巨人捕手杰克mp4:【小学数学解题思路大全】巧想妙算文字题-小学数学公式大全(1)
1.想 数 码
例如,1989年“从小爱数学”邀请赛试题6:两个四位数相加,第一个四位数的每一个数码都不小于5,第二个四位数仅仅是第一个四位数的数码调换了位置。某同学的答数是16246。试问该同学的答数正确吗?(如果正确,请你写出这个四位数;如果不正确,请说明理由)。
思路一:易知两个四位数的四个数码之和相等,奇数+奇数=偶数,偶数+偶数=偶数,这两个四位数相加的和必为偶数。
相应位数两数码之和,个、十、百、千位分别是17、13、11、15。所以该同学的加法做错了。正确答案是
思路二:每个数码都不小于5,百位上两数码之和的11只有一种拆法5+6,另一个5只可能与8组成13,6只可能与9组成15。这样个位上的两个数码,8+9=16是不可能的。
不要把“数码调换了位置”误解为“数码顺序颠倒了位置。”
2.尾数法
例1 比较 1222×1222和 1221×1223的大小。
由两式的尾数2×2=4,1×3=3,且4>3。
知 1222×1222>1221×1223
例2 二数和是382,甲数的末位数是8,若将8去掉,两数相同。求这两个数。
由题意知两数的尾数和是12,乙数的末位和甲数的十位数字都是4。
由两数十位数字之和是8-1=7,知乙数的十位和甲数的百位数字都是3。
甲数是348,乙数是34。
例3 请将下式中的字母换成适当的数字,使算式成立。
由3和a5乘积的尾数是1,知a5只能是7;
由3和a4乘积的尾数是7-2=5,知a4是5;……不难推出原式为
142857×3=428571。
3.从较大数想起
例如,从1~10的十个数中,每次取两个数,要使其和大于10,有多少种取法?
思路一:较大数不可能取5或比5小的数。
取6有6+5;
取7有7+4,7+5,7+6;
…………………………………………
取10有九种 10+1,10+2,……10+9。
共为 1+3+5+7+9=25(种)。
思路二:两数不能相同。较小数为1的只有一种取法1+10;为2的有2+9,2+10;……较小数为9的有9+10。
共有取法1+2+3+4+5+4+3+2+1=25(种)
这是从较小数想起,当然也可从9或8、7、……开始。
思路三:两数和最大的是19。两数和大于10的是11、12、…、19。
和是11的有五种1+10,2+9,3+8,4+7,5+6;和是11~19的取法
5+4+4+3+3+2+2+1+1=25(种)。
4.想大小数之积
用最大与最小数之积作内项(或外项)的积,剩的相乘为外项(或内项)的积,由比例基本性质知
交换所得比例式各项的位置,可很快列出全部的八个比例式。
5.由得数想
例如,思考题:在五个0.5中间加上怎样的运算符号和括号,等式就成立?其结果是
0,0.5,1,1.5,2。
从得数出发,想:
两个相同数的差,等于0;
一个数加上或减去0,仍等于这个数;
一个因数是0,积就等于0;
0除以一个数(不是0),商等于0;
两个相同数的商为1;
1除以0.5,商等于2;……
解法很多,只举几种:
(0.5-0.5)×0.5×0.5×0.5=0
0.5-0.5-(0.5-0.5)×0.5=0
(0.5+0.5+0.5)×(0.5-0.5)=0\
(0.5+0.5-0.5-0.5)×0.5=0
(0.5-0.5)×0.5×0.5+0.5=0.5
0.5+0.5+0.5-0.5-0.5=0.5
(0.5+0.5)×(0.5+0.5—0.5)=0.5
(0.5+0.5)×0.5+0.5-0.5=0.5
(0.5-0.5)×0.5+0.5+0.5=1
0.5÷0.5+(0.5-0.5)×0.5=1
(0.5-0.5)÷0.5+0.5+0.5=1
(0.5+0.5)÷0.5-(0.5+0.5)=1
0.5-0.5+0.5+0.5÷0.5=1.5
(0.5+0.5)×0.5+0.5+0.5=1.5
0.5+0.5+0.5+0.5-0.5=1.5
0.5÷0.5+0.5÷0.5-0.5=1.5
0.5÷0.5÷0.5+0.5-0.5=2
(0.5+0.5)÷0.5+0.5-0.5=2
(0.5+0.5+0.5-0.5)÷0.5=2
[(0.5+0.5)×0.5+0.5]÷0.5=2
6.想平均数
思路一:由“任意三个连续自然数的平均数是中间的数”。设第一个数为“1”,则中间数占
知这三个数是14、15、16。
二、一个数分别为
16-1=15,
15-1=14 或 16-2=14。
若先求第一个数,则
思路三:设第三个数为“1”,则第二、三个数,
知是15、16。
思路四:第一、三个数的比是7∶8,第一个数是2÷(8-7)×7=14。
若先求第三个数,则
2÷(8-7)×8=16。
7.想奇偶数
例1 思考题:在1、2、3、4、5、6、7、8、9九个数字中,不改变它们的顺序、在它们中间添上加、减两种符号,使所得的结果都等于100。
例如
1+23-4+5+6+78-9=100123+45-67+8-9=100
你还能想出不同的添法吗?
