康定情歌钢琴曲三级谱:数学精英解 题 毛线编织的最高境界，牛！

（1）         数学精英解数“集合题”与“函数题”
1．（07安徽理5）若 ，则A∩( RB)的元素个数为（    ）
A．0                    B．1                     C．2                     D．3
【解答】：C由 ，故 ，
解 得 得
，
所以 RB= ，则A∩( RB)={0，1}，故有两个元素.
【说明】  对于指数的考查利用单调性来脱去“底”从而比较“幂”的大小是常考的知识点，在第二题中也要注意对数的定义域，不少的同学因忽视定义域而选择B.
2．（07山东理6）给出下列三个等式： ， ， ，下列函数中不满足其中任何一个等式的是（    ）
A．              B．          C．               D．
【分析】  解决本题的关键是正确熟练的记住这些运算性质，把选项中函数代入验证即可.
【解析】  B  是对数模型， 是指数模型， 是正切的两角和公式的模型.故选B
3． (07天津文4)设 ， ， ，则（    ）
A．               B．                      C．                      D．
【解答】 解决的关键是选好关键值，如0，1等.
A 由 ， ， 可得 .
（毫克）
（小时）
4．（07湖北理15）为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量 （毫克）与时间 （小时）成正比；药物释放完毕后， 与 的函数关系式为 （ 为常数），如图所示．据图中提供的信息，回答下列问题：
（I）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量 （毫克）与时间 （小时）之间的函数关系式为                        ；
（II）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到 毫克以下时，学生方可进教室，那么药物释放开始，至少需要经过                              小时后，学生才能回到教室．
【分析】  本题以应用题的形式考查学生的阅读能力，识图能力，本题的关键是 这点，通过此点求两个函数关系式，即可迎刃而解.
【解答】：通过读题可以发现这是一个分段函数前段是正比例函数，后段是指数函数，所以把 分别代入两个解析式可得： ；第二问通过 代入指数函数解析式可得求得0.6
【说明】：本题的题目简单但是要求审题细致，否则第二问很容易错填 .
5.（07江苏6）设函数 定义在实数集上，它的图像关于直线 对称，且当 时， ，则有（　　）
Ａ．            Ｂ．
Ｃ．            Ｄ．
【解答】 B 由题当 时 是单调递增函数又它的图像关于直线 对称，所以当 时，函数 是单调递减函数，且 ，因为 ，所以 即
【说明】  解决的关键是放到一个单调区间上比较.比较大小是考查指数函数的性质灵活运用的常见题型，利用单调性比较或是选择关键值进行比较是常用的方法.
6．（07重庆理13）若函数 的定义域为 ，则 的取值范围为______．
【分析】 解题关键是正确转化题干的含义.
【解答】 的定义域为R，可知 ， 恒成立，即 恒成立，即 得 .
7.（07上海理4）方程 的解是                   ．
【解答】  令 ， ，则方程变为 ，解得 ，故
【说明】  指数方程不等式在利用换元法解决问题时应特别注意换元后的新元的取值范围.指数与对数的相互转化是高考命题的一大热点.
8．(07天津理5) 函数 的反函数是（　　）
Ａ．                  Ｂ．
Ｃ．                  Ｄ．
【解答】 C 由 ，解得 得 .
9.（07全国卷1理14）函数 的图像与函数 的图像关于直线 对称，则           ．
【解答】    函数 关于直线 对称的函数就是 的反函数，故应填 ，请注意定义域.
10.（07四川理2）函数f(x)=1+log2x与g(x)=2-x+1在同一直角坐标系下的图象大致是
【解答】C 通过特殊点来判断图像 过点 ， 过点 可得选C.
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（3）数学精英解“数列”题
1．（广东卷第5题）已知数列｛ ｝的前n项和 ，第k项满足５＜ ＜８，则k=
（A）9         （B）8           （C）7         （D）6
解答： B 此数列为等差数列， ，由5<2k-10<8得到k=8.
2．（天津卷第8题）设等差数列 的公差 不为0， ．若 是 与 的等比中项，则 （  ）
Ａ．2            Ｂ．4            Ｃ．6            Ｄ．8
解答： 由题意得，an=（n+8）d,a ,
∴（k+8）2d2=9d(2k+8)d.∴k=4.
答案为B.
3．（湖北卷第6题）若数列{an}满足 N*),则称{an}为“等方比数列”.
甲：数列{an}是等方比数列；乙：数列{an}是等比数列.则
A.     甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.      甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.      甲是乙的充要条件
D.     甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
解答： ，所以此数列{an}并不是等比数列；若{an}是等比数列，则 ，数列{an}是等方比数列.
答案为B.
【说明】 1，2，4，8，-16，-32，……是等方比数列，但不是等比数列.
4．（湖北卷第8题）已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且 ，则使得 为整数的正整数n的个数是
A.2                B.3                    C.4                   D.5
解答： 运用中值定理， .
