送你一束鸢尾花txt:让你爱上数学！数学竟然是如此神奇

印度的1919乘法 太神奇了
難怪近幾年印度進步得那麼快,當台灣媽媽因為小朋友會背99乘法高興的同時,  印度小孩已經在背1919乘法了。  難怪近幾年印度進步得那麼快。
印度的九九乘法表是從1 背到19(→19×19乘法？ )，
不過您知道印度人是怎麼記 11到19 的數字嗎？
我是看了下面這本書之後才恍然大悟的。 「印度式計算訓練」 2007年 6月 10日第一版第 6 刷發行株式會社晉遊社發售。该书 介紹了加減乘除的各種快速計算方法。不過在這裡我只介紹印度的九九乘法。因為實在太神奇了！！下面的數字跟說明都是引用該書P.44 的例子。
請試著用心算算出下面的答案：
13   X 12   = ？
( 被乘數) (乘數 )
印度人是這樣算的。
****************************************************************************
第一步：
先把(13)跟乘數的個位數 (2)加起來
13 + 2 = 15
第二步：
然後把第一步的答案乘以10(→也就是說後面加個 0 )
第三步：
再把被乘數的個位數(3)乘以乘數的個位數 (2)
2 X 3 = 6
(13+2)x10 + 6 = 156
****************************************************************************
就這樣，用心算就可以很快地算出11X11 到19X19了喔。這真是太神奇了！
我們試著演算一下
14×13：
(1)14+3＝17
(2)17×10＝170
(3)4×3＝12
(4)170+12＝182
16×17：
(1)16+7＝23
(2)23×10＝230
(3)6×7＝42
(4)230+42＝272
真的是耶，好簡單喔 !
怎不早點讓我知道呢 ?

中国易经和阿拉伯数字的奇妙关系
(2010-03-15 10:32:18)转载
标签： 杂谈
中国易经和阿拉伯数字的奇妙关系
大家都知道0123456789是阿拉伯数字的是个基本数字。也是世界通用的数字。千千万万的数目都是由这十个数字组成的。大家注意到这十个数字除了4和5是两划，其余8 个数字全部是一划。因为这十个数目的总和是45，而且这两个数字还代表数学中的符号(+-),就如同中国的文字“买卖”一样，少买多卖。大家都知道阿拉伯民族是信奉伊斯兰教，弯月和星星是他们的传教建筑的标志，证明月球的圆缺有关系，0象征圆月，12345数目的和是15，此时的月儿最圆。6和9的形状一样，只不过颠倒过个。6代表月圆上半月，9代表月圆下半月，6和9相加的和正是月圆十五。6和9也是道教的太极图——阴阳鱼。读过易经的人就知道，八卦里六十四卦的每卦里的九爻和五爻代表九五之之尊，那麽每卦里的九爻和六爻，也就是每卦的最外面的两爻又代表什么呢？不言而喻，大家都知道6乘以9的积54，5乘以9的积是45，同样两个积的得数都和69一样颠倒过来。7和8两个数定之和也是15，7像征弯月，8为什么是两个0，因为这十个数字中的偶数02468之和是20，即两个0，它也代表着天文现像日食和月食。在数学运算中，9乘以1.2.3.4.5.6.7.8.9，积分别是9、18、27、36、45、54、63、72、81。个位数除了9以外，都是依数序大到小8至1排列，而十位则相反的依小到大1至8排列。众所周知，易经的八卦是64卦，那么8分的乘以1.2.3.4.5.6.7.8.9，积的得数和9以样，不不过个位数序的差是2，全都是偶数。易经里最多的只有六九爻，6乘以9积是54，8乘以8是64刚好比7乘以9积63多1，在这里8又是9乘以任何数的规律。8又代表这平衡，中国的重量计量单位是十六两制，而不是十进制，也就是半斤八两。再说远古传说的后羿射日，是说天上有十个太阳，他们都是玉皇大帝的儿子，本来他们是按部就班一人值一天班，结果他们全都出来了，想想，十个太阳同时出现在天空，人间会是什么样子？后被后羿射落九个太阳，让一个太阳永不停歇地留在天上，普照大地万物。这就是中国民间向来选择数字八，而不是九的缘故。因为九是最大的，虚空的，如九重天，九层地狱，龙有九子.....也正因为后羿射死玉帝的九个儿子，所以中国方块状的字四既是象征方圆，在易经里象征日月，也代表着死亡的意思，四与死同音。十个自然数中的奇数和是25，如果再乘以10就是250。两百五是句骂人的话。是什么意思？在易经里双数是阴，单数是阳。中国的道教是讲阴阳平衡的，本来在这十个自然数中，奇数1+3+5+7+9=25的和比偶数0+2+4+6+8=20的和多5，何况还是乘以10就是250，那不是太阳了吗？在说中国的数字一.二.三.四.五.六.七.八.九.十，和阿拉伯数字0.1.2.3.4.5.6.7.8.9的关系。中国的数字一.二.三是实划代替，一也就是一的笔画，二也就是两笔画，三也就是三笔画，和易经的八卦符号基本相似，只是没有阴爻。而阿拉伯数字1.2.3是古时的结绳记事法，1是一个结，2是绳子拐了两道弯就是两个结，3是绳子拐3道弯就是三个结。和中国数字差不多的意思，正与中国易经道生一.一生二.二生象.象生万物。

周根项速算巨匠乘法口诀
明天有意间看了速算巨匠周根项教给先生们的乘法口诀速算体例，小我觉的很有效，能够教一下你的先生或许孩子：
两位数相乘，在十位数不异、个位数相加等于10的情况下，
如62×68=4216
周根项速算巨匠乘法口诀（教孩子速算），，计较体例：6×（6+1）=42（前积），2×8=16（后积）。
一分钟速算口诀中对特别题的定理是：
肆意两位数乘以肆意两位数，只需魏式系数为“0”所得的
积，肯定是两项数中的尾乘尾所得的积为后积，头乘头（其
中一项头加1的和）的积为前积，两积相邻所得的积。
如（1）33×46=1518（个位数相加小于10，所以十位数小
的数字3不变,十位大的数4必需加1）
计较体例：3×（4+1）=15（前积），3×6=18（后积）
两积构成1518
如（2）84×43=3612（个位数相加小于10，十位数小的数
4不变十位大的数8加1）
计较体例：4×（8+1）=36（前积），3×4=12（后积）
两积相邻构成：3612
如（3）48×26=1248
计较体例：4×（2+1）=12（前积），6×8=48（后积）
两积构成：1248
如（4）245平方=60025
计较体例24×（24+1）=600（前积），5×5=25
两积构成：60025
ab×cd魏式系数=（a-c)×d+(b+d-10)×c
“头乘头，尾乘尾，合零为整，补余数。”
1.先求出魏式系数
2.头乘头（其中一项加一）为前积（适应尾相加为10的
数）
3.尾乘尾为后积。
4.两积相连，在十位数上加上魏式系数即可。
如：76×75，87×84吧，凡是十位数不异个位数相加为11
的数，它的魏式系数肯定是它的十位数的数。
如：76×75魏式系数就是7，87×84魏式系数就是8。孩子
如：78×63，59×42，它们的系数肯定是十位数大的数减
去它的个位数。
例如第一题魏式系数等于7-8=-1，第2题魏式系数等于5-9=-
4，只需十位数差一，个位数相加为11的数一概能够采用以
上体例速算。
例题176×75，计较体例：（7+1）×7=565×6=30两
积构成5630，然后十位数上加上7最后的积为5700。
例题278×63，计较体例：7×（6+1）=49，3×8=24，两
积构成4924，然后在十位数上2减去1，最后的积为4914
上面是摘抄了几节实例：
-如（1）33×46=1518（个位数相加小于10，所以十位数小
的数字3不变,十位大的数4必需加1）-
-计较体例：3×（4+1）=15（前积），3×6=18（后积）-
-两积构成1518-
-如（2）84×43=3612（个位数相加小于10，十位数小的数
4不变十位大的数8加1）-
-计较体例：4×（8+1）=36（前积），3×4=12（后积）-
-两积相邻构成：3612-
-如（3）48×26=1248-
-计较体例：4×（2+1）=12（前积），6×8=48（后积）-
-两积构成：1248-
-如（4）245平方=60025-
-计较体例24×（24+1）=600（前积），5×5=25-
-两积构成：60025-
（一）十几与十几相乘
十几乘十几，
体例最轻易，
保存十位加个位，
添零再加个位积。
证实：设m、n为1至9的肆意整数，则
（10＋m）（10＋n）
＝100＋10m＋10n＋mn
＝10〔10＋（m＋n）〕＋mn。
例：17×l6
∵10＋（7＋6）＝23（第三句），
∴230＋7×6＝230＋42＝272（第四句），
∴17×16＝272。
（二）十位数字不异、个位数字互补（和为10）的两位数相
乘
十位同，个位补，
两数相乘要记住：
十位加一乘十位，
个位之积紧相随。
证实：设m、n为1到9的肆意整数，则
（10m＋n）〔10m＋（10－n）〕
＝100m（m＋1）＋n（10－n）。
例：34×36
∵（3＋1）×3＝4×3＝12（第三句），
个位之积4×6＝24，
∴34×36＝1224。（第四句）
寄望：两个数之积小于10时，十位数字应写零。
（三）用11去乘其它肆意两位数
两位数乘十一，
此数双方去，
两头留个空，
用和补进去。
证实：设m、n为1至9的肆意整数，则
（10m＋n）×（10＋1）＝100m＋10（m＋n）＋n。
例：36×ll
∵306＋90＝396，
∴36×11＝396。
寄望：当两位数字之和大于10时，要进到百位上，那么百
位数数字就成为m＋1，
如：
84×11
∵804＋12×10＝804＋120＝924，
∴84×11＝924。
第二节：十一至十九的妙体例
扶引：12x14=168
通用口诀：头乘头，尾相加，尾乘尾（1.1x1=1）（2.2+4=
6）（3.2x4=8）=168
声名：该进位的进位，也合用十几的平方（例：12x12=14
4）
第三节：首加1的好体例
扶引：23x27=621
通用口诀：(头加1后，头乘头)尾乘尾）（1.(2+1)x2=6）2.
(3x7=21)=621
声名：够进位的进位。被乘数是不异数，乘数互补，互补数
加1
例：21x29=（2+1）x2=6两头0尾数1x9=9）=609
计较逢5的平方数的好体例：(被乘数加1再乘以乘数，尾乘尾)
第四节：首加1的好体例：（被乘数互补，乘数不异）
扶引：37x44=1628（1.4x4=162.7x4=283.连起来便是16
28）
通用口诀：（头加1后，头乘头，尾成尾）
声名：头乘头为前积，尾乘尾为后积，该进位进位。
若是被乘数不异，乘数互补，则乘数头加1，尾相乘不够十
位，加零顶位。
第五节：几十一乘几十一的快体例
扶引：21x41=861（2x4=82+4=61x1=1连起来就是861）
通用口诀：头乘头，头相加，尾乘尾
声名：够进位的进位
两位数相乘，在十位数不异、个位数相加等于10的情况下，如62×68=4216-
-计较体例：6×（6+1）=42（前积），2×8=16（后积）。-
-一分钟速算口诀中对特别题的定理是：肆意两位数乘以肆意两位数，只需魏式系数为“0”所得的积，肯定是两项数中的尾乘尾所得的积为后积，头乘头（其中一项头加1的和）的积为前积，两积相邻所得的积。-
-如（1）33×46=1518（个位数相加小于10，所以十位数小的数字3不变,十位大的数4必需加1）-
-计较体例：3×（4+1）=15（前积），3×6=18（后积）-
-两积构成1518-
-如（2）84×43=3612（个位数相加小于10，十位数小的数4不变十位大的数8加1）-
-计较体例：4×（8+1）=36（前积），3×4=12（后积）-
-两积相邻构成：3612-
-如（3）48×26=1248-
-计较体例：4×（2+1）=12（前积），6×8=48（后积）-
-两积构成：1248-
-如（4）245平方=60025-
-计较体例24×（24+1）=600（前积），5×5=25-
-两积构成：60025-
-
-ab×cd魏式系数=（a-c)×d+(b+d-10)×c-
-“头乘头，尾乘尾，合零为整，补余数。”-
-1.先求出魏式系数-
-2.头乘头（其中一项加一）为前积（适应尾相加为10的数）-
-3.尾乘尾为后积。-
-4.两积相连，在十位数上加上魏式系数即可。-
-如：76×75，87×84吧，凡是十位数不异个位数相加为11的数，它的魏式系数肯定是它的十位数的数。-
-如：76×75魏式系数就是7，87×84魏式系数就是8。-
-如：78×63，59×42，它们的系数肯定是十位数大的数减去它的个位数。-
-例如第一题魏式系数等于7-8=-1，第2题魏式系数等于5-9=-4，只需十位数差一，个位数相加为11的数一概能够采用以上体例速算。-
-例题176×75，计较体例：（7+1）×7=565×6=30两积构成5630，然后十位数上加上7最后的积为5700。-
-例题278×63，计较体例：7×（6+1）=49，3×8=24，两积构成4924，然后在十位数上2减去1，最后的积为4914-
常用速算口诀（三则）
（一）十几与十几相乘
十几乘十几，
体例最轻易，
保存十位加个位，
添零再加个位积。
证实：设m、n为1至9的肆意整数，则
（10＋m）（10＋n）
＝100＋10m＋10n＋mn
＝10〔10＋（m＋n）〕＋mn。
例：17×l6
∵10＋（7＋6）＝23（第三句），
∴230＋7×6＝230＋42＝272（第四句），
∴17×16＝272。
（二）十位数字不异、个位数字互补（和为10）的两位数相乘
十位同，个位补，
两数相乘要记住：
十位加一乘十位，
个位之积紧相随。
证实：设m、n为1到9的肆意整数，则
（10m＋n）〔10m＋（10－n）〕
＝100m（m＋1）＋n（10－n）。
例：34×36
∵（3＋1）×3＝4×3＝12（第三句），
个位之积4×6＝24，
∴34×36＝1224。（第四句）
寄望：两个数之积小于10时，十位数字应写零。
（三）用11去乘其它肆意两位数
两位数乘十一，
此数双方去，
两头留个空，
用和补进去。
证实：设m、n为1至9的肆意整数，则
（10m＋n）×（10＋1）＝100m＋10（m＋n）＋n。
例：36×ll
∵306＋90＝396，
∴36×11＝396。
寄望：当两位数字之和大于10时，要进到百位上，那么百位数数字就成为m＋1，
如：
84×11
∵804＋12×10＝804＋120＝924，
∴84×11＝924。
两位数乘法速算口诀普通口诀：
首位之积排在前，首尾交叉积之和十倍再加尾数积。如37x64=1828+(3x4+7x6)x10=2368
1、同尾互补，首位乘以大一数，尾数之积前面接。如：23×27=621
2、尾同首互补，首位之积加上尾，尾数之积前面接。87×27=2349
3、首位差一尾数互补者，大数首尾平方减。如76×64=4864
4、末位皆一者，首位之积接着首位之和，尾数之积前面接。如：51×21=1071
------“几十一乘几十一”速算特别：用于个位是1的平方，如21×21=441
5、首同尾不合，一数加上另数尾，整首倍后加上尾数积。23×25=575
速算1），首位皆一者，一数加上另数尾，十倍加上尾数积。17×19=323----“十几乘十几”速算包罗了十位是1（即11~19）的平方，如11×11=121----“十几平方”
速算2）首位皆二者，一数加上另数尾，廿倍加上尾数积。25×29=725----“二十几乘二十几”
速算3）首位皆五者，廿五接着尾数积，百位再加尾数之和半。57×57=3249----“五十几乘五十几”
速算4）首位皆九者，八十加上两尾数，尾补之积前面接。95×99=9405----“九十几乘九十几”
速算5）首位是四平方者，十五加上尾，尾补平方前面接。46×46=2116----“四十几平方”
速算6）首位是五平方者，廿五加上尾，尾数平方前面接。51×51=2601----“五十几平方”
6、互补乘以叠数者，首位加一乘以叠数头，尾数之积前面接。37×99=36637、末位是五平方者，首位加一乘以首，尾数之积前面接。如65×65=4225----“几十五平方”
8、某数乘以一一者，首尾拉开，首尾之和两头站。如34×11=33+44=3749、某数乘以十五者，原数加上原数的一半后前面加个0（原数是偶数）或小数点往后移一位。如151×15=2265，246×15=3690
10、一百零几乘一百零几，一数加上另数尾，尾数之积前面接。如108×107=11556
11、俩数差2者，俩数均匀数平方再减去一。如49x51=50x50-1=2499
12、几位数乘以几位九者，这个数减去(位数前几位的数＋1)的差作积的前几位，末位与个位补足几个0。
1）一个数乘9：这个数减去(个位前几位的数＋1)的差作积的前几位，末位与个位补足104×9=36想：个位前是0,4－（0＋1）＝3,末位是10－4＝6合起来是36783×9＝7047想个位前是78,783－（78＋1）＝704,末位是10－3＝7合起来是7047
2）一个数乘99：这个数减去（十位前几位的数＋1），末两位凑100：14×99＝14－（0＋1）＝13,100－14＝861386158×99＝158－(1＋1)=156,100－58=42156427357×99=7357－(73＋1)=7283100－57=43728343
3）一个数乘999：能够依照上面的体例停止推理：这个数减去（百位前几位的数＋1），末三位凑100011234×999＝11234-（11+1）