1+2+3+4+5+6+7+8+9=45。若去掉7和8间的“+”,式左为1+2+3+4+5+6+78+9,比原式和增大了78-(7+8)=63,即
1+2+3+4+5+6+78+9
=45+63=108。
为使其和等于100,式左必须减去8。加4改为减4,即可1+2+3-4+5+6+78+9=100。
“减去4”可变为“减1、减3”,即-1+2-3+4+5+6+78+9=100二年级小学生没学过负“-1”,不能介绍。如果式左变为
12+3+4+5+6+7+89。
[12-(1+2)]+[89-(8+9)]=81。即 12+3+4+5+6+7+89=45+81=100+26。
要将“+”变为“-”的数和为13,在3、4、5、6、7中有6+7,3+4+6,因而有
12+3+4+5-6-7+89=100,
12-3-4+5-6+7+89=100,
同理得
12+3-4+5+67+8+9=100,
1+23-4+56+7+8+9=100,
1+2+34-5+67-8+9=100,
123-4-5-6-7+8-9=100,
123+4-5+67-89=100,
123-45-67+89=100。
为了减少计算。应注意:
(1)能否在1、23、4、5、6、7、89中间添上加、减(不再去掉某两数间的加号),结果为100呢?
1、23、5、7、89的和或差是奇数,4、6的和或差是偶数,奇数±偶数=奇数,结果不会是100。
(2)有一个是四位数,结果也不可能为100。因为1234减去余下数字组成(按顺序)的最大数789,再减去余下的56,差大于100。
例2 求59~199的奇数和。
由从1开始的连续n个奇数和、等于奇数个数n的平方
1+3+5+7+……+(2n-1)=n2
奇数比它对应的序数2倍少1。用n表示任意一个自然数,它对应的奇数为2n-1。
例如,32对应奇数2×32-1=63。奇数199,从1起的连续奇数中排列在100(2n-1=199,n=100)的位置上。
知1~199的奇数和是1002=10000。此和包括59,2n-1=57、n=29、1~57的奇数和为292=841。
所求为 10000-841=9159。
或者 59=30×2-1,302=900,
10000-900+59=9159。
例1 思考题:在1、2、3、4、5、6、7、8、9九个数字中,不改变它们的顺序、在它们中间添上加、减两种符号,使所得的结果都等于100。
例如
1+23-4+5+6+78-9=100123+45-67+8-9=100 =45+63=108。 “减去4”可变为“减1、减3”,即-1+2-3+4+5+6+78+9=100二年级小学生没学过负数“-1”,不能介绍。如果式左变为 12+3+4+5+6+7+89。 [12-(1+2)]+[89-(8+9)]=81。即 12+3+4+5+6+7+89=45+81=100+26。 要将“+”变为“-”的数和为13,在3、4、5、6、7中有6+7,3+4+6,因而有 12+3+4+5-6-7+89=100, 12-3-4+5-6+7+89=100, 同理得 12+3-4+5+67+8+9=100, 1+23-4+56+7+8+9=100, 1+2+34-5+67-8+9=100, 123-4-5-6-7+8-9=100, 123+4-5+67-89=100, 123-45-67+89=100。 为了减少计算。应注意: (1)能否在1、23、4、5、6、7、89中间添上加、减(不再去掉某两数间的加号),结果为100呢? 1、23、5、7、89的和或差是奇数,4、6的和或差是偶数,奇数±偶数=奇数,结果不会是100。 (2)有一个是四位数,结果也不可能为100。因为1234减去余下数字组成(按顺序)的最大数789,再减去余下的56,差大于100。 例2 求59~199的奇数和。 由从1开始的连续n个奇数和、等于奇数个数n的平方 奇数比它对应的序数2倍少1。用n表示任意一个自然数,它对应的奇数为2n-1。 例如,32对应奇数2×32-1=63。奇数199,从1起的连续奇数中排列在100(2n-1=199,n=100)的位置上。 知1~199的奇数和是1002=10000。此和包括59,2n-1=57、n=29、1~57的奇数和为292=841。 所求为 10000-841=9159。 或者 59=30×2-1,302=900, 10000-900+59=9159。 证明:设M、N(都是自然数)的最大公约数为P,最小公倍数为Q、且M、N不公有的因数各为a、b。 那么 M×N=P×a×P×b。 而 Q=P×a×b, 所以 M×N=P×Q。 例1 甲乙两数的最大公约数是7,最小公倍数是105。甲数是21,乙数是多少? 这两个互质数的积为1×155=155,还可分解为5×31。 所求是1和155,5和31。 例3 两数的最大公约数是4,最小公倍数是40,大数是数的2.5倍,求各数。 由上述定理和题意知两数的积,是小数平方的2.5倍。 小数的平方为4×40÷2.5=64。 小数是8。 大数是8×2.5=20。 算理:4×40=8×20=8×(8×2.5)=82×2.5。 10.巧用分解质因数 例1 四个比1大的整数的积是144,写出由这四个数组成的比例式。 144=24×32 =(22×3)×[(2×3)×2] =(4×3)×(6×2) 可组成4∶6=2∶3等八个比例式。 例2 三个连续自然数的积是4896,求这三个数。 4896=25×32×17 =24×17×(2×32) =16×17×18 1728=26×33=(22×3)3=123 385=5×7×11 例4 1992年小学数学奥林匹克试题初赛(C)卷题3:找出1992的所有不同的质因数,它们的和是多少? 1992=2×2×2×3×83 2+3+83=88 例5 甲数比乙数大9,两数的积是1620,求这两个数。 1620=22×34×5 =(32×22)×(32×5) 甲数是45,乙数是36。 例6 把14、30、33、75、143、169、4445、4953分成两组,每组四个数且积相等,求这两组数。 八个数的积等于2×7×2×3×5×3×11×3×5×5×11×13×13×13×5×7×127×3×13×127。 每组数的积为2×32×52×7×11×132×127。两组为 例7 600有多少个约数? 600=6×100=2×3×2×2×5×5 =23×3×52 只含因数2、3、5、2×3、2×5、3×5、2×3×5的约数分别为: 2、22、23; 3; 5、52; 2×3、22×3、23×3; 2×5、22×5、23×5、2×52、22×52、23×52; 3×5、3×52; 2×3×5、22×3×5、23×3×5、2×3×52、22×3×52、23×3×52。 不含2×3×5的因数的数只有1。 这八种情况约数的个数为; 3+1+2+3+6+2+6+1=24。 不难发现解题规律:把给定数分解质因数,写成幂指数形式,各指数分别加1后相乘,其积就是所求约数的个数。(3+1)×(1+1)×(2+1)=24。
你还能想出不同的添法吗?