可见，当且仅当n=1，2，3，5，11时， 为正整数.
答案为D.
5．（辽宁卷第4题）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3=9，S6=36，则a7+a8+a9=（      ）
A．63          B．45         C．36         D．27
解析1：设等差数列首项为a1，公差为d，
则
∴a7+a8+a9=3a8=3(a1+7d)=3×(1+7×2)=45.
解析2：由等差数列的性质知：
S′3=S6-S3=36-9=27，d′=S′3-S3=27-9=18.
∴S〞3=S3+2d′=9+2×18=45.
答案为B.
6．（福建卷第2题）数列 的前 项和为 ，若 ，则 等于（    ）
A．1                    B．                    C．                    D．
解答： 由 ，得 ，
答案为B.
7.（全国卷Ⅰ第15题）等比数列 的前 项和为 ，已知 ， ， 成等差数列，则 的公比为      ．
解法一：将S2=（1+q）S1,S3=（1+q+q2）S1代入4
注意到q≠0,得公比q=
解法二：由题设得
化简得a2=3a3，故公比q=
解法三：由4S2=S1+3S3，得S2-S1=3（S3-S2）,即a2=3a3,故公比q=
8．（全国卷Ⅰ第22题）已知数列 中 ， ， ．
（Ⅰ）求 的通项公式；
（Ⅱ）若数列 中 ， ， ，
证明： ， ．
解答：（Ⅰ）解法1：由题设：
，
．
所以，数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
，
即 的通项公式为 ， ．
解法2：设
整理得
由已知
比较系数得 .
∴ .
即数列
∴ ，（n∈N+）
（Ⅱ）解法1：用数学归纳法证明．
（ⅰ）当 时，因 ， ，所以
，结论成立．
（ⅱ）假设当 时，结论成立，即 ，
也即 ．
当 时，
，
又 ，
所以
．
也就是说，当 时，结论成立．
根据（ⅰ）和（ⅱ）知 ， ．
解法2：由
于是
令
有
∵
∴数列 是以首项为1+ ，公比为（3+ ）2的等比数列.
∴ ,
又 ,
∴要证明 ，
只需证明 而
综上所得
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（4）数学精英解 “三角函数”题
1．（北京卷第1题）已知 ，那么角θ是
A.第一或第二象限角           B. 第二或第三象限角
C．第三或第四象限角          D.第一或第四象限角
解答 θ是第三或第四象限角.
答案为C.
2．（山东卷第5题）函数 的最小正周期和最大值分别为（    ）
A． ，              B． ，          C． ，            D． ，
解答：
∴T=π，ymax=1
答案为A.
3．（江苏卷第1题）下列函数中，周期为 的是（   ）
Ａ．              Ｂ．            Ｃ．             Ｄ．
解答： 逐一验证， ，只有D.
答案为D.
4．（浙江卷第2题）若函数 ， （其中 ， ）的最小正周期是 ，且 ，则（    ）
A．             B．
C．              D．
解答：
答案为D.
5．（福建卷第5题）已知函数 的最小正周期为 ，则该函数的图象（    ）
A．关于点 对称                                   B．关于直线 对称
C．关于点 对称                             D．关于直线 对称
解答： 由题意知 =2，所以解析式为 ，
经验证可知它的一个对称中心为
答案为A.
6．（江苏卷第5题）函数 的单调递增区间是（  ）
Ａ．          Ｂ．         Ｃ．               Ｄ．
解答：
答案为D.
7．（湖北卷第2题）将 的图象按向量a= 平移，则平移后所得图象的解析式为
A.                          B.
C.                        D.
解答： 看向量a= 的数据“符号”，指令图象左移和下移，按“同旁相减，异旁相加”的口诀，立可否定B、C、D.
答案为A.
8．（全国卷Ⅱ第2题）函数 的一个单调增区间是（    ）
A．        B．         C．         D．
解法一：∵函数y=|sinx|的一个单调递增区间为 ，又函数y=|sinx|是以π为周期的函数，
∴函数y=|sinx|的单调递增区间为 （k∈Z）.
当k=1时，函数y=|sinx|的一个单调增区间为 .故选C.
解法二：作出函数y=|sinx|的图象，由图易知y=|sinx|的一个单调增区间为 .故选C.
解法三：将每个选择支中区间的两个端点值代入函数表达式，A、B两个选择支的端点值相等，而选择支D的左端点值大于右端点值，所以根据单调递增的概念判断，可排除A、B、D，故选C.
9.（全国卷Ⅰ第12题）函数 的一个单调增区间是（    ）
A．               B．           C．            D．
解法一：
以下将各选项中的两个数据依次代入估算，只有A项是递增的，故选A.
解法二：由f＇(x)= -2cosx·sinx+4cos ，得
当-π解法三：令cosx=t，则f(t)=cos2x-cosx-1=t2-t+1.
