国后侠:导数及其应用

导数及其应用

一、《标准》和《大纲》的比较

表6  13 “导数及其应用”的比较

《标准》的内容与要求 《大纲》的教学目标 (1)导数概念及其几何意义 ① 通过对大量实例的分析,经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,了解导数概念的实际背景,知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵。 (1)了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度,加速度,光滑曲线切线的斜率等);掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义;理解导函数的概念。 ②通过函数图像直观地理解导数的几何意义 (2)导数的运算 ① 能根据导数定义求函数y=c,y=x,y=x2,y=x3,y=1/x,y=x的导数。 (2)熟记基本导数公式(c,xm(m为有理数),sinx,cosx,ex,ax,lnx,logax的导数);掌握两个函数和、差、积、商的求导法则和复合函数的求导法则,会求某些简单函数的导数。 ② 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数,能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax+b))的导数。 ③ 会使用导数公式表。   (3)理解微分的概念(dy=y′dx),了解函数在一点处的微分是函数增量的线性近似值,会求某些简单函数的微分。 (3)导数在研究函数中的应用。 ① 结合实例,借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求不超过三次的多项式函数的单调区间。 (4)会从几何直观了解可导函数的单调性与其导数的关系;了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号);会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值。   ② 结合函数的图像,了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值,以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值;体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。 (4)生活中的优化问题举例。 例如,通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题,体会导数在解决实际问题中的作用。 (5)定积分与微积分基本定理。 ① 通过实例(如求曲边梯形的面积、变力做功等),从问题情境中了解定积分的实际背景;借助几何直观体会定积分的基本思想,初步了解定积分的概念。 (1)了解定积分概念的某些实际背景(如变速直线运动的路程,曲边梯形的面积等);了解定积分的定义和定积分的几何意义;知道函数连续是定积分存在的充分条件。
(2)理解定积分的简单性质(线性性质和对区间的可加性);了解微积分基本公式(牛顿—莱布尼兹公式),会用它来求一些函数的定积分。
(3)掌握原函数与不定积分的概念,掌握不定积分的线性性质;熟记基本积分公式(c,xm(m)为有理数),sinx,cosx,1x,ex,ax的积分);会利用线性性质和基本积分公式求较简单的函数的不定积分。
(4)会用定积分求一些平面图形的面积、旋转体的体积、变速直线运动的路程、变力所作的功。   ② 通过实例(如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系),直观了解微积分基本定理的含义。 (6)数学文化 收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料,并进行交流;体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值。具体要求见本标准中“数学文化”的要求。 (5)通过微积分初步的教学,了解微积分学产生的时代背景和历史意义,进行客观事物相互制约、相互转化、对立统一的辩证关系等观点的教育。 二、分析与建议

    导数概念的引入,一般是通过极限来完成的。然而建立比较系统的极限理论,在中学既没有必要,也会给高校教学带来重复。而导数及其应用对于解决许多实际问题及学习其他学科是非常有用的。在微积分建立的早期阶段,也是通过极限思想来引入导数和定积分概念。本次高中数学课程关于导数和定积分的概念就是采用极限的思想,通过实际背景和具体应用的实例引入。这样处理的目的是帮助学生直观理解导数的背景、思想方法和本质。因此在教学中,“可以通过研究增长率、膨胀率、效率、密度、速度等反映导数应用的实例,引导学生经历由平均变化率到瞬时变化率的过程,知道瞬时变化率就是导数。通过感受导数在研究函数和解决实际问题中的作用,体会导数的思想及其内涵。”

    根据《标准》的意图,教学应使学生认识到导数是描述事物变化率的数学模型,使他们体会导数的思想方法及其在解决数学和实际问题中的应用,重视其应用价值和文化价值,而不是将导数仅仅作为一些规则和步骤来学习。

    关于函数的学习,在中学阶段主要分为三大阶段:初中阶段通过变量给出函数的描述性概念,理解一些简单函数的性质与运用;必修阶段通过集合—对应方式给出函数概念的定义,并研究基本初等函数(指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等)的性质与运用，利用导数方法来研究函数的性质。在第三阶段,教师应引导学生在解决具体问题的过程中,将研究函数的导数方法与初等方法作比较,以体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。

三、相关链接

(1)严士健等主编:《普通高中数学课程标准(实验)解读》
第九章 选修系列1、系列2
(2)有关导数及其应用的教学(略)
(3)教育部基础教育司、教育部师范教育司组织:《数学课程标准研修》
专题7 导数及其应用——不学极限,能学导数吗
(4)袁桐:《台湾高中数学教材中初等微积分内容的处理和思考》（《数学通报》2000年第7期）
(5)高锐玲:《高中是否需要教学微积分》（《数学教学》2000年第4期）