newschool纹身:数学分支巡礼

最早的数学──算术

算术是数学中最古老、最基础和最初等的部分。它研究数的性质及其运算。

“算术”这个词，在我国古代是全部数学的统称。至于几何、代数等许多数学分支学科的名称，都是后来很晚的时候才有的。

国外系统地整理前人数学知识的书，要算是希腊的欧几里得的《几何原本》最早。《几何原本》全书共十五卷，后两卷是后人增补的。全书大部分是属于几何知识，在第七、八、九卷中专门讨论了数的性质和运算，属于算术的内容。

现在拉丁文的“算术”这个词是由希腊文的“数和数(音属，shu三音)数的技术”变化而来的。“算”字在中国的古意也是“数”的意思，表示计算用的竹筹。中国古代的复杂数字计算都要用算筹。所以“算术”包含当时的全部数学知识与计算技能，流传下来的最古老的《九章算术》以及失传的许商《算术》和杜忠《算术》，就是讨论各种实际的数学问题的求解方法。

关于算数的产生，还是要从数谈起。数是用来表达、讨论数量问题的，有不同类型的量，也就随着产生了各种不同类型的数。远在古代发展的最初阶段，由于人类日常生活与生产实践中的需要，在文化发展的最初阶段就产生了最简单的自然数的概念。

自然数的一个特点就是由不可分割的个体组成。比如说树和羊这两种事物，如果说两棵树，就是一棵再一颗；如果有三只羊，就是一只、一只又一只。但不能说有半棵树或者半只羊，半棵树或者半只羊充其量只能算是木材或者是羊肉，而不能算作树和羊。

不过，自然数不足以解决生活和生产中常见的分份问题，因此数的概念产生了第一次扩张。分数是对另一种类型的量的分割而产生的。比如，长度就是一种可以无限地分割的量，要表示这些量，就只有用分数。

从已有的文献可知，人类认识自然数和分数的历史是很久的。比如约公元前2000年流传下来的古埃及莱茵德纸草书，就记载有关于分数的计算方法；中国殷代遗留下来的甲骨文中也有很多自然数，最大的数字是三万，并且全部是应用十进位制的位置计数法。

自然数和分数具有不同的性质，数和数之间也有不同的关系，为了计算这些数,就产生了加、减、乘、除的方法，这四种方法就是四则运算。

把数和数的性质、数和数之间的四则运算在应用过程中的经验累积起来，并加以整理，就形成了最古老的一门数学──算术。

在算术的发展过程中，由于实践和理论上的要求，提出了许多新问题，在解决这些新问题的过程中，古算术从两个方面得到了进一步的发展。

一方面在研究自然数四则运算中，发现只有除法比较复杂，有的能除尽，有的除不尽，有的数可以分解，有的数不能分解，有些数又大于1的公约数，有些数没有大于1的公约数。为了寻求这些数的规律，从而发展成为专门研究数的性质、脱离了古算术而独立的一个数学分支，叫做整数论，或叫做初等数论，并在以后又有新的发展。

另一方面，在古算术中讨论各种类型的应用问题，以及对这些问题的各种解法。在长期的研究中，很自然地就会启发人们寻求解这些应用问题的一般方法。也就是说，能不能找到一般的更为普遍适用的方法来解决同样类型的应用问题，于是发明了抽象的数学符号，从而发展成为数学的另一个古老的分支，指就是初等代数。

数学发展到现在，算术已不再是数学的一个分支，现在我们通常提到的算术，只是作为小学里的一个教学科目，目的是使学生理解和掌握有关数量关系和空间形式的最基础的知识，能够正确、迅速地进行整数、小数、分数的四则运算，初步了解现代数学中的一些最简单的思想，具有初步的逻辑思维能力和空间观念。

现代小学数学的具体内容，基本上还是古代算术的知识，也就是说，古代算术和现代算术的许多内容上是相同的。不过现代算术和古代算术也还存在着区别。

首先，算术的内容是古代的成人包括数学家所研究的对象，现在这些内容已变成了少年儿童的数学。

其次，在现代小学数学里，总结了长期以来所归结出来的基本运算性质，就是加法、乘法的交换律和结合律，以及乘法对加法的分配律，这五条基本运算定律，不仅是小学数学里所学习的数运算的重要性质，也是整个数学里，特别是代数学里着重研究的主要性质。

第三，在现代的小学数学里，还孕育着近代数学里的集合和函数等数学基础概念的思想。比如，和、差、积、商的变化，数和数之间的对应关系，以及比和比例等。

另外，现在小学数学里，还包含有十六世纪才出现的十进小数和它们的四则运算。应当提出的是十进小数不是一种新的数，而可以被看作是一种分母是10的方幂的分数的另一种写法。

我们在这里把算术列成第一个分支，主要是想强调在古代全部数学就叫做算术，现代的代数学、数论等最初就是由算术发展起来的。后来，算学、数学的概念出现了，它代替了算术的含义，包括了全部数学，算术就变成了一个分支了。因此，也可以说算术是最古老的分支。

高等代数

初等代数从最简单的一元一次方程开始，一方面进而讨论二元及三元的一次方程组，另一方面研究二次以上及可以转化为二次的方程组。沿着这两个方向继续发展，代数在讨论任意多个未知数的一次方程组，也叫线型方程组的同时还研究次数更高的一元方程组。发展到这个阶段，就叫做高等代数。

高等代数是代数学发展到高级阶段的总称，它包括许多分支。现在大学里开设的高等代数，一般包括两部分：线性代数初步、多项式代数。

高等代数在初等代数的基础上研究对象进一步的扩充，引进了许多新的概念以及与通常很不相同的量，比如最基本的有集合、向量和向量空间等。这些量具有和数相类似的运算的特点，不过研究的方法和运算的方法都更加繁复。

集合是具有某种属性的事物的全体；向量是除了具有数值还同时具有方向的量；向量空间也叫线性空间，是由许多向量组成的并且符合某些特定运算的规则的集合。向量空间中的运算对象已经不只是数，而是向量了，其运算性质也由很大的不同了。

高等代数发展简史

代数学的历史告诉我们，在研究高次方程的求解问题上，许多数学家走过了一段颇不平坦的路途，付出了艰辛的劳动。

人们很早就已经知道了一元一次和一元二次方程的求解方法。关于三次方程，我国在公元七世纪，也已经得到了一般的近似解法，这在唐朝数学家王孝通所编的《缉古算经》就有叙述。到了十三世纪，宋代数学家秦九韶再他所著的《数书九章》这部书的“正负开方术”里，充分研究了数字高次方程的求正根法，也就是说，秦九韶那时候以得到了高次方程的一般解法。

在西方，直到十六世纪初的文艺复兴时期，才由有意大利的数学家发现一元三次方程解的公式──卡当公式。

在数学史上，相传这个公式是意大利数学家塔塔里亚首先得到的,后来被米兰地区的数学家卡尔达诺(1501～1576)骗到了这个三次方程的解的公式，并发表在自己的著作里。所以现在人们还是叫这个公式为卡尔达诺公式(或称卡当公式)，其实，它应该叫塔塔里亚公式。

三次方程被解出来后，一般的四次方程很快就被意大利的费拉里(1522～1560)解出。这就很自然的促使数学家们继续努力寻求五次及五次以上的高次方程的解法。遗憾的是这个问题虽然耗费了许多数学家的时间和精力，但一直持续了长达三个多世纪，都没有解决。

到了十九世纪初，挪威的一位青年数学家阿贝尔(1802～1829)证明了五次或五次以上的方程不可能有代数解。既这些方程的根不能用方程的系数通过加、减、乘、除、乘方、开方这些代数运算表示出来。阿贝尔的这个证明不但比较难，而且也没有回答每一个具体的方程是否可以用代数方法求解的问题。

后来，五次或五次以上的方程不可能有代数解的问题，由法国的一位青年数学家伽罗华彻底解决了。伽罗华20岁的时候，因为积极参加法国资产阶级革命运动，曾两次被捕入狱，1832年4月，他出狱不久，便在一次私人决斗中死去，年仅21岁。

伽罗华在临死前预料自己难以摆脱死亡的命运，所以曾连夜给朋友写信，仓促地把自己生平的数学研究心得扼要写出，并附以论文手稿。他在给朋友舍瓦利叶的信中说：“我在分析方面做出了一些新发现。有些是关于方程论的；有些是关于整函数的……。公开请求雅可比或高斯，不是对这些定理的正确性而是对这些定理的重要性发表意见。我希望将来有人发现消除所有这些混乱对它们是有益的。”

伽罗华死后，按照他的遗愿，舍瓦利叶把他的信发表在《百科评论》中。他的论文手稿过了14年，才由刘维尔(1809～1882)编辑出版了他的部分文章，并向数学界推荐。

随着时间的推移，伽罗华的研究成果的重要意义愈来愈为人们所认识。伽罗华虽然十分年轻，但是他在数学史上做出的贡献，不仅是解决了几个世纪以来一直没有解决的高次方程的代数解的问题，更重要的是他在解决这个问题中提出了“群”的概念，并由此发展了一整套关于群和域的理论，开辟了代数学的一个崭新的天地，直接影响了代数学研究方法的变革。从此，代数学不再以方程理论为中心内容，而转向对代数结构性质的研究，促进了代数学的进一步的发展。在数学大师们的经典著作中，伽罗华的论文是最薄的，但他的数学思想却是光辉夺目的。

高等代数的基本内容

代数学从高等代数总的问题出发，又发展成为包括许多独立分支的一个大的数学科目，比如：多项式代数、线性代数等。代数学研究的对象，也已不仅是数，还有矩阵、向量、向量空间的变换等，对于这些对象，都可以进行运算。虽然也叫做加法或乘法，但是关于数的基本运算定律，有时不再保持有效。因此代数学的内容可以概括为研究带有运算的一些集合，在数学中把这样的一些集合叫做代数系统。比如群、环、域等。

多项式是一类最常见、最简单的函数，它的应用非常广泛。多项式理论是以代数方程的根的计算和分布作为中心问题的，也叫做方程论。研究多项式理论，主要在于探讨代数方程的性质，从而寻找简易的解方程的方法。

多项式代数所研究的内容，包括整除性理论、最大公因式、重因式等。这些大体上和中学代数里的内容相同。多项式的整除性质对于解代数方程是很有用的。解代数方程无非就是求对应多项式的零点，零点不存在的时候，所对应的代数方程就没有解。

我们知道一次方程叫做线性方程，讨论线性方程的代数就叫做线性代数。在线性代数中最重要的内容就是行列式和矩阵。

生活中的几何──欧式几何

几何学发展简况

“几何”这个词在汉语里是“多少？”的意思，但在数学里“几何”的涵义就完全不同了。“几何”这个词的词义来源于希腊文，原意是土地测量，或叫测地术。

几何学和算术一样产生于实践，也可以说几何产生的历史和算术是相似的。在远古时代，人们在实践中积累了十分丰富的各种平面、直线、方、圆、长、短、款、窄、厚、薄等概念，并且逐步认识了这些概念之间、它们以及它们之间位置关系跟数量关系之间的关系，这些后来就成了几何学的基本概念。

正是生产实践的需要，原始的几何概念便逐步形成了比较粗浅的几何知识。虽然这些知识是零散的，而且大多数是经验性的，但是几何学就是建立在这些零散、经验性的、粗浅的几何知识之上的。

几何学史数学中最古老的分支之一，也是在数学这个领域里最基础的分支之一。古代中国、古巴比伦、古埃及、古印度、古希腊都是几何学的重要发源地。大量出土文物证明，在我国的史前时期，人们已经掌握了许多几何的基本知识，看一看远古时期人们使用过的物品中那许许多多精巧的、对称的图案的绘制，一些简单设计但是讲究体积和容积比例的器皿，都足以说明当时人们掌握的几何知识是多么丰富了。

几何之所以能成为一门系统的学科，希腊学者的工作曾起了十分关键的作用。两千多年前的古希腊商业繁荣，生产比较发达，一批学者热心追求科学知识，研究几何就是最感兴趣的内容，在这里应当提及的是哲学家、几何学家柏拉图和哲学家亚里士多德对发展几何学的贡献。