∴f(t)在 上递增，在 上递减，而当x∈ 时，cosx< 且t=cosx递减.
∴由复合函数的单调性可知，f(x)一个单调递增区间为 .故选A.
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(5) 数学精英解“平面向量”题
1.（湖北卷第2题）将 的图象按向量a= 平移，则平移后所得图象的解析式为
A.                          B.
C.                        D.
解答：看向量a= 的数据“符号”，指令图象左移和下移，按“同旁相减，异旁相加”的口诀，立可否定B、C、D.答案为A.
【说明】 口诀是经验的总结.直用口诀可不讲道理.沿向量a=(m,n)移动y=f(x)图象的结果是
y-n=f(x-m)     (同旁相减)
或y=f(x-m)+n     (异旁相加)
2.（北京卷第4题）已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且 =0，那么
A．                         B.
C.                          D.
解答：  答案A.
3.（湖南卷第4题）设 是非零向量，若函数f（x）=(xa+b)·(a-xb)的图象是一条直线，则必有  （  ）
A．             B．             C．          D．
解答：  f(x)的图象是一直线，则f(x)是x的一次式.而f(x)展开后有x的二次-x2a·b，故-a·b=0 a⊥b，故选A.
4.（全国卷Ⅰ第3题）已知向量 ， ，则 与 （　　）
A．垂直        B．不垂直也不平行            C．平行且同向            D．平行且反向
解答： ，即a·b=0. 答案为A.
5.（浙江卷第7题）若非零向量 满足 ，则（　　）
Ａ．                     Ｂ．
Ｃ．                     Ｄ．
解答： ,∴|a+b|2=|b|2,即(a+b)2=b2,整理得a·b=- |a|2.
∴（|a+2b|-|2b|）2=a2+4a·b=-|a|2<0,∴|a+2b|<|2b|. 答案为C.
6.（全国卷Ⅱ第5题）在?ABC中，已知D是AB边上一点，若 =2 ， = ,则l=
(A)                    (B)                          (C) -                 (D) -
解答： ，故选A
【说明】  本题在正常运算的情况下，基本不会出现错误，除非在马虎大意的情况下，将向量“移项”过程中没有变号.
7．（全国卷Ⅱ第9题）把函数y=ex的图象按向量a=(2,3)平移，得到y=f(x)的图象，则f(x)=
(A)  ex-3+2             (B)  ex+3-2                    (C) ex-2+3             (D) ex+2-3
解答： 按“左加右减，上加下减”法则和所给向量易知，答案为C.
【说明】  如果法则和向量平移问题连接不好，易选错为A或B或D.
8.（天津卷第10题）设两个向量 和 ，其中 为实数．若 ，则 的取值范围是（　　）
Ａ．[-6,1]             Ｂ．              Ｃ．[-1,1]      Ｄ．[-1,6]
解答：  由题意知λ+2=2m，                   ①
,                ②
由①得
由①②得
∴-6≤4m2-9m≤-2.
∴ ≤m≤2.
∴
答案为A.
【说明】  两个参数的比值转化为只含一个参数，再求其范围.
D
C
A
B
题（10）图
9.（重庆卷第10题）如题（10）图，在四边形 中，
，
，
则 的值为（　　）
Ａ．            Ｂ．              Ｃ．            Ｄ．
解答： 由
得
∴
答案为C.
【说明】 向量积的简单运用.
10.（辽宁卷第3题）若向量a与b不共线，a·b≠0，且 ，则向量a与c的夹角为（     ）
A．0          B．           C．           D．
解答： .
则a与c的夹角为 .
答案为D.
11.（辽宁卷第6题）若函数y=f(x)的图象按向量a平移后，得到函数y=f(x+1)-2的图象，则向量a=(      )
A．（-1，-2）        B．（1，-2）        C．（-1，2）        D．（1，2）
解答： 由y=f(x+1)-2，得y+2=f(x+1)，可知它是由函数y=f(x)的图象向左平移一个单位，再向下平移两个单位得到的，所以向量a=（-1，-2）.
答案为A.
12.（福建卷第4题）对于向量 和实数 ，下列命题中真命题是（    ）
A．若a·b=0，则 或              B．若 ，则 或
C．若 ，则 或           D．若a·b=a·c，则
解答： 对于A，可举反例：当a⊥b时，a b=0，
对于C，a2=b2只能推得|a|=|b|，而不能推出a=±b.
对于D，a b= a c可以移项整理推得a⊥(b - c).
答案为B.
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(6) 数学精英解 “不等式”题
1.（北京卷第7题）如果正数a,b,c,d满足a+b=cd=4,那么
A.ab c+d，且等号成立时，a,b,c,d的取值唯一
B.ab c+d，且等号成立时，a,b,c,d的取值唯一
C.ab c+d，且等号成立时，a,b,c,d的取值不唯一
D.ab c+d，且等号成立时，a,b,c,d的取值不唯一
解答： 由平均值不等式知. 答案A .
