江西省区号:几何画板中高级教程

5.1用参数的迭代研究数列

5.1.1画数列的图像

例1：画   的图像

一、制作效果

如图：选择表格（或者选择图像迭代得到的点），然后按小键盘上的“＋”或者“－”，可以增加或减少点的个数。

二、思路分析

新建参数和函数后，计算出  和  ，然后依次选中它们绘制点，最后迭代参数n，计算机就会自动画出其余的点。因为这时构造数列的图像，一定要注意参数的初始值。

三、操作步骤

1、新建函数和参数，结果如下图

2、 计算函数值f（n+1）和参数值n+1，结果如上右图；3、 绘点（ n+1，f（n＋1））

4、 迭代：选中参数n，单击【变换】菜单→迭代，出现对话框，单击绘图区的计算值“n＋1＝1.00”，对话框中的“？”成为“n+1”。（注意绘图区此时的变化）单击对话框的“迭代”按钮。

四、拓展研究

1、 构造结果的附属品表格如不想要，选中它，可以删除掉。还可以在迭代时，单击迭代对话框的“结构” 按钮，出现下拉菜单，把“生成迭代数据表”的“√”去掉，就不会出现表格了

2、 编辑函数  ，如  （其中）可以得到任意您想要的数列的图像（不一定要求是等差数列，注意是“任意”）

3、 您还可以把这个课件作简单的修饰，如用圆的内部代替点，就是在操作步骤第三步绘制点后，再画一条线段，选中线段和点构造圆及圆内部，然后在迭代。调整线段的长短可以控制圆的大小。

例2：已知递推公式画数列的图像（以数列 ， 的图像为例）

一、制作效果

 如图：选中参数k，改变它的值，就可以改变点的多少，同时可以看到数列第k项的值（随着k值的变化而变化）。编辑函数可以得到不同递推数列的图像

二、思路分析

这里是用参数的计算值k－1控制迭代的次数，想一想为什么不用k的值来控制？数列的第k项，因为有第一项，只要迭代k－1次就行了。想一想为什么要选用参数n和  ？仅用参数n的迭代行吗？数列的第k项的值实际上是迭代点的“终点”的纵坐标的值。

三、操作步骤

1、 新建函数和参数，（注意，初始值）结果如下图：

2、 计算函数值和参数值，结果如上

3、 绘制点（  ）和（  ）（想一想为什么要绘制两点，试试绘一个点，迭代后情形会如何）。作一条线段并选中它和刚绘制的点做圆和圆的内部。调整线段的长，使圆适当大小。

4、 迭代依次选中“n”、“  ”和“k－1”，按住shift键，单击【变换】菜单→带参数的迭代，出现对话框（注意上面的提示文字），单击绘图区的“n＋1＝2”，“ ”后对话框变为下右图。单击按钮“迭代”

5、 构造数列第k项。选中迭代出来的点，单击菜单【变换】→终点。（这时终点可能看不见，但处于选中状态）单击【度量】→纵坐标，得到终点的纵坐标，将其标签改为“ ”

四、拓展研究

对于一阶的递推数列（  ，  ），依样画葫芦，应该没问题。但对两阶或两阶以上的，如 ， ， ，如何做，笔者目前不知道，欢迎您来http：//www.qiusir.com来讨论。

5.1.2数列的前n项和

对于数列已知通项，我们希望不知道求和公式，而求出它前n项的和。用电脑编程很容易实现，用几何画板也不难

例 数列的前n项和（以正奇数数列为例）

一、制作效果：

二、思路分析

实现前n项和，是因为类似编程的思想构造了加法器（ 、 ），从而实现迭代数字的累加，注意其初始值为零

三、        操作步骤

1、 新建函数和参数，（注意初始值的设定）结果如下：

2、 计算函数值和参数，结果如上：

3、 绘制点（   ），任画一条线段并选中它及所绘的点构造圆及内部

4、 迭代  依次选中“n”、“s”单击菜单【变换】→迭代，出现迭代对话框后，在依次单击绘图区的“ ”。最后单击迭代面板上的按钮“迭代”

5、 构造 选中迭代出来的点，单击菜单【变换】→终点。（这时终点可能看不见，但处于选中状态）单击【度量】→纵坐标，得到终点的纵坐标，将其标签改为“ ”

6、 简单修饰  按制作效果添加说明性文字适当调整对象的位置和迭代的次数。

四、拓展研究

由求和构造的加法器（ 、 ），我们不难构造乘法器（ 、 ），实现迭代数字的连乘。

试一试：用几何画板计算n！（详见范例）制作的效果如下：

5.2经典的几何构造

5.2.1两圆的外公切线

一、制作效果

如图，无论是改变两圆的大小，还是圆心距，直线和圆的关系保持不变，即直线始终是两圆的外公切线。

二、思路分析

我们在寻求外公切线的作法以前，先看看下图，是否能想起过圆外一个作圆的切线的的尺规

作法

以PO为直径作圆（先作线段OP的中点，找到圆心）→作两圆的交点C、D（这一步可省）→作直线PC、PD。是不是很简单？然后看右图，是不是想起外公切线的尺规作图（其实质就是把两圆的外公切线转化为内公切线），想不起试着分析一下。如果还不行的话，就看看下图：

如果还不行的话，就看下面的操作步骤吧。

三、操作步骤

1、  任画两圆（A,D）（B，C）；2、  度量两圆的半径，并计算它们的差

3、  以AB为直径画圆

4、  画圆（A，（半径⊙AD）－（半径⊙BC＝0.94厘米）），与以AB为直径画的圆交于E（其中一个交点）。

5、  作直线BE；作直线（A，E）交圆（A,D）于F；6、作平行线（F，直线BE）

7、  作直线FG关于线段BA的对称直线

四、拓展研究

1、这样尺规作图外公切线的作法，有缺点，当⊙AD的半径小于半径⊙BC时，外公切线不见了（您知道为什么吗？），如何完善？

如图：只要在大圆内重复上述步骤，就搞定了，具体如下

(1)、计算两圆半径的差（注意是大圆半径减小圆半径）

(2)、画圆（B，（半径⊙BC）－（半径⊙AD＝0.94厘米）），与以AB为直径画的圆交于I（其中一个交点）。

(3)、作直线(A,I)；作直线（B，I）交圆（B,C）于H；(4)、作平行线（H，直线AI）

(5)、作已作切线关于线段BA的对称直线，即另一条切线。如下图

就算这样作，仍不完善，当两圆半径相等时，切线会不见了。您能继续完善吗？（见文件）

2、尺规作图得分三种情况（半径之间大于、小于、等于），有没有更简单的作法，有，下面讲一种非尺规作图的方法

如上图，分析一下作法。两圆半径固定，位置固定→确定∠BAF→确定F→确定G→确定一条切线→另一条切线。具体步骤如下

(1)、度量AB即圆心距；(2)、计算

(3)、B点饶A为中心以计算结果（上图所示）为旋转角旋转得到  

(4)、作射线（A，   ）交圆AD于H；(5)、作平行线（B，射线AH），交圆BC于I

(6)、作直线（H，I）即两圆的一条外公切线；(7)、作直线HI关于AB对称的直线，得到另一条切线。

 试一试  您能否作圆的内公切线（分别用代数构造和几何构造）

5.2.2 和两圆都相切的圆心的轨迹

一、制作结果

如图：单击“动画”按钮，D点在圆周上运动，从而圆（C，D）的大小和位置不断发生改变，但始终和圆C1和圆C2相切，圆心C的轨迹是双曲线。圆C1和圆C2的圆心和半径都能改变，轨迹也会改变，甚至不是双曲线，您想试试？

