拉凯拉姆成员:难点15 三角函数的图象和性质 世界奇异人种探秘〔组图〕

 

 

 

 

 

 

 

 

 

难点15  三角函数的图象和性质

三角函数的图象和性质是高考的热点，在复习时要充分运用数形结合的思想，把图象和性质结合起来.本节主要帮助考生掌握图象和性质并会灵活运用.

●难点磁场

(★★★★)已知α、β为锐角，且x(α+β－ )＞0,试证不等式f(x)= ^x＜2对一切非零实数都成立.

●案例探究

［例1］设z₁=m+(2－m²)i,z₂=cosθ+(λ+sinθ)i,其中m,λ,θ∈R，已知z₁=2z₂，求λ的取值范围.

命题意图：本题主要考查三角函数的性质，考查考生的综合分析问题的能力和等价转化思想的运用，属★★★★★级题目.

知识依托：主要依据等价转化的思想和二次函数在给定区间上的最值问题来解决.

错解分析：考生不易运用等价转化的思想方法来解决问题.

技巧与方法：对于解法一，主要运用消参和分离变量的方法把所求的问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题；对于解法二，主要运用三角函数的平方关系把所求的问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题.

解法一：∵z₁=2z₂，

∴m+(2－m²)i=2cosθ+(2λ+2sinθ)i,∴

∴λ=1－2cos²θ－sinθ=2sin²θ－sinθ－1=2(sinθ－ )²－ .

当sinθ= 时λ取最小值－ ，当sinθ=－1时，λ取最大值2.

解法二：∵z₁=2z₂  ∴

∴ ,

∴ =1.

∴m⁴－(3－4λ)m²+4λ²－8λ=0,设t=m²,则0≤t≤4,

令f(t)=t²－(3－4λ)t+4λ²－8λ,则 或f(0)·f(4)≤0

∴

∴－ ≤λ≤0或0≤λ≤2.

∴λ的取值范围是［－ ，2］.

［例2］如右图，一滑雪运动员自h=50m高处A点滑至O点，由于运动员的技巧(不计阻力)，在O点保持速率v₀不为，并以倾角θ起跳，落至B点，令OB=L，试问，α=30°时，L的最大值为多少？当L取最大值时，θ为多大？

命题意图：本题是一道综合性题目，主要考查考生运用数学知识来解决物理问题的能力.属★★★★★级题目.

知识依托：主要依据三角函数知识来解决实际问题.

错解分析：考生不易运用所学的数学知识来解决物理问题，知识的迁移能力不够灵活.

技巧与方法：首先运用物理学知识得出目标函数，其次运用三角函数的有关知识来解决实际问题.

解：由已知条件列出从O点飞出后的运动方程：

①

②

由①②整理得：v₀cosθ=

∴v₀²+gLsinα= g²t²+ ≥ =gL

运动员从A点滑至O点，机械守恒有:mgh= mv₀²,

∴v₀²=2gh,∴L≤ =200(m)

即L_max=200(m),又 g²t²= .

∴

得cosθ=cosα,∴θ=α=30°∴L最大值为200米，当L最大时，起跳仰角为30°.

［例3］如下图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b.

(1)求这段时间的最大温差.

(2)写出这段曲线的函数解析式.

命题意图：本题以应用题的形式考查备考中的热点题型，要求考生把所学的三角函数知识与实际问题结合起来分析、思考，充分体现了“以能力立意”的命题原则.属★★★★级题目.

知识依托：依据图象正确写出解析式.

错解分析：不易准确判断所给图象所属的三角函数式的各个特定系数和字母.

技巧与方法：数形结合的思想，以及运用待定系数法确定函数的解析式.

解：(1)由图示，这段时间的最大温差是30－10=20(℃)；

(2)图中从6时到14时的图象是函数y=Asin(ωx+φ)+b的半个周期的图象.

∴ =14－6,解得ω= ,由图示A= (30－10)=10，b= (30+10)=20，这时y=10sin( x+φ)+20,将x=6,y=10代入上式可取φ= π.综上所求的解析式为y=10sin( x+

π)+20,x∈［6,14］.

●锦囊妙计

本难点所涉及的问题及解决的方法主要有：

1.考查三角函数的图象和性质的基础题目，此类题目要求考生在熟练掌握三角函数图象的基础上要对三角函数的性质灵活运用.

2.三角函数与其他知识相结合的综合题目，此类题目要求考生具有较强的分析能力和逻辑思维能力.在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强.