奇特的数学现象
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超棒：数学速算法!!!速算技巧
Ａ、乘法速算
一、十位数是1的两位数相乘
乘数的个位与被乘数相加，得数为前积，乘数的个位与被乘数的个位相乘，得数为后积，满十前一。
例：15×17
15 + 7 = 22
5 × 7 = 35
---------------
255
即15×17 = 255
解释：
15×17
=15 ×（10 + 7）
=15 × 10 + 15 × 7
=150 + （10 + 5）× 7
=150 + 70 + 5 × 7
=（150 + 70）+（5 × 7）
为了提高速度，熟练以后可以直接用“15 + 7”，而不用“150 + 70”。
例：17 × 19
17 + 9 = 26
7 × 9 = 63
即260 + 63 = 323
二、个位是1的两位数相乘
方法：十位与十位相乘，得数为前积，十位与十位相加，得数接着写，满十进一，在最后添上1。
例：51 × 31
50 × 30 = 1500
50 + 30 = 80
------------------
1580
因为1 × 1 = 1 ，所以后一位一定是1，在得数的后面添上1，即1581。数字“0”在不熟练的时候作为助记符，熟练后就可以不使用了。
例：81 × 91
80 × 90 = 7200
80 + 90 = 170
------------------
7370
------------------
7371
原理大家自己理解就可以了。
三、十位相同个位不同的两位数相乘
被乘数加上乘数个位，和与十位数整数相乘，积作为前积，个位数与个位数相乘作为后积加上去。
例：43 × 46
（43 + 6）× 40 = 1960
3 × 6 = 18
----------------------
1978
例：89 × 87
（89 + 7）× 80 = 7680
9 × 7 = 63
----------------------
7743
四、首位相同，两尾数和等于10的两位数相乘
十位数加1，得出的和与十位数相乘，得数为前积，个位数相乘，得数为后积，没有十位用0补。
例：56 × 54
(5 + 1) × 5 = 30--
6 × 4 = 24
----------------------
3024
例: 73 × 77
(7 + 1) × 7 = 56--
3 × 7 = 21
----------------------
5621
例: 21 × 29
(2 + 1) × 2 = 6--
1 × 9 = 9
----------------------
609
“--”代表十位和个位，因为两位数的首位相乘得数的后面是两个零，请大家明白，不要忘了，这点是很容易被忽略的。
五、首位相同，尾数和不等于10的两位数相乘
两首位相乘（即求首位的平方），得数作为前积，两尾数的和与首位相乘，得数作为中积，满十进一，两尾数相乘，得数作为后积。
例：56 × 58
5 × 5 = 25--
（6 + 8 ）× 5 = 7--
6 × 8 = 48
----------------------
3248
得数的排序是右对齐，即向个位对齐。这个原则很重要。
六、被乘数首尾相同，乘数首尾和是10的两位数相乘。
乘数首位加1，得出的和与被乘数首位相乘，得数为前积，两尾数相乘，得数为后积，没有十位用0补。
例： 66 × 37
（3 + 1）× 6 = 24--
6 × 7 = 42
----------------------
2442
例： 99 × 19
（1 + 1）× 9 = 18--
9 × 9 = 81
----------------------
1881
七、被乘数首尾和是10，乘数首尾相同的两位数相乘
与帮助6的方法相似。两首位相乘的积加上乘数的个位数，得数作为前积，两尾数相乘，得数作为后积，没有十位补0。
例：46 × 99
4 × 9 + 9 = 45--
6 × 9 = 54
-------------------
4554
例:82 × 33
8 × 3 + 3 = 27--
2 × 3 = 6
-------------------
2706
八、两首位和是10，两尾数相同的两位数相乘。
两首位相乘，积加上一个尾数，得数作为前积，两尾数相乘（即尾数的平方），得数作为后积，没有十位补0。
例：78 × 38
7 × 3 + 8 = 29--
8 × 8 = 64
-------------------
2964
例：23 × 83
2 × 8 + 3 = 19--
3 × 3 = 9
--------------------
1909
Ｂ、平方速算
一、求11～19 的平方
底数的个位与底数相加，得数为前积，底数的个位乘以个位相乘，得数为后积，满十前一。
例：17 × 17
17 ＋ 7 = 24-
7 × 7 = 49
---------------
289
参阅乘法速算中的“十位是1 的两位相乘”
二、个位是1 的两位数的平方
底数的十位乘以十位（即十位的平方），得为前积，底数的十位加十位（即十位乘以2），得数为后积，在个位加1。
例：71 × 71
7 × 7 = 49--
7 × 2 = 14-
-----------------
5041
参阅乘法速算中的“个位数是1的两位数相乘”
三、个位是5 的两位数的平方
十位加1 乘以十位，在得数的后面接上25。
例：35 × 35
（3 + 1）× 3 = 12--
25
----------------------
1225
四、21～50 的两位数的平方
在这个范围内有四个数字是个关键，在求25～50之间的两数的平方时，若把它们记住了，就可以很省事了。它们是：
21 × 21 = 441
22 × 22 = 484
23 × 23 = 529
24 × 24 = 576
求25～50 的两位数的平方，用底数减去25，得数为前积，50减去底数所得的差的平方作为后积，满百进1，没有十位补0。
例：37 × 37
37 - 25 = 12--
（50 - 37）^2 = 169
----------------------
1369
注意：底数减去25后，要记住在得数的后面留两个位置给十位和个位。
例：26 × 26
26 - 25 = 1--
（50-26）^2 = 576
-------------------
676
Ｃ、加减法
一、补数的概念与应用
补数的概念：补数是指从10、100、1000……中减去某一数后所剩下的数。
例如10减去9等于1，因此9的补数是1，反过来，1的补数是9。
补数的应用：在速算方法中将很常用到补数。例如求两个接近100的数的乘法或除数，将看起来复杂的减法运算转为简单的加法运算等等。
Ｄ、除法速算
一、某数除以5、25、125时
1、 被除数 ÷ 5
= 被除数 ÷ (10 ÷ 2)
= 被除数 ÷ 10 × 2
= 被除数 × 2 ÷ 10
2、 被除数 ÷ 25
= 被除数 × 4 ÷100
= 被除数 × 2 × 2 ÷100
3、 被除数 ÷ 125
= 被除数 × 8 ÷100
= 被除数 × 2 × 2 × 2 ÷100
在加、减、乘、除四则运算中除法是最麻烦的一项，即使使用速算法很多时候也要加上笔算才能更快更准地算出答案。