柏拉图把逻辑学的思想方法引入了几何，使原始的几何知识受逻辑学的指导逐步趋向于系统和严密的方向发展。柏拉图在雅典给他的学生讲授几何学，已经运用逻辑推理的方法对几何中的一些命题作了论证。亚里士多德被公认是逻辑学的创始人，他所提出的“三段论”的演绎推理的方法，对于几何学的发展，影响更是巨大的。到今天，在初等几何学中，仍是运用三段论的形式来进行推理。

但是，尽管那时候已经有了十分丰富的几何知识，这些知识仍然是零散的、孤立的、不系统的。真正把几何总结成一门具有比较严密理论的学科的，是希腊杰出的数学家欧几里得。

欧几里得在公元前300年左右，曾经到亚历山大城教学，是一位受人尊敬的、温良敦厚的教育家。他酷爱数学，深知柏拉图的一些几何原理。他非常详尽的搜集了当时所能知道的一切几何事实，按照柏拉图和亚里士多德提出的关于逻辑推理的方法，整理成一门有着严密系统的理论，写成了数学史上早期的巨著──《几何原本》。

《几何原本》的伟大历史意义在于它是用公理法建立起演绎的数学体系的最早典范。在这部著作里，全部几何知识都是从最初的几个假设除法、运用逻辑推理的方法展开和叙述的。也就是说，从《几何原本》发表开始，几何才真正成为了一个有着比较严密的理论系统和科学方法的学科。

欧几里得的《几何原本》

欧几里得的《几何原本》共有十三卷，其中第一卷讲三角形全等的条件，三角形边和角的大小关系，平行线理论，三角形和多角形等积（面积相等）的条件；第二卷讲如何把三角形变成等积的正方形；第三卷讲圆；第四卷讨论内接和外切多边形；第六卷讲相似多边形理论；第五、第七、第八、第九、第十卷讲述比例和算术得里论；最后讲述立体几何的内容。

从这些内容可以看出，目前属于中学课程里的初等几何的主要内容已经完全包含在《几何原本》里了。因此长期以来，人们都认为《几何原本》是两千多年来传播几何知识的标准教科书。属于《几何原本》内容的几何学，人们把它叫做欧几里得几何学，或简称为欧式几何。

《几何原本》最主要的特色是建立了比较严格的几何体系，在这个体系中有四方面主要内容，定义、公理、公设、命题（包括作图和定理）。《几何原本》第一卷列有23个定义，5条公理，5条公设。（其中最后一条公设就是著名的平行公设，或者叫做第五公设。它引发了几何史上最著名的长达两千多年的关于“平行线理论”的讨论，并最终诞生了非欧几何。）

这些定义、公理、公设就是《几何原本》全书的基础。全书以这些定义、公理、公设为依据逻辑地展开他的各个部分的。比如后面出现的每一个定理都写明什么是已知、什么是求证。都要根据前面的定义、公理、定理进行逻辑推理给予仔细证明。

关于几何论证的方法，欧几里得提出了分析法、综合法和归谬法。所谓分析法就是先假设所要求的已经得到了，分析这时候成立的条件，由此达到证明的步骤；综合法是从以前证明过的事实开始，逐步的导出要证明的事项；归谬法是在保留命题的假设下，否定结论，从结论的反面出发，由此导出和已证明过的事实相矛盾或和已知条件相矛盾的结果，从而证实原来命题的结论是正确的，也称作反证法。

欧几里得《几何原本》的诞生在几何学发展的历史中具有重要意义。它标志着几何学已成为一个有着比较严密的理论系统和科学方法的学科。

从欧几里得发表《几何原本》到现在，已经过去了两千多年，尽管科学技术日新月异，但是欧几里得几何学仍旧是中学生学习数学基础知识的好教材。

由于欧氏几何具有鲜明的直观性和有着严密的逻辑演绎方法相结合的特点，在长期的实践中表明，它巳成为培养、提高青、少年逻辑思维能力的好教材。历史上不知有多少科学家从学习几何中得到益处，从而作出了伟大的贡献。

少年时代的牛顿在剑桥大学附近的夜店里买了一本《几何原本》，开始他认为这本书的内容没有超出常识范围，因而并没有认真地去读它，而对笛卡儿的“坐标几何”很感兴趣而专心攻读。后来，牛顿于1664年4月在参加特列台奖学金考试的时候遭到落选，当时的考官巴罗博士对他说：“因为你的几何基础知识太贫乏，无论怎样用功也是不行的。”这席谈话对牛顿的震动很大。于是，牛顿又重新把《几何原本》从头到尾地反复进行了深入钻研，为以后的科学工作打下了坚实的数学基础。

近代物理学的科学巨星爱因斯坦也是精通几何学，并且应用几何学的思想方法，开创自己研究工作的一位科学家。爱因斯坦在回忆自己曾走过的道路时，特别提到在十二岁的时候“几何学的这种明晰性和可靠性给我留下了一种难以形容的印象”。后来，几何学的思想方法对他的研究工作确实有很大的启示。他多次提出在物理学研究工作中也应当在逻辑上从少数几个所谓公理的基本假定开始。在狭义相对论中，爱因斯坦就是运用这种思想方法，把整个理论建立在两条公理上：相对原理和光速不变原理。

在几何学发展的历史中，欧几里得的《几何原本》起了重大的历史作用。这种作用归结到一点，就是提出了几何学的“根据”和它的逻辑结构的问题。在他写的《几何原本》中，就是用逻辑的链子由此及彼的展开全部几何学，这项工作，前人未曾作到。

但是，在人类认识的长河中，无论怎样高明的前辈和名家，都不可能把问题全部解决。由于历史条件的限制，欧几里得在《几何原本》中提出几何学的“根据”问题并没有得到彻底的解决，他的理论体系并不是完美无缺的。比如，对直线的定义实际上是用一个未知的定义来解释另一个未知的定义，这样的定义不可能在逻辑推理中起什么作用。又如，欧几里得在逻辑推理中使用了“连续”的概念，但是在《几何原本》中从未提到过这个概念。

现代几何公理体系

人们对《几何原本》中在逻辑结果方面存在的一些漏洞、破绽的发现，正是推动几何学不断向前发展的契机。最后德国数学家希尔伯特在总结前人工作的基础上，在他1899年发表的《几何基础》一书中提出了一个比较完善的几何学的公理体系。这个公理体系就被叫做希尔伯特公理体。

希尔伯特不仅提出了—个完善的几何体系，并且还提出了建立一个公理系统的原则。就是在一个几何公理系统中，采取哪些公理，应该包含多少条公理，应当考虑如下三个方面的问题：

第一，共存性(和谐性)，就是在一个公理系统中，各条公理应该是不矛盾的，它们和谐而共存在同一系统中。

第二，独立性，公理体系中的每条公理应该是各自独立而互不依附的，没有一条公理是可以从其它公理引伸出来的。

第三，完备性，公理体系中所包含的公理应该是足够能证明本学科的任何新命题。

这种用公理系统来定义几何学中的基本对象和它的关系的研究方法，成了数学中所谓的“公理化方法”，而把欧几里得在《几何原本》提出的体系叫做古典公理法。

公理化的方法给几何学的研究带来了一个新颖的观点，在公理法理论中，由于基本对象不予定义，因此就不必探究对象的直观形象是什么，只专门研究抽象的对象之间的关系、性质。从公理法的角度看，我们可以任意地用点、线、面代表具体的事物，只要这些具体事物之间满足公理中的结合关系、顺序关系、合同关系等，使这些关系满足公理系统中所规定的要求，这就构成了几何学。

因此，凡是符合公理系统的元素都能构成几何学，每一个几何学的直观形象不止只有—个，而是可能有无穷多个，每一种直观形象我们把它叫做几何学的解释，或者叫做某种几何学的模型。平常我们所熟悉的几何图形，在研究几何学的时候，并不是必须的，它不过是一种直观形象而已。

就此，几何学研究的对象更加广泛了，几何学的含义比欧几里得时代更为抽象。这些，都对近代几何学的发展带来了深远的影响。

坐标法──解析几何

解析几何的产生

十六世纪以后，由于生产和科学技术的发展，天文、力学、航海等方面都对几何学提出了新的需要。比如，德国天文学家开普勒发现行星是绕着太阳沿着椭圆轨道运行的，太阳处在这个椭圆的一个焦点上；意大利科学家伽利略发现投掷物体试验着抛物线运动的。这些发现都涉及到圆锥曲线，要研究这些比较复杂的曲线，原先的一套方法显然已经不适应了，这就导致了解析几何的出现。

1637年，法国的哲学家和数学家笛卡尔发表了他的著作《方法论》，这本书的后面有三篇附录，一篇叫《折光学》，一篇叫《流星学》，一篇叫《几何学》。当时的这个“几何学”实际上指的是数学，就像我国古代“算术”和“数学”是一个意思一样。

笛卡尔的《几何学》共分三卷，第一卷讨论尺规作图；第二卷是曲线的性质；第三卷是立体和“超立体”的作图，但他实际是代数问题，探讨方程的根的性质。后世的数学家和数学史学家都把笛卡尔的《几何学》作为解析几何的起点。

从笛卡尔的《几何学》中可以看出，笛卡尔的中心思想是建立起一种“普遍”的数学，把算术、代数、几何统一起来。他设想，把任何数学问题化为一个代数问题，在把任何代数问题归结到去解一个方程式。

为了实现上述的设想，笛卡尔茨从天文和地理的经纬制度出发，指出平面上的点和实数对(x,y)的对应关系。x,y的不同数值可以确定平面上许多不同的点，这样就可以用代数的方法研究曲线的性质。这就是解析几何的基本思想。

具体地说，平面解析几何的基本思想有两个要点：第一，在平面建立坐标系，一点的坐标与一组有序的实数对相对应；第二，在平面上建立了坐标系后，平面上的一条曲线就可由带两个变数的一个代数方程来表示了。从这里可以看到，运用坐标法不仅可以把几何问题通过代数的方法解决，而且还把变量、函数以及数和形等重要概念密切联系了起来。

解析几何的产生并不是偶然的。在笛卡尔写《几何学》以前，就有许多学者研究过用两条相交直线作为一种坐标系；也有人在研究天文、地理的时候，提出了一点位置可由两个“坐标”（经度和纬度）来确定。这些都对解析几何的创建产生了很大的影响。

在数学史上，一般认为和笛卡尔同时代的法国业余数学家费尔马也是解析几何的创建者之一，应该分享这门学科创建的荣誉。

费尔马是一个业余从事数学研究的学者，对数论、解析几何、概率论三个方面都有重要贡献。他性情谦和，好静成癖，对自己所写的“书”无意发表。但从他的通信中知道，他早在笛卡尔发表《几何学》以前，就已写了关于解析几何的小文，就已经有了解析几何的思想。只是直到1679年，费尔马死后，他的思想和著述才从给友人的通信中公开发表。

笛卡尔的《几何学》，作为一本解析几何的书来看，是不完整的，但重要的是引入了新的思想，为开辟数学新园地做出了贡献。

解析几何的基本内容

在解析几何中，首先是建立坐标系。如上图，取定两条相互垂直的、具有一定方向和度量单位的直线，叫做平面上的一个直角坐标系oxy。利用坐标系可以把平面内的点和一对实数(x,y)建立起一一对应的关系。除了直角坐标系外，还有斜坐标系、极坐标系、空间直角坐标系等等。在空间坐标系中还有球坐标和柱面坐标。

坐标系将几何对象和数、几何关系和函数之间建立了密切的联系，这样就可以对空间形式的研究归结成比较成熟也容易驾驭的数量关系的研究了。用这种方法研究几何学，通常就叫做解析法。这种解析法不但对于解析几何是重要的，就是对于几何学的各个分支的研究也是十分重要的。