【说明】 平均值不等式等号成立的条件，而且又给定了具体的数值，所以a,b,c,d取值唯一.
2．（湖南卷第2题）不等式 的解集是（    ）
A．         B．      C．      D．
解答：  原不等式可化为 故选D.
3.（山东卷第7题）命题“对任意的 ， ”的否定是（    ）
A．不存在 ，
B．存在 ，
C．存在 ，
D．对任意的 ，
解答：  全称命题的否定是存在性命题.答案为C.
【说明】  命题是新课标的内容，只要理解其内涵，就不难了.
4.（江苏卷第10题）在平面直角坐标系 中，已知平面区域 ，则平面区域 的面积为（  ）
Ａ．            Ｂ．             Ｃ．           Ｄ．
解答：  令x+y=x,x-y=t,由题意可得平面区域B={（x,t）|s≤1,s+t≥0,s-t≥0}.画出可行域可得. 答案为B.
5. （全国卷Ⅱ第6题）不等式: >0的解集为
(A)( -2, 1)                                               (B) ( 2, +∞)
(C) ( -2, 1)∪       ( 2, +∞)                              (D) ( -∞, -2)∪  ( 1, +∞)
解答： 令 ，原不等式成立，即可排除B、D，再令 ，原不等式仍成立，故再排除A，所以选C.
【说明】  本题的选择支中，区间端点值只有涉及原不等式相应的方程的根，所以主要的错点在于解不等式过程中求并或求交过程中的丢解，这样的结果可能选错为A或B.
6.（天津卷第9题）设 均为正数，且 ， ， ．则（　　）
Ａ．              Ｂ．              Ｃ．              Ｄ．
解答：
故有a7.（重庆卷第2题）命题“若 ，则 ”的逆否命题是（　　）
Ａ．若 ，则 或          Ｂ．若 ，则
Ｃ．若 或 ，则             Ｄ．若 或 ，则
解答：  A是已知命题的否命题，B是逆命题，比较C、D易知.答案为D.
8.（福建卷第7题）已知 为 上的减函数，则满足 的实数 的取值范围是（    ）
A．             B．               C．         D．
解答： 因为f (x)为R上的减函数.
所以 解得或 ，即-19.（湖北卷第21题）已知m，n为正整数.
（Ⅰ）用数学归纳法证明：当x>-1时，(1+x)m≥1+mx；
（Ⅱ）对于n≥6，已知 ，求证 ，m=1,1,2…，n；
（Ⅲ）求出满足等式3n+4m+…+(n+2)m=(n+3)n的所有正整数n.
【分析】一题多问的试题，后面的各问往往需要应用前此各问的结论.
本题第（Ⅰ）问不难，但第（Ⅱ）问却令人相当棘手.我们猜想：第（Ⅱ）问是否可以利用第（Ⅰ）问的结论？第（Ⅲ）问更难，是否又可以利用第（Ⅱ）问的结论？
解题实践证明：这个猜想是对的.
解答：（Ⅰ）略
（Ⅱ）∵ 且 知 令 则 .
∴ ，即 （注：这是利用第（Ⅰ）问的前提条件）
根据（Ⅰ）， .
但 时，仍有 ， .
（注：这里连续利用放缩法达到了证题的目的）
（Ⅲ）当 时，直接验算：
显然n=2符合条件：
n=3时，左边=33+43+53=216，右边=（3+3）3=216，∴n=3也符合条件.
n=4时，左边= ，而右边= .
注意到：两个奇数之和必是奇数，而任意多个偶数之和还是偶数，那么左边=偶数，而右边=奇数，故两边必不相等，∴n=4不符合条件.
n=5时，左边= ，而右边= .
注意到：任一整数的5次幂与其本身，其个位数相同，容易判断左边的个位为5，而右边的个位是2，仍为左奇右偶，∴n=5也不符合条件.
故当 时，n=2或3.
（注：在数学高考中，也用到了与整数论有关的课外基本知识，这个动向值得注意）
当n≥6时，假定存在 使得 成立，则有：
但是：
= .
根据（Ⅱ），右式
（1）与（2）矛盾，故当不存在满足等式3n+4m+…+(n+2)m=(n+3)n的正整数.
（注：当 时，只有2与3两个数符合条件，据此我们已经猜想到n≥6时，符合条件的正整数不存在.而证题的策略是，先假定存在，然后用反证法推翻这个假定.）
综上，适合该等式的所有正整数只有2与3.
(7) 数学精英解“直线与圆的方程”题
1.(湖北卷第10题) 已知直线 （a,b是非零常数）与圆x2+y2=100有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有
A.60条                B.66条              C.72条               D.78条
解答：找整点，这些点分别是：（10，0），（8，6），（6，8），（0，10），（-6，8），（-8，6），（-10，0），…，（8，-6）共12个点.