摘抄---------

一分钟速算及十大速算技巧（完整版）
一分钟速算及十大速算技巧（完整版） 一分钟速算及十大速算技巧（完整版）
十个手指，手掌面向自己，从左往右数数。 十个手指，手掌面向自己，从左往右数数。 1． 个位比十位大 1 ×9 ． 口诀 个位是几弯回几，弯指左边是百位， 个位是几弯回几，弯指左边是百位， 为十位，弯指右边是个位。 弯指读 0 为十位，弯指右边是个位。 2． 个位比十位大 ×9 ． 口诀 个位是几弯回几，原十位数为百位， 个位是几弯回几，原十位数为百位， 左边减去百位数，剩余手指为十位， 左边减去百位数，剩余手指为十位， 弯指作为分界线。弯指右边是个位。 弯指作为分界线。弯指右边是个位。 3． 个位与十位相同 ×9 ． 个位与十位相同× 口诀 个位是几弯回几，弯指左边是百位， 个位是几弯回几，弯指左边是百位， 为十位，弯指右边是个位。 弯指读 9 为十位，弯指右边是个位。 34×9=306 78×9=702 89×9=801 45×9=405 38×9=3.42 13×9=117 25×9=225 18×9=162 33×9=297 44×9=396 88×9=792 4． 个位比十位小 ×9 ． 个位比十位小× 十位减 1，写百位，原个位数写十位，94×9=（9-1）×100+4×10+（100-94）=846 ，写百位，原个位数写十位， 与百差几写个位（加补数） 如差几十加十位。 ，如差几十加十位 与百差几写个位（加补数） 如差几十加十位。 83×9=（8-1）×100+ 30+17=747 ， 62×9=（6-1）×100+2×10+（100-62）=558 加法 加大减差法 前面加数加上后面加数的整数， 前面加数加上后面加数的整数， 减去后面加数与整数的差等于和 减补数） 数的差等于和（ 减去后面加数与整数的差等于和（减补数） 。 +1 -2 1378+98=1378—100+2=1476 5768+9897=5768+10000—103 =15665 求只是两个数字位置变换两位数的和 前面加数的十位数加上它的个位数， 前面加数的十位数加上它的个位数，乘以 11 等于和 47+74=（4+7）×11=121 68+86=（6+8）×11=154 58+85=（5+8）×11=143 一目三行加法 口诀 1 不够 9 的用分段法 直接相加，并要提前虚进 1 直接相加，并要提前虚进 2 中间数字和 中间数字和>19 的 弃 19,前边多进 1(中间弃 9) 前边多进 中间弃 3 末位数字和 末位数字和>19 的 弃 20,前边多进 1 (末位弃 10) 前边多进 末位弃 365427158 +644785963 +742334452 1752547573 1 注意事项： 注意事项： ①中间数字和小于 9 用直加法或分段法 分段法 直加法 1+ -19 ① 36 0427158 ② 36 042 9158 64 1785963 64 178 9963 +74 2334452 +74 233 9452 174 4547573 174 455 8573 19， ②中间数字出现三个 9： 中间弃 19，前边多进 1 ③末位三个 9，>20 ， 20， 末位弃 20，前面多进 1 1+ -20 ③36042715 9 64178596 9 +74233445 9 174454758 7 321-98=223 -1+2 （—100+2） ） 减法 减大加差法 口诀：被减数减去减数的整数,再加上减数的补数等于差 再加上减数的补数等于差。 口诀：被减数减去减数的整数 再加上减数的补数等于差。 8135-878=7257 91321-8987=82334 -1+122 -1+1013 （—1000+122） ） （—10000+1013） ） 求只是数字位置颠倒两个两位数的差 口诀：被减数的十位数减去它的个位数， 口诀：被减数的十位数减去它的个位数，乘以 9，等于差。 ，等于差。 74-47=（7-4）×9=27 （ ） 83-38=（8-3）×9=45 （ ） 92-29=（9-2）×9=63 （ ） 求只是首尾换位， 求只是首尾换位，中间数相同的两个三位数的差 口诀：被减数的百位数减它的个位数， ，等于差 口诀：被减数的百位数减它的个位数，乘以 9（差的中间必须写 9） 等于差。 （ ） 等于差。 ， 936—639=297 723—327=396 873—378=495 — — — （9—6）×9=3×9=27 — ） × （7—3）×9=36 — ） （8—3）×9=45 — ） 求互补两个数的差 口诀： 口诀：被减数减去 50，它的差扩大两倍是最终差。 ，它的差扩大两倍是最终差。 73—27=（73—50）×2=46 两位互补的数相减， — （ — ） 两位互补的数相减，用 50 613—387=（613—500）×2=226 — （ — ） 三位互补的数相减，用 500 三位互补的数相减， 8112—1888=（8112—5000）×2=6224 四位互补的数相减，用 5000 四位互补的数相减， — （ — ） 乘法 十位相同， 十位相同，个位互补 口诀： 的积， 口诀： 在前面因数的十位数上加个 1，和另一个十位数乘得的积，后写两个个位积，即为所求 ，和另一个十位数乘得的积 后写两个个位积， 最终积。 最终积。 67×63=（6+1）×6×100+7×3=4221 × （ ） × × 38 76 81 ×32 ×74 ×89 1216 5624 7209 （十位数没有要添个零） 十位数没有要添个零） 规律：十位互补，个位相同。 规律：十位互补，个位相同。 口诀：十位与十位相乘加上其中一个个位数， 口诀：十位与十位相乘加上其中一个个位数，个位与个位相乘 76×36=（7×3+6）×100+6×6=2736 562=（5×5+6）×100+6×6=3136 × （ × ） × （ × ） × 2 68×48=（6×4+8）×100+8×8=3264 × （ × ） × 一个数十位与个位互补， 一个数十位与个位互补，另一个数十位与个位相同的乘法运算 互补数十位加个 1，和另一数十位乘得积，后写两个个位积，即为所求最终积。 ，和另一数十位乘得积，后写两个个位积，即为所求最终积。 37×66=（3+1）×6×100+6×7=2442 88888888888 × （ ） × × 46×77=(4+1) ×7×100+6×7=3542 37 × × × × 44×28=(2+1) ×4+4×8=1232 3288888888856 × × （3+1）×8=32 ） 11 的乘法 高位是几则进几，两两相加挨着写。 还写几。 高位是几则进几，两两相加挨着写。相加超 10 前加 1，个位是几还写几。 ，个位是几还写几 231415 11 × 2545565 十位是 1 的乘法 个位相乘写个位， 个位相乘写个位， 13 个位相加写十位， 个位相加写十位， ×12 十位相乘写百位， 十位相乘写百位， 156 有进位的加进位。 有进位的加进位。 个位数是 1 的乘法 个位相乘写个位， 31 个位相乘写个位， 十位相加写十位， 十位相加写十位， ×21 十位相乘写百位， 十位相乘写百位， 651 有进位的加进位。 有进位的加进位。 51 61 ×71 3621 ×81 4941 补充 1. 被乘数和乘数十位数相同，个位数之和不等于 10 被乘数和乘数十位数相同， 个位相乘写个位 个位相加再乘一个十位数所得积写十位，十位相乘写百位，有进位的加进位。 写个位， 个位相乘写个位，个位相加再乘一个十位数所得积写十位，十位相乘写百位，有进位的加进位。 23 ×25 57 5 23×25=（2×2）×100+（3+5）×2×10+3×5=575 × （ × ） （ ） × × 2. 被乘数和乘数个位数相同，十位数之和不等于 10 被乘数和乘数个位数相同， 个位相乘写个位，十位相加再乘一个个位数所得积写十位，十位相乘写百位，有进位的加进位。 个位相乘写个位，十位相加再乘一个个位数所得积写十位，十位相乘写百位，有进位的加进位。 23 ×43 989 23×43=（2×4）×100+（2+4）×3×10+3×3=989 × （ × ） （ ） × × 3. 被乘数和乘数十位数相差为 1，个位数之和等于 10 ， 方法：平方差公式： （A+B） —B）=A2—B2 （A 方法：平方差公式： （ ） （ ） 52×48=（50+2） （50— ） （ ） （ —2）=50 —2 =2496 注：①两数差为 2，4，6，8，10 的两个数相乘也可用此法 ， ， ， ， 24×28=（26+2） （26— ） （ ） （ —2）=26 —2 =676-4=672 2 2 2 2 ②此方法还可以推广到多位数乘法 592×608=（600—8） （600+8）=600 —8 =360000—64=359936 （ — ） （ ） — 2 2 3 特殊数字的乘法运算 72×15=（72÷2）×(15×2)=36×30=1080 （ ÷ ） × × 15×2→30 × → 25×4→100 × → 35×2→70 × → 45×2→90 × → 125×8→1000 × → 366×25=(366÷4) ×（25×4）=91.5×100=9150 × ÷ × ） × 612×35=（612÷2）×(35×2)=306×70=21420 × （ ÷ ） × × 214×45=(214÷2) ×(45×2)=107×90=9630 × ÷ × × 568×125=(568÷8) ×(125×8)=71×1000=71000 × ÷ × × 38×15=(38÷2) ×(15×2)=19×30=570 × ÷ × × 48×25=(48÷4) ×(25×4)=12×100=1200 × ÷ × × 42×35=(42÷2) ×(35×2)=21×70=1470 × ÷ × × 78×45=(78÷2) ×(45×2)=39×90=3510 × ÷ × × 856×125=(856÷8) ×(125×8)=107×1000=107000 × ÷ × × 任意两位数乘两位数 万能法 三步法： 个位相乘;2.上下个位十位交叉相乘积相加 3.十位相乘 有进位的加进位） 1.个位相乘 上下个位十位交叉相乘积相加； 三步法： 个位相乘 上下个位十位交叉相乘积相加； 十位相乘 有进位的加进位） （ 35 ×52 1820 34 ×52 1768 41 ×35 1435 任意三位数乘两位数 万能法 四步法： 四步法： 1.个位数上下相乘，写个位； 个位数上下相乘， 个位数上下相乘 写个位； 2.个位数和十位数交叉相乘，积相加（有进位的 加进位）写十位； 个位数和十位数交叉相乘， 加进位）写十位； 个位数和十位数交叉相乘 积相加 3.个位数和百位数交叉相乘加上十位数上下相乘，再相加（有进位的 加进位） 个位数和百位数交叉相乘加上十位数上下相乘， 加进位） 个位数和百位数交叉相乘加上十位数上下相乘 再相加（ 十位数和百位数交叉相乘， 4.十位数和百位数交叉相乘，写到最高位即可。 十位数和百位数交叉相乘 写到最高位即可。 312 438 × 56 × 52 17472 22776 任意三位数乘以三位数的万能法 五步法： 五步法： 1.个位数相乘，写个位； 个位数相乘， 个位数相乘 写个位； 2.个位与十位交叉相乘相加，写十位； 个位与十位交叉相乘相加， 个位与十位交叉相乘相加 写十位； 3.个位与百位交叉相乘积相加再加上十位与十位相乘，写百位； 个位与百位交叉相乘积相加再加上十位与十位相乘， 个位与百位交叉相乘积相加再加上十位与十位相乘 写百位； 4.十位与百位交叉相乘积相加，写千位； 十位与百位交叉相乘积相加， 十位与百位交叉相乘积相加 写千位； 5.百位与百位交叉相乘，写万位。 百位与百位交叉相乘， 百位与百位交叉相乘 写万位。 4 数位越大越好算 9992=998001 数去相乘； 几个 9 数去相乘； 位数减 1 写成 9； ； 9 后写 8 补一位； 补一位； 8 前几个 9，8 后就加几个 0； ， ； 最后写个 1； ； 999999992=9999999800000001 数去相乘； 几个 9 数去相乘； 位数减 1 写成 9； ； 9 后写 8 补一位； 补一位； 几个 9 数几个 0； ； 末尾只写一个 1；即为乘式最终积。 ；即为乘式最终积。 999×587=586413 1.求补数； 求补数； 求补数 999-413（补数）=586 （补数） 999×456=455544 × 999-544=455 998×897=895206 × 998-103=895 2（998 的补数）×103=206 （ 的补数） 3.补数相乘写后边（先求两数各补数，减另一 补数相乘写后边（先求两数各补数， 补数相乘写后边 数写前边，补数相乘写后边，是几位数错几位） 。 数写前边，补数相乘写后边，是几位数错几位） 2.交叉相减减补数（减一次） 交叉相减减补数（减一次） 交叉相减减补数 数位小的也好算 1062=11236 2072=42849 3072=94249 口诀：百位数乘以百位数写高位； 口诀：百位数乘以百位数写高位； 百位数和个位数相乘扩大两倍写中间； 百位数和个位数相乘扩大两倍写中间； 个位数乘个位数写后面。 个位数乘个位数写后面。 5 单位数的乘法运算 2 的乘法运算 1234 直写倍，1356987×2=2713974 直写倍， 后数大 5 前加 1； ； 单位数除法 除数是 2 的运算 口诀： 折半读得数。 口诀： 除 2 折半读得数。 48÷2=24 76÷2=38 ÷ ÷ 5 个为 0， 个 2； 6 375696587×2=751393174 ， ； 除数是 3 的运算 7 个为 4，8 个 6；47598×2=95196 ， ； 口诀： 9 个为 8 要记牢；算前看后莫忘掉。 要记牢；算前看后莫忘掉。 口诀：除 3 一定要细点算 4÷3=1.333 ÷ 5÷3=1.666 余 1 余 2 有循环 ÷ 3 的乘法运算 余 1 循环 333，余 2 循环 666 25÷3=8.333 ， ÷ 123 数直写倍， 数直写倍， 小数要求留几位， 小数要求留几位，余 1 要舍余 2 进。 29÷3=9.666 ÷ 后大 34 前加 1， 1346986×3=4040958 ， 大于 67 要进 2， ， 除数是 4 的运算 （循环小数要记准）473968×3=1421904 循环小数要记准） 4 个为 2，5 个 5， 口诀： 有整也有余， ， ， 口诀：除 4 有整也有余， 6 个为 8，7 个 1， 余按进率读得数， 5÷4=1.25 ， ， 余按进率读得数， ÷ 8 个为 4，9 个 7. 6÷4=1.5 ， 余 1，便是点 25； ， ； ÷ 算前看后别忘掉） 7÷4=1.75 （算前看后别忘掉） 余 2，定是点 50； ， ； ÷ 126÷4=31.5 余 3，就是点 75； ， ； ÷ 4 的乘法运算 不需计算便知数。 438÷4=109.5 不需计算便知数。 ÷ 1 数 2 数直写倍； 数直写倍； 后大 25 前加 1； 365478×4=1461912 ； 除数是 5 的运算 大于 50 要进 2； ； 口诀： 口诀：任何数除以 5，等于这个数 2 倍后再 ， 大于 75 要进 3；28798649×4=115194596 ； 偶数各自皆互补； 偶数各自皆互补； 除以 10（被除数扩大两倍，小数点向左移动 （被除数扩大两倍， 一位） 奇数各自凑 5 奇； 一位） 。 一定要记住他的进位率。 18÷5=（18×2）÷（5×2）=36÷10=3.6 一定要记住他的进位率。 ÷ （ × ） × ） ÷ 368÷5=（368×2） （5×2） ÷ （ × ）÷ × ）=736÷10=73.6 ÷ 5 的乘法运算 任何数乘以 5，等于它的半数加 0. ， 除数是 6 的运算 486×5=2430 口诀： 18×5=（18÷2）×（5×2）=9×10=90 口诀： × （ ÷ ） × ） × 除 6 得整还有余， 得整还有余， 7÷6=1.166 ÷ 264×5=1320 368×5=1840 × × 余按进率读小数， 8÷6=1.333 余按进率读小数， ÷ 7356×5=36780 × 循环； 9÷6=1.5 余 1，小数 166 循环； ， ÷ 6 的乘法运算 10÷6=1.666 余 2，33 循环数； ， 循环数； ÷ 167 数要进 1； 11÷6=1.833 ； 余 3，小数是点 5； ， ； ÷ 循环； 余 4 小数 666 循环； 后大 34 将 2 进； 3768×6=22608 大于 50 要进 3； ； 余 5，循环 833； ， ； 要求几位定进舍。 要求几位定进舍。 后大 67 要进 4； 671589×6=4029534 ； 834 数要进 5； ； 循环小数要记准；偶数各自皆本身； 循环小数要记准；偶数各自皆本身； 奇数和 5 来相比；小于 5 数身减 5； 来相比； ； 循环小数要记准。 循环小数要记准。 6 7 的乘法运算 三位三位比 142857---进 1 进 285714—进 2 进 428571—进 3 进 571428—进 4 进 714285—进 5 进 857142—进 6 进 125—进 1 进 25---进 2 进 375—进 3 进 5—进 4 进 625—进 5 进 75----进 6 进 875—进 7 进 16758×7=117306 365475×7=2558325 除数是 7 的运算 口诀： 口诀： 整数需要认真除，余数循环六位数， 整数需要认真除，余数循环六位数， 乘法进率记得准，余几循环进率几 进率几； 乘法进率记得准，余几循环进率几； 余 1 是 142857 循环 8÷7=1.142857 ÷ 76÷7=10.857142 ÷ 搬后位；——285714 循环 余 2 是 14 搬后位；—— 9÷7=1.285714 137÷7=19..571428 ÷ ÷ 是将头按在尾；——428571 余 3 是将头按在尾；—— 10÷7=1.428571 225÷7=32.142857 ÷ ÷ 移前位；——571428 余 4 是 57 移前位；—— 11÷7=1.571428 ÷ 是将尾按在首；——714285 余 5 是将尾按在首；—— 12÷7=1.714285 ÷ 是分半前后移。——857142 余 6 是分半前后移。—— 13÷7=1.857142 ÷ 先看小数留几位 决定是舍还是进。 几位， 先看小数留几位，决定是舍还是进。 8 的乘法运算 3658×8=29264 47586×8=380688 9 的乘法运算 两位数之间前后比 5477 前小于后照数进； 前小于后照数进；365478×9=3289302 ； 前大于后腰减 1； 745632 各数个位皆互补； 27159867×9=244438803 各数个位皆互补； 83951243 算到末尾必减 1。 。 除数是 8 的运算 口诀： 口诀： 8 除有整还有余， 除有整还有余， 余 1，小数点 125； ， ； 余 1 是.125 9÷8=1.125 ÷ 余 2 小数是点 25， ， 余 2 是.25 10÷8=1.25 ÷ 余 3，小数点 375； ， ； 余 3 是.375 11÷8=1.375 ÷ 余 4 它是点 5 数， 余 4 是.5 12÷8=1.5 ÷ 余 5，小数点 625； ， ； 余 5 是.625 13÷8=1.625 ÷ 余 6 小数是点 75， ， 余 6 是.75 14÷8=1.75 ÷ 余 7，小数点 878； ， ； 余 7 是.875 15÷8=1.875 ÷ 8 的余数虽然大， 的余数虽然大， 132÷8=16.5 ÷ 但是都能除尽它。 但是都能除尽它。 除数是 9 的运算 口诀： 口诀：任何数除以 9，余几循环几。 ，余几循环几。 去除除不尽； ——111 循环 用 9 去除除不尽； 余 1—— —— 82÷9=9.111 ——222 ÷ 余 2—— —— 余几循环就是几； ——333 余几循环就是几； 余 3—— —— 83÷9=9.222 ——444 ÷ 余 4—— —— 需看小数留几位； ——555 需看小数留几位； 余 5—— —— 58÷9=6.444 ——666 ÷ 余 6—— —— 决定是舍还是进。 ——777 决定是舍还是进。 余 7—— —— 64÷9=7.111 ——888 ÷ 余 8—— —— 7 特殊数的除法运算 口诀： 口诀： 任何数除以 15，等于它的 2 倍再除 30. ， 任何数除以 25，等于它的 4 倍再除 100. ， 任何数除以 35，等于它的 2 倍再除 70 ， 任何数除以 45，等于它的 2 倍再除 90. ， 任何数除以 125，等于它的 8 倍再除 1000 ， 375÷15=（375×2）÷（15×2）=750÷30=25 ÷ （ × ） × ） ÷ 136÷25=（136×4）÷（25×4）=544÷100=5.44 ÷ （ × ） × ） ÷ 250÷35= 250×2） （35×2） =500÷70=7.142857 ÷ （ × ） ÷ × ） ÷ 350÷45=（350×2）÷（45×2）=700÷90=7.777 ÷ （ × ） × ） ÷ 105÷125= 105×8） （125×8） =840÷1000=0.84 ÷ （ × ） ÷ × ） ÷ 扩展思维，数学计算可用多种方法，这是另一本书的介绍，有的方法相同，有的方法不同， 扩展思维，数学计算可用多种方法，这是另一本书的介绍，有的方法相同，有的方法不同， 认为简单的就可以用，复杂的就放弃。 认为简单的就可以用，复杂的就放弃。 数学神算两位数乘法 一． 被乘数和乘数的十位数 相同 个位数 之和等于 10 的两位数乘法； 十位数字相同 个位数字之和等于 十位数 相同，个位数 方法： （1）乘数的个位数字与被乘数的个位数 相乘 个位数字相乘 个位数 相乘得一数。 （2）被乘数十位数 加 1 的和与乘数的十位数 相乘 被乘数十位数字加 乘数的十位数字相乘 被乘数十位数 乘数的十位数 相乘又得一数。 （3）两数相连 两数相连即为所求之积。 两数相连 如：27×23=621 27×23=（2+1）×2×100+7×3=600+21=621 74×76=（7+1）×7×100+4×6=5600+24=5624 一和二采用以下方法： 一和二采用以下方法：十位： 被乘数×（乘数＋1） 个位： 被乘数×乘数 （两位数） 下同） 注：如果个位数字相乘积不满 10，十位数字将用 0 补（下同 。 如果个位数字相乘积不满 十位数字将用 下同 如 31×39=（3+1）×3×100+1×9=1200+9=1209 ① 两位数的平方，个位数是 5 的也可用此法 ② 35×35=1225 75×75=5625 95×95=9025 ③ 此法也可以推广到多位数。 如：498×492=[49×{49+1}]×100+2×8=245016 二． 被乘数的十位数字和个位数字相同 乘数的十位数字和个位数字之和等于 10 被乘数的十位数字和个位数字相同， 的两位数乘法。 方法：①乘数的个位数字与被乘数的个位数相乘 个位数相乘得一积； 个位数相乘 ②乘数的十位数字加 1 的和与被乘数的十位数相乘又得一积。 乘数的十位数字加 的和与被乘数的十位数相乘 8 如：44×28=1232 66×73=4818 33×82=2706 三． 被乘数和乘数的个位数字相同 十位数 个位数字相同，十位数 个位数字相同 十位数字之和等于 10 的两位数乘法： 和等于 方法： （1）乘数的个位数与被乘数的个位数字相乘得一数 个位数字相乘得一数。 个位数字相乘得一数 （2）乘数的十位数字与被乘数的十位数字相乘之积加上一个个位 十位数字相乘之积加上一个个位数字得一数。 十位数字相乘之积加上一个个位十位数相 乘的积＋ 两位数的平方， 的也可用此方法。 注：①两位数的平方，十位数字是 5 的也可用此方法。 一个个位 2 数 58 =3364 58×58=（5×5+8）×100+8×8=3364 如：76×36=2736 47×67=3149 57×57=3249 个 位 数相 乘 得 两 位数 的 积 ②两位数的平方，十位数是 4 的，其方法为 25 减去其个位数的补数，后面连上补 两位数的平方 十位数是 减去其个位数的补数 补 数自乘的积。