1+2+3+4+5+6+7+8+9=45。若去掉7和8间的“+”,式左为1+2+3+4+5+6+78+9,比原式和增大了78-(7+8)=63,即
1+2+3+4+5+6+78+9
为使其和等于100,式左必须减去8。加4改为减4,即可1+2+3-4+5+6+78+9=100。
1+3+5+7+……+(2n-1)=n2
8.约倍数积法
任意两个自然数的最大公约数与最小公倍数的积,等于这两个自然数的积。
例2 已知两个互质数的最小公倍数是155,求这两个数。
9.想 份 数
17.想 法 则
用来说明运算规律(或方法)的文字,叫做法则。
由“一个分数乘以5,是分子乘以5分母不变”,结果是分子的5倍比
分子的5-3=2(倍)是2+16=18,分子为18÷2=9,分母为9×5-2=43或9×3+16=43。
18.想 公 式
证明方法:
以分母a,要加(或减)的数为
(2)设分子加上(或减去)的数为x,分母应加上(或减去)的数为y。
19.想 性 质
例1 1992年小学数学奥林匹克试题初赛(C)卷题6:有甲、乙两个
200÷16=12.5(倍)。
例2 思考题:三个最简真分数,它们的分子是连续自然数,分母大于10,且它们最小公分母是60;其中一个分数的值,等于另两个分数的和。写出这三个分数。
由“分母都大于10,且最小公分母是60”,知其分母只能是12、15、20;12、15、30;12、15、60。
由“分子是连续自然数”,知分子只能是小于12的自然数。
满足题意的三个分数是
(二)第400个分数是几分之几?
此题特点:
(2)每组分子的排列:
假设某一组分数的分母是自然数n,则分子从1递增到n,再递减到1。分数的个数为n+n-1=2n-1,即任何一组分数的个数总是奇数。
(3)分母数与分数个数的对应关系,正是自然数与奇数的对应关系
分母:1、2、3、4、5、……
分数个数:1、3、5、7、9、……
(4)每组分数之前(包括这组本身)所有分数个数的和,等于这组的组号(这一组的分母)的平方。
例如,第3组分数前(包括第3组)所有分数个数的和是32=9。
或者102=100, 100-12=88。
100-6=94, 88+6=94。
问题(二):由上述一串分数个数的和与组号的关系,将400分成某数的平方,这个数就是第400个分数所在的组数400=202,分母也是它。
第400个分数在第20组分数中,400是这20组分数的和且正好是20的平方无剩余,故可断定是最后一个,即
若分解为某数的平方有剩余,例如,第415个和385个分数各是多少。
逆向思考,上述的一串分数中,分母是35的排在第几到第几个?
352-(35×2-1)+1
=1225-69+1=1157。
排在1157-1225个的位置上。
20.由规则想
例如,1989年从小爱数学邀请赛试题:接着1989后面写一串数字,写下的每一个数字都是它前面两个数字的乘积的个位数字。
例如,8×9=72,在9后面写2,9×2=18,在2后面写8,……得到一串数:1989286……
这串数字从1开始往右数,第1989个数字是什么?
先按规则多计算几个数字,得1989286884286884……显然,1989后面的数总是不断重复出现286884,每6个一组。
(1989-4)÷6=330……5
最后一组数接着的五个数字是28688,即第1989个数字是8。
21.用 规 律
例1 第六册P62第14题:选择“+、-、×、÷”中的符号,把下面各题连成算式,使它们的得数分别等于0、1、2、3、4、5、6、7、8、9。
(1)2 2 2 2 2=0
(2)2 2 2 2 2=1
……
(10)2 2 2 2 2=9
解这类题的规律是:
先想用两、三个2列出,结果为0、1、2的基本算式:
2-2=0,2÷2=1;
再联想2-2÷2=1,2×2÷2=2,2÷2+2=3,……
每题都有几种选填方法,这里各介绍一种:
2÷2+2÷2-2=0
2÷2×2-2÷2=1
2-2+2÷2×2=2
2×2+2÷2-2=3
2×2×2-2-2=4
2-2÷2+2×2=5
2+2-2+2×2=6
2×2×2-2÷2=7
2÷2×2×2×2=8
2÷2+2×2×2=9
例2 第六册P63题4:写出奇妙的得数
2+1×9=
3+12×9=
4+123×9=
5+1234×9=
6+12345×9=
得数依次为11、111、1111、11111、111111。此组算式的特点:
第一个加数由2开始,每式依次增加1。第二个加数由乘式组成,被乘数的位数依次为1、12、123、……继续写下去
