水果橘子照片:2012高考数学难点突破二十 ：不等式的综合应用

学科网备战高考数学 不 等 式

A  组

1．若 是任意的实数,且 ,则(     )

(A)        (B)        (C)         (D)

2．不等式 的解集是(     )

(A)       (B)   (C)     (D)

3．不等式 的解集为(       )

(A)  (B)  (C)   (D)

4．若 ,则 的最小值为 (     )

(A) 2             (B) 4          (C) 6                 (D) 8

5．若A= ，B= ，则A，B的大小关系为__________.

6．设 ， ， 是不全相等的正数，求证：

1） ；

2） .

7.．已知 ， ，求证 ≥

8．如图1，把一块边长是 的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的边沿着虚线折转作成一个无盖方底的盒子，问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？

9．已知 ， ， ，且不全相等，求证 .

10． 已知 ， ，…， ，且 ，求证 .

B  组

11.已知 ， ，且 .试证： ， 中至少有一个小于2.

12.求函数 的最大值.

13. 已知 ，求证 ≤1.

14. 已知 ，求 的最小值.

15. 已知 ，求 的最小值.

16. 已知 ， ， 是正数，求证 .

17.证明： 能够被6整除.

18. 设 ,求证： .

不 等 式 选 讲 答 案

1.D.提示：注意函数 的单调性；

2.B.提示：先移项，再通分，再化简；

3.D.提示：当 ≤－2时，原不等式可以化为 ≥5，

解得 ≤－3，即不等式组 的解集是 .

当 时，原不等式可以化为 ≥5，

即3≥5，矛盾.所以不等式组 ，的解集为 ，

当 ≥1时，原不等式可以化为 ≥5，解得 ≥2，

即不等式组 的解集是 .

综上所述，原不等式的解集是 ;

4.C. 提示： ;

5. .

提示：通过考察它们的差与0的大小关系，得出这两个多项式的大小关系.

因为

所以 ;

6．提示： ， ，

分别将以上三式相乘或相加即可;

7.提示: ;

8.提示: 设切去的正方形边长为 ，无盖方底盒子的容积为 ，则

当且仅当 ，即当 时，不等式取等号，此时 取最大值 .即当切去的小正方形边长是原来正方形边长的 时，盒子容积最大.

9.分析：观察欲证不等式的特点，左边3项每一项都是两个数的平方之和与另一个数之积，右边是三个数的积的6倍.这种结构特点启发我们采用如下方法.

证明：因为 ≥ ， ，所以 ≥ .             ①

因为 ≥ ， ，所以 ≥ .                   ②

因为 ≥ ， ，所以 ≥ .                   ③

由于 ， ， 不全相等，所以上述①②③式中至少有一个不取等号，把它们相加得 .

10．提示：观察要证明的结论，左边是 个因式的乘积，右边是2的 次方，再结合 ，发现如果能将左边转化为 ， ，…， 的乘积，问题就能得到解决.

证明：因为 ，所以 ，即 .

同理， ，…… .因为 ， ，…， ，由不等式的性质，

得 .

因为 时， 取等号，所以原式在 时取等号.

11. 提示：要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰.另外，如果从正面证明，需要对某一个分式小于2或两个分式都小于2等进行分类讨论，而从反面证明，则只要证明两个分式都不小于2是不可能的即可.于是考虑采用反证法.

证明：假设 ， 都不小于2，即 ，且 .

因为 ， ，所以 ，且 .把这两个不等式相加，得 ，

从而 .这与已知条件 矛盾.因此， ， 都不小于2是不可能的，即原命题成立.

12. 提示：利用不等式解决极值问题，通常设法在不等式一边得到一个常数，并寻找不等式取等号的条件.这个函数的解析式是两部分的和，若能化为 的形式就能利用柯西不等式求其最大值.

解：函数的定义域为 ，且 .

当且仅当 时，等号成立，即 时函数取最大值 .

13.提示:

14.提示: .

15.提示:

16.提示:

17. 提示：这是一个与整除有关的命题，它涉及全体正整数，若用数学归纳法证明，第一步应证 时命题成立；第二步要明确目标，即在假设 能够被6整除的前提下，证明 也能被6整除.

证明：1）当 时， 显然能够被6整除，命题成立.

      2）假设当 时，命题成立，即 能够被6整除.

      当 时，

.

      由假设知 能够被6整除，而 是偶数，故 能够被6整除，从而 即 能够被6整除.因此，当 时命题成立.

      由1）2）知，命题对一切正整数成立，即 能够被6整除;

18.证明：（法一）要证原不等式成立，只须证：

即只须证：

由柯西不等式易知上式显然成立，所以原不等式成立。

（法二）由对称性，不妨设： ,则 ，

所以：（顺序和） （乱序和）

（顺序和） （乱序和）

将以上两式相加即得： .