3.三角函数与实际问题的综合应用.

此类题目要求考生具有较强的知识迁移能力和数学建模能力，要注意数形结合思想在解题中的应用.

●歼灭难点训练

一、选择题

1.(★★★★)函数y=－x·cosx的部分图象是(    )

2.(★★★★)函数f(x)=cos2x+sin( +x)是(    )

A.非奇非偶函数                                                     B.仅有最小值的奇函数

C.仅有最大值的偶函数                                                 D.既有最大值又有最小值的偶函数

二、填空题

3.(★★★★)函数f(x)=( )^｜cosx｜在［－π，π］上的单调减区间为_________.

4.(★★★★★)设ω＞0，若函数f(x)=2sinωx在［－ ，］上单调递增，则ω的取值范围是_________.

三、解答题

5.(★★★★)设二次函数f(x)=x²+bx+c(b,c∈R),已知不论α、β为何实数恒有f(sinα)≥0和f(2+cosβ)≤0.

(1)求证：b+c=－1；

(2)求证c≥3；

(3)若函数f(sinα)的最大值为8，求b，c的值.

6.(★★★★★)用一块长为a，宽为b(a＞b)的矩形木板，在二面角为α的墙角处围出一个直三棱柱的谷仓，试问应怎样围才能使谷仓的容积最大？并求出谷仓容积的最大值.

7.(★★★★★)有一块半径为R，中心角为45°的扇形铁皮材料，为了获取面积最大的矩形铁皮，工人师傅常让矩形的一边在扇形的半径上，然后作其最大内接矩形，试问：工人师傅是怎样选择矩形的四点的？并求出最大面积值.

8.(★★★★)设－ ≤x≤ ，求函数y=log₂(1+sinx)+log₂(1－sinx)的最大值和最小值.

9.(★★★★★)是否存在实数a，使得函数y=sin²x+a·cosx+ a－ 在闭区间［0， ］上的最大值是1？若存在，求出对应的a值；若不存在，试说明理由.

 

参考答案

难点磁场

证明：若x＞0，则α+β＞ ∵α、β为锐角，∴0＜ －α＜β＜ ;0＜ －β＜ ,∴0＜sin( －α)＜sinβ.0＜sin( －β)＜sinα，∴0＜cosα＜sinβ,0＜cosβ＜sinα,∴0＜ ＜1,0＜ ＜1,∴f(x)在(0,+∞)上单调递减，∴f(x)＜f(0)=2.若x＜0,α+β＜ ,∵α、β为锐角，0＜β＜ －α＜ ,0＜α＜ －β＜ ,0＜sinβ＜sin( －α),∴sinβ＜cosα,0＜sinα＜sin( －β),∴sinα＜cosβ,∴ ＞1, ＞1,

∵f(x)在(－∞,0）上单调递增，∴f(x)＜f(0)=2,∴结论成立.

歼灭难点训练

一、1.解析：函数y=－xcosx是奇函数，图象不可能是A和C，又当x∈(0, )时，

y＜0.

答案：D

2.解析：f(x)=cos2x+sin( +x)=2cos²x－1+cosx

=2［(cosx+ ］－1.

答案：D

二、3.解：在［－π,π］上，y=｜cosx｜的单调递增区间是［－ ,0］及［ ,π］.而f(x)依｜cosx｜取值的递增而递减,故［－ ,0］及［ ,π］为f(x)的递减区间.

4.解：由－ ≤ωx≤ ，得f(x)的递增区间为［－ , ］，由题设得

三、5.解：(1)∵－1≤sinα≤1且f(sinα)≥0恒成立，∴f(1)≥0

∵1≤2+cosβ≤3,且f(2+cosβ)≤0恒成立.∴f(1)≤0.

从而知f(1)=0∴b+c+1=0.

(2)由f(2+cosβ)≤0,知f(3)≤0,∴9+3b+c≤0.又因为b+c=－1,∴c≥3.

(3)∵f(sinα)=sin²α+(－1－c)sinα+c=(sinα－ )²+c－( )²,

当sinα=－1时，［f(sinα)］_max=8,由 解得b=－4,c=3.

6.解：如图，设矩形木板的长边AB着地，并设OA=x，OB=y，则a²=x²+y²－2xycosα≥2xy－2xycosα=2xy(1－cosα).

