公安网驾照查询:2010全国中考数学试题汇编:压轴题(三)及答案
2010年部分省市中考数学试题分类汇编
压轴题(二)
26.(河北省本小题满分12分)
某公司销售一种新型节能产品,现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售.
若只在国内销售,销售价格y(元/件)与月销量x(件)的函数关系式为y =
成本为20元/件,无论销售多少,每月还需支出广告费62500元,设月利润为w内(元)(利润 = 销售额-成本-广告费).
若只在国外销售,销售价格为150元/件,受各种不确定因素影响,成本为a元/件(a为
常数,10≤a≤40),当月销量为x(件)时,每月还需缴纳
(1)当x = 1000时,y = 元/件,w内 = 元;
(2)分别求出w内,w外与x间的函数关系式(不必写x的取值范围);
(3)当x为何值时,在国内销售的月利润最大?若在国外销售月利润的最大值与在国内销售月利润的最大值相同,求a的值;
(4)如果某月要将5000件产品全部销售完,请你通过分析帮公司决策,选择在国内还是在国外销售才能使所获月利润较大?
参考公式:抛物线
解:(1)140 57500;
(2)w内 = x(y -20)- 62500 =
w外 =
(3)当x =
由题意得
解得a1 = 30,a2 = 270(不合题意,舍去).所以 a = 30.
(4)当x = 5000时,w内 = 337500, w外 =
若w内 < w外,则a<32.5;
若w内 = w外,则a = 32.5;
若w内 > w外,则a>32.5.
所以,当10≤ a <32.5时,选择在国外销售;
当a = 32.5时,在国外和国内销售都一样;
当32.5< a ≤40时,选择在国内销售.
23. (德州市本题满分11分)
已知二次函数
(1)求此函数的解析式及图象的对称轴;
(2)点P从B点出发以每秒0.1个单位的速度沿线段BC向C点运动,点Q从O点出发以相同的速度沿线段OA向A点运动,其中一个动点到达端点时,另一个也随之停止运动.设运动时间为t秒.
①当t为何值时,四边形ABPQ为等腰梯形;
解:(1)∵二次函数
∴c =-3.
将点A(3,0),B(2,-3)代入
解得:a=1,b=-2.
∴
配方得:
(2) 由题意可知:BP= OQ=0.1t.
∵点B,点C的纵坐标相等,
∴BC∥OA.
过点B,点P作BD⊥OA,PE⊥OA,垂足分别为D,E.
要使四边形ABPQ为等腰梯形,只需PQ=AB.
即QE=AD=1.
又QE=OE-OQ=(2-0.1t)-0.1t=2-0.2t,
∴2-0.2t=1.
解得t=5.
即t=5秒时,四边形ABPQ为等腰梯形.-------------------6分
②设对称轴与BC,x轴的交点分别为F,G.
∵对称轴x=1是线段BC的垂直平分线,
∴BF=CF=OG=1.
又∵BP=OQ,
∴PF=QG.
又∵∠PMF=∠QMG,
∴△MFP≌△MGQ.
∴MF=MG.
∴点M为FG的中点 -------------------8分
∴S=
=
由
∴S=
又BC=2,OA=3,
∴点P运动到点C时停止运动,需要20秒.
∴0
∴当t=20秒时,面积S有最小值3.------------------11分
26.(宁德市本题满分13分)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,BC=6,AD=3,∠DCB=30°.点E、F同时从B点出发,沿射线BC向右匀速移动.已知F点移动速度是E点移动速度的2倍,以EF为一边在CB的上方作等边△EFG.设E点移动距离为x(x>0).
⑴△EFG的边长是____(用含有x的代数式表示),当x=2时,点G的位置在_______;
⑵若△EFG与梯形ABCD重叠部分面积是y,求
①当0<x≤2时,y与x之间的函数关系式;
②当2<x≤6时,y与x之间的函数关系式;
解:⑴ x,D点;………………3分
⑵ ①当0<x≤2时,△EFG在梯形ABCD内部,所以y=
②分两种情况:
Ⅰ.当2<x<3时,如图1,点E、点F在线段BC上,
△EFG与梯形ABCD重叠部分为四边形EFNM,
∵∠FNC=∠FCN=30°,∴FN=FC=6-2x.∴GN=3x-6.
