花式棉花糖出糖器:中考数学圆压轴题详解
京翰提示:圆作为初中数学中重要的知识点,在历年高考题中都出现在重要的得分点高的部分,尤其是压轴题中,有些同学往往认为压轴题一定是很难很难得到分数的部分,其实在题目中往往前一到两个小题都是考察大家的基础知识,只要正确列出公式就能得到相应的分数。要学好圆的部分,不仅要靠平时的练习,最重要的还是回归课本,把基础知识参透,只有基础牢固了,才能进一步对圆的认识进行延伸和扩展。
1 如图,将△AOB置于平面直角坐标系中,其中点O为坐标原点,点A的坐标为(3,0),∠ABO=60°.
(1)若△AOB的外接圆与y轴交于点D,求D点坐标.
(2)若点C的坐标为(-1,0),试猜想过D、C的直线与△AOB的外接圆的位置关系,并加以说明.
(3)二次函数的图象经过点O和A且顶点在圆上,求此函数的解析式.
(1)求
(2)写出
(3)试猜想
3 (10分)如图,点I是△ABC的内心,线段AI的延长线交△ ABC的外接圆于点D,交BC边于点E.
(1)求证:ID=BD;
(2)设△ABC的外接圆的半径为5,ID=6,
4 如图,点A,B,C,D是直径为AB的⊙O上四个点,C是劣弧
(2)试探究四边形ABCD是否是梯形?若是,请你给予
证明并求出它的面积;若不是,请说明理由. (4分)
(3)延长AB到H,使BH =OB.
求证:CH是⊙O的切线. (3分)
5 如图10,半圆O为△ABC的外接半圆,AC为直径,D为
(1)问添加一个什么条件后,能使得
(2)若AB∥OD,点D所在的位置应满足什么条件?请说明理由;
(3)如图11,在 (1)和(2)的条件下,四边形AODB是什么特殊的四边形?证明你的结论.
6
6 如图1,已知正方形ABCD的边长为
(1)除正方形ABCD的四边和⊙O中的半径外,图中还有哪些相等的线段(不能添加字母和辅助线)?
(2)求四边形CDPF的周长;
7 如图,在平面直角坐标系
(1)求
(2)求直线
(3)在
1 解:(1)连结AD.
∴∠ADO=60°…..1分
由点A的坐标为(3,0)得OA=3.
∵在Rt△ADO中有
cot∠ADO=
∴OD=OA·cot∠ADO=3·cot60°=3×
∴点D的坐标为(0,
(2)DC与△AOB的外接圆相切于点D,理由如下:
由(1)得OD=
∴
又∵C点坐标是(-1,0),
∴OC=1.
∴
∵AC=OA+OC=3+1=4,
∴CD2+AD2=22+(2
∴∠ADC=90°,即AD⊥DC.
由∠AOD=90°得AD为圆的直径.
∴DC与△AOB的外接圆相切于点D……………6分
(说明:也可用解直角三角形或相似三角形等知识求解.)
(3)由二次函数图象过点O(0,0)和A(3,0),
可设它的解析式为 y=ax(x-3)(a≠0).
如图,作线段OA的中垂线交△AOB的外接圆于E、F两点,交AD于M点,交OA于N点.
由抛物线的对称性及它的顶点在圆上可知,抛物线的顶点就是点E或F.
∵EF垂直平分OA,
∴EF是圆的直径.
又∵AD是圆的直径,
∴EF与AD的交点M是圆的圆心………….7分
由(1)、(2)得OA=3,AD=2
∴AN=
∴
∴FN=FM-MN=
∴点E的坐标是(
当点E为抛物线顶点时,
有
a=
∴y=
即y=
当点F为抛物线顶点时,
有
a=
∴y=
即y=
故二次函数的解析式为y=
2 (1)
(2)
(3)
3
∵ 点I是△ABC的内心,
∴ ∠BAD=∠CAD,∠ABI=∠CBI. ………………2分
∵ ∠CBD=∠CAD,
∴ ∠BAD=∠CBD. ……………………………3分
∴ ∠BID=∠ABI+∠BAD =∠CBI+∠CBD=∠IBD.
∴ ID=BD. ………………………5分
(2)解:如图,
∵∠BAD=∠CBD=∠EBD, ∠D=∠D,
∴ △ABD∽△BED. …………………………7分
∴
∵ ID=6,AD=x,DE=y,∴ xy=36. ………………9分
又∵ x=AD>ID=6, AD不大于圆的直径10,
∴ 6
∴
说明:只要求对xy=36与6<x≤10,不写最后一步,不扣分.
4 (1)证明:∵C是劣弧
∴
而
∴
(2)证明:连结
∵
∴
∴
由已知
∴
∴
∴
∴
法一:
过C作CF垂直AB于F,连结OC,则
∴
∴
∴
法二:(接上证得四边形ABCD是梯形)
又
∴
∴
(3)证明:连结OC交BD于G由(2)得四边形OBCD是菱形,
∴
又已知OB=BH , ∴
∴
5 解: (1)添加 AB=BD 2分
∵AB=BD ∴
又∵∠DBE =∠DBC ∴△BDE∽△BCD
∴
(2)若AB∥DO,点D所在的位置是
∵AB∥DO ∴∠ADO =∠BAD 6分
∵∠ADO =∠OAD ∴∠OAD =∠BAD ∴
(3)在(1)和(2)的条件下,.
∵
又∵AB∥DO ∴四边形AODB是平行四边形 9分
∵OA=OD ∴平行四边形AODB是菱形 10分
6 解:(1)FB=FE ,PE=PA 2分
(2)四边形CDPF的周长为
FC+CD+DP+PE+EF=FC+CD+DP+PA+BF 3分
=BF+FC+CD+DP+PA 4分
=BC+CD+DA 5分
=
(3)存在. 7分
若
∵ cos∠OFB=
∴ ∠OFB=∠GFC
又 ∵ ∠OFB=∠OFE
∴ ∠OFE=∠OFB=∠GFC=
∴ 在
∴ 在
CG=
∴
∴
∴
7 解:(1)解方程
连结
又
在
(用其它方法求
设直线
(3)如图2,