二、思路分析

如果按尺规作图的思路，和已知两圆相切要分为同时外切、内切、一内一外。几何画板号称动态几何，其构造的思路会复杂吗？我们先来看其中一种情况：已知两圆和圆C2上任一点D，求作一圆和两已知圆都外切。看看下图，是如何确定圆心C的？分析分析作图步骤

 三、操作步骤

1、  构造两已知圆的半径  画一条水平直线AB，在直线上画三点C、D、E；隐藏点A、B。→画线段（D，C）(D，E),并把线段DC和线段DE的标签分别改为R、r（想一想为什么在直线上画点，而不直接画线段）

2、  构造圆心  画一条水平直线FG，隐藏点F、G→在直线上画点H、I（这两点就是已知圆的圆心）

3、  构造已知圆  画圆（H，线段R）画圆（I，线段r）

4、  构造辅助圆  画直线（I，J），其中J为圆I上任一点J→画圆（J，线段R）→画圆J和直线IJ的交点为L。

5、  构造所求圆 作线段（H，L）→作线段HL的中垂线→作直线IJ和中垂线的交点K→作圆（K，J）

6、  作轨迹（K，J）；7、作J点的动画

8、  隐藏辅助线，修饰课件。

四、拓展研究

通过移动点C、E、H、I，改变两已知圆的大小和位置，我们惊喜的发现，这种构造方法，竟是一箭三雕－同外切；同内切；一外一内，尽在其中。

5.2.3 等长线段在坐标轴上的运动

一、制作结果

如图，单击“动画”按钮，线段的端点始终在坐标轴上运动，运动过程中线段保持等长。

二、思路分析

我们先思考，构造哪一点运动，从而带动线段运动？如图，线段和坐标轴围成的是直角三角形，线段的长不变，即斜边的长不变，则斜边上的中线保持不变。所以线段运动，其中点的轨迹是圆。您不难想到下面的构造：画圆（A,H）→画半径（AG）→画圆（G,A）→画线段（E,F）。（这实际上就是就是尺规作图：已知直角和中线作直角三角形）拖动G点到二、三、四象限，线段没有了。

此种构造不成功，我们换个思路构造直角三角形EAF，如上左图，只要能构造等腰三角形AGF，就能构造出直角三角形AEF。想想如何构造△AGF？

作垂线j（G,x轴）→点 （A关于直线j的反射点）→射线（ ，G）→线段（ ，I）

再拖动G点试试，成功！

换个思路我们再思考，当我们看到直角三角形及斜边上中线的图形，熟悉初中几何教学的你不难想到“中线加倍”，如下图：当线段BD运动时，AC也运动且长度不变，则点C的轨迹是圆（点，线段AC）。并且四边形ABCD是矩形（为什么？），现在您知道如何构造等长线段在坐标轴上的运动了吗？如不明白，请看操作步骤。

三、操作步骤

1、  建立直角坐标系；2、  画圆（A,E）

3、  画点C  C为圆上任意一点；4、作垂线（点C，x轴，y轴）

5、  画线段（点B，点D）；6、作点C动画

7、隐藏不必要对象。

四、拓展研究

1）制作等长线段在坐标轴上的运动，这里讲了两种方法，可能还有其它方法，但几乎都不如这两种方法简洁。

2）坐标轴可用两条垂直的直线代替。更妙的是第二种构造，坐标轴甚至可用两条相交直线代替。第二种构造称为“刘天翼构造”，他是东北育才中学的学生的杰作。

用这个课件，可以进行很多研究，详见“求师德构造”。

5.2.4 动滑轮

一、制作效果

如图：是动滑轮的一个简化模型，绳长固定为L，绳的一端A固定，C点代表动滑轮，B点是绳子的另一端，可以自由移动，但只能在圆内移动（想一想，为什么？）移动过程中，线段AC和线段CB的长度和不变，即绳子的长不变，竖直线CD始终是∠ACB的平分线

二、思路分析

您不难想到这个思路：取点A（x1y1），B（x2，y2），C（x3，y3），由AC+CB=L，得

竖直线CD始终是∠ACB的平分线，则AC、BC的斜率互为相反数，可得

因为  为已知条件，您大概以为联立这两个方程，解出x3，y3，绘制点（x3，y3），就搞定了。要解这样的方程组可不容易至今我没有解出来，不信您试试？

我们换个思路，把这个图形当着光路图，AC当作入射光线，CB是反射光线，把这个图形补全，如下图：

您现在知道如何构造这个图形吗？

三、操作步骤：

1）绘制控制绳长的线段  画水平射线AC→画线段AB，点B为射线上一点

2）画点G，点G是任一点→画圆（G，线段AB）

3）画点D，点D是圆内任一点→画垂线（D，线段AB），与圆交于E点

4）画线段（D，E）→画线段DE的中垂线；5）画线段（F，E）→线段FE与中垂线交于G点

6）画线段（F，G）和（G，D）；7）隐藏不必要对象，修改标签和作简单修饰。

四、拓展研究

现在我们反过来想，如何求方程组

的近似解，你会不会数形结合，构造动滑轮这个图形，度量动滑轮这点所在坐标，就是方程组的近似解。

如果动滑轮不是一个点，而是一个圆，如下图所示，A点固定，C点可移动，移动过程中，线段AF、弧FG、GC的和为定值且HB平分∠ABC又如何构造？

5.3 圆锥曲线及其相关图形的构造

5.3.1  椭圆双曲线的包络线（拓展：椭圆双曲线抛物线的几何构造）

一 、制作效果

如图：单击按钮“运动点”，CD的中垂线开始扫描，最后包络成一个椭圆，如上右图，按“Esc”包络线消失。拖动C点到圆外，包络线围成的图形是双曲线。

二、思路分析

如上作图所示，您看出构造步骤了吗？

三、操作步骤

1、  画圆（A，B）；　　2、 画线段（C，D），其中D在圆上，C为任一点

3、  画线段CD的中垂线；　　4、跟踪中垂线  选中中垂线→【显示】菜单→追踪  垂线。注意其快捷键：Ctrl＋T

5、  作D点的动画

四、拓展研究

拓展之一  双曲线的构造

在图1的基础上，构造垂线和直线（A，D）的交点F，作轨迹（F，D）得椭圆或双曲线，这就是椭圆或双曲线的定义几何构造方法之一，注意，由C点的位置在圆内和圆外，决定F点的轨迹是椭圆还是双曲线。

拓展之二  椭圆双曲线准线的构造

这种方法构造的椭圆（双曲线），很易找到它们的焦点，一个焦点是圆的圆心，另一个焦点就是定点C。在这种构造椭圆的（双曲线）的基础上，还很易作出椭圆的（双曲线）的准线，如下图所示：

这里的圆心F₁画在x轴上，对F₁作反射变换（y轴）得到另一个焦点（即定点），这样画出来的椭圆在坐标系的位置就是我们所希望的。其准线的基本作法是过线段BF₂和DF₂中垂线的交点作x轴的垂线