如：472=（25-3）×100+32=2200+9=2209 数自乘的积 四． 被乘数和乘数的个位数字相同 十位数 个位数字相同，十位数 个位数字相同 十位数字之和不等于 10 的两位数乘法。 和不等于 方法： （1）乘数的个位数字与被乘数的个位数相乘得一积 个位数相乘得一积； 个位数相乘得一积 （2）两十位数字之和与一个位数字相乘得一积； 两十位数字之和与一个位数字相乘得一积 两十位数字之和与一个位数字相乘得一积十位数 （3）乘数的十位数与被乘数的十位数相乘得一积 十位数相乘得一积： 相乘 十位数相乘得一积 两个不同数字 之和与一个相 同的数字相乘 个位数相 乘得一积， 一位数要 进位 如：23×43=989 26×36=936 五． 被乘数和乘数的十位数字相同 个位数字之和不等于 10 的两位数乘法： 被乘数和乘数的十位数字相同，个位数 个位数 和不等于 方法： （1）乘数的个位数与被乘数的个位数相乘得一积 个位数相乘得一积。 个位数相乘得一积 （2）乘数的个位数字加上被乘数的个位数字之和与 乘数的十位数 相乘得 乘数的个位数字加上被乘数的个位数字之和与被乘数的十位数 乘数的个位数字加上被乘数的个位数字之和与 乘数的十位数字相乘得 一积； 一积 （3）乘数的十位数与被乘数的十位数相乘 十位数相乘又得一积。 十位数相乘 任意两位数的平方， 注：① 任意两位数的平方，也可用此方法 如： 12×12=144 31×31=961 26×26=676 六． ②两位数的平方十位是 9 的，其方法为：原数减去其补数，后面连上补数自 原数减去其补数， 原数减去其补数 乘的积。 乘的积 如： 922=8464 972=9409 七． 被乘数和乘数的十位数字相差为 1，个位数字之和等于 10 的两位数乘法： 十位数字相差为 个位数字之和等于 方法：校用两平方差公式： 用两平方差公式： （A— ） 用两平方差公式 （A+B） —B）=A2—B2 （ ） （ — 如： 52×48=2496，分解为 (50+2)(50—2)=502—22=2496 注：①个位数字之差为 2，4，6，8，10 的两个数相乘也可用此法： ① ， ， ， ， 的两个数相乘也可用此法： 24×28=（26-2）×（26+2）=262-22=676-4=672 ②此方法还可以推广到多位数乘法 此方法还可以推广到多位数乘法： 此方法还可以推广到多位数乘法 9 592×608=（600-8） （600+8）=6002—82=359936 八． 任意两位数乘法： 任意两位数乘法： 方法： （1） 被乘数的十位数与乘数的个位数相乘之积加上被乘数的个位数字与乘数 的十位数相乘之积的和得一数（即交叉相乘积相加×10） 交叉相乘积相加× 。 交叉相乘积相加 （2）两个位数字相乘得一数，两十位数字相乘得一数×100。 两十位数字相乘得一数× 两十位数字相乘得一数 （3）三位数相加就是所求之积 三位数相加就是所求之积。 三位数相加就是所求之积 如：24×35=22+620=840 两十位数相乘＋ 进位 （百位） 两数字十位和个 位交叉相乘＋进 位 （十位） 个位数相乘得 一个数字并进 位 （个位） 24×35=（2×5+3×4）×10+2×3×100+4×5=220+600+20=840 以上各种方法，可应用小数乘法，计算结果按“计数定位法”定出小数点的位 置（多位数乘法也如此） 。 多位数乘法 一． 1. 运算中涉及的问题： 运算中涉及的问题： 什么叫补数？ 什么叫补数？ 凑数整十、整百、整千、整万……的数，叫补数。即：两数之和等于 10、100、 1000、10000……，它们互为补数。 2. 3. 找补数的方法：前位凑九，末（个）位凑十。 补数的特点：某数是几位，补数一定是几位。例如： 98 的补数的 02、9985 的补数是 0015 等。 4. 二． 1. 补数乘法的定位：乘数是几位，被乘数的个位向右移几位就是积的个位。 运算方法： 运算方法： 112=121、 1112=12321、 111112=1234321……类推。 如果不是 11 相连，可把它们变成 11 相连、分二步计算 如：2222×5555=1111×2×1111×5=1234321×10=12343210 2. 任何数乘以 11，首尾（末）两位数字不变，中间的数字就是相邻的两数之和： 如：63×111=6993 三． 相连（不管多少位） ，都在被乘数的首位减去乘数的补数、 如果被乘数是 99 相连（不管多少位） 然后再在所得差的后面把补数昉上。如： （1） 99999×99999=9999800001（99999 的补数是 00001） 10 （2） 999×65=96435（65 的补数是 35，999—35=964） （3） 999999×726485=726484273515（726485 的补数是 273515） （999999—273515=726484） 四． 中间数字是大数相连时， 如果被乘数遇到前 4 后 5 中间数字是大数相连时， 其方法为：前 4 本位减补数一半，后 5 本位加补数一半，中间是 9 不动，中间数 字不足 9 的在下位按 0 补加补数次数，最后再扩大 10 倍。如：4995×758=3786210 （785 的补数是 242、一半 121） 五． 两个乘数都接近数百、数千……的乘法： 两个乘数都接近数百、数千……的乘法： ……的乘法 1、 两乘数都比数百数千数万……小的计算方法： 两乘数都比数百数千数万……小的计算方法 ……小的计算方法 ① 一乘数减去另一乘数的补数 一乘数减去另一乘数的补数（接近 100 数字的乘以 1，接近 200 数字的乘以 2……） 。 ② 在所得的数后面补一些 0（接近数百的补两个 0，数千的补三个 0……） 在所得的数后面补一些 ……） 。 ③ 再加上两个数的补数相乘之积 再加上两个数的补数相乘之积。 例：1、987×986=973182（987 的补数是 013、986 的补数是 014） 987—014=973000+182=973182 987×986=（987—014）×1000+013×014=973000+182=973182 例 2、 1968×1972=3880896 1968×1972=（1968-28）×2×1000+32×28÷=3880000+896=3880896(1968 的 补数是 32、1972 的补数是 28) 2. 两个数都比数百、数千……大的 两个数都比数百、数千……大的。 ……大的 其方法： （1） 将一乘数的零头与另一乘数相加 接近 100 数的乘 1，接近 200 的乘 将一乘数的零头与另一乘数相加（接近 ， 2…… ……） …… （2） 在所得数的后面补一些 0 同（上） （3） 再加上两个数的零头之积 再加上两个数的零头之积。 例：1、112×105=11760 例 2、204×215=43860 112×105=（105+12）×1×100+12×5=11700+60=11760 204×215=（204+15）×2×100+4×15=43800+60=43860 3、一个乘数比数百、数千、整万……大而另一个乘数比数百、数千、数万…… 个乘数比数百、数千、整万……大而另一个乘数比数百、数千、数万…… 个乘数比数百 ……大而另一个乘数比数百 小。 11 其方法： （1） 先将较大数的零头与较小数相加， 先将较大数的零头与较小数相加， （接近 100 的数乘以 1，接近 200 的数 乘以 2……） （2） 在所得数的后面补一些 0（接近数百的数补两个零、接近数千的补三个 ） （接近数百的数补两个零、 零……） ……） （3） 最后再减去较大数的零头与较小数的补数之积。 ） 最后再减去较大数的零头与较小数的补数之积。 例：①256236（489 的补是 11） 524×489=（489×24）×5×100-24×11=256500-264=256236 ②1015×998=1012970 1015×998=（998+15）×100—15×2=1013000-30=1012970 （按大中小组进行计算 六、任意多位数乘法： 按大中小组进行计算） 任意多位数乘法： 按大中小组进行计算） （ 1、2、3 为小数组，4、5、5 为中数组，7、8、9 为大数组（一般把数位少的做 作被乘数） 。 其方法为： （1） 凡被乘数遇到 1、2、3 时，其方法为： 是 1：下位减补数一次（或 1 倍） 被乘数 是 2：下位减补数二次（或 2 倍） 是 3：下位减补数三次（或 3 倍） 231 - 021 079 ①在被乘数个位数字 1 的下位减去补数一次（21） ，得 23—079（破 23079 - 063 折号前为被乘数，破折号后为乘积，下同） ； 22449 2449 -042 ②在被乘数十位 3 的下位减去补数三次（21×2=63）得 2-2449； 18249 ③在被乘数百位 2 的下位减去补数二次（21×4=42）得 18249（乘 算序： 积） 。 例如：231×79（79 的补数是 21） 其方法为： （2）凡是被乘数的各位数字遇到 4、5、6 时，其方法为： 是 4：本位减补数一半，下位加补数一次 被乘数 是 5：本位减补数一半 是 6：本位减补数一半，下位减补数一次 12 456 - 121 算序： 242 4548 ① 在被乘数个位 6 的本位减补数一半 121.下位减 242 得 45—4548； 454548 - 121 ② 在被乘数十位数 5 的本位减 121，得 4—42448； 442448 42448 -121 ③ 在被乘数百位 4 的本位减 121，下位加 242 得 345648（积） 。 + 242 345648 例如：456×758=345648（758 的补数是 242） 其方法为; （3）凡是被乘数的各位数遇到 7、8、9 时，其方法为; 是 9：本位减补数一次，下位加补数一次。 被乘数 是 8：本位减补数一次，下位加补数二次。 是 7：本位减补数一次，下位加补数三次。 例如：987×879=867573 算序： ① ② ③ 987 - 121 + 363 986153 6153 被乘数个位 7 的本位减 121，下位加 363 得 98-6153； - 121 被乘数十位 8 的本位减 121，下位加 242 得 9-76473； + 242 被乘数百位 9 的本位减 121，下位加 121 得 867573（积） 976473 。 76473 -121 + 121 867573 （879 的补数是 121） 等大数联运算时，其方法为： （4）凡是被乘数遇到 989697 等大数联运算时，其方法为： 被乘数后位按 10 补加补数，前位遇到 9 不动，前位遇到 6、7、8 时，按 9 补加 补数次数（均由下位补加补数次数） ，最后被乘数首位减补数一次。 例如：9798×8679=85036842 (8679 的补数 1321) 算序： ① 被乘数个位 8 的下位加 2642，得 979-82642； ② 被乘数十位 9 不动； ③ 被乘数百位 7 的下位加 2642，得 9-8246842； ④ 被乘数的首位减 1321，得 85036842（乘积） 。 9798 + 02642 97982642 82642 + 02642 98246842 8246842 -1321 85036842 注：如果被乘数首位不是大数时，首位是 1，下位减补数二次；首位数是 2，下 13 位减补数三次；首位是 3，本位减补数一半；下位加补数一次，首位是 4，本位减补 数一半；首位是 5，本位减补数一半，下位减补数一次。 说明：下位减补数五次（或 5 倍） ，等于本位减补数一半。下位减补数十次（或 10 倍）等于本位减补数一次。 破华口诀 加一。减一。逢五加五。 加一。减一。逢五加五。 1、2、3 依次减，4、5、6 减一半，7、8、9 当 10 看，除法加，乘法减，遇到 0 、 、 依次减， 、 、 减一半， 、 、 除法加，乘法减， 全不算。 全不算。 多位数除法 一、 速算法 除法的目的是求商，但从被除数中突然看不出含有多少商时，可用试商，估商 的办法，看被乘数最高几位数含有几个除数（即含商几倍） ，就由本位加补数几次， 其得数就是商。 计算定位： 二、 计算定位： 除数是一位，个位为本位，除数是二位，十位为本位，除数是三位，百位为本 位，……类推。 小数组： 三、 小数组： 1 倍：由本位加补数一次。 被除数含商 2 倍：由本位加补数二次。 3 倍：由本位加补数三次。 7995 +35 ①被除数前两位 79 中含除数 65 一倍，加补数一次（35） ，得 11495 + 70 1-1495（破折号前为商，破折号后为被除数，下同） ； 12195 12 ②被乘数 149 中含除数二倍， 加补数二次 （35×2=70） 12-195； + 105 得 12300 123 ③被除数 195 含除数三倍， 加补数三次 （35×3=105） 123 商） 得 （ 。 算序： 例如：7995÷65=123， （65 的补数是 35） 14 四、 中数组：凡是将除数含有除数 4、5、6 倍时、其方法为： 中数组： 、 、 倍时 4 倍：前位加补数一半，本位减补数一次。 被除数含商 5 倍：前位加补数一半，本位不动。 6 倍：前位加补数一半，本位加补数一次。 35568 +11 算序： - 22 ① 355 中含有除数 4 倍， 所以前位加 11， 本位减 22， 4-4368； 44368 得 + 11 ② 436 中含除数 5 倍，前位加 11，本位不动，得 45-468； 45468 45 + 11 ③ 468 中含除数 6 倍，前位加 11，本位加 22，得 456（商） 。 + 22 45600 456 例如：35568÷78=456（78 的补数是 22） 大数组： 五、 大数组： 9 倍：前位加补数一次，本位减补数一次。 被除数含商 8 倍：前位加补数一次，本位减补数二次。 7 倍：前位加补数一次，本位减补数三次。 例如：884352÷896=987（896 的补数是 104） 算序： ①8843 中含除数 9 倍，前位加 104，本位减 104，得 9-77952； ②7795 中含除数 8 倍前位加 104，本位减 208，得 98-6272； ③6272 含除数 7 倍， 前位加补数一次 104， 本位减补数三次 （104 ×3=312（得 986（商）。 ） + + + 884352 104 104 977952 104 208 986272 98 104 312 986000 986 《几何证题口诀》 几何证题口诀》 几何证题并不难，首先过好审题关； 字斟句酌细钻研，命题反复看几遍； 看图正确利思考，已知求证要写全； 知识除向更重要，证明方法要优选； 15 扣紧题意析疑难，根据结论寻条件； 字迹工整层次清，论证步骤写周全。 一些数的和 一、 二、 三、 自然数和：1+2+3……+n=1/2n（n+1） 奇数和：1+3+5+……+（2n-1）=n2 偶数和：2+4+6+……+2n=n（n+1） 《实用知识》 实用知识》 一、 速算地亩（以米为单位） 宽的一半再加宽，得下和数乘长边。 向前移动三位点，地亩面积容易算。 注：如果是三角形、梯形及其它图形，可以这样计算。 面积一半加面积，向前移动三位点。 二、 量猪重 胸围（厘米）2×体长（厘米）÷7600=猪重（市斤） 三、 量牛或羊的体重： 胸围（厘米）2×体长（厘米）÷5400=体重（市斤） 四、1-14 岁正常人的身长和体重： 身长（厘米）=（年龄×5）+80 体重（市斤）=（年龄×4）×+16 数学游戏 一、 猜年龄及出生月份： （出生月份×2+5）×50+年龄-365 二、 猜男女数： （总人数×2+5）×50＋女数－365 三、 猜住房数： （大小总房数×2＋7）×5＋大房数－20 四、 猜及排行数： （姊妹总数×2＋3）×5+排行数 习题 16 一、 两位数乘法： 63×67= 42×43= 42×48= 24×84= 88×64= 32×27= 66×37= 54×38= 21×23= 二、 多位数乘法： 113×108= 9999×4268= 998×985= 1012×997= 趣味算术 一根竹竿二丈一，三分之一插进泥； 七分之一露出水， 问你井水有几尺深。 答： （11） 一个老头来卖梨，连筐共重一百一， 卖去梨的整一半，连筐还有五十七， 这个梨筐几斤重？请你给回回皮。 答： 斤） （4 三个闺女来看娘，三五七天各一趟， 今日一同娘家走，何日一齐来看娘。 答：(105) 出了十道考试题，每对一题得五分， 错答不但不给分，总分里面扣三分， 小华不知对几道，得了二分哭回门。 三只猫吃三只老鼠用了三分钟时间，按 同样的速度，一百只猫吃一百只老鼠需 要 用 多 少 分 钟 时 间 ？ 答： （用了三分钟） 一条绳子不知央，三折来与四折量， 三比四折长二尺，这条绳子有多长。 答： （24） 答： （对 4 道） 速效秒开方 口诀 加一。减一。逢五加五。逢偶配系。逢质配奇。 加一。减一。逢五加五。逢偶配系。逢质配奇。 秒开方：在一秒钟之内能把一个数字的根开出来的方。 平方：一个数的本身自乘的积。 平方：一个数的本身自乘的积。 17 速效秒开方：迅速有效的在一秒钟内，能够把一个数值的根开出来的方。 一、 加一计算的开根的办法 加一定理： 加一定理 ： 凡是这个数大于正整数时，给它的第一位数加上最后一位数的个位数的和， 凡是这个数大于正整数时，给它的第一位数加上最后一位数的个位数的和，就是 个数大于正整数时 这个数的开放根。 这个数的开放根。 例如：√121 √441 √961 √1681 √2601 √3721 √5041 =11 =21 =31 =41 =51 =61 =71 10×10=100<121 20×20=400<441 30×30=<900<961 40×40=1600<1681 50×50=2500<2601 60×60=3600<3721 70×70=4900<5041 80×80=6400<6561 90×90=8100<8281 10+1=11 20+1=21 30+1=31 40+1=41 50+1=51 60+1=61 70+1=71 80+1=81 90+1=9 √6561 =81 √8281 =91 减一定理： 二、 减一定理 ： 凡是这个数小于正整数时，给它的第一位数减去最后一位数的个位数的差， 凡是这个数小于正整数时，给它的第一位数减去最后一位数的个位数的差，就 是这个数的开放根。 是这个数的开放根。 例如：√361 √841 √1521 √2401 √3481 √4761 √6241 √7921 √9801 =19 =29 =39 =49 =59 =69 =79 =89 =99 20×20=400>361 30×30=900>841 40×40=1600>1521 50×50=2500>2401 60×60=3600>3481 70×70=4900>4761 80×80=6400>6241 90×90=8100>7921 100×100=8100<9801 20-1=19 30-1=29 40-1=39 50-1=49 60-1=59 70-1=69 80-1=79 90-1=89 100-1=99 逢五加五： 三、 逢五加五 ： 18 定理： 定理： 凡是这个数大于正整数时， 凡是这个数大于正整数时， 给它第一位数加上最后一位数的个位数的五， 给它第一位数加上最后一位数的个位数的五， 就是这个数的开放根。 就是这个数的开放根。 例如： √225 √625 √1225 √2025 √3025 √4225 √5625 √7225 √9025 =15 =25 =35 =45 =55 =65 =75 =85 =95 10×10=100<225 20×20=400<625 30×30=900<1225 40×40=1600<2025 50×50=2500<3025 60×60=3600<4225 70×70=4900<5625 80×80=6400<7225 90×90=8100<9025 10+5=15 20+5=25 30+5=35 40+5=45 50+5=55 60+5=65 70+5=75 80+5=85 90+5=95 四、逢偶配系： 逢偶配系： 定理：凡是这个数大于正整数时，给它的第一位数加上最后一位数的个位数的 开方根，就是这个数的开方根。 例如：√144 √484 √1024 √1764 √2704 √3844 √5184 √6724 √8464 =12 =22 =32 =42 =52 =62 =72 =82 =92 10×10=100<144 20×20=400<484 30×30=900<1024 40×40=1600<1764 50×50=2500<2704 60×60=3600<3844 70×70=4900<5184 80×80=6400<6724 90×90=8100<8464 10+2=12 20+2=22 30+2=32 40+2=42 50+2=52 60+2=62 70+2=72 80+2=82 90+2=92 √196 √876 √1656 √1936 =14 =24 =34 =44 10×10=100<196 20×20=400<876 30×30=900<1656 40×40=1600<1936 10+4=14 20+4=24 30+4=34 40+4=44 19 √2916 √4096 √5476 √7056 √8836 =54 =64 =74 =84 =94 50×50=2500<2916 60×60=3600<4096 70×70=4900<5476 80×80=6400<7056 90×90=8100<8836 50+4=54 60+4=64 70+4=74 80+4=84 90+4=94 √256 √676 √1296 √2116 √3136 √4356 √5776 √7396 √9216 =16 =26 =36 =46 =56 =66 =76 =86 =96 10×10=100< 256 20×20=400< 676 30×30=900<1296 40×40=1600<2116 50×50=2500<3136 60×60=3600<4356 70×70=4900<5776 80×80=6400<7396 90×90=8100<9216 10+6=16 20+6=26 30+6=36 40+6=46 50+6=56 60+6=66 70+6=76 80+6=86 90+6=96 √324 √784 √1444 √2304 √3364 √4624 √7744 √6724 √9604 =18 =28 =38 =48 =58 =68 =78 =88 =98 10×10=100<324 20×20=400<784 30×30=900<1444 40×40=1600<2304 50×50=2500<3364 60×60=3600<4624 70×70=4900<7744 80×80=6400<6724 90×90=8100<8464 10+8=18 20+8=28 30+8=38 40+8=48 50+8=58 60+8=68 70+8=78 80+8=88 90+8=98 五、逢质配奇： 逢质配奇 定理：凡是这个数大于正整数时，给它的第一位数加上最后一位数的个位数的 和（这个数是用 2 除不尽的）就是这个数的开方根。 例如： 20 √289 √729 √1369 √2209 √3249 √4489 √5929 √7569 √9409 =17 =27 =37 =47 =57 =67 =77 =87 =97 10×10=100<289 20×20=400<729 30×30=900<1369 40×40=1600<2209 50×50=2500<3249 60×60=3600<4489 70×70=4900<5929 80×80=6400<7569 90×90=8100<9409 10+7=17 20+7=27 30+7=37 40+7=47 50+7=57 60+7=67 70+7=77 80+7=87 90+7=97 √169 √529 √1089 √2209 √2809 √3069 √5329 √6889 √8649 =13 =23 =33 =43 =53 =63 =73 =83 =93 10×10=100<169 20×20=400<529 30×30=900<1089 40×40=1600<2209 50×50=2500<2809 60×60=3600<3069 70×70=4900<5329 80×80=6400<6889 90×90=8100<8649 10+3=13 20+3=23 30+3=33 40+3=43 50+3=53 60+3=63 70+3=73 80+3=83 90+3=93 以尾数定根 特殊定理 不是 3×3=9 是 7×7=49，二者必居其一 × × ， 数字 开方根个位数 1、9 1 2、8 4 3、9 7 4、6 6 5 5 （任何数字相开都是压住最后两位数，假设个数和十位都是 0 来开这个数值。 