7+123456×9=1111111
8+1234567×9=11111111
9+12345678×9=111111111
10+123456789×9=1111111111
11+1234567900×9=11111111111
12+12345679011×9=111111111111
……
很自然地想到,可推广为
(1)当n=1、2时,等式显然成立。
(2)设n=k时,上式正确。当n=k+1时
k+1+123…k×9
=k+1+[123…(k-1)×10+k]×9
=k+1+123…(k-1)×9×10+9k
=[k+123…(k-1)×9]×10+1
根据数学归纳法原理,由(1)、(2)可断定对于任意的自然数n,此等式都成立。
例3 牢记下面两个规律,可随口说出任意一个自然数作分母的,所有真分数的和。
(1)奇数(除1外)作分母的所有真分数的和、是(分母-1)÷2。
=(21-1)÷2=10。
22.巧想条件
例2 一个整数与1、2、3,通过加减乘除(可添加括号)组成算式,若结果为24这个整数就是可用的。4、5、6、7、8、9、10中,有几个是可用的。
看结果,想条件,知都是可用的。
4×(1+2+3)=24
(5+1+2)×3=24
6×(3+2-1)=24
7×3+1+2=24
8×3÷(2-1)=24
9×3-1-2=24
10×2+1+3=24
23.想和不变
无论某数是多少,原分数的分子与分母的和7+11=18是不变的。
而新分数的分子与分母的和为1+2=3,要保持原和不变,必同时扩大18÷3=6(倍)。
某数为7-6=1或12-11=1。
24.想和与差
算理,原式相当于
25.想差不变
分子与分母的差41-35=6是不变的。新分数的此差是8-7=1,要保持原差不变,新分数的分子和分母需同时扩大6÷1=6(倍)。
某数为42-35=7,或48-41=7。
与上例同理。23-11=12,3-1=2,12÷2=6,
某数为11-6=5或23-18=5。
分子加上3变成1,说明原分数的分子比分母小3。当分母加上2后,分子比分母应小3+2=5。
26.想差的1/2
对于任意分母大于2的同分母最简真分数来说,其元素的个数一定是偶数,和为这个偶数的一半。分母减去所有非最简真分数(包括分子和分母相同的这个假分数)的个数,差就是这个偶数。
例1 求分母是12的所有最简真分数的和。
由12中2的倍数有6个,3的倍数有4个,(2×3)的倍数2个,知所求数是
例2 分母是105的,最简真分数的和是多少?
105-[(35+21+15)-(3+5+7)+1]=48,
48÷2=24。
27.借助加减恒等式
若从中找出和为1的9个分数,将上式两边同乘以2,得
这九个分数是
2、加法结合律:三个数相加,先把前两个数相加,或先把后两个数相加,再同第三个数相加,和不变。
3、乘法交换律:两数相乘,交换因数的位置,积不变。
4、乘法结合律:三个数相乘,先把前两个数相乘,或先把后两个数相乘,再和第三个数相乘,它们的积不变。
5、乘法分配律:两个数的和同一个数相乘,可以把两个加数分别同这个数相乘,再把两个积相加,结果不变。
如:(2+4)×5=2×5+4×5
6、除法的性质:在除法里,被除数和除数同时扩大(或缩小)相同的倍数,商不变。 O除以任何不是O的数都得O。
简便乘法:被乘数、乘数末尾有O的乘法,可以先把O前面的相乘,零不参加运算,有几个零都落下,添在积的末尾。
7、什么叫等式?等号左边的数值与等号右边的数值相等的式子叫做等式。
等式的基本性质:等式两边同时乘以(或除以)一个相同的数,等式仍然成立。
8、什么叫方程式?答:含有未知数的等式叫方程式。
9、 什么叫一元一次方程式?答:含有一个未知数,并且未知数的次 数是一次的等式叫做一元一次方程式。
学会一元一次方程式的例法及计算。即例出代有χ的算式并计算。
10、分数:把单位“1”平均分成若干份,表示这样的一份或几分的数,叫做分数。
11、分数的加减法则:同分母的分数相加减,只把分子相加减,分母不变。异分母的分数相加减,先通分,然后再加减。
12、分数大小的比较:同分母的分数相比较,分子大的大,分子小的小。
异分母的分数相比较,先通分然后再比较;若分子相同,分母大的反而小。
13、分数乘整数,用分数的分子和整数相乘的积作分子,分母不变。
14、分数乘分数,用分子相乘的积作分子,分母相乘的积作为分母。
15、分数除以整数(0除外),等于分数乘以这个整数的倒数。
