去对待学生在学习中出现的错误，有效利用学生所犯的数学错误，让学生正确对待自己的错误，从纠错中不断完善自身的知识结构。[2]
    从以上理论我们可以看出，出现错误是学生学习数学的一个必经阶段，教师应该做的不是避免学生出错，而是如何恰当的对待学生的错误，使学生出现的错误成为宝贵的课堂教学资源。
    二、概念界定
    何为错误呢？在哲学领域中将错误定义为主体与客体规律不相一致的认识或者实践。对于错误，《辞海》上的解释是“过错，不正确”，因此我们看出，错误是相对于“正确”这个概念而言的。所谓正确，是指“符合实际或客观标准”。而对“符合实际或客观标准”则有着不同的理解。[3]
    数学学习错误指教师在教学中和学生在学习过程中，反映在各方面，出现违反教学结论或数学方法的现象。[4]
    鉴于数学学习错误的范围较广，因此本文中笔者将重点定位于学生在数学课堂上所出现的错误。通过一段时间的课堂观察，分析了课堂上教师对待学生错误的方式，提出了自己的教学建议。
    三、教师对待学生错误的方式
    通过有目的的课堂观察，发现课堂上教师对待学生的错误，有以下几种可取的做法。
    案例1：教师要通过学生所犯错误反思自己的教学
    有一次听一位老师讲授圆周角，她在引入时间学生：“如图，假如AB代表球门，你会选择从C处射门还是从D处射门。”她的本意是让学生思考∠ACB和∠ADB哪个角大，就从哪个角射门，从而引出本节课的课题圆周角，以及比较圆周角和圆内其余角的大小。有的学生的答案是从两处射门都可以，因为这两点到球门的距离相等。还有的学生说会从C处射门容易，因为从D处射门守门员将更好防守。学生的这些答案让老师不知所措，她只好说学生错误理解了她的意思，应该是从哪里射门的角度更大就从哪里射门。
    
    通过这一案例我们不难发现，学生的回答并不是完全没有道理的。只是那些都不是老师想要的答案。因此我们必须首先意识到，课堂上的这些问题不能完全归咎于是学生的错误，并不是和老师的答案不一致的就一定是错误的。教师应该通过此类错误首先反思自己的教学，学生们为什么会答出“错误”的答案，而这些答案又具有一定的道理。本节课的引入教师设计得很好，从学生感兴趣的实际问题出发，引出圆周角的定义，还可以在后面引出同弧所对的圆周角相等后，再回到此题，通过比较同弧所对的圆周角和∠ADB的大小，回答引入时提出的问题。最终使本节课前后呼应，课堂引入留有悬念，发人深省。但学生们并不知道本节课要学习的内容，不会想到要比较两个角的大小是很正常的。再加上老师的提问不够严谨、准确，导致学生错误理解了老师的意思，使本节课引入的设计黯然失色。因此当学生出现错误时，教师要首先反思自己，在自己身上查找原因。可能是教师的提问不够准确，也可能是教师对某些知识确实没有讲清楚或强调的不够。
    案例2：引导学生出错，加深其印象
    在新人教版七年级下册数学教材《第六章平面直角坐标系》中，有一类题目学生经常容易出错。已知点P(n,-3)、点Q(5,m)，直线PQ平行y轴，求m、n的值。以往的学生大多数会认为n=5，m为任意实数。因此在讲授平行于坐标轴的直线上的点的特点时，我并没有直接告诉学生结论，而是想办法引导学生出错，并让他们自己改错，加深其印象。在授课时，我先让学生在平面直角坐标系中描出点(5,-3)、(2,-3)、(-1,-3)、(0,-3)、(3.7,-3)，后让学生观察这些点有什么特点，学生能发现他们都在一条平行于x轴的直线上。接着我会问他们平行于x轴的直线上的点有什么特点，学生回答这些点的纵坐标相同。总结了平行于坐标轴的点的特点后，我出示此题，这样有很多学生都掉进了“陷阱”。当我告诉他们答案错误时，全班同学都十分惊讶。我试着让他们举个反例，再提示他们这是“两个”点所在的直线平行于坐标轴。有的学生便意识到此题中还要求m≠-3，这样很多学生恍然大悟。我进一步追问如果两个点所在的直线平行于x轴，那么这两个点的坐标有什么特点？有的学生提到他们的纵坐标相同。马上有同学补充到不但纵坐标相同，还要求横坐标不同，否则就成同一个点了。这时我准备往后讲，还有一个学生在举手，他的回答给了我很大的启发，他说不仅要求纵坐标相同，横坐标不同，而且还要求纵坐标不为零，因为如果纵坐标为0，两点就在x轴上了，而不是平行于x轴。我万万没有想到学生会将平行于坐标轴的两点的特点补充的如此精确。