只能小于这个数的整数根。 ） 21 ★【速算技巧一：估算法】 “估算法”毫无疑问是资料分析题当中的速算第一法， 在所有计算进行之前必须考虑能否 先行估算。所谓估算，是在精度要求并不太高的情况下，进行粗略估值的速算方式，一般在选项 相差较大，或者在被比较数据相差较大的情况下使用。估算的方式多样，需要各位考生在实战中 多加训练与掌握。 进行估算的前提是选项或者待比较的数字相差必须比较大， 并且这个差别的大小决定 了“估算”时候的精度要求。 ★【速算技巧二：直除法】 李委明提示： “直除法” 是指在比较或者计算较复杂分数时， “直接相除” 通过 的方式得到商的首位 （首 一位或首两位） ，从而得出正确答案的速算方式。 “直除法”在资料分析的速算当中有非常广泛的 用途，并且由于其“方式简单”而具有“极易操作”性。 “直除法”从题型上一般包括两种形式： 一、比较多个分数时，在量级相当的情况下，首位最大/小的数为最大/小数； 二、计算一个分数时，在选项首位不同的情况下，通过计算首位便可选出正确答案。 “直除法”从难度深浅上来讲一般分为三种梯度： 一、简单直接能看出商的首位； 二、通过动手计算能看出商的首位； 三、某些比较复杂的分数，需要计算分数的“倒数”的首位来判定答案。 【例 1】 中最大的数是（ ） 。 【解析】直接相除： ＝30＋， ＝30-， ＝30-， ＝30-， 明显 为四个数当中最大的数。 【例 2】32409/4103、32895/4701、23955/3413、12894/1831 中最小的数是（ 【解析】 32409/4103、23955/3413、12894/1831 都比 7 大，而 32895/4701 比 7 小， 因此四个数当中最小的数是 32895/4701。 李委明提示： 即使在使用速算技巧的情况下，少量却有必要的动手计算还是不可避免的。 ） 。 【例 3】6874.32/760.31、3052.18/341.02、4013.98/447.13、2304.83/259.74 中最大的数是（ ） 。 在本节及以后的计算当中由于涉及到大量的估算，因此我们用 a+表示一个比 a 大的数， 用 a-表示一个比 a 小的数。 【解析】 只有 6874.32/760.31 比 9 大，所以四个数当中最大的数是 6874.32/760.31。 【例 4】5794.1/27591.43、3482.2/15130.87、4988.7/20788.33、6881.3/26458.46 中最大的数 是（ ） 。 【解析】本题直接用“直除法”很难直接看出结果，我们考虑这四个数的倒数： 27591.43/5794.1、15130.87/3482.2、20788.33/4988.7、26458.46/6881.3， 利用直除法，它们的首位分别为“4”“4”“4”“3” 、 、 、 ， 所以四个倒数当中 26458.46/6881.3 最小，因此原来四个数当中 6881.3/26458.46 最大。 22 【例 5】阅读下面饼状图，请问该季度第一车间比第二车间多生产多少？（ A.38.5％ B.42.8% C.50.1% 【解析】5632-3945/3945=1687/3945=0.4＋=40%+，所以选 B。 D.63.4% ） 【例 6】某地区去年外贸出口额各季度统计如下，请问第二季度出口额占全年的比例为多 少？（ ） 第一季度 第二季度 第三季度 第四季度 全年 出口额（亿元） 4573 5698 3495 3842 17608 A.29.5％ B.32.4% C.33.7% D.34.6% 【解析】5698/17608＝0.3＋=30%+，其倒数 17608/5698＝3＋，所以 5698/17608＝(1/3)-， 所以选 B。 【例 7】根据下图资料，己村的粮食总产量为戊村粮食总产量的多少倍？（ A.2.34 B.1.76 C.1.57 【解析】直接通过直除法计算 516.1÷328.7： 根据首两位为 1.5*得到正确答案为 C。 D.1.32 ） ★【速算技巧三：截位法】 所谓“截位法” ，是指“在精度允许的范围内，将计算过程当中的数字截位（即只看或者 只取前几位） ，从而得到精度足够的计算结果”的速算方式。在加法或者减法中使用“截位法” 时，直接从左边高位开始相加或者相减（同时注意下一位是否需要进位与错位） ，知道得到选项 要求精度的答案为止。在乘法或者除法中使用“截位法”时，为了使所得结果尽可能精确，需要 注意截位近似的方向： 一、扩大（或缩小）一个乘数因子，则需缩小（或扩大）另一个乘数因子； 二、扩大（或缩小）被除数，则需扩大（或缩小）除数。 如果是求“两个乘积的和或者差（即 a*b+/-c*d） ，应该注意： 三、扩大（或缩小）加号的一侧，则需缩小（或扩大）加号的另一侧； 四、扩大（或缩小）减号的一侧，则需扩大（或缩小）减号的另一侧。 到底采取哪个近似方向由相近程度和截位后计算难度决定。 一般说来，在乘法或者除法中使用”截位法“时，若答案需要有 N 位精度，则计算过程 的数据需要有 N+1 位的精度，但具体情况还得由截位时误差的大小以及误差的抵消情况来决定； 在误差较小的情况下，计算过程中的数据甚至可以不满足上述截位方向的要求。所以应用这种方 法时， 需要考生在做题当中多加熟悉与训练误差的把握， 在可以使用其它方式得到答案并且截位 误差可能很大时，尽量避免使用乘法与除法的截位法。 ★【速算技巧四：化同法】 所谓”化同法” ，是指“在比较两个分数大小时，将这两个分数的分子或分母化为相 同或相近，从而达到简化计算”的速算方式。一般包括三个层次： 一、将分子（分母）化为完全相同，从而只需要再看分母（或分子）即可； 二、将分子（或分母）化为相近之后，出现“某一个分数的分母较大而分子较小”或“某 一个分数的分母较小而分子较大”的情况，则可直接判断两个分数的大小。 23 ★【速算技巧五：差分法】 李委明提示： “差分法”是在比较两个分数大小时，用“直除法”或者“化同法”等其他速算方式难以 解决时可以采取的一种速算方式。 适用形式： 两个分数作比较时， 若其中一个分数的分子与分母都比另外一个分数的分子与分母分别仅 仅大一点，这时候使用“直除法”“化同法”经常很难比较出大小关系，而使用“差分法”却可 、 以很好地解决这样的问题。 基础定义： 在满足“适用形式”的两个分数中，我们定义分子与分母都比较大的分数叫“大分数” ， 分子与分母都比较小的分数叫“小分数” ，而这两个分数的分子、分母分别做差得到的新的分数 我们定义为 “差分数” 例如： 。 324/53.1 与 313/51.7 比较大小， 其中 324/53.1 就是 “大分数” 313/51.7 ， 就是“小分数” ，而 324-313/53.1-51.7=11/1.4 就是“差分数” 。 “差分法”使用基本准则—— “差分数”代替“大分数”与“小分数”作比较： 1、若差分数比小分数大，则大分数比小分数大； 2、若差分数比小分数小，则大分数比小分数小； 3、若差分数与小分数相等，则大分数与小分数相等。 比如上文中就是“11/1.4 代替 324/53.1 与 313/51.7 作比较” ，因为 11/1.4＞313/51.7（可以 通过“直除法”或者“化同法”简单得到） ，所以 324/53.1＞313/51.7。 特别注意： 一、 “差分法”本身是一种“精算法”而非“估算法” ，得出来的大小关系是精确的关系而 非粗略的关系； 二、 “差分法”与“化同法”经常联系在一起使用， “化同法紧接差分法”与“差分法紧接 化同法”是资料分析速算当中经常遇到的两种情形。 三、 “差分法”得到“差分数”与“小分数”做比较的时候，还经常需要用到“直除法” 。 四、如果两个分数相隔非常近，我们甚至需要反复运用两次“差分法” ，这种情况相对比 较复杂，但如果运用熟练，同样可以大幅度简化计算。 【例 1】比较 7/4 和 9/5 的大小 【解析】运用“差分法”来比较这两个分数的大小关系： 大分数 小分数 9/5 7/4 9－7/5－1=2/1(差分数) 根据：差分数=2/1＞7/4=小分数 因此：大分数=9/5＞7/4=小分数 李委明提示： 使用“差分法”的时候，牢记将“差分数”写在“大分数”的一侧，因为它代替的是“大 分数” ，然后再跟“小分数”做比较。 【例 2】比较 32.3/101 和 32.6/103 的大小 【解析】运用“差分法”来比较这两个分数的大小关系： 小分数 大分数 32.3/101 32.6/103 32.6－32.3/103－101=0.3/2(差分数) 24 根据：差分数=0.3/2=30/200＜32.3/101=小分数（此处运用了“化同法” ） 因此：大分数=32.6/103＜32.3/101=小分数 〔注释〕 本题比较差分数和小分数大小时，还可采用直除法，读者不妨自己试试。 李委明提示（ “差分法”原理） ： 以例 2 为例，我们来阐述一下“差分法”到底是怎样一种原理，先看下图： 上图显示了一个简单的过程：将Ⅱ号溶液倒入Ⅰ号溶液当中，变成Ⅲ号溶液。其中Ⅰ号溶 液的浓度为“小分数” ，Ⅲ号溶液的浓度为“大分数” ，而Ⅱ号溶液的浓度为“差分数” 。显然， 要比较Ⅰ号溶液与Ⅲ号溶液的浓度哪个大，只需要知道这个倒入的过程是“稀释”还是“变浓” 了，所以只需要比较Ⅱ号溶液与Ⅰ号溶液的浓度哪个大即可。 【例 3】比较 29320.04/4126.37 和 29318.59/4125.16 的大小 【解析】运用“差分法”来比较这两个分数的大小关系： 29320.04/4126.37 29318.59/4125.16 1.45/1.21 根据：很明显，差分数=1.45/1.21＜2＜29318.59/4125.16=小分数 因此：大分数=29320.04/4126.37＜29318.59/4125.16=小分数 〔注释〕 本题比较差分数和小分数大小时，还可以采用“直除法” （本质上与插一个“2” 是等价的） 。 【例 4】下表显示了三个省份的省会城市（分别为 A、B、C 城）2006 年 GDP 及其增长情 况，请根据表中所提供的数据回答： 1.B、C 两城 2005 年 GDP 哪个更高？ 2.A、C 两城所在的省份 2006 年 GDP 量哪个更高？ GDP（亿元） GDP 增长率 占全省的比例 A城 873.2 12.50% 23.9% B城 984.3 7.8% 35.9% C城 1093.4 17.9% 31.2% 【解析】一、B、C 两城 2005 年的 GDP 分别为：984.3/1＋7.8%、1093.4/1＋17.9%；观察 特征（分子与分母都相差一点点）我们使用“差分法” ： 984.3/1＋7.8% 1093.4/1＋17.9% 109.1/10.1% 运用直除法，很明显：差分数＝109.1/10.1%＞1000＞984.3/1＋7.8%＝小分数，故大分数 ＞小分数 所以 B、C 两城 2005 年 GDP 量 C 城更高。 二、A、C 两城所在的省份 2006 年 GDP 量分别为：873.2/23.9%、1093.4/31.2%；同样我 们使用“差分法”进行比较： 873.2/23.9% 1093.4/31.2% 220.2/7.3%=660.6/21.9% 212.6/2%=2126/20% 上述过程我们运用了两次“差分法” ，很明显：2126/20%＞660.6/21.9%，所以 873.2/23.9% ＞1093.4/31.2%； 因此 2006 年 A 城所在的省份 GDP 量更高。 【例 5】比较 32053.3×23487.1 和 32048.2×23489.1 的大小 【解析】32053.3 与 32048.2 很相近，23487.1 与 23489.1 也很相近，因此使用估算法或者 截位法进行比较的时候，误差可能会比较大，因此我们可以考虑先变形，再使用“差分法” ，即 要比较 32053.3×23487.1 和 32048.2×23489.1 的大小，我们首先比较 32053.3/23489.1 和 32048.2/23487.1 的大小关系： 25 32053.3/23489.1 32048.2/23487.1 5.1/2 根据：差分数=5.1/2＞2＞32048.2/23487.1=小分数 因此：大分数=32053.3/23489.1＞32048.2/23487.1=小分数 变型：32053.3×23487.1＞32048.2×23489.1 李委明提示（乘法型“差分法”： ） 要比较 a×b 与 a′×b′的大小，如果ａ与ａ’相差很小，并且ｂ与ｂ’相差也很小，这 时候可以将乘法 a×b 与 a′×b′的比较转化为除法 ab′与 a′b 的比较， 这时候便可以运用 “差 分法”来解决我们类似的乘法型问题。我们在“化除为乘”的时候，遵循以下原则可以保证不等 号方向的不变： “化除为乘”原则：相乘即交叉。 ★【速算技巧六：插值法】 “插值法” 是指在计算数值或者比较数大小的时候， 运用一个中间值进行 “参照比较” 的速算方式，一般情况下包括两种基本形式： 一、在比较两个数大小时，直接比较相对困难，但这两个数中间明显插了一个可以进行参 照比较并且易于计算的数，由此中间数可以迅速得出这两个数的大小关系。比如说 A 与 B 的比 较，如果可以找到一个数 C，并且容易得到 A>C，而 BB。 二、在计算一个数值 F 的时候，选项给出两个较近的数 A 与 B 难以判断，但我们可以容 易的找到 A 与 B 之间的一个数 C， 比如说 AC， 则我们知道 F=B （另 外一种情况类比可得） 。 ★【速算技巧七：凑整法】 “凑整法”是指在计算过程当中，将中间结果凑成一个“整数” （整百、整千等其它方便 计算形式的数） ，从而简化计算的速算方式。 “凑整法”包括加/减法的凑整，也包括乘/除法的凑 整。 在资料分析的计算当中，真正意义上的完全凑成“整数”基本上是不可能的，但由于资料 分析不要求绝对的精度，所以凑成与“整数”相近的数是资料分析“凑整法”所真正包括的主要 内容。 ★【速算技巧八：放缩法】 “放缩法”是指在数字的比较计算当中，如果精度要求并不高，我们可以将中间结果进行 大胆的“放” （扩大）或者“缩” （缩小） ，从而迅速得到待比较数字大小关系的速算方式。 若 A>B>0，且 C>D>0，则有： 1）A+C>B+D 2）A-D>B-C 3）A*C>B*D 4）A/D>B/C 这四个关系式即上述四个例子所想要阐述的四个数学不等关系， 是我们在做题当中经常需 26 要用到的非常简单、非常基础的不等关系，但确实考生容易忽略，或者在考场之上容易漏掉的数 学关系，其本质可以用“放缩法”来解释。 ★【速算技巧九：增长率相关速算法】 李委明提示： 计算与增长率相关的数据是做资料分析题当中经常遇到的题型， 而这类计算有一些常用的 速算技巧，掌握这些速算技巧对于迅速解答资料分析题有着非常重要的辅助作用。 两年混合增长率公式： 如果第二期与第三期增长率分别为 r1 与 r2，那么第三期相对于第一期的增长率为： r1＋r2＋r1× r2 增长率化除为乘近似公式： 如果第二期的值为 A，增长率为 r，则第一期的值 A′： A′＝A/1＋r≈A×（1-r） （实际上左式略大于右式，r 越小，则误差越小，误差量级为 r2） 平均增长率近似公式： 如果 N 年间的增长率分别为 r1、r2、r3……rn，则平均增长率： r≈r1＋r2＋r3＋……rn/n （实际上左式略小于右式，增长率越接近，误差越小） 求平均增长率时特别注意问题的表述方式，例如： 1.“从 2004 年到 2007 年的平均增长率”一般表示不包括 2004 年的增长率； 2.“2004、2005、2006、2007 年的平均增长率”一般表示包括 200４年的增长率。 “分子分母同时扩大/缩小型分数”变化趋势判定： 1.A/B 中若 A 与 B 同时扩大，则①若 A 增长率大，则 A/B 扩大②若 B 增长率大，则 A/B 缩小；A/B 中若 A 与 B 同时缩小，则①若 A 减少得快，则 A/B 缩小②若 B 减少得快，则 A/B 扩 大。 2.A/A＋B 中若 A 与 B 同时扩大，则①若 A 增长率大，则 A/A＋B 扩大②若 B 增长率大， 则 A/A＋B 缩小；A/A＋B 中若 A 与 B 同时缩小，则①若 A 减少得快，则 A/A＋B 缩小②若 B 减少得快，则 A/A＋B 扩大。 多部分平均增长率： 如果量 A 与量 B 构成总量“A＋B” ，量 A 增长率为 a，量 B 增长率为 b，量“A＋B”的 增长率为 r，则 A/B=r-b/a-r，一般用“十字交叉法”来简单计算： A：a r-b A r = B：b a-r B 注意几点问题： 1.r 一定是介于 a、b 之间的， “十字交叉”相减的时候，一个 r 在前，另一个 r 在后； 2.算出来的 A/B=r-b/a-r 是未增长之前的比例， 如果要计算增长之后的比例， 应该在这个比 例上再乘以各自的增长率，即 A′/B′=（r-b）×（1＋a）/（a-r）×（1＋b） 。 等速率增长结论： 如果某一个量按照一个固定的速率增长，那么其增长量将越来越大， 并且这个量的数值成 27 “等比数列” ，中间一项的平方等于两边两项的乘积。 【例 1】2005 年某市房价上涨 16.8%，2006 年房价上涨了 6.2%，则 2006 年的房价比 2004 年上涨了（ ） 。 A.23% B.24% C.25% D.26% 【解析】16.8%＋6.2%＋16.8%×6.2%≈16.8%＋6.2%＋16.7%×6%≈24%，选择 B。 【例 2】2007 年第一季度，某市汽车销量为 10000 台，第二季度比第一季度增长了 12%， 第三季度比第二季度增长了 17%，则第三季度汽车的销售量为（ ） 。 A.12900 B.13000 C.13100 D.13200 【解析】12%＋17%＋12%×17%≈12%＋17%＋12%×1/6＝31%，10000×(1＋31%)＝ 13100，选择 C。 【例 3】设 2005 年某市经济增长率为 6%，2006 年经济增长率为 10%。则 2005、2006 年， 该市的平均经济增长率为多少？（ ） A.7.0% B.8.0% C.8.3% D.9.0% 【解析】r≈r1＋r2/2=6%＋10%/2=8%，选择 B。 【例 4】假设 A 国经济增长率维持在 2.45％的水平上，要想 GDP 明年达到 200 亿美元的 水平，则今年至少需要达到约多少亿美元？（ ） A.184 B.191 C.195 D.197 【解析】200/1＋2.45%≈200×（1-2.45%）=200-4.9=195.1，所以选 C。 〔注释〕 本题速算误差量级在 r2=(2.45%)2≈6/10000， 亿的 6/10000 大约为 0.12 亿元。 200 【例 5】如果某国外汇储备先增长 10％，后减少 10％，请问最后是增长了还是减少了？ ） A.增长了 B.减少了 C.不变 D.不确定 【解析】A×（1＋10％）×（1－10％）＝0.99A，所以选 B。 李委明提示： 例 5 中虽然增加和减少了一个相同的比率， 但最后结果却是减少了， 我们一般把这种现象 总结叫做“同增同减，最后降低” 。即使我们把增减调换一个顺序，最后结果仍然是下降了。 （ ★【速算技巧十：综合速算法】 李委明提示： “综合速算法” 包含了我们资料分析试题当中众多体系性不如前面九大速算技巧的速算方 式，但这些速算方式仍然是提高计算速度的有效手段。 平方数速算： 牢记常用平方数，特别是 11~30 以内数的平方，可以很好地提高计算速度： 121、144、169、196、225、256、289、324、361、400 441、484、529、576、625、676、729、784、841、900 尾数法速算： 因为资料分析试题当中牵涉到的数据几乎都是通过近似后得到的结果， 所以一般我们计算 的时候多强调首位估算， 而尾数往往是微不足道的。因此资料分析当中的尾数法只适用于未经近 似或者不需要近似的计算之中。历史数据证明，国考试题资料分析基本上不能用到尾数法，但在 地方考题的资料分析当中，尾数法仍然可以有效地简化计算。 28 错位相加/减： A×9 型速算技巧：A×9=A×10-A；如：743×9=7430-743=6687 A×9.9 型速算技巧：A×9.9=A×10+A÷10；如：743×9.9=7430-74.3=7355.7 A×11 型速算技巧：A×11=A×10+A；如：743×11=7430+743=8173 A×101 型速算技巧：A×101=A×100+A； 如：743×101=74300+743=75043 乘/除以 5、25、125 的速算技巧： A×5 型速算技巧：A×5=10A÷2；A÷5 型速算技巧：A÷5=0.1A×2 例 8739.45×5=87394.5÷2=43697.25 36.843÷5=3.6843×2=7.3686 A× 25 型速算技巧：A×25=100A÷4；A÷ 25 型速算技巧：A÷25=0.01A×4 例 7234×25=723400÷4=180850 3714÷25=37.14×4=148.56 A×125 型速算技巧：A×125=1000A÷8；A÷125 型速算技巧：A÷125=0.001A×8 例 8736×125=8736000÷8=1092000 4115÷125=4.115×8=32.92 减半相加： A×1.5 型速算技巧：A×1.5=A+A÷2； 例 3406×1.5=3406＋3406÷2=3406＋1703＝5109 “首数相同尾数互补”型两数乘积速算技巧： 积的头＝头×（头+1） ；积的尾=尾×尾 例： “23×27” ，首数均为“2” ，尾数“3”与“7”的和是“10” ，互补 所以乘积的首数为 2×(2＋1)=6，尾数为 3×7=21，即 23×27=621 【例 1】假设某国外汇汇率以 30.5％的平均速度增长，预计 8 年之后的外汇汇率大约为现 在的多少倍？（ ） A.3.4 B.4.5 C.6.8 D.8.4 【解析】 （1＋30.5％）8＝1.3058≈1.38＝（1.32）4＝1.694≈1.74＝2.892≈2.92＝8.41，选 择D 〔注释〕 本题速算反复运用了常用平方数， 并且中间进行了多次近似，这些近似各自只忽略了非常 小的量，并且三次近似方向也不相同，因此可以有效的抵消误差，达到选项所要求的精度。 【例 2】根据材料，9～10 月的销售额为（ ）万元。 A.42.01 B.42.54 C.43.54 D.41.89 【解析】257.28－43.52－40.27－41.38－43.26－46.31 的尾数为“4” ，排除 A、D，又从图 像上明显得到，9-10 月份的销售额低于 7-8 月份，选择 B。 〔注释〕 这是地方考题经常出现的考查类型，即使存在近似的误差，本题当中的简单减 法得出的尾数仍然是非常接近真实值的尾数的，至少不会离 关闭相关文章速算技巧二、平方速算--蓝色理想 2010-02-07 超棒 [数学速算法 速算技巧]2010-02-09 博元 速算方法（乘法）2009-11-19 ry1688888 二、除法中的速算与巧算 2007-02-10 如歌的行板 数学速算法 2010-02-11 一个小破孩 DWJSS 29 超棒的数学速算法 2010-03-04 xhwykzz 摘抄数学速算 2009-10-26 滴水藏海 0 数 学 速 算 技 巧 ( 两 或 三 位 数 乘 法 及 乘 方 速 算 )_ 互 动 之 家 _ 百 度 空 间 2010-02-07 DWJSS 30