16、真分数:分子比分母小的分数叫做真分数。
17、假分数:分子比分母大或者分子和分母相等的分数叫做假分数。假分数大于或等于1。
18、带分数:把假分数写成整数和真分数的形式,叫做带分数。
19、分数的基本性质:分数的分子和分母同时乘以或除以同一个数
(0除外),分数的大小不变。
20、一个数除以分数,等于这个数乘以分数的倒数。
21、甲数除以乙数(0除外),等于甲数乘以乙数的倒数。
分数的加、减法则:同分母的分数相加减,只把分子相加减,分母不变。异分母的分数相加减,先通分,然后再加减。
分数的乘法则:用分子的积做分子,用分母的积做分母。
22、什么叫比:两个数相除就叫做两个数的比。如:2÷5或3:6或1/3
比的前项和后项同时乘以或除以一个相同的数(0除外),比值不变。
23、什么叫比例:表示两个比相等的式子叫做比例。如3:6=9:18
24、比例的基本性质:在比例里,两外项之积等于两内项之积。
25、解比例:求比例中的未知项,叫做解比例。如3:χ=9:18
26、正比例:两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着化,如果这两种量中相对应的的比值(也就是商k)一定,这两种量就叫做成正比例的量,它们的关系就叫做正比例关系。如:y/x=k( k一定)或kx=y
27、反比例:两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的积一定,这两种量就叫做成反比例的量,它们的关系就叫做反比例关系。 如:x×y = k( k一定)或k / x = y
28、百分数:表示一个数是另一个数的百分之几的数,叫做百分数。百分数也叫做百分率或百分比。
29、把小数化成百分数,只要把小数点向右移动两位,同时在后面添上百分号。其实,把小数化成百分数,只要把这个小数乘以100%就行了。
30、把百分数化成小数,只要把百分号去掉,同时把小数点向左移动两位。
31、把分数化成百分数,通常先把分数化成小数(除不尽时,通常保留三位小数),再把小数化成百分数。其实,把分数化成百分数,要先把分数化成小数后,再乘以100%就行了。
32、把百分数化成分数,先把百分数改写成分数,能约分的要约成最简分数。
33、要学会把小数化成分数和把分数化成小数的化发。
34、最大公约数:几个数都能被同一个数一次性整除,这个数就叫做这几个数的最大公约数。(或几个数公有的约数,叫做这几个数的公约数。其中最大的一个,叫做最大公约数。)
35、互质数: 公约数只有1的两个数,叫做互质数。
36、最小公倍数:几个数公有的倍数,叫做这几个数的公倍数,其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。
37、通分:把异分母分数的分别化成和原来分数相等的同分母的分数,叫做通分。(通分用最小公倍数)
38、约分:把一个分数化成同它相等,但分子、分母都比较小的分数,叫做约分。(约分用最大公约数)
39、最简分数:分子、分母是互质数的分数,叫做最简分数。
40、分数计算到最后,得数必须化成最简分数。
41、个位上是0、2、4、6、8的数,都能被2整除,即能用2进行
42、约分。个位上是0或者5的数,都能被5整除,即能用5进行约分。在约分时应注意利用。
43、偶数和奇数:能被2整除的数叫做偶数。不能被2整除的数叫做奇数。
44、质数(素数):一个数,如果只有1和它本身两个约数,这样的数叫做质数(或素数)。
45、合数:一个数,如果除了1和它本身还有别的约数,这样的数叫做合数。1不是质数,也不是合数。
46、利息=本金×利率×时间(时间一般以年或月为单位,应与利率的单位相对应)
47、利率:利息与本金的比值叫做利率。一年的利息与本金的比值叫做年利率。一月的利息与本金的比值叫做月利率。
48、自然数:用来表示物体个数的整数,叫做自然数。0也是自然数。
49、循环小数:一个小数,从小数部分的某一位起,一个数字或几个数字依次不断的重复出现,这样的小数叫做循环小数。如3. 141414
50、不循环小数:一个小数,从小数部分起,没有一个数字或几个数字依次不断的重复出现,这样的小数叫做不循环小数。如圆周率:3. 141592654
51、无限不循环小数:一个小数,从小数部分起到无限位数,没有一个数字或几个数字依次不断的重复出现,这样的小数叫做无限不循环小数。如3. 141592654……
52、什么叫代数? 代数就是用字母代替数。