由于在Rt△NMG中,∠G=60°,
所以,此时 y=
Ⅱ.当3≤x≤6时,如图2,点E在线段BC上,点F在射线CH上,
△EFG与梯形ABCD重叠部分为△ECP,
∵EC=6-x,
∴y=
⑶当0<x≤2时,∵y=
∴x=2时,y最大=
当2<x<3时,∵y=
当3≤x≤6时,∵y=
∴x=3时,y最大=
25.(2010年北京顺义)如图,直线
(1)求直线
(2)直线
①求点
②请你通过归纳得出点
解:(1)由题意,得
∴直线
∵点
∴
∴
∴直线
(2)① A点坐标为 (0,1),
则
∴
∴
∴
则
∴
∴
同理,可得
②经过归纳得
当动点
即
24.(宜宾市本题满分l2分)
将直角边长为6的等腰Rt△AOC放在如图所示的平面直角坐标系中,点O为坐标原点,点C、A分别在x、y轴的正半轴上,一条抛物线经过点A、C及点B(–3,0).
(1)求该抛物线的解析式;
(2)若点P是线段BC上一动点,过点P作AB的平行线交AC于点E,连接AP,当△APE的面积最大时,求点P的坐标;
(3)在第一象限内的该抛物线上是否存在点G,使△AGC的面积与(2)中△APE的最大面积相等?若存在,请求出点G的坐标;若不存在,请说明理由.
解:(1)如图,∵抛物线y=ax2+bx+c(a ≠ 0)的图象经过点A(0,6),
∵抛物线的图象又经过点(–3,0)和(6,0),
∴0=36a+6b+6 ………………………………2分
解之,得33 …………………………3分
故此抛物线的解析式为:y= – 3x2+x+6…………4分
(2)设点P的坐标为(m,0),
则PC=6–m,S△ABC = 2 BC·AO = 2×9×6=27.……………5分
∵PE∥AB,
∴△CEP∽△CAB.…………………………………………6分
∴S△CAB = (BC)2,即 27 = ( 9 ) 2
∴S△CEP = 3(6–m)2.…………………………………………………7分
∵S△APC = 2PC·AO = 2(6–m)´6=3 (6–m)
∴S△APE = S△APC–S△CEP =3 (6–m) – 3(6–m)2 = – 3(m– 2)2+4.
当m = 2时,S△APE有最大面积为4;此时,点P的坐标为(2,0).………8分
(3)如图,过G作GH⊥BC于点H,设点G的坐标为G(a,b),………………9分
连接AG、GC,
∵S梯形AOHG = 2a (b+6),
S△CHG = 2(6– a)b
∴S四边形AOCG = 2a (b+6) + 2(6– a)b=3(a+b).……………………10分
∴4 =3(a+b)–18.……………11分
∵点G(a,b)在抛物线y= – 3x2+x+6的图象上,
∴b= – 3a2+a+6.
∴4 = 3(a – 3a2+a+6)–18
化简,得4a2–24a+27=0
解之,得a1= 2,a2= 2
故点G的坐标为(2,4)或(2,4). ……………………………………12分
24.(荆州市12分)如图,直角梯形OABC的直角顶点O是坐标原点,边OA,OC分别在x轴、y轴的正半轴上,OA∥BC,D是BC上一点,BD=
(1)直接写出D点的坐标;
(2)设OE=x,AF=y,试确定y与x之间的函数关系;
(3)当△AEF是等腰三角形时,将△AEF沿EF折叠,得到△
解:(1)D点的坐标是
(2)连结OD,如图(1),由结论(1)知:D在∠COA的平分线上,则
∠DOE=∠COD=45°,又在梯形DOAB中,∠BAO=45°,∴OD=AB=3
由三角形外角定理得:∠1=∠DEA-45°,又∠2=∠DEA-45°
∴∠1=∠2, ∴△ODE∽△AEF (4分)
∴y与x的解析式为:
(3)当△AEF为等腰三角形时,存在EF=AF或EF=AE或AF=AE共3种情况.
①当EF=AF时,如图(2).∠FAE=∠FEA=∠DEF=45°,
B在A’F上(A’F⊥EF)
∴△A’EF与五边形OEFBC重叠的面积为
四边形EFBD的面积.
∵
∴
∴
∴
②当EF=AE时,如图(3),此时△A’EF与五边形OEFBC重叠部分面积为△A’EF面积.
∠DEF=∠EFA=45°
∴四边形DEAB是平行四边形
∴AE=DB=
∴
③当AF=AE时,如图(4),四边形AEA’F为菱形且△A’EF在五边形OEFBC内.
∴此时△A’EF与五边形OEFBC重叠部分面积为△A’EF面积.
∴AE=AF=OA-OE=
过F作FH⊥AE于H,则
∴
综上所述,△A’EF与五边形OEFBC重叠部分的面积为
24.(湖北省咸宁市 本题满分12分)
如图,直角梯形ABCD中,AB∥DC,
(1)当
(2)当0<t<2时,如果以C、P、Q为顶点的三角形为直角三角形,求t的值;
(3)当t>2时,连接PQ交线段AC于点R.请探究
解:(1)过点C作
此时,Rt△AQM∽Rt△ACF.……2分
∴
即
(2)∵
①当
此时
此时Rt△PEQ∽Rt△QMA,∴
由(1)知,
而
∴
(3)
当
由(1)得,
∴
∴
∴四边形AMQP为矩形. ∴
∴△CRQ∽△CAB.
