宜准s2怎么样:数独背后的四个数学问题

^{即使是天使也会为数学问题苦思冥想。德国名画家丢勒的这幅木刻画《忧郁症》（Melencolia）描述的就是一个因为数学患上忧郁症的天使。}

^{让画中天使牵挂的就是墙上挂着的数字迷宫，横向、纵向、对角线数字的和都是34，在最下面一行的中间两格，画家自娱地留下了创作年代1514.}

　　1　欧拉与拉丁方

　　作为数学史上最传奇、最多产的大师之一，瑞士数学家欧拉（LeonardEuler，1707—1783）在18世纪研究了一种有趣的数字方阵：考虑一个阶数（亦即行数和列数）为n的方阵，在小格里填入n种符号或数字，在每一行/列中，每一个符号出现且仅出现一次。这种方阵源自中世纪的格盘游戏，其求解过程可归结为“染色问题”———一个数学中最古老的问题之一。因为最初随手填入方阵内的是一个个拉丁字母，欧拉将这样的方阵命名为拉丁方（Latin Square）。拉丁方在实验设计、数据检验和幻方构造等领域应用极广。

　　很容易发现，数独其实正是一种特殊的拉丁方。惟一不同的是，数独加上了两个额外的条件：一、在每个小九宫格的区域内，每个数字同样出现且只出现一次；二、给出的初始数字必须对称。

　　2　终盘的可能性

　　通常将一个完成了的数独题目称为终盘。在数独游戏风行后，人们很快便希望知道这个游戏究竟存在多少个终盘形式。对此，德国数学家BertramFelgenhauer在2005年给出了答案：数独的最大可能终盘数为6，670，903，752，021，072，936，960种。

　　Felgenhauer的算式为9！×722×27×27，704，267，971，最后的数字是一个大质数。虽然这个天文数字已经足够惊人，但考虑到作为一种特殊限制的拉丁方，数独终盘的可能性只是可能存在的九阶拉丁方数目的0.00012%！

　　另一个方面，考虑到数独游戏的初始数字对称要求，以上结果可能有相当程度的重复，亦即其终盘结果会出现大量的雷同。据此，英国数学家FrazerJarvis和EdRussell给出了更准确的不同终盘数：5，472，730，538.这样一来，有志于破解所有数独题目的玩家又看到了希望的曙光，担心游戏被穷尽而没有游戏可玩的爱好者也不必焦虑：毕竟这个数目和地球人口一样多。

　　3　最小初盘问题

　　与终盘相对应，一个数独游戏给出的初始条件称为初盘。由于规则所限，给出的初盘数字个数必须在32以下。

　　一般常见的初盘数字个数在22—28之间，而数独爱好者们常问的一个问题是：最少给出多少个数字，数独游戏才确保有惟一解？具体地说：最少需要在初盘中给出多少个数字，使得移除其中任何一个数字该数独游戏便没有惟一解。

　　事实上，这个问题是数独中最有数学趣味的问题之一，并且至今仍未得到解决。但数学家们估计，这个数字很可能是17.17个数字的最小惟一解初盘是由一名日本数独爱好者发现的。澳大利亚数学家GordonRoyle已经收集了36628个17个数字的惟一解初盘，而爱尔兰数学家Gary McGuire则致力于寻找16个数字的惟一解初盘，但至今仍无发现。部分数学家开始退而求其次，转而寻找只有两个解的16个数字初盘。

　　统计学家根据一个统计学原理曾随机地构造了大量17个数字的初盘，发现其中有惟一解的初盘只有数个未被GordonRoyle教授发现，这意味着，最小惟一解初盘问题的最终答案可能正是17：因为从理论上说，如果16个数字的惟一解终盘存在，那么每一个必将引起65个17个数字惟一解终盘的增加，而在研究中至今没有观察到这一效应。

　　4　最大初盘问题

　　与最小初盘问题相反，人们还可以提出最大初盘问题。

　　也就是说：在一个数独初盘中，最多能给出多少个数字，使得再增加一个数字该问题便只有惟一解。

　　相对于最小初盘问题，最大初盘问题容易解决得多。采用倒推法，在初始数字为80的情况下无需说明，缺啥补啥即可；在初始数字为79的初盘中也大约如此，因为考虑到必须满足每一个小九宫格内每个数字出现且仅出现一次，这意味着所缺少的数字都必须出现在同一个九宫格内，考虑到这个情况，还可以依次推出78的初盘也有惟一解。但当初盘中给定数字变为77的时候，该数独游戏便会出现至少两解。

　　数字游戏

　　“数独”可以被定义为一种逻辑智力拼图游戏，也可以被称为“数字游戏”。顾名思义，“数独”可以理解为一组独立的数字，将这组数字以一定的规则组合在一定区域内，便是数独游戏的主要内容。