解析几何的创立，引入了一系列新的数学概念，特别是将变量引入数学，使数学进入了一个新的发展时期，这就是变量数学的时期。解析几何在数学发展中起了推动作用。恩格斯对此曾经作过评价“数学中的转折点是笛卡尔的变数，有了变书，运动进入了数学；有了变数，辩证法进入了数学；有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了，……”

解析几何的应用

解析几何又分作平面解析几何和空间解析几何。

在平面解析几何中，除了研究直线的有关直线的性质外，主要是研究圆锥曲线（圆、椭圆、抛物线、双曲线）的有关性质。

在空间解析几何中，除了研究平面、直线有关性质外，主要研究柱面、锥面、旋转曲面。

椭圆、双曲线、抛物线的有些性质，在生产或生活中被广泛应用。比如电影放映机的聚光灯泡的反射面是椭圆面，灯丝在一个焦点上，影片门在另一个焦点上；探照灯、聚光灯、太阳灶、雷达天线、卫星的天线、射电望远镜等都是利用抛物线的原理制成的。

总的来说，解析几何运用坐标法可以解决两类基本问题：一类是满足给定条件点的轨迹，通过坐标系建立它的方程；另一类是通过方程的讨论，研究方程所表示的曲线性质。

运用坐标法解决问题的步骤是：首先在平面上建立坐标系，把已知点的轨迹的几何条件“翻译”成代数方程；然后运用代数工具对方程进行研究；最后把代数方程的性质用几何语言叙述，从而得到原先几何问题的答案。

坐标法的思想促使人们运用各种代数的方法解决几何问题。先前被看作几何学中的难题，一旦运用代数方法后就变得平淡无奇了。坐标法对近代数学的机械化证明也提供了有力的工具。

微分几何

微分几何学是运用数学分析的理论研究曲线或曲面在它一点邻域的性质，换句话说，微分几何是研究一般的曲线和曲面在“小范围”上的性质的数学分支学科。

微分几何的产生

微分几何学的产生和发展是和数学分析密切相连的。在这方面第一个做出贡献的是瑞士数学家欧拉。1736年他首先引进了平面曲线的内在坐标这一概念，即以曲线弧长这以几何量作为曲线上点的坐标，从而开始了曲线的内在几何的研究。

十八世纪初，法国数学家蒙日首先把微积分应用到曲线和曲面的研究中去，并于1807年出版了它的《分析在几何学上的应用》一书，这是微分几何最早的一本著作。在这些研究中，可以看到力学、物理学与工业的日益增长的要求是促进微分几何发展的因素。

1827年，高斯发表了《关于曲面的一般研究》的著作，这在微分几何的历史上有重大的意义，它的理论奠定了现代形式曲面论的基础。微分几何发展经历了150年之后，高斯抓住了微分几何中最重要的概念和带根本性的内容，建立了曲面的内在几何学，其主要思想是强调了曲面上只依赖于第一基本形式的一些性质，例如曲面上曲面的长度、两条曲线的夹角、曲面上的一区域的面积、测地线、测地线曲率和总曲率等等。他的理论奠定了近代形式曲面论的基础。

1872年克莱因在德国埃尔朗根大学作就职演讲时，阐述了《埃尔朗根纲领》，用变换群对已有的几何学进行了分类。在《埃尔朗根纲领》发表后的半个世纪内，它成了几何学的指导原理，推动了几何学的发展，导致了射影微分几何、仿射微分几何、共形微分几何的建立。特别是射影微分几何起始于1878年阿尔方的学位论文，后来1906年起 经以威尔辛斯基为代表的美国学派所发展，1916年起又经以富比尼为首的意大利学派所发展。

随后，由于黎曼几何的发展和爱因斯坦广义相对论的建立，微分几何在黎曼几何学和广义相对论中的得到了广泛的应用，逐渐在数学中成为独具特色、应用广泛的独立学科。

微分几何学的基本内容

微分几何学以光滑曲线(曲面)作为研究对象，所以整个微分几何学是由曲线的弧线长、曲线上一点的切线等概念展开的。既然微分几何是研究一般曲线和一般曲面的有关性质，则平面曲线在一点的曲率和空间的曲线在一点的曲率等，就是微分几何中重要的讨论内容，而要计算曲线或曲面上每一点的曲率就要用到微分的方法。

在曲面上有两条重要概念，就是曲面上的距离和角。比如，在曲面上由一点到另一点的路径是无数的，但这两点间最短的路径只有一条，叫做从一点到另一点的测地线。在微分几何里，要讨论怎样判定曲面上一条曲线是这个曲面的一条测地线，还要讨论测地线的性质等。另外，讨论曲面在每一点的曲率也是微分几何的重要内容。

在微分几何中，为了讨论任意曲线上每一点邻域的性质，常常用所谓“活动标形的方法”。对任意曲线的“小范围”性质的研究，还可以用拓扑变换把这条曲线“转化”成初等曲线进行研究。

在微分几何中，由于运用数学分析的理论，就可以在无限小的范围内略去高阶无穷小，一些复杂的依赖关系可以变成线性的，不均匀的过程也可以变成均匀的，这些都是微分几何特有的研究方法。

近代由于对高维空间的微分几何和对曲线、曲面整体性质的研究，使微分几何学同黎曼几何、拓扑学、变分学、李群代数等有了密切的关系，这些数学部门和微分几何互相渗透，已成为现代数学的中心问题之一。

微分几何在力学和一些工程技术问题方面有广泛的应用，比如，在弹性薄壳结构方面，在机械的齿轮啮合理论应用方面，都充分应用了微分几何学的理论。

代数几何学

几何空间

空间的概念复我们来说是熟悉的。我们生活的空间是包含在上下、前后、左右之中的。如果需要描述我们所处的空间中的某一位置，就需要用三个方向来表示，这个意思也就是说空间是“三维”的。

在数学中经常用到“空间”这个概念，它指的范围很广，一般指某种对象（现象、状况、图形、函数等）的任意集合，只要其中说明了“距离”或“邻域”的概念就可以了。而所谓“维”的概念，如果我们所谈到的只是简单的几何图形，如点、线、三角形和多边形……，那么理解维的概念并不困难：点的维数是零；一条线段的维数是一；一个三角形的维数是二；一个立方体内所有点的集合的是三维的。

如果把维度的概念扩充到任意点集合上去的时候，维的概念就不那么容易理解了。比如，什么是四维空间呢？关于四维空间，我国古代有一些说法是很有意思的。最典型的就是对于“宇宙”两字的解释，古人的说法是“四方上下曰宇，古往今来曰宙”，用现在的话说就是，四维空间是在三维空间的基础上再加上时间维作为并列的第四个坐标。

爱因斯坦认为每一瞬间三维空间中的所有实物在占有一定的位置就是四维的。比如我们所住的房子，就是由长度、宽度、高度、和时间制约的。所谓时间制约就是从盖房的时候算起，直到最后房子倒塌为止。

根据上边的说法，几何学和其它科学研究的 n维空间的概念，就可以理解成由空间的点的 n个坐标决定。这个空间的图形就定义成满足这个或那个条件的点的轨迹。一般来说，某个图形由 n个条件给出，那么这个图形就是某个 n维的点。至于这个图形到底是什么形象，我们是否能想象得出来，对数学来说是无关紧要的。

几何学中的“维”的概念，实际上就是构成空间的基本元素，也就是点的活动的自由度，或者说是点的坐标。所谓 n维空间，经常是用来表示超出通常的几何直观范围的数学概念的一种几何语言。

从上面的介绍可以看出，几何中的元素可用代数中的是数来表示，代数问题如果通过几何的语言给与直观的描述，有时候可以给代数问题提示适当的解法。比如解三元一次方程组，就可以认为是求解三个平面的交点问题。

代数几何学的内容

用代数的方法研究几何的思想，在继出现解析几何之后，又发展为几何学的另一个分支，这就是代数几何。代数几何学研究的对象是平面的代数曲线、空间的代数曲线和代数曲面。

代数几何学的兴起，主要是源于求解一般的多项式方程组，开展了由这种方程组的解答所构成的空间，也就是所谓代数簇的研究。解析几何学的出发点是引进了坐标系来表示点的位置，同样，对于任何一种代数簇也可以引进坐标，因此，坐标法就成为研究代数几何学的一个有力的工具。

代数几何的研究是从19世纪上半叶关于三次或更高次的平面曲线的研究开始的。例如，阿贝尔在关于椭圆积分的研究中，发现了椭圆函数的双周期性，从而奠定了椭圆曲线理论基础。

黎曼1857年引入并发展了代数函数论，从而使代数曲线的研究获得了一个关键性的突破。黎曼把他的函数定义在复数平面的某种多层复迭平面上，从而引入了所谓黎曼曲面的概念。运用这个概念，黎曼定义了代数曲线的一个最重要的数值不变量：亏格。这也是代数几何历史上出现的第一个绝对不变量。

在黎曼之后，德国数学家诺特等人用几何方法获得了代数曲线的许多深刻的性质。诺特还对代数曲面的性质进行了研究。他的成果给以后意大利学派的工作建立了基础。

从19世纪末开始，出现了以卡斯特尔诺沃、恩里奎斯和塞维里为代表的意大利学派以及以庞加莱、皮卡和莱夫谢茨为代表的法国学派。他们对复数域上的低维代数簇的分类作了许多非常重要的工作，特别是建立了被认为是代数几何中最漂亮的理论之一的代数曲面分类理论。但是由于早期的代数几何研究缺乏一个严格的理论基础，这些工作中存在不少漏洞和错误，其中个别漏洞直到目前还没有得到弥补。

20世纪以来代数几何最重要的进展之一是它在最一般情形下的理论基础的建立。20世纪30年代，扎里斯基和范?德?瓦尔登等首先在代数几何研究中引进了交换代数的方法。在此基础上，韦伊在40年代利用抽象代数的方法建立了抽象域上的代数几何理论，然后20世纪50年代中期，法国数学家塞尔把代数簇的理论建立在层的概念上，并建立了凝聚层的上同调理论，这个为格罗腾迪克随后建立概型理论奠定了基础。概型理论的建立使代数几何的研究进入了一个全新的阶段。

代数几何学中要证明的定理多半是纯几何的，在论证中虽然使用坐标法，但是采用坐标法多建立在射影坐标系的基础上。

在解析几何中，主要是研究一次曲线和曲面、二次曲线和曲面。而在代数几何中主要是研究三次、四次的曲线和曲面以及它们的分类，继而过渡到研究任意的代数流形。

代数几何与数学的许多分支学科有着广泛的联系，如数论、解析几何、微分几何、交换代数、代数群、拓扑学等。代数几何的发展和这些学科的发展起着相互促进的作用。同时，作为一门理论学科，代数几何的应用前景也开始受到人们的注意，其中的一个显著的例子是代数几何在控制论中的应用。

近年来，人们在现代粒子物理的最新的超弦理论中已广泛应用代数几何工具，这预示着抽象的代数几何学将对现代物理学的发展发挥重要的作用。

微积分学

微积分学是微分学和积分学的总称。

客观世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始终都在运动和变化着。因此在数学中引入了变量的概念后，就有可能把运动现象用数学来加以描述了。

由于函数概念的产生和运用的加深，也由于科学技术发展的需要，一门新的数学分支就继解析几何之后产生了，这就是微积分学。微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重要的，可以说它是继欧氏几何后，全部数学中的最大的一个创造。

微积分学的建立

从微积分成为一门学科来说，是在十七世纪，但是，微分和积分的思想在古代就已经产生了。

公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想。作为微分学基础的极限理论来说，早在古代以有比较清楚的论述。比如我国的庄周所著的《庄子》一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。三国时期的刘徽在他的割圆术中提到“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣。”这些都是朴素的、也是很典型的极限概念。

到了十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题也就成了促使微积分产生的因素。归结起来，大约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题。第二类问题是求曲线的切线的问题。第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。

十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作，如法国的费尔玛、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论。为微积分的创立做出了贡献。

十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作，虽然这只是十分初步的工作。他们的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起，一个是切线问题（微分学的中心问题），一个是求积问题（积分学的中心问题）。