过整点的直线分两类：
一类是圆的割线，过这12点中的每两点可作 条直线，其中的6条直径和8条平行于坐标轴的直线不合条件舍去，即割线有66-6-8=52条；
一类是过不在坐标轴上的点可以作圆的8条切线也都符合条件.
故这样的直线共有52+8=60条.
答案为A.
【说明】 直线是截距式，所以过原点和平行于坐标轴的直线都应除去，还有圆的切线我们不可忘哦.
2.（北京卷第6题）若不等式组 表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是
A.                   B.
C.                D.
解： 由不等式组的前三个条件已经确定一个三角形区
域（如图阴影）.所以x+y=a只能在图中两条虚线所夹区间
之外,因此a有两个范围.
答案为D.
【说明】 线性规划只要作出图形，问题便一目了然.
3.（全国卷Ⅰ第6题）下面给出的四个点中，到直线 的距离为 ，且位于 表示的平面区域内的点是（    ）
A．         B．             C．          D．
解答：先看满足第一个条件的点，1-1+1=1,-1-1+1=-1,-1-(-1)+1=1,
1-(-1)+1=3,排除D.再看满足x-y+1>0的点，可以排除B，而A不满足
x+y-1<0,故只有C.
【说明】 排除法，第一个条件和第二个条件有关联，列出各项，可以达到一箭双雕.
4.（浙江卷第3题）直线 关于直线 对称的直线方程是（　　）
Ａ．                     Ｂ．
Ｃ．                     Ｄ．
解答：看选择支，哪个答案与已知直线相加除以2得x=1,能消y的只有D.
答案为D.
【说明】 由于是选择题，我们可以不取点，两条直线相加除以2，就是对称轴了.
5.（江苏卷第10题）在平面直角坐标系 中，已知平面区域 ，则平面区域 的面积为（  ）
Ａ．            Ｂ．             Ｃ．           Ｄ．
解答：令x+y=x,x-y=t,由题意可得平面区域B={（x,t）|s≤1,s+t≥0,s-t≥0}.画出可行域可得.
【而答】  答案为B.
6.（天津卷第2题）设变量 满足约束条件 则目标函数 的最大值为（　　）
Ａ．4            Ｂ．11           Ｃ．12           Ｄ．14
解答： 只需画出线性规划区域，如下图
可知，z=4x+y在A（2，3）处取得最大值11.
答案为B.
【说明】  用图说话.
7.（辽宁卷第8题）已知变量x、y满足约束条件 的取值范围是（      ）
A．       B． ∪       C． ∪       D．[3，6]
解答：约束条件    所表示的区域如图所示：
的几何意义是区域内的点与原点连线的斜率.  .
∴ ∈ .
答案为A.
【说明】  本题考查线性规划问题及数形结合的思想.
(8) 数学精英解 “圆锥曲线”题
1.(2007年湖北卷第7题) 双曲线C1： （a>0,b>0）的左准线为l,左焦点和右焦点分别为F1和F2；抛物线C2的准线为l，焦点为F2.C1和C2的一个交点为M，则 等于
A.-1             B.1                 C.                   D.
解答： 设双曲线的离心离为e,如图：
=
答案为A.
【说明】MN是转换的中介，巧用定义.
2.(湖南卷第9题) 设 分别是椭圆 （ ）的左、右焦点，若在其右准线上存在 使线段 的中垂线过点 ，则椭圆离心率的取值范围是（    ）
A．         B．          C．          D．
解： 椭圆的右准线方程为 的中垂线过 则 ，
当 时， 最少，即： 故选D.
答案为D.
【说明】  充分利用圆锥曲线的性质寻找解题的突破口.
3.(全国卷Ⅰ第4题) 已知双曲线的离心率为 ，焦点是 ， ，则双曲线方程为（　　）
A．           B．           C．           D．
解答：c=4，e=2，则a=2.焦点在x轴上.答案为A.
【说明】
4.(全国卷Ⅰ第11题) 抛物线 的焦点为 ，准线为 ，经过 且斜率为 的直线与抛物线在 轴上方的部分相交于点 ， ，垂足为 ，则 的面积是（　　）
A．             B．                C．                      D．
解答： ,|AK|=3-（-1）=4，
.
答案为C.
【说明】 A点是突破点，只要求出它，便迎刃而解.
5.(浙江卷第4题) 要在边长为16米的正方形草坪上安装喷水龙头，使整个草坪都能喷洒到水．假设每个喷水龙头的喷洒范围都是半径为6米的圆面，则需安装这种喷水龙头的个数最少是（　　）
Ａ．            Ｂ．            Ｃ．            Ｄ．
解答：每一条边上至少得2个，则对称性知，最少得安装4个.
【而答】  答案为B.