　　具体地说，拼图是大九宫格（即3格宽×3格高）的正方形状，由9个小九宫格组成。游戏的目标是在每一个小九宫格中，不重复地填上1至9的数字，让整个大九宫格每一列、每一行的数字都不重复。一般而言，一条数独题会给出1/3左右的数字作为初始条件，剩下的2/3空白处由读者完成。

　　也许正是因为规则简单，所以数独才能迅速风靡世界。既然玩数独游戏无需数学运算或证明，似乎完全可以将其称为“数字游戏”。

　　传播史

　　Nikoli是所有数独爱好者需要感谢的第一个名字。

　　数独游戏在1979年前后已经在美国Dell杂志上刊登，但在众多填字游戏中并未引起特别注意。直到1984年，日本的填字游戏出版商Nikoli公司的煅治真起从美国发现了这个游戏，决定引入日本并将其命名为Sudoku，意思是“每个数字只能出现一次”。

　　随着Sudoku游戏在日本国内大受欢迎，Nikoli公司在1986年对其进行了两项改良：其一是题目中给出的初始数字限定在32个以内，其二是给出数字的分布采用对称形式。这就是今天我们看到的数独游戏的面貌。

　　很难解释为何在此后的十多年里，数独游戏一直只在日本国内流行。但可以肯定的是，将数独游戏重新发现并推广到国际市场的，是一名香港高等法院退休法官、新西兰人高乐德。他在1997年一次日本旅行中，在书店内发现数独游戏，立刻被其吸引住。此后高乐德花了六年时间开发数独出题程序，并向英国《泰晤士报》等报社出售其编写的数独题目。英国市场反应极佳，数独开始风行全球，而高乐德本人也因此获得巨额收入。

　　经过两年的迅速发展，数独游戏已经“侵入”了几乎一切公共传播领域：数以千计的报纸提供数独游戏，数十种数独刊物，全球各地分别成立了数独爱好者团体，电视上已经出现了数独节目，而第一届数独世界锦标赛也在今年的3月举行，捷克一名女会计师夺冠。

   手工劳动-怎样出一道数独题

　　骨灰级数独玩家对用计算机程序编写的数独题目始终抱有成见，认为其偏离了数独的初衷，日本Nikoli公司多年来就一直坚持其出版的所有数独题目皆由人工算出。对于那些既不擅长编程序，又不愿意费时耗力慢慢推算的数独爱好者而言，吴硕辛先生介绍的一种出题方法可谓简单易行。

　　吴硕辛先生多年来一直从事高阶幻方研究，其发表的mi（q）理论被誉为是幻方研究的最前沿成果之一。

　　年届七旬的吴先生最初被数独游戏吸引，也正是因为在其中看到了拉丁方的影子：“对我们搞幻方的人来说，构造对角拉丁方是最常用的手段之一。”吴先生在研究中发现，如果将九阶拉丁方（当然空格里填的必须是1-9的数字）与已有的一道数独题相结合，可以很方便地得出一道新的数独题。

　　具体做法是：准备任意一个完整的九阶拉丁方（81格都填满，后文以A代表）和任意一道现有的数独题（后文以B代表）。将B中所出的数字的位置分别标为b1，b2，b3……bn，然后在A中找到相对应的位置a1，a2，a3……an，再将B中b1至bn的数值分别替换为a1至an的数值，空白的格子仍旧留为空白，这样就能得到一个新的数独题，并且保证有解。

　　数独与魔方

　　稍加观察即可发现，“数独”中的数字1－9可以被替换为任意不重复的数组，也可以换为a、b、c、d等非数字序列，甚至可以替换为9种不同的颜色，只要这些颜色之间有明显区别。这让人们想起了80年代风靡全球的魔方游戏，事实上，数独的游戏规则看起来正像是一个平面化了的魔方的逆过程。

　　魔方（Rubik''s Cube）是匈牙利建筑学教授和雕塑家厄尔诺·鲁比克于1974年发明的机械益智玩具，最初被用于帮助学生们认识空间立方体的组成和结构。最初的魔方是三阶立方体，每个面上有九个带颜色的小方块，其中包含6个处于面最中心无法移动的块，12个位于棱上的块和8个角块。一个复原好的魔方六个面各由同一种颜色组成，一般来说，标准的魔方的颜色应该是蓝、白、红、绿、黄和橙色，其中蓝白相对、绿黄相对、红橙相对。

　　三阶魔方的常用解法由七个步骤组成，一般玩家记住这七个步骤可以在一分钟内将魔方复原。后经数学家Jessica Fridrich女士研究，采用新的方法可以在四个步骤内复原一个三阶魔方，但熟练运用这四个步骤需要记住119个数学公式。

　　本版撰文/实习生张力