牛顿和莱布尼茨建立微积分的出发点是直观的无穷小量，因此这门学科早期也称为无穷小分析，这正是现在数学中分析学这一大分支名称的来源。牛顿研究微积分着重于从运动学来考虑，莱布尼茨却是侧重于几何学来考虑的。

牛顿在1671年写了《流数法和无穷级数》，这本书直到1736年才出版，它在这本书里指出，变量是由点、线、面的连续运动产生的，否定了以前自己认为的变量是无穷小元素的静止集合。他把连续变量叫做流动量，把这些流动量的导数叫做流数。牛顿在流数术中所提出的中心问题是：已知连续运动的路径，求给定时刻的速度（微分法）；已知运动的速度求给定时间内经过的路程（积分法）。

德国的莱布尼茨是一个博才多学的学者，1684年，他发表了现在世界上认为是最早的微积分文献，这篇文章有一个很长而且很古怪的名字《一种求极大极小和切线的新方法，它也适用于分式和无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算》。就是这样一片说理也颇含糊的文章，却有划时代的意义。他以含有现代的微分符号和基本微分法则。1686年，莱布尼茨发表了第一篇积分学的文献。他是历史上最伟大的符号学者之一，他所创设的微积分符号，远远优于牛顿的符号，这对微积分的发展有极大的影响。现在我们使用的微积分通用符号就是当时莱布尼茨精心选用的。

微积分学的创立，极大地推动了数学的发展，过去很多初等数学束手无策的问题，运用微积分，往往迎刃而解，显示出微积分学的非凡威力。

前面已经提到，一门科学的创立决不是某一个人的业绩，他必定是经过多少人的努力后，在积累了大量成果的基础上，最后由某个人或几个人总结完成的。微积分也是这样。

不幸的事，由于人们在欣赏微积分的宏伟功效之余，在提出谁是这门学科的创立者的时候，竟然引起了一场悍然大波，造成了欧洲大陆的数学家和英国数学家的长期对立。英国数学在一个时期里闭关锁国，囿于民族偏见，过于拘泥在牛顿的“流数术”中停步不前，因而数学发展整整落后了一百年。

其实，牛顿和莱布尼茨分别是自己独立研究，在大体上相近的时间里先后完成的。比较特殊的是牛顿创立微积分要比莱布尼词早10年左右，但是整是公开发表微积分这一理论，莱布尼茨却要比牛顿发表早三年。他们的研究各有长处，也都各有短处。那时候，由于民族偏见，关于发明优先权的争论竟从1699年始延续了一百多年。

应该指出，这是和历史上任何一项重大理论的完成都要经历一段时间一样，牛顿和莱布尼茨的工作也都是很不完善的。他们在无穷和无穷小量这个问题上，其说不一，十分含糊。牛顿的无穷小量，有时候是零，有时候不是零而是有限的小量；莱布尼茨的也不能自圆其说。这些基础方面的缺陷，最终导致了第二次数学危机的产生。

直到19世纪初，法国科学学院的科学家以柯西为首，对微积分的理论进行了认真研究，建立了极限理论，後来又经过德国数学家维尔斯特拉斯进一步的严格化，使极限理论成为了微积分的坚定基础。才使微积分进一步的发展开来。

任何新兴的、具有无量前途的科学成就都吸引着广大的科学工作者。在微积分的历史上也闪烁着这样的一些明星：瑞士的雅科布?贝努利和他的兄弟约翰?贝努利、欧拉、法国的拉格朗日、科西……

欧氏几何也好，上古和中世纪的代数学也好，都是一种常量数学，微积分才是真正的变量数学，是数学中的大革命。微积分是高等数学的主要分支，不只是局限在解决力学中的变速问题，它驰骋在近代和现代科学技术园地里，建立了数不清的丰功伟绩。

微积分的基本内容

研究函数，从量的方面研究事物运动变化是微积分的基本方法。这种方法叫做数学分析。

本来从广义上说，数学分析包括微积分、函数论等许多分支学科，但是现在一般已习惯于把数学分析和微积分等同起来，数学分析成了微积分的同义词，一提数学分析就知道是指微积分。微积分的基本概念和内容包括微分学和积分学。

微分学的主要内容包括：极限理论、导数、微分等。

积分学的主要内容包括：定积分、不定积分等。

微积分是与应用联系着发展起来的，最初牛顿应用微积分学及微分方程为了从万有引力定律导出了开普勒行星运动三定律。此后，微积分学极大的推动了数学的发展，同时也极大的推动了天文学、力学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支中的发展。并在这些学科中有越来越广泛的应用，特别是计算机的出现更有助于这些应用的不断发展。

实变函数论

实变函数论的产生

微积分产生于十七世纪，到了十八世纪末十九世纪初，微积分学已经基本上成熟了。数学家广泛地研究并建立起它的许多分支，是它很快就形成了数学中的一大部门，也就是数学分析。

也正是在那个时候，数学家逐渐发现分析基础本身还存在着学多问题。比如，什么是函数这个看上去简单而且十分重要的问题，数学界并没有形成一致的见解。以至长期争论者问题的这样和那样的解答，这样和那样的数学结果，弄不清究竟谁是正确的。又如，对于什么是连续性和连续函数的性质是什么，数学界也没有足够清晰的理解。

十九世纪初，曾经有人试图证明任何连续函数除个别点外总是可微的。后来，德国数学家维尔斯特拉斯提出了一个由级数定义的函数，这个函数是连续函数，但是维尔斯特拉斯证明了这个函数在任何点上都没有导数。这个证明使许多数学家大为吃惊。

由于发现了某些函数的奇特性质，数学家对函数的研究更加深入了。人们又陆续发现了有些函数是连续的但处处不可微，有的函数的有限导数并不黎曼可积；还发现了连续但是不分段单调的函数等等。这些都促使数学家考虑，我们要处理的函数，仅仅依靠直观观察和猜测是不行的，必须深入研究各种函数的性质。比如，连续函数必定可积，但是具有什么性质的不连续函数也可积呢？如果改变积分的定义，可积分条件又是什么样的？连续函数不一定可导，那么可导的充分必要条件由是什么样的？……

上面这些函数性质问题的研究，逐渐产生了新的理论，并形成了一门新的学科，这就是实变函数。

实变函数的内容

以实数作为自变量的函数就做实变函数，以实变函数作为研究对象的数学分支就叫做实变函数论。它是微积分学的进一步发展，它的基础是点集论。什么是点集论呢？点集论是专门研究点所成的集合的性质的理论。也可以说实变函数论是在点集论的基础上研究分析数学中的一些最基本的概念和性质的。比如，点集函数、序列、极限、连续性、可微性、积分等。实变函数论还要研究实变函数的分类问题、结构问题。

实变函数论的内容包括实值函数的连续性质、微分理论、积分理论和测度论等。这里我们只对它的一些重要的基本概念作简要的介绍。

实变函数论的积分理论研究各种积分的推广方法和它们的运算规则。由于积分归根到底是数的运算，所以在进行积分的时候，必须给各种点集以一个数量的概念，这个概念叫做测度。

什么实测度呢？简单地说，一条线段的长度就是它的测度。测度的概念对于实变函数论十分重要。集合的测度这个概念实由法国数学家勒贝格提出来的。

为了推广积分概念，1893年，约当在他所写的《分析教程》中，提出了“约当容度”的概念并用来讨论积分。1898年，法国数学家波莱尔把容度的概念作了改进，并把它叫做测度。波莱尔的学生勒贝格后来发表《积分、长度、面积》的论文，提出了“勒贝格测度”、“勒贝格积分”的概念。勒贝格还在他的论文《积分和圆函数的研究》中，证明了有界函数黎曼可积的充分必要条件是不连续点构成一个零测度集，这就完全解决了黎曼可积性的问题。

勒贝格积分可以推广到无界函数的情形，这个时候所得积分是绝对收敛的，后来由推广到积分可以不是绝对收敛的。从这些就可以看出，勒贝格积分比起由柯西给出后来又由黎曼发扬的老积分定义广大多了。也可以看出，实变函数论所研究的是更为广泛的函数类。

自从维尔斯特拉斯证明连续函数必定可以表示成一致收敛的多项式级数，人们就认清连续函数必定可以解析地表达出来，连续函数也必定可以用多项式来逼近。这样，在实变函数论的领域里又出现了逼近论的理论。

什么是逼近理论呢？举例来说，如果能把 A类函数表示成 B类函数的极限，就说 A类函数能以 B类函数来逼近。如果已经掌握了 B类函数的某些性质，那么往往可以由此推出 A类函数的相应性质。逼近论就是研究那一类函数可以用另一类函数来逼近、逼近的方法、逼近的程度和在逼近中出现的各种情况。

和逼近理论密切相关的有正交级数理论，三角级数就是一种正交级数。和逼近理论相关的还有一种理论，就是从某一类已知函数出发构造出新的函数类型的理论，这种理论叫做函数构造论。

总之，实变函数论和古典数学分析不同，它是一种比较高深精细的理论，是数学的一个重要分支，它的应用广泛，它在数学各个分支的应用是现代数学的特征。

实变函数论不仅应用广泛，是某些数学分支的基本工具，而且它的观念和方法以及它在各个数学分支的应用，对形成近代数学的一般拓扑学和泛涵分析两个重要分支有着极为重要的影响。

常微分方程

微分方程的概念

方程对于学过中学数学的人来说是比较熟悉的；在初等数学中就有各种各样的方程，比如线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。这些方程都是要把研究的问题中的已知数和未知数之间的关系找出来，列出包含一个未知数或几个未知数的一个或者多个方程式，然后取求方程的解。

但是在实际工作中，常常出现一些特点和以上方程完全不同的问题。比如：物质在一定条件下的运动变化，要寻求它的运动、变化的规律；某个物体在重力作用下自由下落，要寻求下落距离随时间变化的规律；火箭在发动机推动下在空间飞行，要寻求它飞行的轨道，等等。

物质运动和它的变化规律在数学上是用函数关系来描述的，因此，这类问题就是要去寻求满足某些条件的一个或者几个未知函数。也就是说，凡是这类问题都不是简单地去求一个或者几个固定不变的数值，而是要求一个或者几个未知的函数。

解这类问题的基本思想和初等数学解方程的基本思想很相似，也是要把研究的问题中已知函数和未知函数之间的关系找出来，从列出的包含未知函数的一个或几个方程中去求得未知函数的表达式。但是无论在方程的形式、求解的具体方法、求出解的性质等方面，都和初等数学中的解方程有许多不同的地方。

在数学上，解这类方程，要用到微分和导数的知识。因此，凡是表示未知函数的导数以及自变量之间的关系的方程，就叫做微分方程。

微分方程差不多是和微积分同时先后产生的，苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候，就讨论过微分方程的近似解。牛顿在建立微积分的同时，对简单的微分方程用级数来求解。后来瑞士数学家雅各布?贝努利、欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论。

常微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物理学，以及其他科学技术的发展密切相关的。数学的其他分支的新发展，如复变函数、李群、组合拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深刻的影响，当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具。

牛顿研究天体力学和机械力学的时候，利用了微分方程这个工具，从理论上得到了行星运动规律。后来，法国天文学家勒维烈和英国天文学家亚当斯使用微分方程各自计算出那时尚未发现的海王星的位置。这些都使数学家更加深信微分方程在认识自然、改造自然方面的巨大力量。

微分方程的理论逐步完善的时候，利用它就可以精确地表述事物变化所遵循的基本规律，只要列出相应的微分方程，有了解方程的方法。微分方程也就成了最有生命力的数学分支。

常微分方程的内容

如果在一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量，这个方程就叫做常微分方程，也可以简单地叫做微分方程。

一般地说，n 阶微分方程的解含有 n个任意常数。也就是说，微分方程的解中含有任意常数的个数和方程的解数相同，这种解叫做微分方程的通解。通解构成一个函数族。

如果根据实际问题要求出其中满足某种指定条件的解来，那么求这种解的问题叫做定解问题，对于一个常微分方程的满足定解条件的解叫做特解。对于高阶微分方程可以引入新的未知函数，把它化为多个一阶微分方程组。