拓展之三  抛物线的构造

如果D不在圆上，而在直线上，CD的垂线会是什么图形的包络线？如下图

由此我们也得到了根据抛物线定义的几何构造，具体步骤如下：

1）画直线（A，B）；2）画线段（C，D），其中D在直线上，C为任一点

3）画线段CD的中垂线；4）画垂线（D，直线AB）  垂线和中垂线交于F点

5）画轨迹（D，F）

5.3.2 椭圆的几何构造之二（压扁圆的两种方法）

一、          制作效果

如下图：AC和AB分别决定椭圆的短、长半轴。拖动C或D点，可改变椭圆的形状（实际上改变椭圆短半轴或长半轴的长）。

二、思路分析

如果您对高中课本熟悉的话，这种构造椭圆的方法，称为“同心圆法”实际就是参数方程 的几何构造，如上图，您能看出构造思路吗？

三、操作步骤

1、  画直线AB  （为了美观，最好按住Shift画一条水平线）；　2、画圆（A，C）和（A，D）  其中C、D为直线AB上的点

3、  画直线（A，E）  其中E点是圆（A，E）上的点，与圆（A，C）交于F点

4、  画垂线（E，直线AB）；画平行线（F，直线AB）；这两条直线的交点为G点；　　5、画轨迹（E，G）

四、拓展研究

拓展之一：圆锥的画法

一、          思路分析

如上右图所示，先构造椭圆，在此基础上，画出圆锥

二、操作步骤

1）构造椭圆；　　2）画垂线（A，线段AC）；　　　3）画线段（C，G）  G为垂线上一点；

4）把C及线段CG作反射变换（直线AG）得C’G；　　5）隐藏不必要的线

拓展之二：圆柱的画法

拖动点D，四边形ADD’G可绕轴AG旋转

一、思路分析

此图形的构造的关键是在构造好一个椭圆后，如何再构造另一个与之全等的椭圆，单击菜单【显示】→“显示所有隐藏”，见上右图，您能分析一下构造思路吗？

二、操作步骤

1）构造椭圆并隐藏不必要对象（这一点很重要，经常构图时，最好边构造，边隐藏，以免线太多影响您的思路）

2）画垂线（A，线段AC）及在垂线上画一点G；3）画线段AD  D为椭圆上一点

4）对点D、线段AD、点C作平移变换（向量AG）；5）画轨迹（D，D’）、画线段（D，D’）和（C，C’）

6）对线段CC’作反射变换（直线AG）；　7）作四边形ADD’G的内部

8）隐藏不必要对象

拓展之三、圆台的画法

拖动点D，四边形ADD’G可绕轴AG旋转

一、思路分析

此图形的构造的关键是在构造好一个椭圆后，如何再构造另一个与之相似的椭圆，单击菜单【显示】→“显示所有隐藏”，见上右图，您能分析一下构造思路吗？

二、操作步骤

1）构造椭圆并隐藏不必要对象（这一点很重要，经常构图时，最好边构造，边隐藏，以免线太多影响您的思路）

2）画垂线（A，线段AC）及在垂线上画一点G；　　　3）画线段AD  D为椭圆上一点

4）对点D、线段AD、作平移变换（向量AG）；在线段D’G作一点E

5）画轨迹（D，E）、画射线（D，E）交直线AG于F

6）对点C作缩放变换（点F， ）；6）画线段CC’对线段CC’作反射变换（直线AG）

7）作四边形ADD’G的内部；8）隐藏不必要对象

拓展之四  构图步骤的简化

让我们在一次观察上左图，圆（A，C）是必要的吗？您可以试试，不构造圆（A，C）照样能构造椭圆，如右图，您能分析作图思路吗？（这是laoshi_g和qiusir讨论的结果，大概是目前椭圆构造的最简单方法）

操作步骤

1）画线段AB→画圆（A，B）；2）画直线（A，C）→在直线上作一点D

3）作平行线（D，线段AB）→作垂线（C，线段AB）→作这两条直线的交点E；4）作轨迹（E，D）

椭圆通常的构造还有下面这种方法

1）画线段AB→画圆（AB为直径）；2）画点C  C为圆上一点

3）作垂线（C，线段AB），垂足为D；4）隐藏垂线  （这是关键一步）

5）画直线（C，D）→画点E  E为直线CD上一点；6）画轨迹（E，C）

这种构造方法略加改变，就能构造出半实半虚的椭圆。你能分析其构造的思路吗？

1）画线段AB→画点C  C为线段AB上一点；　　2）画圆（AB为直径）

3）画垂线（C，线段AB）交圆于D点  （另一交点不必画出）；　　　4）隐藏垂线

5）画直线（C，D）→画点E  E是直线CD上一点；　　　6）画轨迹（C，E）  这时只有半个椭圆

7）对点E作反射变换（线段AB）；　　　8）画轨迹（C，E’），得到下面半个椭圆

9）把上半椭圆变为虚线  选中上半椭圆→单击菜单【显示】→线型→虚线；　　　10）隐藏不必要对象

试一试  能否把圆锥、圆柱、圆台的椭圆构造为半实半虚？

5.3.3 椭圆的几何构造之三―――圆的斜二测水平放置

一、制作效果

二、思路分析

单击菜单【显示】→“显示所有隐藏”，如上右图，您能分析作图思路吗？

三、操作步骤

1）画线段AB；　2）画圆（AB为直径）→画点C  C为圆上一点；　　3）画垂线（C，线段AB），垂足为D；　　　

4）对C作旋转变换（D，－45°）；　　　5）画中点（线段DC’）；　　　6）作轨迹（C，E）

拓展：图形图像的转动

拓展之一 等腰三角形的轴对称的演示

制作效果

如图：分别单击“动画”、“重叠”、“还原”按钮，这样的演示，看能否说明“等腰三角形是轴对称图形”

二、思路分析

单击菜单【显示】→“显示所有隐藏”，如上右图，等腰三角形不难画出，关键是E点的构造，E点椭圆上任一点，只要构造出椭圆，这问题就解决了。

二、操作步骤

1）画等腰三角形ABF  画线段AB→画AB的中垂线→画点F  F点是中垂线上一点→画线段（A，F）和（B，F），其中AF为虚线

2）画椭圆  画圆（AB为直径）→画点C→画垂线（C，线段AB），垂足为D→对C作旋转变换（D，－45°）→画线段（D，C’）→画点E，点E是线段上一点→画轨迹（C，E）

3）画三角形FDE  画线段FE，F为椭圆上一点→画线段ED→画内部（E，D，F）和（B，D，F）

4）做按钮  作移动按钮（E，A，高速）改名为“还原”；做移动按钮（E，B，高速）改名为“重叠”；做动画按钮（E,慢速）改名为“动画”

拓展之二  转动的正三棱椎

一、制作效果

单击“动画”正三棱椎会转动

二、思路分析

倘若单击菜单【显示】→“显示所有隐藏”，如右图，虽不复杂，但足够让您眼花缭乱，摸不着头脑。我们还是看作图吧，我们知道，正三棱椎的底面是正三角形，只要做出正三角形的斜二测图形，就基本搞定了。

三、操作步骤

1）画圆内接正三角形  画线段EG→画圆（EG为直径）→画点F  点F在圆上→对点F作旋转变换（A，120°）→对F’ 作旋转变换（A，120°）→画线段（F，F’）、（F’，F’’）、（F’’，F）

2）画正三角形的斜二测图形  画垂线（F’，EG），垂足为C→对F’作旋转变换（C，－45°）→画线段（C，F’’）→画线段CF’’的中点H；同理作出点J、点I；画三角形JIH