学科网备战高考数学 不等式基础训练

[基础训练A组]

一、选 择题

1．下列各式中，最小值等于 的是（     ）

  A．   B．   C．   D．

2．若 且满足 ，则 的最小值是（     ）

  A．     B．     C．      D．

3．设 , ，则 的大小关系是（     ）

  A．    B．     C．    D．

4．若 ，且 恒成立，则 的最小值是（     ）

   A．      B．       C．      D． [来源:学。科。网Z。X。X。K]

5．函数 的最小值为（     ）A．     B．       C．      D．

6．不等式 的解集为（     ）

A．       B．    C ．      D．  

二、填空题

1．若 ，则 的最小值是_____________。

2．若 ，则 , , , 按由小到大的顺序排列为      

3．已知 ，且 ，则 的最大值等于_____________。

4．设 ，则 与 的大小关系是_____________。

5．函数 的最小值为_____________。[来源:学科网ZXXK]

三、解答题

1．已知 ，求证：

2．解不等式

3．求证：

4．证明：

 [综合训练B组]

一、选择题

1．设 ，且 恒成立，则 的最大值是（    ）

   A．      B．      C．      D．

2． 若 ，则函数 有（    ）

A．最小值   B．最大值    C．最大值   D．最小值  

3．设 ， ， ，则 的大小顺序是（     ）

  A．     B．    C．     D．

4．设不等的两个正数 满足 ，则 的取值范围是（     ）[来源:学。科。网Z。X。X。K]  A．      B．     C．       D．

5．设 ，且 ，若 ，则必有（     ）

   A．   B．   C．   D．

6．若 ，且 , ，则 与 的大小关系是

  A．   B．   C．   D．

二、填空题

1．设 ，则函数 的最大值是__________。

2．比较大小：

3．若实数 满足 ，则 的最小值为        

4．若 是正数，且满足 ，用 表示

中的最大者，则 的最小值为__________。

5．若 ，且 ，则 。

三、解答题

1．如果关于 的不等式 的解集不是空集，求参数 的取值范围。

2．求证：

3．当 时，求证：

4．已知实数 满足 ，且有    求证：

[来源:学_科_网][提高训练C组]

一、选择题

1．若 ，则 的最小值是（    ）  A．     B．     C．     D．

2． ，设 ，

则下列判断中正确的是（     ）  A．      B．   C．     D．

3．若 ，则函数 的最小值为（     ）  A．    B．   C．    D．非上述情况

4．设 ，且 ， ， ， ， ，

则它们的大小关系是（      ）

  A．          B．

  C．          D．

二、填空题

1．函数 的值域是                     .

2．若 ，且 ，则 的最大值是                  

3．已知 ，比较 与 的大小关系为                  .

4．若 ，则 的最大值为                  .

5．若 是正数，且满足 ，则 的最小值为______。

三、解答题

1． 设 ，且 ，求证：

2．已知 ，求证：

3．已知 ，比较 与 的大小。

4．求函数 的最大值。

5．已知 ，且    求证：

高中数学训练题组不等式参考答案

[基础训练A组]

一、选择题

1．D  

2．D  

3．B   ，即

4．B   ，

        ，而 ，

即 恒成立，得

5．A   

6．D  ，得

二、填空题

1．    

2．     由糖水浓度不 等式知 ，[来源:Zxxk.Com]

且 ，得 ，即

3．   

4．  

5．    

三、解答题

1．证明：

另法一： [

另法二：      即 ，

2．解：原不等式化为

当 时，原不等式为 得 ，即 ；

当 时，原不等式为

得 ，即 ；

当 时，原不等式为 得 ，与 矛盾；

所以解为

3．证明： [来源:学科网ZXXK]

4．证明：   

[综合训练B组]

一、选择题

1．C  

         ，而 恒成立，得

2．C   

3．B   ，即 ；

      又 ，即 ，所以

4．B    ，而

        所以 ，得

5．D  

6．A  

      ，即

二、填空题

1．    ，即

2．    设 ，则 ，得

     即 ，显然 ，则

3．     

            即 ，

4．        ，即

5．    

          而

即 ，而 均不小于

得 ，此时 ，或 ，或 ，

得 ，或 ，或  

三、解答题

1．解：         

        当 时， 解集显然为 ，        所以

2．证明：   

         即

3．证明：

         （本题也可以用数学归纳法）

4．证明：

    是方程 的两个不等实根， 则 ，得

        而    即 ，得

       所以 ，即

  提高训练C组]

一、选择题

1．A   由 得 ，而

2．B  

即 ， ， ， ，

得 ，

即 ，得 ，所以

3．B  

4．A   为平方平均数，它最大

二、填空题

1．    ， 得

2．     

3．    构造单 调函数 ，则 ，

，即 ， 恒成立，

所以 ，即

4．   设 ，则 ，即

         再令 ，

         即 时， 是 的减函数，得 时，

5．   

三、解答题

1．证明：   

        ， 

2．证明： [来源:学#科#网]

3．解：取两组数： 与 ，显然 是同序和，

      是乱序和，所以

4．解：函数的定义域为 ，且

5．证明：显然

         是方程 的两个实根，

              由 得 ，同理可得 ，