常微分方程的特点

常微分方程的概念、解法、和其它理论很多，比如，方程和方程组的种类及解法、解的存在性和唯一性、奇解、定性理论等等。下面就方程解的有关几点简述一下，以了解常微分方程的特点。

求通解在历史上曾作为微分方程的主要目标，一旦求出通解的表达式，就容易从中得到问题所需要的特解。也可以由通解的表达式，了解对某些参数的依赖情况，便于参数取值适宜，使它对应的解具有所需要的性能，还有助于进行关于解的其他研究。

后来的发展表明，能够求出通解的情况不多，在实际应用中所需要的多是求满足某种指定条件的特解。当然，通解是有助于研究解的属性的，但是人们已把研究重点转移到定解问题上来。

一个常微分方程是不是有特解呢？如果有，又有几个呢？这是微分方程论中一个基本的问题，数学家把它归纳成基本定理，叫做存在和唯一性定理。因为如果没有解，而我们要去求解，那是没有意义的；如果有解而又不是唯一的，那又不好确定。因此，存在和唯一性定理对于微分方程的求解是十分重要的。

大部分的常微分方程求不出十分精确的解，而只能得到近似解。当然，这个近似解的精确程度是比较高的。另外还应该指出，用来描述物理过程的微分方程，以及由试验测定的初始条件也是近似的，这种近似之间的影响和变化还必须在理论上加以解决。

现在，常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用，自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等。这些问题都可以化为求常微分方程的解，或者化为研究解的性质的问题。应该说，应用常微分方程理论已经取得了很大的成就，但是，它的现有理论也还远远不能满足需要，还有待于进一步的发展，使这门学科的理论更加完善。

概率和数理统计

从随机现象说起

在自然界和现实生活中，一些事物都是相互联系和不断发展的。在它们彼此间的联系和发展中，根据它们是否有必然的因果联系，可以分成截然不同的两大类：一类是确定性的现象。这类现象是在一定条件下，必定会导致某种确定的结果。举例来说，在标准大气压下，水加热到100摄氏度，就必然会沸腾。事物间的这种联系是属于必然性的。通常的自然科学各学科就是专门研究和认识这种必然性的，寻求这类必然现象的因果关系，把握它们之间的数量规律。

另一类是不确定性的现象。这类现象是在一定条件下，它的结果是不确定的。举例来说，同一个工人在同一台机床上加工同一种零件若干个，它们的尺寸总会有一点差异。又如，在同样条件下，进行小麦品种的人工催芽试验，各棵种子的发芽情况也不尽相同，有强弱和早晚的分别等等。为什么在相同的情况下，会出现这种不确定的结果呢？这是因为，我们说的“相同条件”是指一些主要条件来说的，除了这些主要条件外，还会有许多次要条件和偶然因素又是人们无法事先一一能够掌握的。正因为这样，我们在这一类现象中，就无法用必然性的因果关系，对个别现象的结果事先做出确定的答案。事物间的这种关系是属于偶然性的，这种现象叫做偶然现象，或者叫做随机现象。

在自然界，在生产、生活中，随机现象十分普遍，也就是说随机现象是大量存在的。比如：每期体育彩票的中奖号码、同一条生产线上生产的灯泡的寿命等，都是随机现象。因此，我们说：随机现象就是：在同样条件下，多次进行同一试验或调查同一现象，所的结果不完全一样，而且无法准确地预测下一次所得结果的现象。随机现象这种结果的不确定性，是由于一些次要的、偶然的因素影响所造成的。

随机现象从表面上看，似乎是杂乱无章的、没有什么规律的现象。但实践证明，如果同类的随机现象大量重复出现，它的总体就呈现出一定的规律性。大量同类随机现象所呈现的这种规律性，随着我们观察的次数的增多而愈加明显。比如掷硬币，每一次投掷很难判断是那一面朝上，但是如果多次重复的掷这枚硬币，就会越来越清楚的发现它们朝上的次数大体相同。

我们把这种由大量同类随机现象所呈现出来的集体规律性，叫做统计规律性。概率论和数理统计就是研究大量同类随机现象的统计规律性的数学学科。

概率论的产生和发展

概率论产生于十七世纪，本来是又保险事业的发展而产生的，但是来自于赌博者的请求，却是数学家们思考概率论中问题的源泉。

早在1654年，有一个赌徒梅累向当时的数学家帕斯卡提出一个使他苦恼了很久的问题：“两个赌徒相约赌若干局，谁先赢 m局就算赢，全部赌本就归谁。但是当其中一个人赢了 a (a 三年后，也就是1657年，荷兰著名的天文、物理兼数学家惠更斯企图自己解决这一问题，结果写成了《论机会游戏的计算》一书，这就是最早的概率论著作。

近几十年来，随着科技的蓬勃发展，概率论大量应用到国民经济、工农业生产及各学科领域。许多兴起的应用数学，如信息论、对策论、排队论、控制论等，都是以概率论作为基础的。

概率论和数理统计是一门随机数学分支，它们是密切联系的同类学科。但是应该指出，概率论、数理统计、统计方法又都各有它们自己所包含的不同内容。

概率论──是根据大量同类随机现象的统计规律，对随机现象出现某一结果的可能性作出一种客观的科学判断，对这种出现的可能性大小做出数量上的描述；比较这些可能性的大小、研究它们之间的联系，从而形成一整套数学理论和方法。

数理统计──是应用概率的理论来研究大量随机现象的规律性；对通过科学安排的一定数量的实验所得到的统计方法给出严格的理论证明；并判定各种方法应用的条件以及方法、公式、结论的可靠程度和局限性。使我们能从一组样本来判定是否能以相当大的概率来保证某一判断是正确的，并可以控制发生错误的概率。

统计方法──是一上提供的方法在各种具体问题中的应用，它不去注意这些方法的的理论根据、数学论证。

应该指出，概率统计在研究方法上有它的特殊性，和其它数学学科的主要不同点有：

第一，由于随机现象的统计规律是一种集体规律，必须在大量同类随机现象中才能呈现出来，所以，观察、试验、调查就是概率统计这门学科研究方法的基石。但是，作为数学学科的一个分支，它依然具有本学科的定义、公理、定理的，这些定义、公理、定理是来源于自然界的随机规律，但这些定义、公理、定理是确定的，不存在任何随机性。

第二，在研究概率统计中，使用的是“由部分推断全体”的统计推断方法。这是因为它研究的对象──随机现象的范围是很大的，在进行试验、观测的时候，不可能也不必要全部进行。但是由这一部分资料所得出的一些结论，要全体范围内推断这些结论的可靠性。

第三，随机现象的随机性，是指试验、调查之前来说的。而真正得出结果后，对于每一次试验，它只可能得到这些不确定结果中的某一种确定结果。我们在研究这一现象时，应当注意在试验前能不能对这一现象找出它本身的内在规律。

概率论的内容

概率论作为一门数学分支，它所研究的内容一般包括随机事件的概率、统计独立性和更深层次上的规律性。

概率是随机事件发生的可能性的数量指标。在独立随机事件中，如果某一事件在全部事件中出现的频率，在更大的范围内比较明显的稳定在某一固定常数附近。就可以认为这个事件发生的概率为这个常数。对于任何事件的概率值一定介于 0和 1之间。

有一类随机事件，它具有两个特点：第一，只有有限个可能的结果；第二，各个结果发生的可能性相同。具有这两个特点的随机现象叫做“古典概型”。

在客观世界中，存在大量的随机现象，随机现象产生的结果构成了随机事件。如果用变量来描述随机现象的各个结果，就叫做随机变量。

随机变量有有限和无限的区分，一般又根据变量的取值情况分成离散型随机变量和非离散型随机变量。一切可能的取值能够按一定次序一一列举，这样的随机变量叫做离散型随机变量；如果可能的取值充满了一个区间，无法按次序一一列举，这种随机变量就叫做非离散型随机变量。

在离散型随机变量的概率分布中，比较简单而应用广泛的是二项式分布。如果随机变量是连续的，都有一个分布曲线，实践和理论都证明：有一种特殊而常用的分布，它的分布曲线是有规律的，这就是正态分布。正态分布曲线取决于这个随机变量的一些表征数，其中最重要的是平均值和差异度。平均值也叫数学期望，差异度也就是标准方差。

数理统计的内容

数理统计包括抽样、适线问题、假设检验、方差分析、相关分析等内容。抽样检验是要通过对子样的调查，来推断总体的情况。究竟抽样多少，这是十分重要的问题，因此，在抽样检查中就产生了“小样理论”，这是在子样很小的情况下，进行分析判断的理论。

适线问题也叫曲线拟和。有些问题需要根据积累的经验数据来求出理论分布曲线，从而使整个问题得到了解。但根据什么原则求理论曲线？如何比较同一问题中求出的几种不同曲线？选配好曲线，有如何判断它们的误差？……就属于数理统计中的适线问题的讨论范围。

假设检验是只在用数理统计方法检验产品的时候，先作出假设，在根据抽样的结果在一定可靠程度上对原假设做出判断。

方差分析也叫做离差分析，就是用方差的概念去分析由少数试验就可以做出的判断。

由于随机现象在人类的实际活动中大量存在，概率统计随着现代工农业、近代科技的发展而不断发展，因而形成了许多重要分支。如：随机过程、信息论、极限理论、试验设计、多元分析等。

数理逻辑

逻辑是探索、阐述和确立有效推理原则的学科，最早由古希腊学者亚里士多德创建的。用数学的方法研究关于推理、证明等问题的学科就叫做数理逻辑。也叫做符号逻辑。

数理逻辑的产生

利用计算的方法来代替人们思维中的逻辑推理过程，这种想法早在十七世纪就有人提出过。莱布尼茨就曾经射向果能不能创造一种“通用的科学语言”，可以把推理过程象数学一样利用公式来进行计算，从而得出正确的结论。由于当时的社会条件，他的想法并没有实现。但是它的思想却是现代数理逻辑部分内容的萌芽，从这个意义上讲，莱布尼茨的思想可以说是数理逻辑的先驱。

1847年，英国数学家布尔发表了《逻辑的数学分析》，建立了“布尔代数”，并创造一套符号系统，利用符号来表示逻辑中的各种概念。布尔建立了一系列的运算法则，利用代数的方法研究逻辑问题，初步奠定了数理逻辑的基础。

十九世纪末二十世纪初，数理逻辑有了比较大的发展，1884年，德国数学家弗雷格出版了《数论的基础》一书，在书中引入量词的符号，使得数理逻辑的符号系统更加完备。对建立这门学科做出贡献的，还有美国人皮尔斯，他也在著作中引入了逻辑符号。从而使现代数理逻辑最基本的理论基础逐步形成，成为一门独立的学科。

数理逻辑的内容

数理逻辑包括哪些内容呢？这里我们先介绍它的两个最基本的也是最重要的组成部分，就是“命题演算”和“谓词演算”。

命题演算是研究关于命题如何通过一些逻辑连接词构成更复杂的命题以及逻辑推理的方法。命题是指具有具体意义的又能判断它是真还是假的句子。

如果我们把命题看作运算的对象，如同代数中的数字、字母或代数式，而把逻辑连接词看作运算符号，就象代数中的“加、减、乘、除”那样，那么由简单命题组成复和命题的过程，就可以当作逻辑运算的过程，也就是命题的演算。

这样的逻辑运算也同代数运算一样具有一定的性质，满足一定的运算规律。例如满足交换律、结合律、分配律，同时也满足逻辑上的同一律、吸收律、双否定律、狄摩根定律、三段论定律等等。利用这些定律，我们可以进行逻辑推理，可以简化复和命题，可以推证两个复合命题是不是等价，也就是它们的真值表是不是完全相同等等。

命题演算的一个具体模型就是逻辑代数。逻辑代数也叫做开关代数，它的基本运算是逻辑加、逻辑乘和逻辑费，也就是命题演算中的“或”、“与”、“非”，运算对象只有两个数 0和 1，相当于命题演算中的“真”和“假”。