3）画三棱椎的高，隐藏不必要的对象。 画垂线（A，EG）→画点K，点K在垂线上

4）画侧棱  画线段（K，H）、（K，I）、（K，J）

5）做动画按钮（F，中速），并改名为“动画”；隐藏不必要对象。

同理可以做出转动的正方体

操作步骤

1）画出圆内接正方形的斜二测图形并隐藏不必要对象。

2）画正方体的高  画垂线（A，线段GH）；画圆（A，线段DD’）；圆与垂线交于点M

3）画正方体的上底  对四边形JKLI进行平移变换（向量AM）

4）画正方体的侧棱

5）做动画按钮（D，中速）隐藏不必要的对象。

5.3.4 椭圆的构造之四―――定长椭圆的构造

在解析几何的教学中，大多时候要化定长的椭圆如下面这个问题：

问题：已知椭圆的长半轴＝3厘米，短半轴＝2厘米，求作椭圆。

一、          制作效果

如下图，拖动单位点，改变单位长度，椭圆放大缩小，但长短半轴始终不变，交点、顶点各就各位

选中参数a、b，按小键盘上的“＋”“－”，可改变它们的值。注意：，这里的a被定义为成长半轴，所以在改变值时，a应大于b

二、思路分析

倘若单击菜单【显示】→“显示所有隐藏”，您会发现椭圆的构造方法是“同心圆法”，其圆的半径受参数控制，在构造椭圆的基础上，还构造了交点。

三、操作步骤

1）定长短半轴  新建参数a、b，其值分别为3、2；度量点C、点D间的距离→计算a×CD，b×CD的值

2）构造椭圆  建立坐标系→画同心圆（D，a×CD，b×CD）；画出小圆与y轴的交点；画出大圆与x轴的交点；画直线DK，K为大圆上一点，与小圆交于L点→画垂线（K，x轴）；画平行线（L，x轴）。两直线交于M点→画轨迹（K，M）

3）构造焦点  画圆（G，a×CD），与x轴的交点（即为交点），改变其标签为F₁、F₂；　　　4）隐藏不必要的对象。

四、拓展研究

1）想一想，为什么不直接用直接设定参数的值分别3厘米、2厘米画圆，而要计算它们与单位长度的乘积？

2）如果是已知a＝3，b＝2的双曲线又如何构造？

看看下图，您能否看明白，是如何构造双曲线的？

这里的双曲线是根据双曲线的参数方程x＝a×sec 、y＝b×tg 来构造的，简称参数方程构造法。∠CDK就相当于 。具体步骤如下：

1）定长短轴  新建参数a、b，其值分别为3、2；度量点C、点D间的距离→计算a×CD，b×CD的值

2）构造参数  画圆（D，C）→画点K，K为圆上任一点→度量∠CDK

3）选定角度的单位  单击菜单【编辑】→“参数选项”→在参数选项的单位对话框里，使角度的单位为“方向度”

4）计算作为纵横坐标的值  如下图所示：

5）绘点（ ， ）L

6）画轨迹（K，L）

如果编辑作为纵横坐标的计算式，可以是轨迹变成椭圆，您不想试一试？

关于抛物线的绘制，直接用菜单命令“绘制新函数”，一蹴而就，这里就不再叙述了。

5.3.5 圆锥曲线的切线（几何构造）

已知圆上一点和圆外一点作圆的切线，对熟悉尺规作图的您应该是小菜一碟，我们把这问题推广一下，把圆推广到圆锥曲线，又如何作它们的切线。这里仅以椭圆为研究对象，其它类似可以作出。

问题一  过椭圆上一点作切线

一、制作效果

如上左图，拖动F点，F点在圆上运动，直线始终也椭圆相切

二、思路分析

倘若单击菜单【显示】→“显示所有隐藏”，您会发现切线是根据椭圆的光学性质构造出来，即如果把椭圆的内壁当一面理想的镜子的话，从焦点出发的光线，经椭圆反射后，通过另一个焦点。入射光线和反射光线能确定，则其法线（∠F₁FF₂的角平分线）能确定，当然切线（法线过反射点F的垂线）也确定了。噫！椭圆是如何画出了的，椭圆是用几何画板自带的工具画出来的，其自定义工具时，隐藏的对象不能再显示了，除非改变其对象的属性。

三、操作步骤

1）定椭圆的位置和大小（焦点和一顶点）  建立直角坐标系→画点D，E，D点在x轴上，E点在y轴上→对点D作反射变换（y轴）

2）画椭圆  单击【自定义工具】→单击【Conics】→Ellipse by Foci＋Point→依次单击点D’、D、E

3）画切线  画点F  点F在椭圆上→画∠D’FD的角平分线→画垂线（F，角平分线）

4）简单修饰，隐藏不必要的对象  如上右图

四、拓展研究

类似的可以画出双曲线、抛物线上点的切线，读者可以自己试一试

问题二  过椭圆外一点，画椭圆的切线

一、          制作效果

如图：拖动P点，过P的两条直线始终和圆相切，P点在椭圆内部时，切线消失

二、思路分析

单击菜单【显示】→“显示所有隐藏”，这个图形能否让您联想到由包络线构造椭圆，包络线实际上就是椭圆的切线。由H点容易画出两条切线，从而画出P。现在请您倒过来想，由P点能否画出点H，从而画出包络线？如果在画出椭圆的基础上，得构造辅助圆，想一想，这两圆的圆心和半径分别是什么？

三、操作步骤

1）用自定义工具仿照上例画出椭圆，度量EF₁，EF₂并计算EF₁＋EF_2＋（辅助圆的半径）如下图：

2）画点P  点P是椭圆外一点；　　　3）画圆（F1，EF₁＋EF₂）；画圆（P，F₂）两圆相交于H，G

4）画中点  画线段（H，F₂）（G，F₂）→画中点I（线段GF₂）；画中点J（HF₂）

5）画切线  画直线（P，I）和（P，J）；　　　　　6）隐藏不必要对象。

四、拓展研究

1）您能否画出图中的切点？

2）应用这种作图思路（包络线）您能否相应作出双曲线、抛物线的切线？

5.3.6 圆锥曲线和直线的交点的几何构造（拓展：代数构造）

如图：直线GE是过平面任意一点G和椭圆上任意一点E，求作直线和椭圆的交点F
在几何画板4.04中，不能直接找出直线和椭圆的交点，（很使熟悉几何画板的老师恼火）这里通过代数和几何的思路找出直线和椭圆交点的一般方法。

我们先考虑一下常规方法，即代数方法

一、          思路分析

以椭圆的中心为原点，焦点所在直线为x轴，建立直角坐标系。设点E的坐标为（x₁，y₁），直线GE的方程为y＝k（x－x₁）＋y₁，椭圆的方程为 。它们联立，，消去y。由于此方程必有一个根x₁，由一元二次方程根与系数的关系得到另一个根 ，则 ，从而绘出点（ ）即F

二、操作步骤

1）定椭圆的位置和大小（焦点和一顶点）  建立直角坐标系→画点D，B，D点在x轴上，E点在y轴上→对点D作反射变换（y轴）

2）画椭圆  单击【自定义工具】→单击【Conics】→Ellipse by Foci＋Point→依次单击点D’、D、B；把点D’，点D的标签改为F₁、F₂，

3）画直线GE  点G为任一点，点E是椭圆上一点。

4）度量并计算  度量点E的坐标；度量距离（点B，点F₂），并将其标签改为“a”；度量距离（点O，点F₂），并将其标签改为“c”；计算 并将计算的结果的标签改为“b”；度量斜率（直线GE），并将其标签改为“k”