∴
25. (北京市)问题:已知△ABC中,ÐBAC=2ÐACB,点D是△ABC内的一点,且AD=CD,BD=BA。
探究ÐDBC与ÐABC度数的比值。
先将图形特殊化,得出猜想,再对一般情况进行分析并加以证明。
(1) 当ÐBAC=90°时,依问题中的条件补全右图。
观察图形,AB与AC的数量关系为 ;
当推出ÐDAC=15°时,可进一步推出ÐDBC的度数为 ;
可得到ÐDBC与ÐABC度数的比值为 ;
(2) 当ÐBAC¹90°时,请你画出图形,研究ÐDBC与ÐABC度数的比值
是否与(1)中的结论相同,写出你的猜想并加以证明。
(2) 猜想:ÐDBC与ÐABC度数的比值与(1)中结论相同。
证明:如图2,作ÐKCA=ÐBAC,过B点作BK//AC交CK于点K,
连结DK。∵ÐBAC¹90°,∴四边形ABKC是等腰梯形,
∴CK=AB,∵DC=DA,∴ÐDCA=ÐDAC,∵ÐKCA=ÐBAC,
∴ÐKCD=Ð3,∴△KCD@△BAD,∴Ð2=Ð4,KD=BD,
∵ÐKCA=2ÐACB,∴Ð5=ÐACB,∴Ð5=Ð6,∴KC=KB,
∴KD=BD=KB,∴ÐKBD=60°,∵ÐACB=Ð6=60°-Ð1,
∴ÐBAC=2ÐACB=120°-2Ð1,
∵Ð1+(60°-Ð1)+(120°-2Ð1)+Ð2=180°,∴Ð2=2Ð1,
∴ÐDBC与ÐABC度数的比值为1:3。
26、(天津市本小题10分)
在平面直角坐标系中,已知抛物线
(Ⅰ)若
(Ⅱ)将(Ⅰ)中的抛物线向下平移,若平移后,在四边形ABEC中满足
S△BCE = S△ABC,求此时直线
(Ⅲ)将(Ⅰ)中的抛物线作适当的平移,若平移后,在四边形ABEC中满足
S△BCE = 2S△AOC,且顶点
解:(Ⅰ)当
∴ 抛物线顶点
(Ⅱ)将(Ⅰ)中的抛物线向下平移,则顶点
∴ 抛物线的解析式为
∴ 此时,抛物线与
∵ 方程
∴ 此时,抛物线与
∵ S△BCE = S△ABC,
∴ S△BCF = S△ABC.
∴
设对称轴
则
由EF∥CB,得
∴ Rt△EDF∽Rt△COB.有
∴
∴ 点
24. (东营市本题满分10分)
如图,在锐角三角形ABC中,
(1)当正方形DEFG的边GF在BC上时,求正方形DEFG的边长;
解:(1)当正方形DEFG的边GF在BC上时,如图
(1),过点A作BC边上的高AM,交DE于N,垂足为M.
∵S△ABC=48,BC=12,∴AM=8.
∵DE∥BC,△ADE∽△ABC, ………1分
∴
而AN=AM-MN=AM-DE,∴
解之得
∴当正方形DEFG的边GF在BC上时,正方形DEFG的边长为4.8.…3分
①当正方形DEFG在△ABC的内部时,如图(2),△ABC
与正方形DEFG重叠部分的面积为正方形DEFG的面积,
∵DE=x,∴
②当正方形DEFG的一部分在△ABC的外部时,
如图(2),设DG与BC交于点Q,EF与BC交于点P,
∵DE=x,DE∥BC,∴△ADE∽△ABC, …………5分
即
∴
所以
由题意,x>4.8,x<12,所以
因此△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为
当
当
△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积的最大值为
因为24>23.04,
所以△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积的最大值为24. …10分
(1)求抛物线的函数解析式,并写出顶点D的坐标;
(2)在直线EF上求一点H,使△CDH的周长最小,并求出最小周长;
(3)若点K在x轴上方的抛物线上运动,当K运动到什么位置时,
△EFK的面积最大?并求出最大面积.
解:(1)由题意,得
所以抛物线的解析式为
(2)设抛物线的对称轴与x轴交于点M.因为EF垂直平分BC,即C关于直线EG的对称点为B,连结BD交于EF于一点,则这一点为所求点H,使DH + CH最小,即最小为
DH + CH = DH + HB = BD =
∴ △CDH的周长最小值为CD + DR + CH =
设直线BD的解析式为y = k1x + b,则
所以直线BD的解析式为y =
由于BC = 2
得 CE : CO = CG : CB,所以 CG = 2.5,GO = 1.5.G(0,1.5).