逻辑代数的运算特点如同电路分析中的开和关、高电位和低电位、导电和截至等现象完全一样，都只有两种不同的状态，因此，它在电路分析中得到广泛的应用。

利用电子元件可以组成相当于逻辑加、逻辑成和逻辑非的门电路，就是逻辑元件。还能把简单的逻辑元件组成各种逻辑网络，这样任何复杂的逻辑关系都可以有逻辑元件经过适当的组合来实现，从而使电子元件具有逻辑判断的功能。因此，在自动控制方面有重要的应用。

谓词演算也叫做命题涵项演算。在谓词演算里，把命题的内部结构分析成具有主词和谓词的逻辑形式，由命题涵项、逻辑连接词和量词构成命题，然后研究这样的命题之间的逻辑推理关系。

命题涵项就是指除了含有常项以外还含有变项的逻辑公式。常项是指一些确定的对象或者确定的属性和关系；变项是指一定范围内的任何一个，这个范围叫做变项的变域。命题涵项和命题演算不同，它无所谓真和假。如果以一定的对象概念代替变项，那么命题涵项就成为真的或假的命题了。

命题涵项加上全程量词或者存在量词，那么它就成为全称命题或者特称命题了。

数理逻辑的发展

数理逻辑这门学科建立以后，发展比较迅速，促进它发展的因素也是多方面的。比如，非欧几何的建立，促进人们去研究非欧几何和欧氏几何的无矛盾性，就促进了数理逻辑的发展。

集合论的产生是近代数学发展的重大事件，但是在集合论的研究过程中，出现了一次称作数学史上的第三次大危机。这次危机是由于发现了集合论的悖论引起。什么是悖论呢？悖论就是逻辑矛盾。集合论本来是论证很严格的一个分支，被公认为是数学的基础。

1903年，英国唯心主义哲学家、逻辑学家、数学家罗素却对集合论提出了以他名字命名的“罗素悖论”，这个悖论的提出几乎动摇了整个数学基础。

罗素悖论中有许多例子，其中一个很通俗也很有名的例子就是“理发师悖论”：某乡村有一位理发师，有一天他宣布：只给不自己刮胡子的人刮胡子。那么就产生了一个问题：理发师究竟给不给自己刮胡子？如果他给自己刮胡子，他就是自己刮胡子的人，按照他的原则，他又不该给自己刮胡子；如果他不给自己刮胡子，那么他就是不自己刮胡子的人，按照他的原则，他又应该给自己刮胡子。这就产生了矛盾。

悖论的提出，促使许多数学家去研究集合论的无矛盾性问题，从而产生了数理逻辑的一个重要分支—公理集合论。

非欧几何的产生和集合论的悖论的发现，说明数学本身还存在许多问题，为了研究数学系统的无矛盾性问题，需要以数学理论体系的概念、命题、证明等作为研究对象，研究数学系统的逻辑结构和证明的规律，这样又产生了数理逻辑的另一个分支—证明论。

数理逻辑新近还发展了许多新的分支，如递归论、模型论等。第归论主要研究可计算性的理论，他和计算机的发展和应用有密切的关系。模型论主要是研究形式系统和数学模型之间的关系。

数理逻辑近年来发展特别迅速，主要原因是这门学科对于数学其它分支如集合论、数论、代数、拓扑学等的发展有重大的影响，特别是对新近形成的计算机科学的发展起了推动作用。反过来，其他学科的发展也推动了数理逻辑的发展。

正因为它是以门新近兴起而又发展很快的学科，所以它本身也存在许多问题有待于深入研究。现在许多数学家正针对数理逻辑本身的问题，进行研究解决。

总之，这门学科的重要性已经十分明显，他已经引起了更多人的关心和重视。

模糊数学

二十世纪六十年代，产生了模糊数学这门新兴学科。

模糊数学的产生

现代数学是建立在集合论的基础上。集合论的重要意义就一个侧面看，在与它把数学的抽象能力延伸到人类认识过程的深处。一组对象确定一组属性，人们可以通过说明属性来说明概念（内涵），也可以通过指明对象来说明它。符合概念的那些对象的全体叫做这个概念的外延，外延其实就是集合。从这个意义上讲，集合可以表现概念，而集合论中的关系和运算又可以表现判断和推理，一切现实的理论系统都一可能纳入集合描述的数学框架。

但是，数学的发展也是阶段性的。经典集合论只能把自己的表现力限制在那些有明确外延的概念和事物上，它明确地限定：每个集合都必须由明确的元素构成，元素对集合的隶属关系必须是明确的，决不能模棱两可。对于那些外延不分明的概念和事物，经典集合论是暂时不去反映的，属于待发展的范畴。

在较长时间里，精确数学及随机数学在描述自然界多种事物的运动规律中，获得显著效果。但是，在客观世界中还普遍存在着大量的模糊现象。以前人们回避它，但是，由于现代科技所面对的系统日益复杂，模糊性总是伴随着复杂性出现。

各门学科，尤其是人文、社会学科及其它“软科学”的数学化、定量化趋向把模糊性的数学处理问题推向中心地位。更重要的是，随着电子计算机、控制论、系统科学的迅速发展，要使计算机能像人脑那样对复杂事物具有识别能力，就必须研究和处理模糊性。

当我们研究人类系统的行为，或者处理可与人类系统行为相比拟的复杂系统，如航天系统、人脑系统、社会系统等，参数和变量甚多，各种因素相互交错，系统很复杂，它的模糊性也很明显。从认识方面说，模糊性是指概念外延的不确定性，从而造成判断的不确定性。

在日常生活中，经常遇到许多模糊事物，没有分明的数量界限，要使用一些模糊的词句来形容、描述。比如，比较年轻、高个、大胖子、好、漂亮、善、热、远……。在人们的工作经验中，往往也有许多模糊的东西。例如，要确定一炉钢水是否已经炼好，除了要知道钢水的温度、成分比例和冶炼时间等精确信息外，还需要参考钢水颜色、沸腾情况等模糊信息。因此，除了很早就有涉及误差的计算数学之外，还需要模糊数学。

人与计算机相比，一般来说，人脑具有处理模糊信息的能力，善于判断和处理模糊现象。但计算机对模糊现象识别能力较差，为了提高计算机识别模糊现象的能力，就需要把人们常用的模糊语言设计成机器能接受的指令和程序，以便机器能像人脑那样简洁灵活的做出相应的判断，从而提高自动识别和控制模糊现象的效率。这样，就需要寻找一种描述和加工模糊信息的数学工具，这就推动数学家深入研究模糊数学。所以，模糊数学的产生是有其科学技术与数学发展的必然性。

模糊数学的研究内容

1965年，美国控制论专家、数学家查德发表了论文《模糊集合》，标志着模糊数学这门学科的诞生。

模糊数学的研究内容主要有以下三个方面：

第一，研究模糊数学的理论，以及它和精确数学、随机数学的关系。察德以精确数学集合论为基础，并考虑到对数学的集合概念进行修改和推广。他提出用“模糊集合”作为表现模糊事物的数学模型。并在“模糊集合”上逐步建立运算、变换规律，开展有关的理论研究，就有可能构造出研究现实世界中的大量模糊的数学基础，能够对看来相当复杂的模糊系统进行定量的描述和处理的数学方法。

在模糊集合中，给定范围内元素对它的隶属关系不一定只有“是”或“否”两种情况，而是用介于0和1之间的实数来表示隶属程度，还存在中间过渡状态。比如“老人”是个模糊概念，70岁的肯定属于老人，它的从属程度是 1，40岁的人肯定不算老人，它的从属程度为 0，按照查德给出的公式，55岁属于“老”的程度为0.5，即“半老”，60岁属于“老”的程度0.8。查德认为，指明各个元素的隶属集合，就等于指定了一个集合。 当隶属于0和1之间值时，就是模糊集合。

第二，研究模糊语言学和模糊逻辑。人类自然语言具有模糊性，人们经常接受模糊语言与模糊信息，并能做出正确的识别和判断。

为了实现用自然语言跟计算机进行直接对话，就必须把人类的语言和思维过程提炼成数学模型，才能给计算机输入指令，建立和是的模糊数学模型，这是运用数学方法的关键。查德采用模糊集合理论来建立模糊语言的数学模型，使人类语言数量化、形式化。

如果我们把合乎语法的标准句子的从属函数值定为1，那么，其他文法稍有错误，但尚能表达相仿的思想的句子，就可以用以0到1之间的连续数来表征它从属于“正确句子”的隶属程度。这样，就把模糊语言进行定量描述，并定出一套运算、变换规则。目前，模糊语言还很不成熟，语言学家正在深入研究。

人们的思维活动常常要求概念的确定性和精确性，采用形式逻辑的排中律，既非真既假，然后进行判断和推理，得出结论。现有的计算机都是建立在二值逻辑基础上的，它在处理客观事物的确定性方面，发挥了巨大的作用，但是却不具备处理事物和概念的不确定性或模糊性的能力。

为了使计算机能够模拟人脑高级智能的特点，就必须把计算机转到多值逻辑基础上，研究模糊逻辑。目前，模糊罗基还很不成熟，尚需继续研究。

第三，研究模糊数学的应用。模糊数学是以不确定性的事物为其研究对象的。模糊集合的出现是数学适应描述复杂事物的需要，查德的功绩在于用模糊集合的理论找到解决模糊性对象加以确切化，从而使研究确定性对象的数学与不确定性对象的数学沟通起来，过去精确数学、随机数学描述感到不足之处，就能得到弥补。在模糊数学中，目前已有模糊拓扑学、模糊群论、模糊图论、模糊概率、模糊语言学、模糊逻辑学等分支。

模糊数学的应用

模糊数学是一门新兴学科，它已初步应用于模糊控制、模糊识别、模糊聚类分析、模糊决策、模糊评判、系统理论、信息检索、医学、生物学等各个方面。在气象、结构力学、控制、心理学等方面已有具体的研究成果。然而模糊数学最重要的应用领域是计算机职能，不少人认为它与新一代计算机的研制有密切的联系。

目前，世界上发达国家正积极研究、试制具有智能化的模糊计算机，1986年日本山川烈博士首次试制成功模糊推理机，它的推理速度是1000万次/秒。1988年，我国汪培庄教授指导的几位博士也研制成功一台模糊推理机──分立元件样机，它的推理速度为1500万次/秒。这表明我国在突破模糊信息处理难关方面迈出了重要的一步。

模糊数学还远没有成熟，对它也还存在着不同的意见和看法，有待实践去检验。

数学物理学

数学物理学是以研究物理问题为目标的数学理论和数学方法。它探讨物理现象的数学模型，即寻求物理现象的数学描述，并对模型已确立的物理问题研究其数学解法，然后根据解答来诠释和预见物理现象，或者根据物理事实来修正原有模型。

物理问题的研究一直和数学密切相关。作为近代物理学始点的牛顿力学中，质点和刚体的运动用常微分方程来刻画，求解这些方程就成为牛顿力学中的重要数学问题。这种研究一直持续到今天。例如，天体力学中的三体问题和各种经典的动力系统都是长期研究的对象。

在十八世纪中，牛顿力学的基础开始由变分原理所刻画，这又促进了变分法的发展，并且到后来，许多物理理论都以变分原理作为自己的基础。

十八世纪以来，在连续介质力学、传热学和电磁场理论中，归结出许多偏微分方程通称数学物理方程(也包括有物理意义的积分方程、微分积分方程和常微分方程)。直到二十世纪初期，数学物理方程的研究才成为数学物理的主要内容。

此后，联系于等离子体物理、 固体物理、 非线性光学、空间技术核技术等方面的需要，又有许多新的偏微分方程问题出现，例如孤立子波、间断解、分歧解、反问题等等。它们使数学物理方程的内容进一步丰富起来。复变函数、积分变换、特殊函数、变分法、调和分析、泛函分析以至于微分几何、代数几何都已是研究数学物理方程的有效工具。

从二十世纪开始，由于物理学内容的更新，数学物理也有了新的面貌。伴随着对电磁理论和引力场的深入研究，人们的时空观念发生了根本的变化，这使得闵科夫斯基空间和黎曼空间的几何学成为爱因斯坦狭义相对论和广义相对论所必需的数学理论。许多物理量以向量、张量和旋量作为表达形式在探讨大范围时空结构时，还需要整体微分几何。