5）计算作为横纵坐标的值  计算 ，并将其标签改为“x_F”；计算 ，并将其标签改为“y_F”

6）绘点F（x_F ，y_F）

这里所介绍的的代数方法，它依赖于坐标系，当直线GE垂直于x轴时，k未定义，点F就消失了。从而使作图不具一般性。尤其是一大堆的计算，很化时间，耐心不好的老师，恐怕做不下去。那有没有简单的几何构图呢？当然有！那就是巧妙的几何构造

一、思路分析

先请了解一下椭圆弦的几何性质。（最好理解这个性质，直线和圆锥曲线的关系作图，大多用到它）

如图：EF是椭圆的弦，其延长线交准线于P，FF1的延长线交准线于Q，则F₁P平分∠QF₁E。

想一想：如果已知P、E、F₁,你能否作出点F？
如果您注意到点F是两条直线的交点，只要作E关于直线QF₁的对称点E’，则直线PE和直线E`F₁的交点就是F。我们就用这样的想法来构造直线与椭圆的交点。

二、操作步骤：

1）画椭圆  建立直角坐标系→画点D，B，D点在x轴上，E点在y轴上→对点D作反射变换（y轴）→单击【自定义工具】→单击【Conics】→Ellipse by Foci＋Point→依次单击点D’、D、B；把点D’，点D的标签改为F₁、F₂，

2）画直线GE  E为椭圆上一点

3）画椭圆的准线  度量距离（点F₂，点O）、（点B，F₂），并把度量结果的标签分别改为“c”和“a”→计算 →画圆（O, ）。圆与x轴交于R点→画垂线（R，x轴）；隐藏圆

4）画直线GE与椭圆的另一交点  画线段F₁P，点P是直线GE和准线的交点→对点E作反射变换（线段F₁P）→画直线（E’，F₁）→画交点F（直线GE，直线E’F₁）

说起来麻烦做起来易，你熟悉几何画板并理解作图原理的话，做出交点F，不会要2分钟。
 三、拓展研究

利用这个图形，可以研究弦EF中点G的轨迹，作E点的动画并跟踪D点，得下图

拓展之二：线段EF上任一点的轨迹

5.3.7、圆锥曲线的平行弦的构造

一、制作效果

单击按钮“运动点”，椭圆的弦ED运动，运动过程中，始终与OF平行。拖动点F，点F在圆周上运动，弦ED也运动，始终和OF平行。

二、思路分析

此课件制作的关键是点D，点D是过E与OF平行的直线于椭圆的交点，我们仍根据椭圆弦的性质来制作

三、操作步骤

1）画出椭圆及准线（具体见前面步骤）→画点E  E为椭圆上任一点

2）画圆（O，G） 点G为单位点→画线段（O，F）  点F是圆上任一点

3）画平行线（E，线段OF），交准线于点H→画线段（H，F₁）；　　　4）对点E作反射变换（线段HF₁）

5）画交点D  画直线（E’，F₁），交直线HE于点D；　6）画线段（E，D）  ；　7）作动画（E点，慢速）→隐藏不必要对象

四、拓展研究

利用这个课件，你可以对椭圆平形弦的中点或任一点进行研究

关于双曲线、抛物线和椭圆一样，有相关的光学性质和弦的性质，利用它可解决切线和交点的问题，读者可自行研究

第六章：三维坐标系统

6．1三维坐标系统与立体图形

红线的部分就是一个三维坐标系,依照这个为基础，应该能够画出一些简单的几何体，而且可以随着坐标轴的调节就可以得到动态的空间几何体。

当然，这个借助的画法是与其他的程序一样的，是运用椭圆的参数方程

只不过表现的手法是几何的：

1、           在单位圆上取两点Z和XY，做出Z的正弦和余弦线，记做SF和CF，再将CF旋转90度，得到Z轴的一个单位的顶点，用红线连接，以便区分。

2、           同样做出XY的正余弦线，用ST和CT来标记。将ST旋转90度，得到ST’实际上就是-ST,过这个点做SF和Scale点的连线的平行线，那么交y轴的轴的交点恰好就是-ST*SF的大小,标记过原点到这个点的向量，将CT点按照这个向量平移，就是X轴的一个单位的顶点,同样可以用红线标记。

3、           这个原理到是很清楚，但构造时能够运用就很不容易了。具体的解释可以参考下面的图形，借助相似形，应该能很简单的处理。

4、           同样借助另一对相似的三角形很简单的就能够把CT*SF做出来，也就是下面的图中的OA。标记AO,把ST’点按照向量OA平移，就是Y轴的一个单位的顶点。这样，问题就解决了。

5、           实际上，这个点还可以看成是将XY旋转90度后，依照和X的轴的端点同样的方法构造而成的，以为实际上他们就是在平面Z=0上的单位圆内相差90度的两条半径，当然没有重复的必要，仅是为了说明，给出了这条直线。

有了这个坐标系，对于对几何画板熟练的读者应该很容易就能够构造一些几何体了。注意如果不喜欢这个单位1（因为有些大），你可以调节SCALE点，当然，方法有很多，还可以尝试用其他的方法来建立这个坐标系。说到底，参数方程应该是一样的。

6．2空间曲线

用三维的坐标系来反应些什么呢？几何画板在sample中已经有了很经典的体现，其中比较好的就是反映曲线和曲面，我们先来谈一谈曲线

我给出一个参数方程，

是物理中的李萨如图

打开3.1三维坐标系统，在编辑菜单中选“参数……”，在打开的对话框中将角度的度量单位改为弧度（因为本次作图的函数中涉及三角函数）。

定义好三个函数

并给出一个通过圆给出的角度 。标记改为t

计算f（t）,g(t),h(t)

标记三为坐标的中心O,将X,Y,Z按照放缩f（t）,g(t),h(t)。得到X’,Y’,Z’

过X’做OY的平行线与过Y’做OX的平行线，交于点D.

将D 点按照向量OZ’平移，得到一个点D’

作关于A的D’的轨迹就可以了,隐藏不必要点,效果图如下.

如果在画轨迹之前,将点着色,可以得到有颜色轨迹。

这样的话可能感觉立体感不强，我们再加上一些辅助的措施。

如果我们将h（x）修改为h（x）=0的话，你观察到什么结果呢？

是在xoy平面上的投影，用这个方法，应该能做出各个面上的投影，有了投影的空间曲线可能会好些。

实际上，我的投影在坐标轴构成的平面内。不合乎我们的需要。因为我们希望投影在包含整条曲线的长方体的面上。

我们可以先画出长方体。很明显，包含着曲线的长方体应该是棱长为2，中心为O的正方体。

我们把关于坐标的一些信息隐藏了，以方便观察。

我们只要在有公共顶点的三个面做出投影就可以了.；剩下只要重复以前的步骤就可以了.

只要画出关于这几个方程的图像就可以了:

你可能觉得有些麻烦.

我们可以通过定制工具的办法.

选取f(x),g(x),h(x),t,O,X,Y,Z,D’就可以定制工具.；　　定义新函数q(x)=-1

点选定制的工具,依次选取；　　q(x),g(x),h(x),t,O,X,Y,Z

得到了F’点,做关于A的轨迹将颜色改淡一些,如下:

同样得到其他的图案.

f(x), q(x),h(x),t,O,X,Y,Z；　　　　　　　　　f(x),g(x), q(x),t,O,X,Y,Z

将正方体也着色,最后效果如下.