53、什么叫代数式?用字母表示的式子叫做代数式。如:3x =ab+c
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第二部分:定义定理
一、算术方面
1.加法交换律:两数相加交换加数的位置,和不变。
2.加法结合律:三个数相加,先把前两个数相加,或先把后两个数相加,再同第
三个数相加,和不变。
3.乘法交换律:两数相乘,交换因数的位置,积不变。
4.乘法结合律:三个数相乘,先把前两个数相乘,或先把后两个数相乘,再和第三个数相乘,它们的积不变。
5.乘法分配律:两个数的和同一个数相乘,可以把两个加数分别同这个数相乘,再把两个积相加,结果不变。如:(2+4)×5=2×5+4×5。
6.除法的性质:在除法里,被除数和除数同时扩大(或缩小)相同的倍数,商不变。0除以任何不是0的数都得0。
7.等式:等号左边的数值与等号右边的数值相等的式子叫做等式。
等式的基本性质:等式两边同时乘以(或除以)一个相同的数,等式仍然成立。
8.方程式:含有未知数的等式叫方程式。
9.一元一次方程式:含有一个未知数,并且未知数的次 数是一次的等式叫做一元一次方程式。
学会一元一次方程式的例法及计算。即例出代有χ的算式并计算。
10.分数:把单位“1”平均分成若干份,表示这样的一份或几分的数,叫做分数。
11.分数的加减法则:同分母的分数相加减,只把分子相加减,分母不变。异分母的分数相加减,先通分,然后再加减。
12.分数大小的比较:同分母的分数相比较,分子大的大,分子小的小。
异分母的分数相比较,先通分然后再比较;若分子相同,分母大的反而小。
13.分数乘整数,用分数的分子和整数相乘的积作分子,分母不变。
14.分数乘分数,用分子相乘的积作分子,分母相乘的积作为分母。
15.分数除以整数(0除外),等于分数乘以这个整数的倒数。
16.真分数:分子比分母小的分数叫做真分数。
17.假分数:分子比分母大或者分子和分母相等的分数叫做假分数。假分数大于或等于1。
18.带分数:把假分数写成整数和真分数的形式,叫做带分数。
19.分数的基本性质:分数的分子和分母同时乘以或除以同一个数(0除外),分数的大小不变。
20.一个数除以分数,等于这个数乘以分数的倒数。
21.甲数除以乙数(0除外),等于甲数乘以乙数的倒数。
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第三部分:几何体
1.正方形
正方形的周长=边长×4 公式:C=4a
正方形的面积=边长×边长 公式:S=a×a
正方体的体积=边长×边长×边长 公式:V=a×a×a
2.正方形
长方形的周长=(长+宽)×2 公式:C=(a+b)×2
长方形的面积=长×宽 公式:S=a×b
长方体的体积=长×宽×高 公式:V=a×b×h
3.三角形
三角形的面积=底×高÷2。 公式:S= a×h÷2
4.平行四边形
平行四边形的面积=底×高 公式:S= a×h
5.梯形
梯形的面积=(上底+下底)×高÷2 公式:S=(a+b)h÷2
6.圆
直径=半径×2 公式:d=2r
半径=直径÷2 公式:r= d÷2
圆的周长=圆周率×直径 公式:c=πd =2πr
圆的面积=半径×半径×π 公式:S=πrr
7.圆柱
圆柱的侧面积=底面的周长×高。 公式:S=ch=πdh=2πrh
圆柱的表面积=底面的周长×高+两头的圆的面积。 公式:S=ch+2s=ch+2πr2
圆柱的总体积=底面积×高。 公式:V=Sh
8.圆锥
圆锥的总体积=底面积×高×1/3 公式:V=1/3Sh
三角形内角和=180度。
平行线:同一平面内不相交的两条直线叫做平行线
垂直:两条直线相交成直角,像这样的两条直线,
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第四部分:计算公式
数量关系式:
1、 每份数×份数=总数 总数÷每份数=份数 总数÷份数=每份数
2、 1倍数×倍数=几倍数 几倍数÷1倍数=倍数 几倍数÷倍数=1倍数
3、 速度×时间=路程 路程÷速度=时间 路程÷时间=速度
4、 单价×数量=总价 总价÷单价=数量 总价÷数量=单价
5、 工作效率×工作时间=工作总量 工作总量÷工作效率=工作时间 工作总量÷工作时间=工作效率
6、 加数+加数=和 和-一个加数=另一个加数
7、 被减数-减数=差 被减数-差=减数 差+减数=被减数
8、 因数×因数=积 积÷一个因数=另一个因数