    教育心理学中提到，使学生产生认知冲突是激发学生学习兴趣的一个很好的教学策略。认知冲突是指学生的原有认知结构与所学新知识之间无法包容的矛盾。当学生得到某些不一致的结论时，他们会有进一步探索完善的欲望[1]。因此教师可根据学生的这些心理特点，先引导学生“出错”，激发学生的学习兴趣，这样将有助于学生进一步探究、完善所学知识，自己总结学习方法。
    案例3：宽容对待学生的错误，分析其合理成分
    在学习勾股定理时有一类题：已知直角三角形的两边长分别是3和4，那么第三边的长是多少？学生经常容易出错，他们会认为是5。教师在听到学生的这类错误时往往都很气愤，尤其是当学生在这个知识点上重复犯错时。但认真分析便可发现，学生犯此类错误是有原因的，因为他们从小学就知道勾3股4弦为5，而上中学3、4、5又是最常见的勾股数，所以他们一看到3和4就自然会想到第三边是5。在数学中有很多学生所犯的错误都揭示了，学生的错误是有一定的合理成分的。有的是学生已有知识的一种负迁移，如很多学生认为，其中有些学生是受所学乘法分配律的影响。有的是因为学生没有认识到定理、结论等成立的条件，如有的学生会根据推出x=5，而忽视了等式性质中两边除以的数不能为0这一前提条件。由此看出，教师不能忽视学生的错误，要分析学生产生错误的原因，这样可以使学生认识到自己的错误原因所在，避免其重复犯错。
    四、研究结论与教学建议
    1.研究结论
    通过有意识的观察课堂上，学生出现的错误，分析学生错误产生的原因，以及教师对待学生错误的方式，我们可以得出以下结论：
    (1)大多数教师接受“课堂上学生会犯错误”这一事实。
    教师意识到出错是学生学习知识的一个必经阶段，因此大多数教师对待学生的错误比较理智。
    (2)找到学生错误产生的原因是帮助学生改错的关键，也是避免学生重复犯同一错误的根源所在。
    (3)教师对学生错误的归因不够合理。
    首先少数教师会分析学生错误的合理成分。其次大多数教师将学生的错误归因于学生本身，或知识，而少数教师认识到教师的水平，特别是教师的知识水平其实也是导致学生出错的重要原因。有研究结果表明，一部分教师自身在知识的掌握上也存在着一些问题。如吴丽华、王艳梅[5]调查显示20%的教师在较高观点下理解教材内容有困难；29%的教师认为掌握新大纲和教材的内容、设计提问、讲概念、揭示规律上有困难；5%的教师基本上不了解有关的数学史知识；39%的教师感觉到需要拓宽和加深学科知识。
    (4)大多数教师非常重视对学生错误的纠正，但纠正形式欠佳。
    很多教师纠正学生错误的形式是教师的直接纠正和其他同学的纠正，有很少一部分教师选择让学生自己纠正。
    2.教学建议
    (1)数学课堂上学生出现错误的原因与学生、知识、教师都可能有关系，因此教师应理智地对待学生的数学错误，不能单方面归咎于学生。要认真分析学生出错的原因，特别是要反思自己的教学，发挥自己的主观努力减少学生出错的可能性。
    (2)大多数教师不会无视学生的错误，但有相当一部分教师没有认真分析学生的出错原因，分析学生错误的合理成分。大部分教师在对待学生错误的方式上还不够完善。有一项对15名教师的研究结果如下：
    
    从表中可以看出当学生作业出现错题时，教师经常的做法是让学生自己改，或多做几道题。而教师的正确做法是首先分析学生错误产生的原因，帮助学生分析根源所在，教师要讲清学生的错误，纠正错误，以便其改正错误，减少此类错误的出现次数。
    (3)教师要让学生在改错的过程中处于主体地位，首先给学生显露错误的机会，其次给学生认识错误的机会，最后给学生自己改正错误的机会。
    (4)教师要对学生的错误进行适当的归纳、整理和总结，这样才能有效利用这些错误，使之服务于教学。