实际上，我们还可以画出一般的参数的情况，甚至只需要在这个范例上稍加修改就可以达到一个动态的曲线，留给读者思考。

有了这种曲线的表述，实际上，我们也能够表现一些曲面了。

当然表现性可能不是很好。

给出莫比乌斯带的参数方程。

我们可以先在画板中给出这些参数和坐标系。

当然，可以借助前面的例子修改。

这里t已经是变量了，我们把它直接的定义到方程里面来，因为画板不支持二元函数。所以，我们考虑这样处理。

这里的x就是前面的函数中的v。

若给定一个确定的v,就能够画出这个曲面上的一条曲线。我们不妨先给定v=-1,然后，用前面的工具画出这条曲线。

如果，我们给出多个不同的v，就能够表现这个面了，有些麻烦，就算以0.1为步长,还得做二十次呢。

我们给出一个近似的结果。画出v=1的曲线。

将两个H’连接做一条线段。关于A做这条线段的轨迹，再调一下颜色，就可以了。

这个方法不是很好，但是也能粗略的表达，尤其是这种以线带面的思路，我们后面还要用到。

带些颜色也可以呀？但是调解了样点的个数，可能耗很大的内存的。我的机器是不会转动了。

这部分内容在www.qiusir.com上榕坚老师有过精致的论述和很好的工具可以参考。

6．3 曲面

曲线的实现很大的刺激我们来实现曲面。如何来在这里表现呢？要选取平面上所有的点是有些不太可能了，甚至于选取平面上一个区域里面的点也是很困难的,我们考虑可以选取一个平面内多条横纵的线来表示.(下图只给出横线)

我们可以联想到,在这样的直线可以近似的看成充满了这个平面,在这个平面基础上构造图像很容易让人联想到一些由线条网格构成的曲面图形。

关键是，我们仍然要遍历这些线段下的所有的点，这里的方法巧妙在我们可以把这些线段用一个动点轨迹画出来，也就是说，这些线段将成为一个整体。

这无疑是一个振奋人心的消息。

一般的，我们给定

可能没有参数的形式，但是，我们可以利用这个方法把x,y用同样的一个参数t表现出来。

实际上，就看成了 可以处理的形式了。

具体的来看一下如何来处理这个多条线段的表现了。

给出一个独立参数，取名横向条纹。代表线段的条数。

给出两条有公共定点线段（作为一个自己定义的坐标系），调节到近似的垂直状态。

计算出AD和AB的长度的比，于是就得到一个从0到1变化的量，我们就要用这个量来作为来描述那些线段的基础。称为条纹种子。

用以下的公式计算出两个量

可以看得出来，最后的一个数据给出了几个离散的量，恰好是几个等分点。就是把0到1分成横向条纹数等份,这些就是分点。

我们又可以看到倒数第2个量，是一个小数函数，那么就重复的从0到1连续变化，那么，我们把这两量作为坐标描在自己定义的坐标系内（平行线的交点的方法）这样,这个点关于D点的轨迹就是上面的线段。

同样我们可以把纵向的画出来，当然，我们如果想要让很横向与纵向的条数一样的话，就颠倒过来，描出轨迹就可以了，这里就按照后一种方法处理。

这里标注的f(t)和f’(t)点就是用来产生轨迹的交点。

这里的平面的网格在以后很有用处，可以单独的作为一个组件存储，像坐标系一样，用的时候拿出来就行了。

下面的工作就简单得多了，其实这个网格对于我们而言并不重要。就是为了说明一下前面的设想，我们如果把这个平面内的点用这些线条上的点来近似的表现，就可以得到这个区面上的函数的图像了。

我们给出一个三维的坐标系，可以借用前面的一些现成结论，引入一个坐标系，将x轴和y轴的所在的直线表现出来，并取其上一点，把我们刚才的坐标系与三维坐标系的xoy平面和并（通过合并端点到直线上的点的方式），并隐藏网格，于是，我们就得到了能够调节端点的xoy平面上的一个矩形区域。画出z轴正半轴上一点作为单位1。

但是，由于前面的设计，我们得到的区域现在无论画多大，其实，只是表示了 这个范围内的数字，因此我们要把x和y都乘以一个不同的系数，这个系数，就可以改变他们的范围了。同样为了方便还可以把平移一同算好。

重命名为x’,y’，我们在这个基础上就可以作出任意的一些二元的函数了。

简单的， ， ,很容易在z轴上描出这个点，标记向量，把f (t),f’(t)进行平移，就得到了曲面上的点，然后作出关于 D的轨迹。

如果不满意，可以改变一下相关的参数。

当然，为了直观，还可以把相应的把参数画在一个平面的坐标系内，可以直观一些。这里，不多叙述了。

根据不同的曲面，应该有不同的约束和条件，这里的只是一个方面，不能对所有的曲面都生效，更形象的表现，还要具体的分析。

6．4立体工具的使用

似乎听人说过这样的一个句很有意思的话，说是未来的社会，是有一些使用傻瓜和制造傻瓜的人组成的。不探讨这句话的对错，但是，的确，我们应该感谢和尊重那些制造傻瓜的人，也应该学会使用傻瓜的工具。

Kunkerl给出了一整套的立体绘画工具，应用非常的方便，我们在这里简单的介绍一下，当然，是傻瓜的工具，我们不必深入地说明，所谓不过是为了引起关注，希望能够多见到这个方面的优秀的范例。

打开范例Perspective_Tools.gsp，这里面已经有详细的英文说明。我们简要的复述一下。因为在后面的例子当中，我们要运用到这个范例。

新建一个空白的文件，这时，在工具中就可以看到提供给我们的工具了。我们可以逐一的来看一下这个工具的具体的内容。

在最上面的是perspective setup，当然要先执行了。为了明确这个工具的具体的操作前提，我们可以打开script view。可以看到需要四个点作为前提，于是，我们就可以在屏幕上点四下，一整套的行头都出来了，真的很有成就感。

这四个点是有所分工的，我们最好让他的名字和script view中的相同，因此这里我们改变一下刚才的次序。

先选择point工具，在空白文件上点三下，能够得到三个带有标签的点，这个名称是符合perspective setup中的要求的前三个点的，于是我们再把工具切换成原来的perspective setup工具，在平面上依次的点选第四个点，就得到了一套初始工具。如下图：

按下initialize（初始化）按钮，调整好相应的间距即可。

这些是起什么作用的呢？是为下面的工具使用做准备的，我们选择piont工具，这时script view中的表现与原来没有建立perspective setup的工具时不同了。

我们画出两个前提的点，是不是就点在我们给定的初始点上呢？这回不是了，所谓Piont x-y的意思是指在xoy平面内的位置，point-z指在z轴方向的距离，那么这个位置是如何计算的呢？就是参照我们前面的初始点，现在画出的第一个点在以前面的point x-y为原点的坐标系内的相对位置关系，画出的第二个点与前面的point z的竖直方向的位置关系恰好能够反映出在空间我们需要的三个坐标来，这样就通过工具得到了一个点。

那么，就是说，如果我们了解坐标的情况，就能够画出空间这个点来了。

为了方便需要，我们通过point x-y定义一个坐标系，再通过point z作出一个垂直于坐标系横轴的直线，这样，就可以在这个坐标系内和这条直线上取点以便清晰地看到平面内的相对关系了。