6.(浙江卷第9题) 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ， 是准线上一点，且 ， ，则双曲线的离心率是（　　）
Ａ．                Ｂ．                Ｃ．                   Ｄ．
解答： ∵ ,∴ .
设 ,则 解得 ,
又由
得
答案为B.
【说明】  用向量解决解析几何.
7.(江苏卷第3题) 在平面直角坐标系 中，双曲线的中心在坐标原点，焦点在 轴上，一条渐近线的方程为 ，则它的离心率为（  ）
Ａ．         Ｂ．               Ｃ．         Ｄ．
解答：渐近线的斜率 .
答案为A.
【说明】  离心率 .
8.(全国卷Ⅱ第11题) 设F1，F2分别是双曲线 的左、右焦点。若双曲线上存在点A，使∠F1AF2=90o，且|AF1|=3|AF2|，则双曲线离心率为
(A)                (B)                      (C)               (D)
解答：由题设知 ，将|AF1|=3|AF2|以及 代入后解得 ，
又由双曲线定义知
答案为B.
【说明】  本题除了将题设部分看错以外，不会出现选错情况，比如将条件|AF1|=3|AF2|看错为|AF1|=2|AF2|，就可能选错为A等.
9.(全国卷Ⅱ第12题) 设F为抛物线y2=4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若 =0，则|FA|+|FB|+|FC|=
(A)9                     (B)  6                   (C) 4            (D) 3
解答： 欲求|FA|+|FB|+|FC|，根据抛物线的定义，只需求A、B、C三点的横坐标之和即可。设抛物线y2=4x上的三点A、B、C的坐标分别为 、 、
由于抛物线y2=4x的焦点坐标为 ，所以 ，
，又由 =0得，
进而得|FA|+|FB|+|FC|= ，故选B.
答案为B.
【说明】  若把抛物线的焦点坐标错求为 （这种错误比较容易出现），则选错为A；若将向量 的横坐标之和错求为 ，则选错为D。
10.(天津卷第4题)设双曲线 的离心率为 ，且它的一条准线与抛物线 的准线重合，则此双曲线的方程为（　　）
Ａ．                 Ｂ．
Ｃ．               Ｄ．
解答：
答案为D.
【说明】  离心率连着a和c,而求出了它们，b就知道了.
11.(辽宁卷第11题) 设P为又曲线 上的一点，F1、F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|∶|PF2|=3∶2，则△PF1F2的面积为（      ）
A．           B．12          C．           D．24
解答： 由双曲线定义知|PF1|-|PF2|=2. 又|PF1|∶|PF2|=3∶2，解得|PF1|=6，|PF2|=4.
由双曲线方程知c2=13. ∴|F1F2|=2c= . 又∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，∴PF1⊥PF2.
∴ .
答案为B.
【说明】  本题考查双曲线的定义、性质以及基本运算能力.
12.(福建卷第6题) 以双曲线 的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是（    ）
A．                         B．
C．                       D．
解答：由题知圆心坐标应为（5，0），排除C，D. 又因为点（5，0）到渐近线 的距离为4，验证可知A项正确.
答案为A .
【说明】 本题考查双曲线的基本运算以及直线与圆的相关知识.
(9) 数学精英解“立体几何”题
1.（2007年湖北卷第4题）平面α外有两条直线m和n，如果m和n在平面α内的射影分别是m＇和n＇，给出下列四个命题：
①m＇⊥n＇ m⊥n;                       ②m⊥n  m＇⊥n＇
③m＇与n＇相交 m与n相交或重合；      ④m＇与n＇平行 m与n平行或重合.
其中不正确的命题个数是
A.1                 B.2                 C.3                     D.4
【解析】D 以教室空间为长方体模型，m＇,n＇作地面墙根线，m,n在墙壁上选择，易知
m＇⊥n＇是m⊥n的不必要不充分条件.故①②为假命题.m＇,n＇相交或平行，m,n可以异面；故③④也是假命题.
【说明】 抽象的线线（面）关系具体化.就是寻找空间模型，长方体教室是“不需成本”的立几模型.必要时，考生还可用手中的直尺和三角板作“图形组合”.
2.（2007年北京卷第3题）平面α∥平面β的一个充分条件是
A.     存在一条直线a,a∥α,a∥β
B.      存在一条直线a,a a∥β
C.      存在两条平行直线a,b,a ,a∥β,b∥α
D.     存在两条异面直线a,b,a ,a∥β,b∥α
【解析】D  以考场的天花板和一个墙面作为α，β，可以找出不同的直线a,b满足A、B、C项，从而排除前三项.
【说明】教室本身是一个好的长方体模型，而我们判断线线、线面关系时用它,简捷明了.
3.（2007年湖南卷第8题）棱长为1的正方体 的8个顶点都在球 的表面上， 分别是棱 ， 的中点，则直线 被球 截得的线段长为（    ）
A．         B．              C．            D．
【解析】D  平面 截球所得圆面的半径,
被球O截得的线段为圆面的直径 故选D.