∵0＜α＜π,∴1－cosα＞0,∴xy≤  (当且仅当x=y时取“=”号)，故此时谷仓的容积的最大值V₁=( xysinα)b= .同理，若木板短边着地时，谷仓的容积V的最大值V₂= ab²cos ,

∵a＞b,∴V₁＞V₂

从而当木板的长边着地，并且谷仓的底面是以a为底边的等腰三角形时，谷仓的容积最大，其最大值为 a²bcos .

7.解：如下图，扇形AOB的内接矩形是MNPQ，连OP，则OP=R，设∠AOP=θ，则

∠QOP=45°－θ，NP=Rsinθ,在△PQO中， ，

∴PQ= Rsin(45°－θ).S_矩形MNPQ=QP·NP= R²sinθsin(45°－θ)= R²·［cos(2θ－45°)－ ］≤ R²，当且仅当cos(2θ－45°)=1,即θ=22.5°时，S_矩形MNPQ的值最大且最大值为 R².

工人师傅是这样选点的，记扇形为AOB，以扇形一半径OA为一边，在扇形上作角AOP且使∠AOP=22.5°，P为边与扇形弧的交点，自P作PN⊥OA于N，PQ∥OA交OB于Q，并作OM⊥OA于M，则矩形MNPQ为面积最大的矩形，面积最大值为 R².

8.解：∵在［－ ］上，1+sinx＞0和1－sinx＞0恒成立，∴原函数可化为y=

log₂(1－sin²x)=log₂cos²x，又cosx＞0在［－ ］上恒成立，∴原函数即是y=2log₂cosx,在x∈［

－ ］上， ≤cosx≤1.

∴log₂ ≤log₂cosx≤log₂1，即－1≤y≤0，也就是在x∈［－ ］上，y_max=0,

y_min=－1.

综合上述知，存在 符合题设.

 

 

世界奇异人种探秘〔组图〕

2008年09月18日9：16 来源：环球网  

　　

　　世界上真的存在奇异种族？ 

　　据国外媒体报道，科学家一直没有放弃对奇异种族的探索，近日有科学家宣称，地球上其实生活着很多不为人知的种族，比如绿色人，图皮人，长着尾巴的人，以及两个脚趾的民族。

　

　　绿色人：
　　绿色人主要生活在非洲，他们全身的颜色像草一样翠绿。连血液也是绿色的。这种人现在只有三千多人，至今还过着穴居的原始生活。
　　绿孩子事件
　　1887年8月的一天，对西班牙班贺斯附近的居民来说，是终生难忘的。这天人们突然看见从山洞里走出两个绿孩子。人们简直不敢相信自己的眼睛，就十分小心翼翼地走到跟前仔细观看。没错，这两个孩子的皮肤真是绿色的，身上穿的衣服面料也从来没有见过。他们不会说西班牙语；而只是惊恐的不知所措地站着。好奇和同情心使人们很快给这两个孩子送来了食物，可惜起初他们不肯进食，那个男孩也就很快地死去了。而那绿女孩还比较乖巧，她居然学会了一些西班牙语，并能和人们交谈。据她后来自己解释自己的来历时说，她们是来自一个没有太阳的地方，有一天，被旋风卷起，后来就被抛落在那个山洞里。这个绿女孩后来又活了5年，于1892年死去。至于她到底从哪里来，为什么皮肤是绿色，人们始终无法找到答案。 

电影《绿巨人》海报 

　　但是这两个奇怪的绿孩子的事件并不是在地球上独一无二的。早在十一世纪，据传说从英国的乌尔毕特的一个山洞里也曾走出来两个绿孩子。他们的长相、皮肤和西班牙的这两个绿孩子极为相似。令人惊异的是当时的那个绿女孩也说。她们也是来自一个没有太阳的地方。 

　　“小绿人”外星人

　　这两次奇怪的事件，始终使人们困惑不解。因为人们都知道地球上的人只有白、黄、黑三种肤色，而有些自称见过外星人的入在说到外星人时，总是把他们描绘成身材矮小，发出绿色的类人生物，也被称为“小绿人”。这不禁使人们想到，在西班牙发现的绿孩子是不是有与被称为“小绿人”的外星人有关。而绿孩子自称的“没有太阳的地方”，到底是哪儿?也没有人能够解释。
　　科学家们指出，在浩翰的宇宙中，类人生物肯定不是唯独我们人类，有一亿颗星球完全有指望能有生命存在，仅仅在银河系。依然还有1.8万颗行星适合类人生物居住，这里面至少有10颗行星的文明能得到发展并很可能超过我们地球，所以即使真的有小绿孩子来光顾我们的地球，我们也将不足为怪地欢迎他们。 