上面的A、B两点为初始点而得到的A’’’’’’’点，但还是看不太清楚这个点的空间效果,我们可以试着画出坐标系来。

我们只需画出（1，0，0）（0，1，0）（0，0，1）就可以了，因此在我们的平面坐标系内画出xy两个轴上的单位1 C点和D点和距离z-center上1个单位的直线上的点E。

用画点工具可以按照C、z-center，D、z-center的顺序画出x,y轴上的单位1，愈远点连线既可得出两个轴，但是，不能通过x-y center、E来画出z轴单位1。可能是这套工具不能画（0，0，a）这类的点，只好用一个其它的点来代替了，给出任意的一个点 F和E点决定了一个形如（a,b,1）的点，然后，给出一个参数t1 ,数值不为0，单位是度，以D为中心，将x-y center旋转t1度，就得到了一个点，将F与这个点合并，再将t1改变为0度，于是就得到了z轴上的单位1。连线即可。

其实，这里只不过是为了让你练习一下，很简单的，在整套的工具最后有坐标轴的选项，点一下，就能看到了，也可以对比一下。

此时，有了陪衬的A点就好看些了，如果你还是感觉没有太强的立体感，我们还可以尝试作些别的比如正方体什么的。

简单的，可以画出一个圆，将A点合并到圆上，且作出空间的点的轨迹，就能够得到一个空间的圆了。也是很形象的。

这个工具的使用学会之后，就不难理解其他的工具了。

Segment工具和segmnet/endpiont工具的使用是很简单的。尤其类似画点的工具，这里就不赘述了。

接下来的工具是一些有关颜色的工具，立体的结果表现要表现出远近的差异。这里通过调节明暗来实现距离感。

先选择shade bar工具，在画板内点击一下，就得到了一个调节的工具和一个初始化的按钮，点击按钮初始化。

这时的shade point、shade segment、 shade segmnet/endpiont工具就可以使用了，实际上，这些工具的使用方法与前面的都一样，只是结果不同，我们仍然画一个空间的圆。给定一个圆和圆上的一点，通过这个点和z轴上的一点用shade point画出一个点，做轨迹就得到了一个从视觉上有远近的圆。

还可以调节shade bar来体现立体感。

最好用shade segment做个正方体，如感到困难，请参阅kunkerl的网站，我们提供的工具中有链接。

最后的工具是用来画圆柱，球和圆锥的，同样先作出需要的sundial和colorbar，直接的运用工具就可以了，这几个工具是画静态的效果的，作者的意图是画一些书中的插图的，这里的颜色可谓是用的随心所欲了。

最后说明一点，这个工具用到的中间步骤较多，有时会很慢，所以运用前一定要设计好精简的步骤。比如，在kunkerl的网站上，有很多他给出的范例，可以用来学习参考，比如一个透视的多个立方体的堆垒效果。

这里就不再深入地探讨了，就拿正方体为例做个简要地说明。

因为要使用具有透视效果的线段的画法，就一定要明确这个透视图中的各条线段的起点和终点的情况。具体的是由哪几个初始的点决定的。

其实，由于正方形的特殊性，我们在平面图内只要给出一个正方形的四个点就够了。当然，前提是，你只是想随便的作出一个正方形。

这里面，我们把x-y center改名为A，为了下面的叙述方便。

我们知道，我们可以通过画线段的工具直接的画出来这个正方体，但是，我们规范起见，最好先用画点的工具把点先画好，并且起好名字，与他们原来的生成点关联，这样的话，就可以在画线段的时候有个标记。

image-center可以看成是AB或者是AA.

当然，这种表示不是唯一的。

我们把工具切换到shade segment，点取如下的顺序就可以得到一个正方体了。

ABBB,BBCB,CBDB,DBAB,ADBD,BDCD,CDDD,DDAD,ABAD,BBBD,CBCD,DBDD.

效果还可以(^_^)

最后剩下的几个工具是trace cone,trace clinder,trace sphere他们只是用来画一些静态的图形的。使用起来最为简便。

只需要先准备好perspective setup,sundial,color bar.

然后，用trace cone借助script view ,就能作出一个圆锥，然后调整，着色。

结果与用画图软件差不多。

这里的颜色和大小都要事先调节。但整体来讲，已经很好用了。

6．5球与多面体

我们借助这套工具的应用有很多，只要您有好的创意，就能够做出好的效果。这里给出几个很多人曾经作过的一些经典的范例。

先谈一谈球，球的表现和应用一直是比较脱节的，在很多的地方都只是利用球面上的几个圆来解决问题。但是，球的表现还是很引人注意的。我们参考kunkel的范例给出一种做法。

其实有人可能奇怪，我们了解球的方程，不是很容易的就得到一个曲面吗？用翻折的办法作出另一面的轨迹不就可以了吗？

的确可以的，我们可以通过修改我们的3.3节的范例来得到球。

打开范例3.3曲面，双击最后的一个式子，编辑修改为

很明显，我们得到了一个半径为1的半球。下面的一半通过翻折，分别标记f(t)和f’(t) 点，把他们的对应的z值点旋转180度，然后做过D点的轨迹，就得到了最后的效果。

也不是完全不能接受，转一转，可能就不能忍受了。

真实的情况似乎不是这样的，当然，这里有一些其它的因素，比如说，我们可以调节球心的位置，但是，不可否认的一点是，透视的效果不好。

再看看下面的球。

我们要处理这样的一个球，当然也要借助工具了。

看到上面的图形里面的很多有秩序的点，应该不难想到用什么方法了。

我们只要把一些运动在经纬线上的点描绘出来，做轨迹就可以了。

画纬线圈的点有什么特点呢？

他们在一个大圆的半圆上，在xoy平面上的投影应该不难作出，至于高度就更好说了。

这种方式很容易的想到，但我们不是只要一个固定的点，因此要进一步的加工。

在圆上取一点C，将AB上的点都旋转到AC上，那么，利用这些点来画出的点就能够有轨迹了。

我们给出画点的字母顺序。参考下图：

因为CK之间的距离过小，所以，我们给出了一个大图，实际可以自己调节。以A为x-ycenter,B为Z-center另取一点建立起Perspective_setup，建立shade bar。

然后按照EE’,EE’’,FF’,FF’’,GG’,GG’’……的顺序描点。最后一点当然是用CB了。

然后做关于c点的轨迹，一个一个的完成也是很麻烦的。

经线圈上的动点的原理是什么呢？

其实也不难理解，他们在xoy平面上的投影是一个小圆，这个小圆的半径如果是 ,那么，此时这些点的z轴上的坐标就应该为 ,其中 为纬度。

平面的图形就应该设计如下了：

图中黄色的点所在的圆是由D点决定的，那么就可以根据这些点来画出经线圈上的点了。我们也给出字母的顺序。

按照LD,MD,ND,OD,PD,QD,……画点

作关于D点的轨迹即可。

给出经线圈的图像：

一定要用细线，否则效果不佳。好了，大功告成了。效果比较起来好多了。

另外,比较引人注意的就是多面体的构造，实际上，我们需要的更多的是有关的知识和技巧了，比如如何简单的描绘这些点和线段，寻找其中的规律。就拿正二十面体为例来说吧，很容易的可以搜集到一些信息，毕竟，这东西已经流传好几千年了。

这里是台湾的陈创义的网站上得到的一些资料，在范例中提供了这个资料：

其中所谓的R(a,b)是一个他使用的一个符号：

由这些信息，应该很容易的就能够得到处理的办法。

由中心对称的性质，我们应该不难理解这个表达的意思，其实，V1是顶点，在z轴的高度为 的地方，有一个正五边形V₂V₃V₄V₅V₆，然后，我们再翻折得到下面的部分，连线就可以了。