同理可求得直线EF的解析式为y =
联立直线BD与EF的方程,解得使△CDH的周长最小的点H(
(3)设K(t,
则 KN = yK-yN =
所以 S△EFK = S△KFN + S△KNE =
即当t =-
26.(钦州市本题满分10分)
如图,将OA = 6,AB = 4的矩形OABC放置在平面直角坐标系中,动点M、N以每秒1个单位的速度分别从点A、C同时出发,其中点M沿AO向终点O运动,点N沿CB向终点B运动,当两个动点运动了t秒时,过点N作NP⊥BC,交OB于点P,连接MP.
(1)点B的坐标为 ▲ ;用含t的式子表示点P的坐标为 ▲ ;(3分)
(2)记△OMP的面积为S,求S与t的函数关系式(0 < t < 6);并求t为何值时,S有最大值?(4分)
(3)试探究:当S有最大值时,在y轴上是否存在点T,使直线MT把△ONC分割成三角形和四边形两部分,且三角形的面积是△ONC面积的
解:(1)(6,4);(
(2)∵S△OMP =
∴S =
=
∴当
(3)存在.
由(2)得:当S有最大值时,点M、N的坐标分别为:M(3,0),N(3,4),
则直线ON的函数关系式为:
解方程组
∴直线ON与MT的交点R的坐标为
∵S△OCN =
① 当点T在点O、C之间时,分割出的三角形是△OR1T1,如图,作R1D1⊥y轴,D1为垂足,则S△OR1T1=
∴
∴b1 =
此时点T1的坐标为(0,
② 当点T在OC的延长线上时,分割出的三角形是△R2NE,如图,设MT交CN于点E,由①得点E的横坐标为
S△R2NE=
∴
∴b1=
∴此时点T2的坐标为(0,
综上所述,在y轴上存在点T1(0,
26.( 福建省南平市14分)如图1,已知点B(1,3)、C(1,0),直线y=x+k经过点B,且与x轴交于点A,将△ABC沿直线AB折叠得到△ABD.
(1)填空:A点坐标为(____,____),D点坐标为(____,____);
(2)若抛物线y= 3x2+bx+c经过C、D两点,求抛物线的解析式;
(3)将(2)中的抛物线沿y轴向上平移,设平移后所得抛物线与y轴交点为E,点M是平移后的抛物线与直线AB的公共点,在抛物线平移过程中是否存在某一位置使得直线EM∥x轴.若存在,此时抛物线向上平移了几个单位?若不存在,请说明理由.
(提示:抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是x=-2a,顶点坐标是(-2a,4a)
解:(1) A(-2,0) ,D(-2,3)
(2)∵抛物线y= 3x2+bx+c 经过C(1,0), D(-2,3)
代入,解得:b=- 3,c= 3
∴ 所求抛物线解析式为:y= 3x2 -3 x+3
(3)答:存在
解法一: 设抛物线向上平移H个单位能使EM∥x轴,
则平移后的解析式为:y= 3x2 -3 x+3+h =
此时抛物线与y轴交点E(0,
当点M在直线y=x+2上,且满足直线EM∥x轴时
则点M的坐标为(
又 ∵M在平移后的抛物线上,则有
解得: h=
(?)当 h=
(ii)当 h=
综合(i)(ii)可知,抛物线向上平移
解法二:∵当点M在抛物线对称轴的左侧或在抛物线的顶点时,仅当M,E重合时,它们的纵坐标相等。
∴EM不会与x轴平行
当点M在抛物线的右侧时,设抛物线向上平移H个单位能使EM∥x轴
则平移后的抛物线的解析式为∵y=
∴ 抛物线与Y轴交点E(0,
∵抛物线的对称轴为:x=1
根据抛物线的对称性,可知点M的坐标为(2,
将(2,
∴ 抛物线向上平移
26. (河池市 本小题满分12分)
如图11,在直角梯形
(1)线段
(3)求过
(4)若点
抛物线上的点,且以
为平行四边形,求点
(2)在直角梯形OABC中,OA=AB=4,
∵
又 ∵ OA=2BC
∴ AM=2CM ,CM=
所以
(注:另有其它解法同样可得结果,正确得本小题满分.)
(3)设抛物线的解析式为
由抛物线的图象经过点
解这个方程组,得
所以抛物线的解析式为
(4)∵ 抛物线
① 当点E在
② 当点E在
同理,点F在对称轴
综上所述,点F的坐标为