偶看新闻剑三和尚阵眼:三大类递推数列通项公式的求法
来源：百度文库 编辑：偶看新闻 时间：2024/04/17 06:00:23
一、一阶线性递推数列求通项问题
一阶线性递推数列主要有如下几种形式：
1.
这类递推数列可通过累加法而求得其通项公式(数列{f(n)}可求前n项和).
当
为常数时，通过累加法可求得等差数列的通项公式．而当为等差数列时，则为二阶等差数列，其通项公式应当为
形式，注意与等差数列求和公式一般形式的区别，后者是
，其常数项一定为０．
2.
这类递推数列可通过累乘法而求得其通项公式(数列{g(n)}可求前n项积).
当
为常数时，用累乘法可求得等比数列的通项公式．
3.
；
这类数列通常可转化为
，或消去常数转化为二阶递推式
.
例１已知数列
中，
,求的通项公式．
解析：解法一：转化为型递推数列．
∵
∴
又
，故数列｛
｝是首项为２，公比为２的等比数列．∴
，即
．
解法二：转化为型递推数列．
∵
=2xn-1+1(n≥2) ① ∴
=2xn+1 ②
②－①，得
(n≥2)，故｛
｝是首项为x2-x1=2，公比为２的等比数列，即
，再用累加法得．
解法三：用迭代法．
当然,此题也可用归纳猜想法求之，但要用数学归纳法证明．
例２ 已知函数
的反函数为
求数列的通项公式.
解析：由已知得
，则
．
令
=,则
.比较系数，得
.
即有
．∴数列｛
｝是以
为首项，
为公比的等比数列，∴
，故
．
评析：此题亦可采用归纳猜想得出通项公式，而后用数学归纳法证明之．
（4）
若取倒数,得
，令
，从而转化为（1）型而求之.
（5）
；
这类数列可变换成
，令
，则转化为(1)型一阶线性递推公式.
例３ 设数列
求数列的通项公式．
解析：∵
，两边同除以
，得
．令
，则有
．于是，得
，∴数列
是以首项为
，公比为
的等比数列，故
，即
，从而
．
例４ 设
求数列的通项公式．
解析：设
用
代入，可解出
．
∴
是以公比为-2，首项为
的等比数列．
∴
，
即
．
（6）
这类数列可取对数得
，从而转化为等差数列型递推数列.
二、可转化为等差、等比数列或一些特殊数列的二阶递推数列
例５ 设数列
求数列的通项公式．
解析：由
可得
设
故
即
用累加法得
或
例６ 在数列
求数列的通项公式．
解析：可用换元法将其转化为一阶线性递推数列．
令
使数列
是以
为公比的等比数列(
待定)．
即
∴
对照已给递推式， 有
即
的两个实根．
从而
∴
①
或
②
由式①得
；由式②得
．
消去
．
例７ 在数列
求
．
解析：由
①，得
②．
式②+式①，得
，从而有
．∴数列是以６为其周期．故=
=-1．
三、特殊的n阶递推数列
例８ 已知数列满足
，求的通项公式．
解析：∵
①
∴
②
②－①，得
．∴
故有
将这几个式子累乘，得
又
例9 数列｛｝满足
，求数列｛｝的同项公式．
解析：由
①，得
②．
式①－式②，得
，或
，故有
.
∴
,
.
将上面几个式子累乘，得
，即
．
∵
也满足上式，∴
．