中间的步骤可以参考下图：

构造五边形和 ，做出相应的Perspective_setup，把V₁—V₆描绘好。

标记C(也就是z-center)将整个的图形旋转180度。

得到了两个相对的“五角帽”，可以调节Isometric Projection按钮，得到上图一样的形式，连接这两部分即可，连接的过程可以借助于旋转手柄spin。

你可能不满足于这个透视效果，同样可以使用shade　segment来解决问题，这时可能要麻烦些，我们给出平面的图形和z轴的情况。

可以通过下面的连线顺序使用

OFAH,OFBH,OFCH,OFDH,OFEH

AHBH,BHCH,CHDH,DHEH,EHAH

OF’AH’,OF’BH’,OF’CH’,OF’DH’,OF’EH’

AH’BH’,BH’CH’,CH’DH’,DH’EH’,EH’AH’

AHA’H’,BHB’H’,CHC’H’,DHD’H’,EHE’H’

BHA’H’,CHB’H’,DHC’H’,EHD’H’,AHE’H’

其实，还有很多其他的方法，比如，如果我们给出一个正把免提的话，把每条边上的黄金分割点连接起来，就能得到正二十面体。

这个做法似乎更合适，我们先给出有断电的正八面体。其实这个一般做法很方便，但是我们仍然用这套工具，以便增强透视效果。

分别以不同的顶点为中心得到所有的黄金分割点。

连线，凭借你的直觉，观察一定的规律，就可以得到一个正二十面体。（是不是有五边形在里面？借助这个直觉会方便一些，注意利用调节位置连线。还有不能连接同一个点的三个黄金分割点。）

最后的效果图（上右图）。

有意思的是如果我们把这个正二十面体的所有的棱的中点适当的连接，就会得到C60，也就是，足球。或者，我们可以将我们看到的五角星表现出来，就是十二星状体，这些例子都很精彩，但是也很麻烦，而且立体感的表现还有一些特殊指出，我们就不再深入了。立体结构的表现，其实还很多问题值得大家去探讨。前面的文字算是抛砖引玉了。

具体的例子可以参考www.qiuisr.com

这个是几何画板的样例文件

这个是台湾的陈创意的范例。

6．6关于截面

截面的精确做出应该是画法几何里面的一些常见的题目,应用几何画板把一些过程动态化,可以给这些方面带来很大的改观。

我们的做法主要是基于下面的定理：

Desargues定理: 若两个三角形对应的顶点的连线共点，则对应边所在直线的交点共线，其逆也真。

这个定理的适应范围很广，不仅在平面内成立，而且对于空间也成立，作为空间的情况在立体几何中常作为习题出现在参考书中，我们只应用其结论，不给证明。

特别的，定理还包含平行的情况，认为是交于无穷远点。

那么，应用定理来处理“求作通过不在一条直线上的三个已知点确定的平面与已知几何体的截面”就可以应用定理而采取以下步骤：

1：先由三角形PQR作关于某平面 上的投影（平行投影或中心投影）得三角形P₁Q₁R₁,求出PQR确定的平面 与平面 的交线l。

2：再作立体的表面与平面 的交线得截面图形。

我们可以依此作出平面截对顶圆锥的交线得到圆锥曲线。

先画出对顶圆锥：

（1）画出一个椭圆，在椭圆上取一点A，并画出这一点关于椭圆中心的对称点A’。

（2） 从椭圆中心O引出一条线段OO₁，以OO₁所在直线作为对顶圆锥的对称轴。OO₁的中点记为S，即为对顶圆锥的顶点。

（3）  将A’沿着向量OO₁做平移，用得到的点A₁与A作轨迹得到另一个椭圆，连接A与其在另一个椭圆上的对称点A₁。得到对顶圆锥的基本构架。

再构造平面 与椭圆所在的底面 的交线。

（1）在一个椭圆上取出P₁、Q₁、R₁三点，连接三点构成一个三角形。作P₁、Q₁、R₁三点关于S的中心对称点，定在另一椭圆上，连接P₁、Q₁、R₁与其在另一椭圆上的镜像点，得到了三条母线。在母线上取P、Q、R三点，连接P、Q、R构成一个三角形。

（2）我们可以应用Desargues定理了，将对应的边的连线交点画出，P₁Q₁ PQ=R₀,P₁R₁ PR=Q₀,Q₁R₁ QR=P₀,则三点共线，画出这条线。

构造截面图形。

（1）我们用构造母线的方法再构造一条母线BB₁，这条母线与平面 的交点的轨迹即为圆锥曲线。

（2）连接B与P₁（或Q₁、R₁）与l交于一点G，连接P、G交BB₁于M，M即为平面 与母线BB₁的交点，选取B，M做轨迹，就可得到圆锥曲线了。

图中可以任意移动P、Q、R三点，可以得到不同截面下的各种圆锥曲线。

本结论的特情况曾在《中学数学教学参考》上所讨论的，即在某一平行与两底面的截面 （截得的交线为圆，平面图形为与底面离心相同的椭圆）上先画出两个点Q(Q₁)、R(R₁)，显然也就是R₀、Q₀点，连接QR所在的直线为 l，再取两点P₁、B在平面 (即椭圆)上，作出过P₁、B的母线，P为P₁所在母线上的任意点，连P₁、B所在直线与l交于一点G，连接P与G连线，交B所在的母线即为M, 点取B，M做轨迹，就可得到圆锥曲线了。虽然方法简明，但思路并不是很明确，按本文这样扩展有很清晰的思路和牢固的理论根据，也会有更广的适应性，似乎更为恰当。

另，对于动态演示一些截面图形的连续变化效果，用这一定理也有很好的效果。

如我们讨论作过正方体一顶点A且平行于BD的平面 截正方体所得不同的截面图形。

这么明显的效果，其技巧不过是用Desargues定理来实现。

（1） 画出一个正方体，标记顶点A，画出CC₁所在的直线，并在CC₁上取一点P，平面 通过P、A点。先来确定 与底面 的交线，我们用C₁和P重合的时特殊情况来处理，因为此时一定过BB₁与DD₁的中点，连C₁与BB₁的中点与CB交于Q，连C₁与DD₁的中点与CD交于R，连P、R一定过A点。即为交线l。

（2） 保证P在CC₁上，从Q点可以连P点交BB₁于E，E是截面上的一点，同理得到DD₁上的一点为F。连接PEAF，得到图3。

（3） P在CC₁外时，直接可以得到与C₁B₁、C₁D₁交点连线即得图2的情况。

（4）需要说明的是，此时还保留着四边形PEAF，可以用这样的方法来处理，保证P在CC₁上，连接A与P做直线，同时选中CC₁线段，作交点，虽然这个交点仍为P，但运动范围不会超出CC₁，利用其做出时是选中状态，按 Shift键点选E、A、F，这样作出的内部就不会超过图1的范围。

（5）图1 的确定，是在P到了一定的高度，此时，PQ与C’B’所在的直线有交点，PQ与C’D’所在的直线也有交点，连接两个交点的直线与A’D’、 A’B’都有交点，与A连接即为图1的情况。

这样就基本完成了。剩下的只需隐藏，动画就可以了。

下图给出了关于A’C垂直的平面截正方体的情况，做法类似，只给出图形。

类似的我们还可以给出更复杂的情况，如正六棱柱与正八面体等，只给出正八面体图形，不再赘述。