神秘的数字6174
1949年印度数学家D. R. Kaprekar 研究出一种四位数的变换：任意列出4个自然数(不能全部相同,如1111、2222)，把这四个数字组成的最大四位数与最小四位数相减，得到的四个数字再用相同方式相减法(不足四位补0)，几轮减下来最后得到的数字一定是6174 。
后来人们把这个问题称为'6174 问题’或'Kaprekar 变幻’。
比如：
5200 - 0025 = 5175
7551 - 1557 = 5994
9954 - 4599 = 5355
5553 - 3555 = 1998
9981 - 1899 = 8082
8820 - 0288 = 8532
8532 - 2358 = 6174
7641 - 1467 = 6174
神秘数字6174
〓科学百科
6174 初看一点也不起眼，也许你会问它有什么神秘的呢？
我们先进行一番计算，选择一个4位数，每位上的数都不能相同（也就是不能是1111，2222，3333，4444……），
例如选择2009（去年年份），先对这个数上的每位数字重新洗一下，得到最大的数是9200，最小的数是0029，两者相减，对结果再按照上述规则继续下去
9200— 0029=9171
9711—1179= 8532
8532—2358= 6174
7641—1467= 6174
……
现在我们再随机选一个数：比如1234，那么
4321—1234 =3087
8730—0378= 8352
后面就不用再算了。6174这个数就是印度数学家D.R.Kaprekar发现的卡布列克常数———任何4位数，你都可以在7步内计算得到6174，如果没得到，肯定算错了。