9、 被除数÷除数=商 被除数÷商=除数 商×除数=被除数
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和差问题的公式
(和+差)÷2=大数
(和-差)÷2=小数
和倍问题
和÷(倍数-1)=小数
小数×倍数=大数
(或者 和-小数=大数)
差倍问题
差÷(倍数-1)=小数
小数×倍数=大数
(或 小数+差=大数)
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植树问题:
1 非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形:
⑴如果在非封闭线路的两端都要植树,那么:
株数=段数+1=全长÷株距-1
全长=株距×(株数-1)
株距=全长÷(株数-1)
⑵如果在非封闭线路的一端要植树,另一端不要植树,那么:
株数=段数=全长÷株距
全长=株距×株数
株距=全长÷株数
⑶如果在非封闭线路的两端都不要植树,那么:
株数=段数-1=全长÷株距-1
全长=株距×(株数+1)
株距=全长÷(株数+1)
2 封闭线路上的植树问题的数量关系如下
株数=段数=全长÷株距
全长=株距×株数
株距=全长÷株数
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盈亏问题
(盈+亏)÷两次分配量之差=参加分配的份数
(大盈-小盈)÷两次分配量之差=参加分配的份数
(大亏-小亏)÷两次分配量之差=参加分配的份数
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相遇问题
相遇路程=速度和×相遇时间
相遇时间=相遇路程÷速度和
速度和=相遇路程÷相遇时间
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追及问题
追及距离=速度差×追及时间
追及时间=追及距离÷速度差
速度差=追及距离÷追及时间
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流水问题
顺流速度=静水速度+水流速度
逆流速度=静水速度-水流速度
静水速度=(顺流速度+逆流速度)÷2
水流速度=(顺流速度-逆流速度)÷2
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浓度问题:
溶质的重量+溶剂的重量=溶液的重量
溶质的重量÷溶液的重量×100%=浓度
溶液的重量×浓度=溶质的重量
溶质的重量÷浓度=溶液的重量
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利润与折扣问题:
利润=售出价-成本
利润率=利润÷成本×100%=(售出价÷成本-1)×100%
涨跌金额=本金×涨跌百分比
折扣=实际售价÷原售价×100%(折扣<1)
利息=本金×利率×时间
税后利息=本金×利率×时间×(1-20%)
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面积,体积换算
(1)1公里=1千米 1千米=1000米 1米=10分米 1分米=10厘米 1厘米=10毫米
(2)1平方米=100平方分米 1平方分米=100平方厘米 1平方厘米=100平方毫米
(3)1立方米=1000立方分米 1立方分米=1000立方厘米 1立方厘米=1000立方毫米
(4)1公顷=10000平方米 1亩=666.666平方米
(5)1升=1立方分米=1000毫升 1毫升=1立方厘米
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重量换算:
1吨=1000 千克
1千克=1000克
1千克=1公斤
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人民币单位换算
1元=10角
1角=10分
1元=100分
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时间单位换算:
1世纪=100年 1年=12月
大月(31天)有:1\3\5\7\8\10\12月
小月(30天)的有:4\6\9\11月
平年2月28天, 闰年2月29天
平年全年365天, 闰年全年366天
1日=24小时 1时=60分
1分=60秒 1时=3600秒