【说明】  相关知识点：球的组合体
(1)球与长方体的组合体:
长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.
(2)球与正方体的组合体:
正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.
(3) 球与正四面体的组合体:
棱长为 的正四面体的内切球的半径为 ,外接球的半径为 .
4.(2007年全国Ⅰ第7题)
如图，正四棱柱 中， ，则异面直线 与 所成角的余弦值为（　　）
A．            B．            C．             D．
【解析】D  连接CD1，则∠AD1C即是异面直线A1B与AD1所成的角，
设AB=1， .
【说明】 找出异面直线所成的角，是问题的关键.
5.（2007年浙江卷第6题）若 是两条异面直线 外的任意一点，则（  ）
Ａ．过点 有且仅有一条直线与 都平行
Ｂ．过点 有且仅有一条直线与 都垂直
Ｃ．过点 有且仅有一条直线与 都相交
Ｄ．过点 有且仅有一条直线与 都异面
【解析】B 对于选项A，若过点P有直线n与l，m都平行，则l∥m,这与l,m异面矛盾；对于B，过点P与l、m都垂直的直线即过P且与l、m的公垂线段平行的那一条直线；对于选项C，过点P与l、m都相交的直线可能没有；对于D，过点P与l、m都异面的直线可能有无数条.
【说明】 空间线线关系，找空间模型.
6.（2007年山东卷第 ①正方体
②圆锥
③三棱台
④正四棱锥
3题）下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（    ）
A．①②        B．①③        C．①④        D．②④
【解析】D  正方体三个视图都相同；圆锥的两个视图相同；三棱台三个都不同；正四棱锥的两个视图相同.
【说明】  空间想象力的发挥.
7.(2007年江苏卷第4题) 已知两条直线 ，两个平面 ．给出下面四个命题：
① ， ；
② ， ， ；
③ ， ；
④ ， ， ．
其中正确命题的序号是（  ）
Ａ．①、③           Ｂ．②、④           Ｃ．①、④           Ｄ．②、③
【解析】C  对于②，在两平行平面内的直线有两种位置关系：平行或异面；对于③，平行线中有一条与平面平行，则另一条可能与平面平行，也可能在平面内.
8.(2007年全国卷Ⅱ第7题)已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦等于
(A)                (B)                       (C)                (D)
【解析】 A  欲求直线AB1与侧面ACC1A1所成角，关键是要找到直线AB1在平面ACC1A1内的射影，即要找到B1在这个平面内的射影，根据正棱柱的性质和平面与平面垂直的性质定理易知，B1在这个平面内的射影是 的中点D.
所以 就是所求.由题设，可计算出所成角的正弦值为 ，
故选A.
【说明】  若在直角三角形内的角边关系混淆，易选错为B；若对
直线和平面所成角的概念不清，易选错为C或D。
9.(2007年天津卷第6题) 设 为两条直线， 为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（　　）
Ａ．若 与 所成的角相等，则
Ｂ．若 ， ，则
Ｃ．若 ，则
Ｄ．若 ， ，则
【解析】D   A中，a、b可能平行、相交、异面；
B中，a、b可能平行、相交、异面；
C中a、b可以同时与α、β的交线平行；
D中a、b可以看作是α、β的法向量.
【说明】 还可以教室的一角为模型，再选择不同的墙线作为直线举反例.
10. (2007年重庆卷第3题)若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成（　　）
Ａ． 部分           Ｂ． 部分           Ｃ． 部分           Ｄ． 部分
【解析】C  以点代线，以线代面，可画示意图如下：
【说明】  图直观，无须说理.
11. (2007年辽宁卷第7题) 若m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下命题中的真命题是（      ）
A．若m ， ，则           B．若 ∩ =m， ∩ =n，m∥n，则 ∥
C．若m ，m∥ ，则           D．若 ， ，则
【解析】C   A中，直线m与平面α的位置关系各种可能都有；B中，平面α与β也可能相交；C中，∵m∥ ，过m作平面γ交平面α于m′，则m∥m′. 又∵m ，∴m′ . 由面面垂直的判定定理可知， ；D中，平面β与γ也可能相交成或平行.
【说明】  本题考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系.
12. (2007年福建卷第8题) 已知 为两条不同的直线， 为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（    ）
A．
B．
C．
D．
【解析】D  对于A，当m、n为两条平行直线时，可知A错误. 对于B，m、n两条直线可能为异面直线，对于C，直线n可能在平面α内.
【说明】 本题主要考查空间中线面位置关系.
13. (2007年福建卷第10题) 顶点在同一球面上的正四棱柱 中， ，则 两点间的球面距离为（    ）
A．                   B．                   C．              D．
【解析】B  如下图所示，
设球的半径为R，则有 ，连结AC，连结AC′、A′C交于点O，则O为外接球的心，
在△AOC中，AO=OC=1，AC= ，所以∠AOC= .