（转摘自中华网军事）


一周为什么会有7天，神秘的数字7
在自然数中，7是一个最特殊、有趣的数字，在生活中，用7非常广泛，例如：一个星期有七天、一部电影《七个小矮人》、传说中的七仙女、彩虹有七种颜色等等出现7的特别多。
在心理学中，;7;是一个被学者称为是;不可思议;的数字，多数人的短时记忆容量最多只有7个，超过了7，就会发生遗忘，因此多数人都把记忆内容归在七个单位之内。 生活中很多东西都和;7;有着密切的联系，每项和;7;有关的事物都让人觉得神奇：人有;七窍;、太阳光由七种颜色组成、每周有七天、女性的生理期也一般为七天、算盘设有七粒珠子、简谱有七个音符、水的PH是7（中性值）、七绝韵律诗、古老的七月初七节、瓢虫背上有七点、北斗有七星、地球陆地分七大洲、世界七大奇迹、甚至童话故事里有七个小矮人、神话中有七仙女 如果说这些还不算神奇的话，那么我们可以随便找一张纸，将它连续对折，我们会惊奇地发现无论纸有多大多薄，任何一张纸能够对折的次数最大限度为7次！ 更为神奇的是，7个1组成的数字与自身相乘（11111111111111）得出的数字竟然是1234567654321！ 这些还不算，如果把;7;这个数字分开呢？我们看1/7＝0.142857142857142857142857...... 当我们看到这个循环小数时，麻烦大了：142857，这个据说是在金字塔中发现的世界上最神秘的数字出现了。继续下去
科学家认为，7是一个最特殊的数字，也发现，在计算中，分别用1、2、3、4、5、6去除以7，它们都是无限循环小数，例如：
1÷7=0.142857……
2÷7=0.285714……
3÷7=0.428571……
4÷7=0.571428……
5÷7=0.714285……
6÷7=0.857142……
观察上面的计算结果，发现了很多有趣的地方：
1、小数部位的循环节在第7位。
2、小数部位里的数字不会改变，只不过位置交换。
3、相领的7的倍数之间的不是7的倍数中加起来是7的倍数，例如：
1+2+3+4+5+6=21
36+37+38+39+40+41=231
8+9+10+11+12+13=63
第一：自然界没有七足动物或昆虫，却有七叶植物；不过，必须是有头叶的、有首领叶的植物，才可以有7、9、11等奇数叶。黄河流域和北京、江浙均栽植有七叶树，两广、贵州等地盛产七叶莲。这种7叶植物的大量存在，说明“7”在数学上虽不对称、不可约，在生物界却首叶居中、两两成行，而且枝繁叶茂的奇数叶，恰可类比人类“有头叶、有首领叶”才有社会的合理结构。
第二：北斗星由七颗星组成，人们夜夜可以仰望七星的“斗转星移”，还可以按北斗星的指示找见永远悬在正北方的北极星。但是，人们看见了它却不理解它，知其象而不知其理，感到亲切也感到困惑；人与北斗的关系，只能是已知与未知的统一，有限与无限的统一，实在与神秘的统一。
第三：白色的阳光通过三棱镜便折射出赤橙黄绿青蓝紫七彩；跨越天际的彩虹也是这七种颜色，“7”便在彩虹中客观地展现了自然的美丽、奇妙与神秘，也在雨后湿润的大地和雾蒙蒙的空气中客观展现了上天的恩惠与祥和。七色阳光，绚丽多彩；七色彩虹，天上奇观。赤、橙、黄、绿、青、蓝、紫，描画出无数动人的图画；七种颜色，构成整个世界的所有景色。
第四：数学是客观存在的抽象，在数学上“7”是一个特异的素数。本来“7”只是一个自然数，和1、2、3、4、5、6、8、9一样，在计数上似乎都没有什么特别之处，然而在运算上“7”却是一个脾气古怪、神秘特异、不对称、不可约、不可分解的素数。素数是这样的整数，它除了能表示为它自己和1的乘积以外，不能表示为任何其他两个整数的乘积。换言之，素数就是只能被1和自己除尽的整数。1、2、3、5、7都是素数，但1的倒数是1，2的倒数是 1.5，5的倒数是 0.2，其他数字的倒数是普通的小数，唯独7的倒数是“在圆环内转圆”的无限循环小数。
第五：在音乐中“7””物质世界的艺术之神。哆、来、咪、发、索、拉、稀七个音符组成了一个奇妙的音乐世界。用自然科学的眼光看，7个音及高八度，表达了物体振动波长的循环；艺术中7表达自然的韵节，7是艺术的吉祥。
第六： PH值是化学上用以衡量液体酸碱性比值的表示符号。当 PH值大于7时，物质呈碱性，而 PH值愈大，碱性就愈强；当 PH小于7时物质呈酸性， PH值越小酸性越强；唯有 PH值等于7时，物质才呈现中性。因此，7是酸碱度的中点，又是人们追求的标准数，获得7这一数字，食物既无酸性，又无碱性，不酸不碱，酸甜可口。也可以说，7表达了大自然中事物的适度与恰如其分，是大自然的中庸之道。
第七：20世纪80年代初，西蒙开始涉足人工智能这一领域的研究，力求使计算机能更像人那样进行“思考”，而不必去求助于效率欠佳的穷举法来求解。他的这项研究，有不少重大的发现。然而，最重要的是发现却给了我们关于“7”的谜的解答。西蒙和他的同事们通过对人如何善于处理大量新数据（信息流）的研究发现，能保存在人们的短期记忆里而不至于被遗忘的数据，充其量也不过是六七项而已。也就是说，能够记忆七项数据已经达到我们的记忆极限了。
在心理学中，“7”是一个被学者称为是“不可思议”的数字，多数人的短时记忆容量最多只有7个，超过了7，就会发生遗忘，因此多数人都把记忆内容归在七个单位之内。
生活中很多东西都和“7”有着密切的联系，每项和“7”有关的事物都让人觉得神奇：人有“七窍”、太阳光由七种颜色组成、每周有七天、女性的生理期也一般为七天、算盘设有七粒珠子、简谱有七个音符、水的PH是7（中性值）、七绝韵律诗、古老的七月初七节、瓢虫背上有七点、北斗有七星、地球陆地分七大洲、世界七大奇迹、甚至童话故事里有七个小矮人、神话中有七仙女……
如果说这些还不算神奇的话，那么我们可以随便找一张纸，将它连续对折，我们会惊奇地发现无论纸有多大多薄，任何一张纸能够对折的次数最大限度为7次！
更为神奇的是，7个1组成的数字与自身相乘（1111111×1111111）得出的数字竟然是1234567654321！
这些还不算，如果把“7”这个数字分开呢？我们看1/7＝0.142857142857142857142857......
当我们看到这个循环小数时，麻烦大了：142857，这个据说是在金字塔中发现的世界上最神秘的数字出现了。继续下去...
我们把这个把7分除以1份而得来的神秘数字拿来从1乘到6看看。
142857*1 = 142857
142857*2 = 285714
142857*3 = 428571
142857*4 = 571428
142857*5 = 714285
142857*6 = 857142
同样的数字，只是调换了位置，反复的出现。
那么把它乘与7是多少呢？
我们会惊人的发现是 999999
而
142 + 857 = 999
14 + 28 + 57 = 99
最后，我们用 142857 乘与 142857
答案是：20408122449
前五位加上后六位的得数是多少呢？
20408 + 122449 = 142857
网站上对这个数字介绍如下：
142857*1=142857 (原数字)
142857*2=285714 (轮值)
142857*3=428571 (轮值)
142857*4=571428 (轮值)
142857*5=714285 (轮值)
142857*6=857142 (轮值)
142857*7=999999 (放假由9代班)
142857*8=1142856 ( 7分身) （7分成1和6,出现在数字的两端）
142857*9=1285713 ( 4分身)
142857*10=1428570 ( 1分身)
142857*11=1571427 ( 8分身)
142857*12=1714284 ( 5分身)
142857*13=1857141( 2分身)
142857*14=1999998 ( 9也需要分身变大 )
......}
看了之后想了很久，找出了一些秘密：
142857，1+4+2+8+5+7=27
拿142857除7时，142857/7=20408.142857142857142857142857......
再拿1/7时，1/7=0.142857142857142857142857......
2/7=0.2857142857142857142857142857......
3/7=0.42857142857142857142857142857......
4/7=0.57142857142857142857142857......
5/7=0.7142857142857142857142857142857......
6/7=0.857142857142857142857142857......
7/7=1
8/7=1.142857142857142857142857......
9/7=1.2857142857142857142857142857......
看到了这个数字的神奇，我们应该觉得这个数字不只这么简单！
“7”可能是个循环体，142857*7=999999；
然后再拿科特罗的“圣数”1366560除7，
1366560/7=195222.857142857142857142857142857......
1366560/77=17747.532467532467532467532467......
（142857不见了，变成了532467）
1366560/777=1758.764478764478764478764478764478......（变成了764478）
1366560/7777=175.718143242895718143242895718143242895......
（变成了718143242895）
1366560/77777=17.5702328451855944713089988042738......（找不到规律了）
这个时候我们感觉规律不只与“7”有联系，继续找：
再拿1366560/11
1366560/11=124232.72727272727272727272......（变成了72）（7+2=9）
1366560/22=62116.36363636363636363636......（变成了36）（3+6=9）
1366560/33=41410.90909090909090......（变成了90）（9+0=9）
1366560/44=31058.18181818181818......（变成了18）（1+8=9）
1366560/55=24846.5454545454545454......（变成了54）（5+4=9）
1366560/66=20705.4545454545454545......（变成了45）（4+5=9）
1366560/77=17747.532467532467532467......（变成了532467）（532467相加=27）
1366560/88=15529.090909090909090909......（变成了09）（0+9=9）
1366560/99=13803.636363636363636363......（变成了63）（6+3=9）
1366560/111=12311.351351351351351......（变成了351）（3+5+1=9）
1366560/222=6155.675675675675675675......（变成了675）（6+7+5=18）
1366560/333=4103.783783783783783......（变成了783）（7+8+3=18）
1366560/444=3077.837837837837837837......（变成了837）（8+3+7=18）
1366560/555=2462.270270270270270270......（变成了270）（2+7+0=9）
1366560/666=2051.891891891891891891......（变成了891）（8+9+1=18）
1366560/777=1758.764478764478764478......（变成了764478）（相加=36） 1366560/888=1538.918918918918918918......（变成了918）（9+1+8=18）
1366560/999=1367.927927927927927927......（变成了927）（9+2+7=18）
1366560/1111=1230.0270027002700270......（0270）（相加=9）
1366560/2222=615.01350135013501350135......（0135）（相加=9）
1366560/3333=410.0090009000900090......（0009）（相加=9）
1366560/4444=307.5067506750675067......（5067）（相加=18）
1366560/5555=246.0054005400540054......（0054）（相加=9）
1366560/6666=205.0045004500450045......（0045）（相加=9）
1366560/7777=175.718143242895718143242895......（718143242895）（=54）
1366560/8888=153.753375337533753375337533......（7533）（=18）
1366560/9999=136.66966696669666966696669......（6669）（=27）
1366560/11111=9916299162991629916299162......（99162）（=27）
......
1366560/99999=13.66573665736657366573......（66573）（=27）
1366560/111111=12.299052299052299052......（229905）（=27）
1366560/999999=1.366561366561366561......（366561）（=27）
1366560/1111111=1.229904122990412299041......（2299041）（=27）
1366560/9999999=0.136656013655601366560......（1366560）（=27）
终于有规律了，规律很明显大家都可以看得出。
科特罗的“圣数”公式：1366560＝（144000＋7200＋360＋260＋20）×9
1366560/36/26/4=365（地球公转的天数）
1366560/36/26/16=91.25（每一季的天数）
1366560/26/18/5=584（金星历年的天数）
1366560/36/26/20=73（神秘数字73的由来）
金星历年即绕太阳一周所需时间为584天，与现代测算出的584．92天相差无几
秘密一步步正在被揭开！
呵呵，以上是我转载来的。但我接下来要提到该作者所不了解的一方面，那就是圣经里上帝与七的关系。
圣经创世纪记载，神用六日造齐了天地万物，第七日歇工安息了。创2：1-3记：“天地万物造齐了。到了第七日，神造物的工已经完毕，就在第七日歇了他一切的工，安息了。神赐福给第七日，定为圣日，因为在这日神歇了他一切的工，就安息了。”
圣经箴言书9章1节记：智慧建造房屋，凿成七根柱子。
圣经启示录1章17—20节是这样记的：我一看见就仆倒在他脚前，像死了一样。他用右手按着我说：“不要惧怕！我是首先的，我是末后的，又是那存活的。我曾死过，现在又活了，直活到永永远远，并且拿着死亡和阴间的钥匙。所以你要把所看见的和现在的事，并将来必成的事都写出来。论到你所看见、在我右手中的七星和七个金灯台的奥秘，那七星就是七个教会的使者，七灯台就是七个教会。”
启示录4章5节记：有闪电，声音，雷轰，从宝座中发出。又有七盏火灯在宝座前点着，这七灯就是神的七灵。
启示录5章6节记：我又看见宝座与四活物并长老之中，有羔羊站立，像是被杀过的，有七角七眼，就是神的七灵，奉差遗往普天下去的。
此外在圣经但以理书中也用7作为许多处奥秘性时间的预言。由此可见“7”这数字与上帝密切相关，的确令人惊叹！