量子力学和量子场论的产生，使数学物理添加了非常丰富的内容。在量子力学中物质的态用波函数刻画，物理量成为算子，测量到的物理量是算子的谱。在量子场论中波函数又被二次量子化成为算子，在电磁相互作用、弱相互作用和强相互作用中描述粒子的产生和消灭。

因此，必须研究各种函数空间的算子谱、函数的谱分析和由算子所形成的代数。同时还要研究微扰展开和重正化(处理发散困难)的数学基础。此外，用非微扰方法研究非线性场论也是一个令人注目的课题。

物理对象中揭示出的多种多样的对称性，使得群论显得非常有用。晶体的结构就是由欧几里得空间运动群的若干子群给出。正交群和洛伦茨群的各种表示对讨论具有时空对称性的许多物理问题有很重要的作用。

基本粒子之间，也有种种对称性，可以按群论明确它们的某些关系。对基本粒子的内在对称性的研究更导致了杨-米尔斯理论的产生。它在粒子物理学中意义重大，统一了弱相互作用和电磁相互作用的理论，提供了研究强子结构的工具。这个理论以规范势为出发点，而它就是数学家所研究的纤维丛上的联络(这是现代微分几何学中非常重要的一个概念)。有关纤维丛的拓扑不变量也开始对物理学发挥作用。

微观的物理对象往往有随机性。在经典的统计物理学中需要对各种随机过程的统计规律有深入的研究。

随着电子计算机的发展，数学物理中的许多问题可以通过数值计算来解决，由此发展起来的“计算力学”“计算物理”都发挥着越来越大的作用。计算机直接模拟物理模型也成为重要的方法。此外各种渐近方法也继续获得发展。

科学的发展表明，数学物理的内容将越来越丰富，解决物理问题的能力也越来越强。其他各门科学，如化学生物学、地学、经济学等也广泛地利用数学模型来进行研究。数学物理中的许多方法和结果对这些研究发挥了很好的作用。

在工程科学中，处处需要精确地求解物理问题，所以数学物理对于技术进步也有非常重要的意义。此外，数学物理的研究对数学有很大的促进作用。它是产生数学的新思想、新对象、新问题以及新方法的一个源泉。

数学中的皇冠──数论

人类从学会计数开始就一直和自然数打交道了，后来由于实践的需要，数的概念进一步扩充，自然数被叫做正整数，而把它们的相反数叫做负整数，介于正整数和负整数中间的中性数叫做0。它们和起来叫做整数。

对于整数可以施行加、减、乘、除四种运算，叫做四则运算。其中加法、减法和乘法这三种运算，在整数范围内可以毫无阻碍地进行。也就是说，任意两个或两个以上的整数相加、相减、相乘的时候，它们的和、差、积仍然是一个整数。但整数之间的除法在整数范围内并不一定能够无阻碍地进行。

人们在对整数进行运算的应用和研究中，逐步熟悉了整数的特性。比如，整数可分为两大类—奇数和偶数（通常被称为单数、双数）等。利用整数的一些基本性质，可以进一步探索许多有趣和复杂的数学规律，正是这些特性的魅力，吸引了古往今来许多的数学家不断地研究和探索。

数论这门学科最初是从研究整数开始的，所以叫做整数论。后来整数论又进一步发展，就叫做数论了。确切的说，数论就是一门研究整数性质的学科。

数论的发展简况

自古以来，数学家对于整数性质的研究一直十分重视，但是直到十九世纪，这些研究成果还只是孤立地记载在各个时期的算术著作中，也就是说还没有形成完整统一的学科。

自我国古代，许多著名的数学著作中都关于数论内容的论述，比如求最大公约数、勾股数组、某些不定方程整数解的问题等等。在国外，古希腊时代的数学家对于数论中一个最基本的问题──整除性问题就有系统的研究，关于质数、和数、约数、倍数等一系列概念也已经被提出来应用了。后来的各个时代的数学家也都对整数性质的研究做出过重大的贡献，使数论的基本理论逐步得到完善。

在整数性质的研究中，人们发现质数是构成正整数的基本“材料”，要深入研究整数的性质就必须研究质数的性质。因此关于质数性质的有关问题，一直受到数学家的关注。

到了十八世纪末，历代数学家积累的关于整数性质零散的知识已经十分丰富了，把它们整理加工成为一门系统的学科的条件已经完全成熟了。德国数学家高斯集中前人的大成，写了一本书叫做《算术探讨》，1800年寄给了法国科学院，但是法国科学院拒绝了高斯的这部杰作，高斯只好在1801年自己发表了这部著作。这部书开始了现代数论的新纪元。

在《算术探讨》中，高斯把过去研究整数性质所用的符号标准化了，把当时现存的定理系统化并进行了推广，把要研究的问题和意志的方法进行了分类，还引进了新的方法。

行列式的概念最早是由十七世纪日本数学家关孝和提出来的，他在1683年写了一部叫做《解伏题之法》的著作，标题的意思是“解行列式问题的方法”，书里对行列式的概念和它的展开已经有了清楚的叙述。欧洲第一个提出行列式概念的是德国的数学家莱布尼茨。德国数学家雅可比于1841年总结并提出了行列式的系统理论。

行列式有一定的计算规则，利用行列式可以把一个线性方程组的解表示成公式，因此行列式是解线性方程组的工具。行列式可以把一个线性方程组的解表示成公式，也就是说行列式代表着一个数。

因为行列式要求行数等于列数，排成的表总是正方形的，通过对它的研究又发现了矩阵的理论。矩阵也是由数排成行和列的数表，可以行数和烈数相等也可以不等。

矩阵和行列式是两个完全不同的概念，行列式代表着一个数，而矩阵仅仅是一些数的有顺序的摆法。利用矩阵这个工具，可以把线性方程组中的系数组成向量空间中的向量；这样对于一个多元线性方程组的解的情况，以及不同解之间的关系等等一系列理论上的问题，就都可以得到彻底的解决。矩阵的应用是多方面的，不仅在数学领域里，而且在力学、物理、科技等方面都十分广泛的应用。

代数学研究的对象，不仅是数，也可能是矩阵、向量、向量空间的变换等，对于这些对象，都可以进行运算，虽然也叫做加法或乘法，但是关于数的基本运算定律，有时不再保持有效。因此代数学的内容可以概括称为带有运算的一些集合，在数学中把这样的一些集合，叫做代数系统。比较重要的代数系统有群论、环论、域论。群论是研究数学和物理现象的对称性规律的有力工具。现在群的概念已成为现代数学中最重要的，具有概括性的一个数学的概念，广泛应用于其他部门。

高等代数与其他学科的关系

代数学、几何学、分析数学是数学的三大基础学科，数学的各个分支的发生和发展，基本上都是围绕着这三大学科进行的。那么代数学与另两门学科的区别在哪儿呢？

首先，代数运算是有限次的，而且缺乏连续性的概念，也就是说，代数学主要是关于离散性的。尽管在现实中连续性和不连续性是辩证的统一的，但是为了认识现实，有时候需要把它分成几个部分，然后分别地研究认识，在综合起来，就得到对现实的总的认识。这是我们认识事物的简单但是科学的重要手段，也是代数学的基本思想和方法。代数学注意到离散关系，并不能说明这时它的缺点，时间已经多次、多方位的证明了代数学的这一特点是有效的。

其次，代数学除了对物理、化学等科学有直接的实践意义外，就数学本身来说，代数学也占有重要的地位。代数学中发生的许多新的思想和概念，大大地丰富了数学的许多分支，成为众多学科的共同基础。

数学领域中有些研究成果是以华人命名的，其中著名的有：

华氏定理　数学家华罗庚关于完整三角和的研究成果被国际数学界称为“华氏定理”；另外他与数学家王元提出多重积分近似计算的方法被国际上誉为“华—王方法”。

苏氏锥面　数学家苏步青在仿射微分几何学方面的研究成果在国际上被命名为“苏氏锥面”。

熊氏无穷级　数学家熊庆来关于整函数与无穷级的亚纯函数的研究成果被国际数学界誉为“熊氏无穷级”。

陈示性类　数学家陈省身关于示性类的研究成果被国际上称为“陈示性类”。

周氏坐标　数学家周炜良在代数几何学方面的研究成果被国际数学界称为“周氏坐标”；另外还有以他命名的“周氏定理”和“周氏环”。

吴氏方法　数学家吴文俊关于几何定理机器证明的方法被国际上誉为“吴氏方法”；另外还有以他命名的“吴氏公式”。

王氏悖论　数学家王浩关于数理逻辑的一个命题被国际上定为“王氏悖论”。

柯氏定理　数学家柯召关于卡特兰问题的研究成果被国际数学界称为“柯氏定理”；另外他与数学家孙琦在数论方面的研究成果被国际上称为“柯—孙猜测”。　

陈氏定理　数学家陈景润在哥德巴赫猜想研究中提出的命题被国际数学界誉为“陈氏定理”。

杨—张定理　数学家杨乐和张广厚在函数论方面的研究成果被国际上称为“杨—张定理”。

陆氏猜想　数学家陆启铿关于常曲率流形的研究成果被国际上称为“陆氏猜想”。

夏氏不等式　数学家夏道行在泛函积分和不变测度论方面的研究成果被国际数学界称为“夏氏不等式”。

姜氏空间　数学家姜伯驹关于尼尔森数计算的研究成果被国际上命名为“姜氏空间”；另外还有以他命名的“姜氏子群”。

侯氏定理　数学家侯振挺关于马尔可夫过程的研究成果被国际上命名为“侯氏定理”。

周氏猜测　数学家周海中关于梅森素数分布的研究成果被国际上命名为“周氏猜测”。

王氏定理　数学家王戌堂关于点集拓扑学方面的研究成果被国际数学界誉为“王氏定理”。

袁氏引理　数学家袁亚湘在非线性规划方面的研究成果被国际上命名为“袁氏引理”。

1930年以后，数学逻辑开始成为一个专门学科，得到了蓬勃发展。哥德尔的两个定理证明之后，希尔伯特的有限主义纲领行不通，证明论出现新的情况，主要有两方面：通过放宽有限主义的限制来证明算术无矛盾性以及把证明形式化、标准化，这些主要是在三十年代完成。同时哥德尔引进递归函数，发展成递归论的新分支，开始研究判定问题。而哥德尔本人转向公理集合论的研究，从此出现公理集合论的黄金时代。五十年代模型论应运而生，它与数学有着密切联系，并逐步产生积极的作用。

1、证明论

证明论又称元数学，它研究数学的最基本活动──证明的合理性问题。研究这类数学基础的问题原来一直是哲学家的事，后来才成为数学家的事。这个转变发生在1893年弗雷格发表《算术基础规则》之时，后来希尔伯特和他的许多合作者使这种思想发展成一门学科──元数学，目的是用数学方法来研究整个数学理论。

要使数学理论成为一个合适的研究对象，就必须使之形式化。自从希尔伯特和阿克曼所著《理论逻辑纲要》第一版在1928年出版以来，在实践中用得最多的是具有等式的一阶谓词演算(以及高阶谓词演算)。许多理论可以用一阶理论来表述，它比较简单方便，具有多种形式。

从基础的观点来看，有两个理论最为重要，因而研究也最多。这两个理论就是形式化的皮亚诺算术理论与形式化的集合论。因为大多数现代数学理论都可以在这两个理论范围内发展，所以这两个理论的合理性如果得到证实，也就是向数学的可靠性迈进了一大步。“希尔伯特计划”无非就是要找到一个有限的证明步骤来证明算术的无矛盾性。

这里“有限”的意义是由法国年轻数学家厄布朗明确提出的，他认为下列条件必须满足：必须只讨论确定的有限数目的对象及函数；这些对象及函数要能确定它们的真值产生协调一致的计算结果；一个对象如不指出如何构造它就不能肯定其存在；必须永远不考虑一个无穷集体中所有对象的集合；一个定理对于一组对象都成立的意思是，对于每个特殊的对象，可以重复所讲的普遍论证，而这普遍论证只能看成是结果特殊论证的原型。