 

 　

印度长尾巴的男孩 

　　蓝色人：
　　科学家在智利发现了一种全身呈蓝色的人。这些蓝色人世世代代生活在海拔6千米的高山上。由于终年积雪，气温适中在零下45~50摄氏度之间，为了获得足够的氧气保持正常的体温抵御寒冷，人体呢不得不大量合成血红素。国联的血红素充斥在大大小小的血管中，是这种人的皮肤呈蓝色。
　　黑白人：
　　最近遗传学家在印度尼西亚与世隔绝的偏僻森林中，发现了一个奇异的“鸳鸯人”部落。居住在那里的人，头部向白人，而身体却是不折不扣的黑人。
　　有尾巴的人：
　　这种人生活在我国西藏和印度阿萨密之间的巴里柏力地区， 他们至今还拖着一条没有无安全退化的猩红色尾巴。 

 

　

　　图皮人： 　　
       在厄瓜多尔境内亚马逊河地区森林的土人，男女老幼皆赤身裸体，除面部外，全身都用绿色液汁画成红色花，故称图皮人。他们两眼外突，像卷尾猴的眼睛一般，手脚似蛙脚，趾间有短蹼，还没有完全进化。主要以生吃活鱼和野菜为生。
　　小人：
　　在非洲南部塔武努山中，有人发现一群身穿兽皮、身高不满一尺的小人，他们用自制的弓箭射伤了走进他们的樵夫。  

贝姆巴和他的一家 

　　长着两个脚趾的民族：
　　全世界的人根据肤色、发色、毛发形态、面部特征和语言的不同而被划分为不同人种。但是不管什么人种，总还是具备大致相同的基本外貌特征，如五官、四肢，肢体末端都有５个手指或脚趾。像津巴布韦境内只长两个脚趾的奇特民族，在世上实属罕见。我见过只有两个脚趾的人，但不是在津巴布韦……
　　两个脚趾用得很出色
　　虽然曾经零星地听过一些关于津巴布韦两脚趾人的报道，但我第一次见到两脚趾人却不是在津巴布韦，而是在博茨瓦纳境内弗朗西斯敦市以北６４公里的一个山谷中。这里距离津巴布韦和博茨瓦纳边境线仅２公里左右，遍地盖着非常原始的小泥屋，大约１００个两脚趾人就平静地生活在这里。
　　我们的到来给这个小小的部落造成了一点骚动，不过很快他们就从拘束中抬起头来，开始谨慎地与我们交谈。３６岁的贝姆巴是一个三口之家的家长，也是山谷中第一个出外谋生的两脚趾人。每到温暖的季节来临，他就去弗朗西斯敦做雇工，偶尔才回家看看。我注意到他不仅脚趾分成两瓣，一双手的手指也长得很奇特。他左手有两个大拇指，第一个拇指向骨节处歪过去，第二个和第三个手指是蹼指（即两个手指中间有蹼状物），而右手只剩下大拇指。和大多数两脚趾人一样，贝姆巴的脚非常有柔韧度，很灵活。为了证明给我们看，他用脚在地上拣起一块焦炭，并他快活地对我说，“我们为什么要强求长五个脚趾？我能把两个脚趾用得很出色！”

对自己四肢不太满意 

　　虽然两脚趾人外出做工已有贝姆巴作先例，但部落中的大部分人还是非常害羞，不愿多和外界接触。他们生活在这个有稠密的灌木丛林地区，过着一种几乎完全与世隔绝的简单的游牧生活。尽管他们的生活和有５个脚趾的人没有什么区别，但他们实实在在每只脚只有两个脚趾，而且整个脚的形态看上去像鸵鸟的脚爪。令他们困扰的是，他们中间有一些人还有蹼趾。两个年轻的母亲，３２岁的爱塔·乌克乌拉和２７岁的恩都·贝奇拉都是两脚趾人，而且右手第二和第三个手指中间都有很光滑的蹼。她们对自己的四肢显然不太满意。而爱塔５岁的女儿海妮和她的好朋友６岁的奥可曼特丝，彼此都是两脚趾人而左手也都是蹼指，却没有觉得自己有什么奇怪的，或许是年轻一代早已习惯了。
 