速算方法大揭秘
一、“九几乘九几，左减右补数，后面空两格，写上补乘补。”被乘数减去乘数的补数，后面写上两个数的补数的乘积。如 93×95      95的补数是5，93-5=88，93的补数是7，7×5=35，93×95=8835     原理：93×95=93×（100-5）=9300-5×93=9300-5×（100-7）=9300-500+5×7=8800+35=8835     00看作两个空格
二、 任意数乘25，等于此数除以4，整除补00，余1补25，余2补50，余3补75. 如 24×25=24÷4=6补00=600， 25×25=25÷4=6--1补25=625
26×25=26÷4=6--2补50=650， 27×25=27÷4=6--3补75=675
三、 任意数乘15，等于此数加上自己的一半，单数后面补5，双数后面补0.如 33×15=33+16=49补5=495， 32×15=32+16=48补0=480
四、 任意数乘55，等于此数折半，单数补5双数补0再乘11。 如
37×55=37÷2=18补5=185×11=2035     32×55=32÷2=16补0=160×11=1760
五、“十同个凑10，十加1乘十，后面空两格，写上个乘个”。十位数相同个位数相加等于10的两位数相乘，等于十位数加1再乘以十位数，后面写上个位数乘以个位数。如36×34=（3+1）×3=12后面写6×4=24，36×34=1224
六、 被乘数的两位数之和是10，乘数的两位数相同，算法同上。如37×66=（3+1）×6=24后面写上7×6=2442              原理：37 ×66=30×60+（7×60+30×6）+7×6=30×60+（10×60）+42=（30+10）×60+42=2442
七、 “十补个相同，十乘十加个，后面空两格，写上个乘个”。十位数相加等于10，个位数相同的两个两位数相乘，十位乘十位加上个位，后面写上个乘个。 如，78×38=7 ×3+8=29后面写上8×8=64，78 ×38=2964
八、 个位是1的两位数相乘，等于十乘十空一格，加上十加十，后面写上1.如41×51=4×5=20＿+4+5=209后面写1=2091
九、 一个数的各个位数相加的和能被3整除，则这个数能被3整除。      因为34×3=102，所以一个能被3整除的数乘以34，可以用此数除以3再乘以102.     如135×34=45×102=45 90，39×34=1326
67×3=201，也可以用上述技巧。如69×67=46 23
37×3=111，同样可以用上面的技巧。如135×37=45×111，两位数乘以111，首尾不变中间重复相加。45×111=4（4+5）（4+5）5=4995

数学三大难题
人类文明的进步，与数学的发展成正比；人类数学的发展，中国亦有卓越的贡献，古有祖冲之，今有华罗庚。
古代数学史上有世界三大难题（倍立方体、方圆、三分角）。近代数学史又有第五公设、费马大定理、任一大偶数表两素之和。这些都已为前人攻破的攻破，将突破的将突破。现代发达国家的数学家们又在钻研什么呢？21世纪数学精英们又攻什么呢？
这位导师继续讲了现代数学上的三大难题：一是有20棵树，每行四棵，古罗马、古希腊在16世纪就完成了16行的排列，18世纪高斯猜想能排18行，19世纪美国劳埃德完成此猜想，20世纪末两位电子计算机高手完成20行纪录，跨入21世纪还会有新突破吗？
二是相邻两国不同着一色，任一地图着色最少可用几色完成着色？五色已证出，四色至今仅美国阿佩尔和哈肯，罗列了很多图谱，通过电子计算机逐一理论完成，全面的逻辑的人工推理证明尚待有志者。
三是任三人中可证必有两人同性，任六人中必有三人互相认识或互相不认识（认识用红线连，不认识用蓝线连，即六质点中二色线连必出现单色三角形）。近年来国际奥林匹克数学竞赛也围绕此类热点题型遴选后备攻坚力量。（如十七个科学家讨论三课题，两两讨论一个题，证至少三个科学家讨论同一题；十八个点用两色连必出现单色四边形；两色连六个点必出现两个单色三角形，等等。）单色三角形研究中，尤以不出现单色三角形的极值图谱的研究更是难点中之难点，热门中之热门。
归纳为20棵树植树问题，四色绘地图问题，单色三角形问题。通称现代数学三大难题。

让你爱上数学！数学竟然是如此神奇

死理性派的小编经常会被问到的一个问题：数学到底哪里有趣了，数学之美又在哪里？这篇文章精心选择了 10 个老少咸宜的算术问题，以定理、趣题甚至未解之谜等各种形式带领大家窥探数学世界的一角。不少问题背后都蕴含了深刻的数学知识，触及到数学的各个领域。希望从小数学就不及格的朋友们能够喜欢上数学这门充满乐趣的学科。
1.数字黑洞 6174
任意选一个四位数（数字不能全相同），把所有数字从大到小排列，再把所有数字从小到大排列，用前者减去后者得到一个新的数。重复对新得到的数进行上述操作，7 步以内必然会得到 6174。
例如，选择四位数 6767：
7766 - 6677 = 1089
9810 - 0189 = 9621
9621 - 1269 = 8352
8532 - 2358 = 6174
7641 - 1467 = 6174
……
6174 这个“黑洞”就叫做 Kaprekar 常数。对于三位数，也有一个数字黑洞——495。
2.3x + 1 问题
从任意一个正整数开始，重复对其进行下面的操作：如果这个数是偶数，把它除以 2 ；如果这个数是奇数，则把它扩大到原来的 3 倍后再加 1 。你会发现，序列最终总会变成 4, 2, 1, 4, 2, 1, … 的循环。
例如，所选的数是 67，根据上面的规则可以依次得到：
67, 202, 101, 304, 152, 76, 38, 19, 58, 29, 88, 44, 22, 11, 34, 17,
52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1, ...
数学家们试了很多数，没有一个能逃脱“421 陷阱”。但是，是否对于 所有 的数，序列最终总会变成 4, 2, 1 循环呢？
这个问题可以说是一个“坑”——乍看之下，问题非常简单，突破口很多，于是数学家们纷纷往里面跳；殊不知进去容易出去难，不少数学家到死都没把这个问题搞出来。已经中招的数学家不计其数，这可以从 3x + 1 问题的各种别名看出来： 3x + 1 问题又叫 Collatz 猜想、 Syracuse 问题、 Kakutani 问题、 Hasse 算法、 Ulam 问题等等。后来，由于命名争议太大，干脆让谁都不沾光，直接叫做 3x + 1 问题算了。
直到现在，数学家们仍然没有证明，这个规律对于所有的数都成立。
3.特殊两位数乘法的速算
如果两个两位数的十位相同，个位数相加为 10，那么你可以立即说出这两个数的乘积。如果这两个数分别写作 AB 和 AC，那么它们的乘积的前两位就是 A 和 A + 1 的乘积，后两位就是 B 和 C 的乘积。
比如，47 和 43 的十位数相同，个位数之和为 10，因而它们乘积的前两位就是 4×(4 + 1)=20，后两位就是 7×3=21。也就是说，47×43=2021。
类似地，61×69=4209，86×84=7224，35×35=1225，等等。
这个速算方法背后的原因是，(10 x + y) (10 x + (10 - y)) = 100 x (x + 1) + y (10 - y) 对任意 x 和 y 都成立。
4.幻方中的幻“方”
一个“三阶幻方”是指把数字 1 到 9 填入 3×3 的方格，使得每一行、每一列和两条对角线的三个数之和正好都相同。下图就是一个三阶幻方，每条直线上的三个数之和都等于 15。

大家或许都听说过幻方这玩意儿，但不知道幻方中的一些美妙的性质。例如，任意一个三阶幻方都满足，各行所组成的三位数的平方和，等于各行逆序所组成的三位数的平方和。对于上图中的三阶幻方，就有
816^2 + 357^2 + 492^2 = 618^2 + 753^2 + 294^2
利用线性代数，我们可以证明这个结论。
5.天然形成的幻方

从 1/19 到 18/19 这 18 个分数的小数循环节长度都是 18。把这 18 个循环节排成一个 18×18 的数字阵，恰好构成一个幻方——每一行、每一列和两条对角线上的数字之和都是 81 （注：严格意义上说它不算幻方，因为方阵中有相同数字）。
6.196 算法
一个数正读反读都一样，我们就把它叫做“回文数”。随便选一个数，不断加上把它反过来写之后得到的数，直到得出一个回文数为止。例如，所选的数是 67，两步就可以得到一个回文数 484：
67 + 76 = 143
143 + 341 = 484
把 69 变成一个回文数则需要四步：
69 + 96 = 165
165 + 561 = 726
726 + 627 = 1353
1353 + 3531 = 4884
89 的“回文数之路”则特别长，要到第 24 步才会得到第一个回文数，8813200023188。
大家或许会想，不断地“一正一反相加”，最后总能得到一个回文数，这当然不足为奇了。事实情况也确实是这样——对于几乎所有的数，按照规则不断加下去，迟早会出现回文数。不过，196 却是一个相当引人注目的例外。数学家们已经用计算机算到了 3 亿多位数，都没有产生过一次回文数。从 196 出发，究竟能否加出回文数来？196 究竟特殊在哪儿？这至今仍是个谜。
7.Farey 序列
选取一个正整数 n。把所有分母不超过 n 的 最简 分数找出来，从小到大排序。这个分数序列就叫做 Farey 序列。例如，下面展示的就是 n = 7 时的 Farey 序列。

定理：在 Farey 序列中，对于任意两个相邻分数，先算出前者的分母乘以后者的分子，再算出前者的分子乘以后者的分母，则这两个乘积一定正好相差1 ！
这个定理有从数论到图论的各种证明。甚至有一种证明方法巧妙地借助 Pick 定理，把它转换为了一个不证自明的几何问题！
8.唯一的解
经典数字谜题：用 1 到 9 组成一个九位数，使得这个数的第一位能被 1 整除，前两位组成的两位数能被 2 整除，前三位组成的三位数能被 3 整除，以此类推，一直到整个九位数能被 9 整除。
没错，真的有这样猛的数：381654729。其中 3 能被 1 整除，38 能被 2 整除，381 能被 3 整除，一直到整个数能被 9 整除。这个数既可以用整除的性质一步步推出来，也能利用计算机编程找到。
另一个有趣的事实是，在所有由 1 到 9 所组成的 362880 个不同的九位数中，381654729 是唯一一个满足要求的数！
9.数在变，数字不变
123456789 的两倍是 246913578，正好又是一个由 1 到 9 组成的数字。
246913578 的两倍是 493827156，正好又是一个由 1 到 9 组成的数字。
把 493827156 再翻一倍，987654312，依旧恰好由数字 1 到 9 组成的。
把 987654312 再翻一倍的话，将会得到一个 10 位数 1975308624，它里面仍然没有重复数字，恰好由 0 到 9 这 10 个数字组成。
再把 1975308624 翻一倍，这个数将变成 3950617248，依旧是由 0 到 9 组成的。
不过，这个规律却并不会一直持续下去。继续把 3950617248 翻一倍将会得到 7901234496，第一次出现了例外。
10.三个神奇的分数
1/49 化成小数后等于 0.0204081632 …，把小数点后的数字两位两位断开，前五个数依次是 2、4、8、16、32，每个数正好都是前一个数的两倍。
100/9899 等于 0.01010203050813213455 … ，两位两位断开后，每一个数正好都是前两个数之和（也即 Fibonacci 数列）。
而 100/9801 则等于 0.0102030405060708091011121314151617181920212223 … 。
利用组合数学中的“生成函数”可以完美地解释这些现象的产生原因。

珠算与点钞技术

隐藏目录 章节目录
第一章 财会数字书写
第一节 财会数字书写概述第二节 阿拉伯数字的书写第三节 中文大写数字的书写
第二章 珠算基础知识
第一节 珠算的起源与发展第二节 算盘简介第三节 打算盘的姿势第四节 拨珠指法
第三章 珠算加减法
第一节 珠算口诀加减法第二节 珠算无诀加减法第三节 珠算快速加减法第四节 加减法的操作技巧
第四章 珠算乘法
第一节 乘法口诀第二节 积的定位第三节 空盘前乘法第四节 隔位乘法第五节 破头乘法第六节 简捷乘法
第五章 珠算除法
第一节 商的定位第二节 商除法第三节 改商除法第四节 简捷除法
第六章 点钞技术
第一节 点钞的基础知识第二节 手持式点钞法第三节 手按式点钞法第四节 真假人民币的识别
附录 珠算技术等级鉴定
附录A 全国珠算技术等级鉴定的标准附录B 全国珠算技术等级鉴定模拟题
参考文献






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