所以A、C两点间的球面距离为 .
【说明】 本题考查组合体的知识.
13（2007年全国卷Ⅰ第16题）一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上．已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为           ．
略解：记题中等腰直角三角形为ABC，A为直角顶点，过A平行于底面的截面为α.
若B、C在α同侧（图1），易证∠ABC为锐角，不合题意；
若B、C在α异侧（图2），过点B作平行于底面的截面BPQ，依“等腰”易证CP=2AQ. 取BC中点G，BP中点H，连AG、GH、HQ，可证AGHQ为矩形，故BC=2AG=2HQ= .
这个解法的关键是“猜”图，心算即可. 当然，图2中令AQ = x，CP = 2x，利用勾股定理得 求解也简单.
B
C
A
H
B
C
A
P
Q
图1                          图2
只是从图形上看，似乎图1与图2没有本质的区别.这是因为作者没有注明哪个平面是α，所以看起来B、C都在平面α的同一边.若果然如此，分类就没有必要了.
在下关于这题的解法是：
【解析】延长MN、CB交于P，连AP.
第1，可证M为PN的中点.：作MD∥BC，交CC1于D.显然：△AMB≌△MND.故DN=BM=CD，即BM= CN是△PNC的中位线，∴M为PN的中点.
第2，由AM是PN的垂直平分线可以推出△APN是等腰直角三角形.
以下由△ABP中BA=BP=2，ABP=120°，得 ，从而边 .
(10) 数学精英解“排列组合”题
1.(2007年湖北卷第1题)  如果  的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为
A.3               B.5               C.6                 D.10
【解析】B  问题与两项式的系数无关，只关心展开后的x零次项即可.
令 P=3,Q=2,n=P+Q=5.
【说明】  “一望”后面的内容是考生心里想的，或在草纸上“乱画”的，是自己给自己“交流”的，阅卷人看不懂没有关系.
2.（2007年湖北卷第9题）连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记向量a=(m,n)与向量b=(1,-1)的夹角为θ，则 的概率是
A.                    B.                 C.              D.
【解析】C  a·b= |a||b|cosθ=m-n, ,即m-n≥0，即m≥n，但 若 ，则有6种可能；若 ，则 时，n分别有5，4，3，2，1共15种选择方法.于是 的概率是 .
3.（2007年北京卷第5题）记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一行，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有
A．1440种                 B.960种
C．720种                  D.480种
【解析】B  2位老人作一整体，插入5名志愿者的空档，有C P ，5名志愿者全排有P ，所以有C P ·P =960.
【说明】 特殊元素先排.
4.（2007年山东卷第12题）位于坐标原点的一个质点 按下列规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是 ，质点 移动五次后位于点 的概率是（    ）
A．          B．C        C．C           D．C C
【解析】B  P=C C
【说明】  此题并不要求计算结果，为考生节省了宝贵的思考时间.
5.(2007年全国卷Ⅱ第10题) 从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有
(A)40种               (B)  60种                    (C) 100种                   (D) 120种
【解析】B  完成这件事，可分二步完成，第一步从5个人中选出2人安排周五的活动，共有 种选法；第二步从剩余的3人中再选出两人安排参加剩余两天的活动，共有 种选法。根据分步记数原理，共有 种选派方法，故选B.
【说明】  若排列数与组合数的意义混淆的，则易选错为D.
6. (2007年重庆卷第4题)若 展开式的二项式系数之和为 ，则展开式的常数项为（　　）
Ａ．          Ｂ．          Ｃ．          Ｄ．
【解析】B  由2n=64,得n=6,所以展开式的通项
由6-2r=0,得r=3.T4=C
【说明】 二项式定理的展开式通项及二项式系数之和的性质.
7.(2007年重庆卷第6题) 从 张 元， 张 元， 张 元的奥运预赛门票中任取 张，则所取 张中至少有 张价格相同的概率为（　　）
Ａ．           Ｂ．               Ｃ．           Ｄ．
【解析】C  从总数为10的门票中任取3张，总的基本事件数是C =120，而“至少有2张价格相同”则包括了“恰有2张价格相同”和“恰有3张价格相同”，即
C +C （种）.
所以，所求概率为
8.(2007年辽宁卷第9题) 一个坛子里有编号为1，2，…，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其余的是黑球. 若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的概率为（      ）
A．           B．           C．           D．
【解析】D   P（A）= .
【说明】  本题考查概率的有关知识.
9.(2007年福建卷第9题) 把 展开成关于 的多项式，其各项系数和为 ，则 等于（    ）
A．                   B．                   C．                     D．2
【解析】D  令多项式中x=1得an=2n+1-1，所以
【说明】 本小题主要考查二项式定理以及数列、极限的有关知识.
毛线编织的最高境界，牛!













  　安若子 2009-02-23 摘编