爱塔和她５岁的女儿海妮展示着优美的姿态 

　　部落通婚“龙虾民族”增多
　　几乎年复一年，两脚趾人都在默默地寻找着他们的同类。而一些热衷于研究两脚趾人历史的学者，也一直为他们积极奔走。
　　道尔森是一位曾经在津巴布韦的哈拉雷国家档案馆工作过的前编年史编撰者，从一次在津巴布韦西南部郊游时偶然发现两脚趾人起，他就一直对他们产生浓厚的兴趣。于是他有计划地访问了１６个两脚趾人，并把他们前七代的历史都搜集整理起来。
　　道尔森认为：这种变异现象，首先是由迁徙和通婚造成的。若干年前，一位有两脚趾血统的年轻妇女从其它地方来到了西南津巴布韦，当她与当地的土著结婚之后，她的两脚趾基因就开始起作用，让她的部分后代成为两脚趾人。如果在正常的风俗下，津巴布韦土著只和其他部落的人通婚，这样就会使生成两脚趾人的概率减少。可是，由于该地区稀疏的人口，两脚趾人不得不和同部落的人结合，这就使两脚趾基因继续繁衍下去。
　　道尔森假定的这第一位妇女从何而来呢？尽管不能证实，他却充分地假设了这位妇女来自莫桑比克的赞比西河谷。原因是目前其它地方对两脚趾人的真实报道非常少，而在莫桑比克，大量翔实的资料证明了两脚趾人的存在。
　　他们的脚和龙虾的脚爪形象十分相似，所以他们有时也被称为“龙虾民族”。 

乐观自信的贝姆巴用两个脚趾举起一罐可乐 

　　两脚趾人传说
　　贝姆巴的父亲在世时曾经对他讲述过：很久以前，在津巴布韦西南的一个土著部落中，第一个两脚趾的婴儿诞生了。当时部落中的人都吓坏了，以为这个孩子是被神灵降罪，为了赎罪，他们很快就杀死了他。一年后，同一个母亲又生下第二个两脚趾孩子，他同样也逃不脱被杀的命运。可是当这个不幸的母亲的第三个两脚趾婴儿降生时，人们开始觉得这不是“降罪”而很可能是“赐予”，他们终于让这个孩子活了下来。从那时起，越来越多的两脚趾孩子出现在部落中。有趣的是，并不是所有两脚趾家族的孩子都是两脚趾人。像贝姆巴的５个孩子，头两个男孩都长着很正常的５个脚趾，其他的３个才是两脚趾人。
　　两脚趾人谜底
　　尽管两脚趾人对自己怪异的肢体抱着平常心，但还是引起了世界医学界的高度重视。南非约翰内斯堡的威特沃特斯兰医科大学解剖系主任菲利浦·蒂比阿斯教授，经过长期的观察和临床研究，终于向人们揭开了两脚趾人的谜底。
　　原来，这种变化既不是神灵的惩罚，也不是自然的选择，而是一种变异性疾病，在医学上称为“龙虾脚爪综合症”。这种病的个别案例在世界各地都有记录，惟独在非洲这个部落，这种病变成了一种普遍现象。
　　菲利浦教授说：“这是一种简单的显性基因造成的遗传变异。携带基因的本体不会发生变异，而父母中要有一方携带这种基因，就会在下一代的身上造成遗传变异。在受这种基因控制的胎儿的孕育期中，具体说是在非常早的胚胎形成时期，这种显性的等位基因就开始干扰了四肢分裂的普通形式，于是在四肢刚刚开始分裂时就形成了不是５个而是两个脚趾。”
　　对于赞比西河谷的大量两脚趾人的存在，菲利浦教授解释说，那是在部落内部选择结婚对象的直接结果。因为这种显性基因如果只发生在一对或几对夫妇中，很可能由于下几代的再次选择而消亡。而像赞比西河谷这样大的基因变异群体，除了部落内部通婚范围大别无其他原因。
　　两脚趾人生存地理
　　在博茨瓦纳境内弗朗西斯敦市以北６４公里的一个山谷中，就生活着１００多个两脚趾人。这个山谷距离津巴布韦和博茨瓦纳的边境线仅２公里左右。
　　博茨瓦纳是非洲南部的内陆国家，东接津巴布韦，西连纳米比亚，北邻赞比亚，南界南非。 阅读链接：http://blog.sina.com.cn/s/articlelist_1508093545_0_1.html