数学理论的无矛盾性有了这种有限的、可构造性的论证之后，任何人都可以放心了。希尔伯特计划提出后，几组数学家分别为实现它而努力：一组是希尔伯特及贝耐斯，以及阿克曼关于把数学理论形式化的研究，一组是冯·诺依曼关于算术无矛盾性的初步研究及哥德尔的不完全性定理以及甘岑的最后解决；还有一组是厄布朗及甘岑关于证明的标准形式等的研究。

厄布朗是法国天才的青年数学家，1931年8月在登阿尔卑斯山时遇难，年仅23岁。他对代数数论尤其是数理逻辑进行过重要的研究工作，1929年他在博士论文《证明论研究》中提出他的基本定理。从某种意义上来讲，这个定理是想把谓词演算归结为命题演算。由于前一理论是不可判定的，而后一理论是可判定的，因此这种归结不可能是完全的。

但是，由于厄布朗局限于希尔伯特有限主义立场，他应用的证明方法比较绕弯子。而且在1963年发现，他的证明中有漏洞，他的错误很快就得到了弥补。厄布朗定理可以便我们在证明中摆脱三段论法。他的许多结果，后来也为甘岑独立地得出。

甘岑的自然演绎系统是把数学中的证明加以形式化的结果。他由此得出所谓“主定理”，即任何纯粹逻辑的证明，都可以表示成为某种正规形式，虽然正规形式不一定是唯一的。为了证明这个主定理，他又引进了所谓的式列(Sequenz)演算。

在普通的数学证明中，最常用则是三段论法，即如果A→B，且若A成立，则B成立。其实这就是甘岑推论图中的“断”。但是甘岑的主定理就是从任何证明图中可以消除掉所有的“断”。也就是：如果在一个证明中用到三段论法，那么定理表明，它也可以化成为不用三段论法的证明，也得到同样的结论。

这个定理乍一看来似乎不可理解，其实正如甘岑所说，一个证明图中有三段论法实际上是“绕了弯子”，而不用三段论法是走直路。这种没有三段论法的证明图称为“正规形式”，利用这没有三段论法的证明图称为“正规形式”。利用这个主定理很容易得出许多重要结果，其中之一就是极为简单地证明“一阶谓词演算是无矛盾的”，而且能够推出许多无矛盾性的结果。后来还可以用来证明哥德尔的完全性及不完全性定理，当然，最重要的事还是要证明算术的无矛盾性。

希尔伯特引进证明论的目标是证明整个数学的无矛盾性，其中最重要的是集合论的无矛盾性(至少ZF系统无矛盾)、数学分析的无矛盾性，最基本的当然是算术的无矛盾性。哥德尔的不完全性定理说明，用有限的办法这个目标是达不到的。由于哥德尔不完全定理的冲击，希尔伯特计划需要修改。

有限主义行不通就要用非有限的超穷步骤。1935年，甘岑用超穷归纳法证明自然数算术形式系统的无矛盾性。其后几年，他和其他人又给出了其他的证明。这种放宽了的希尔伯特计划在第二次世界大战之后发展成为证明论的分支，这些证明也推广到分支类型论及其他理论。

甘岑在第二次大战行将结束时去世，他的结果代表当时证明论的最高成就，希尔伯特和贝纳斯的《数学基础》第二卷中总结了他的工作，但是证明论远远未能完成它的最初目标。战后随着模型论和递归论乃至六十年代以来公理集合论的发展，证明论一直进展不大。

五十年代中，日本数学家竹内外史等人开始对于实数理论(或数学分析)的无矛盾性进行探索。因为实数一开始就同有理数的无穷集和有关，描述它的语言用一阶谓词演算就不够了，所以第一步就要先把甘岑的工作推广到高阶谓词演算中去。

1967年，日本年轻数学家高桥元男用非构造的方法证明，单纯类型论中也可以消去三段论法。由此可以推出数学分析子系统的无矛盾性。但是，由于证明不是构造的，数学分析的无矛盾性至今仍然有待解决。

厄布朗及甘岑的结果虽然不可能完成希尔伯特计划的最初目标，但是由于其有限性、可构造性的特点，现在已广泛地应用于机械化证明，成为这门学科的理论基础。

证明论的方法对于数理逻辑本身有很大的推动，特别是得出新的不可判定命题。最近，英国年轻数学家巴黎斯等人有了一项惊人的发现。他们发现了一个在皮亚诺算术中既不能证明也不能否证的纯粹组合问题，这不仅给哥德尔不完全性定理一个具体的实例，而且使人怀疑要解决许多至今尚未解决的数论难题可能都是白费力气。这无疑开辟了证明论一个完全新的方向。

2、递归论

递归论讨论的是从形式上刻划一个运算或一个进程的“能行”性这种直观的观念，也就是从原则上讲，它们能机械地进行而产生一个确定的结果。“能行”的这个概念含有可具体实现的、有效的、有实效的等等意思。法国数学家保莱尔首先在1898年他的函数论教科书中引进了这个词，他把数学的对象局限于能行的对象，这种主张实际上就是“法国经验主义”。因为函数论主要讨论集合、函数、积分等等，从这种观点产生出描述集合论、拜尔函数等概念。

递归论中所讨论的函数是比较简单的。它讨论有效可计算的函数，也就是递归函数。递归函数在历史上曾从不同角度提出来，后来证明它们都是等价的。

1931年秋天，丘奇在普林斯顿开了一门逻辑课，克林和罗塞尔当时作为学生记了笔记。丘奇在讲课中引进了他的系统，并且在其中定义自然数。这就很自然引起一个问题，在丘奇系统中如何发展一个自然数理论。于是克林开始进行研究，结果克林和丘奇得到一类可计算的函数，他们称之为A可定义函数。

1934年春天，哥德尔在普林斯顿做了一系列讲演(克林和罗塞尔记了笔记)。在讲演中，哥德尔引进了另外一套可以精确定义的可计算函数类，他称为一般递归函数。据他讲，他是受了厄布朗的启发得到的。

这时自然出现了一个问题。一般递归函数类是否包括所有能行可计算的函数，它是否与克林与丘奇研究的 A可定义函数类重合。1934年春末，丘奇和哥德尔讨论一般递归函数问题，结果丘奇明确提出他的“论点”，所有直觉上可看成能行可计算函数都是 λ可定义函数，于是丘奇花了好几个月反复思考。当时克林表示怀疑，他认为这论点不太可能是对的，他想如果从A可定义函数类用对角化方法可以得出另外一个能行可计算函数，那么它就不是A可定义的。但他又想到这事行不通。不久之后，丘奇和克林在1936年分别发表论文，证明A可定义函数类正好就是一般递归函数类。有了这个有力的证据，丘奇于是公开发表他的“论点”。

也是在1936年，英国年轻数学家图林发表了另外一篇重要文章，这标志着所谓图林机的产生。在这篇文章中，图林也定义了一类可计算函数，也就是用图林机可以计算的函数。同时，他也提出他的一个论点：“能行可计算的函数”与“用图林机可计算的函数”是一回事。1937年图林证明了用图林机可计算的函数类与可定义函数类是一致的，当然，也就和一般递归函数类相重合。这样一来，丘奇的论点与图林的论点就是一回事。当时许多人对于丘奇的论点表示怀疑，由于图林的思想表述得如此清楚，从而消除了许多人的疑虑，哥德尔就是其中一位。从这时起大家对于丘奇—图林论点一般都抱支持的态度了。

与图林同时，美国数学家波斯特也发表了一篇文章，类似于图林的可计算函数，他的文章过于简短，一直到1943年波斯特才发表了第四个表述，结果证明他的与别人的也都一样。

递归的概念并不难理解，它就是由前面的结果可以递推得到后面的结果。哥德尔等人引进的实际上是一般递归函数，一般递归函数都可以由原始递归函数算出来。

另一个复杂一些的概念称为递归集合S，它的定义是存在一种能行的办法来判断任何正整数n是否属于S。正数集合是递归的当且仅当它与它在N中的补集都是递归可枚举的。任何无穷递归可枚举集都包含一个无穷递归集。但是，存在正整数的递归可枚举集而不是递归集。

于是波斯特提出问题：是否存在两个递归可按举但是非递归的集合，使得第一个集合相对于第二个是递归的，但第二个相对于第一个却不是递归的。一直到十二年后的1956年，苏联人穆其尼克及美国人弗里德伯格才独立地肯定地解决了这个问题。

苏联数学家马尔科夫在1947年发表《算法论》，首先明确提出算法的概念。但是它同以前定义的递归函数及可计算函数的计算过程都是等价的。这几个定义表面上很不相同，并有着十分不同的逻辑出发点，却全都证明是等价的。这件事看来决非巧合。它表明：所有这些定义都是同一个概念，而且这个概念是自然的、基本的、有用的。这就是“算法”概念的精确的数学定义。大家都接受了这个定义之后，判定问题从我们平时直观的概念也上升为精确的数学概念，判定问题也成为一门数理逻辑的重要分支了。从这时起，判定问题有突飞猛进的发展。

判定问题有了精确的数学表述之后，立即在数学基础乃至整个数学中产生了巨大的影响。因为这时一些不可判定命题的出现，标志着人们在数学历史上第一次认识到：有一些问题是不可能找到算法解的。在过去，人们一直模模糊糊地觉得，任何一个精确表述的数学问题总可以通过有限步骤来判定它是对还是错，是有解还是没有解。找到不可判定问题再一次说明用有限过程对付无穷的局限性，它从另外一个角度反映了数学的内在固有矛盾。

怎样得到这些结果的呢？丘奇的论点发表之后，不难看出存在不可计算的函数，也就是非一般递归的函数。因为所有可能不同的算法共有可数无穷多(粗浅来讲，算法都是用有限多个字来描述的)，可是所有数论函数的集合却是不可数的。

不过，头一个明显的不可判定的结果是1936年丘奇得到的。他首先得到与λ可定义性有关的不可判定结果。然后，他把这个结果应用到形式系统的判定问题上，特别他证明，形式化的一阶数论N是不可判定的。也是在1936年，丘奇证明纯粹的谓词演算也是不可判定的。当时大家的反应是：这种不完全性的范围到底有多广？

甚至于象丘奇这样的数学家，也想找到一条出路能避开哥德尔的结果。比如说，可以采用伺哥德尔所用的系统完全不同的其他的特殊系统。一旦算法的精确定义和丘奇论点出现之后，大家就认识到躲不过哥德尔不完全性定理的影响，可计算性和不完全性这两个概念是紧密联系在一起的。

实际上克林在1936年就证明了(作为丘奇论点的应用)：甚至在能够能行地认出公理和证明的形式系统中，哥德尔的定理仍然成立。消去量词方法对许多理论行不通。一般的判定问题是试图找出一个能行的步骤，通过这个步骤可以决定什么东西具有某种指定的元数学特征。

在纯粹逻辑演算的元理论中，有最明显的一类判定问题：对于给定的演算和给定类的公式，求出一个步骤，能够在有限多步内判定这类的任何特殊公式是否可以形式地推导出来。有些情形、问题已经得到肯定的解决，在另外一些情形，答案是否定的，可以证明不存在这样一个步骤。这种否定的证明，特别对于数学理论，很大程度上依赖于递归论。

最早明确提出的数学判定问题是希尔伯特第十问题。他在1900年国际数学家大会上提出了著名的二十三个问题，其中第十个问题是：给定一个有任意多未知数的、系数为有理整数的丢番图方程，设计一个步骤，通过它可以经有限步运算判定该方程是否有有理整数解。这个到1970年才被否定解决的问题不仅解决了一个重大问题，而且解决问题过程中所得到的工具和结果对数理逻辑和数学发展有着极大影响，比如表示素数的多项式，尤其与整个数理逻辑有关的是得出了一个更确切的哥德尔不完全性定理。

现在我们来看希尔伯特第十问题，为了清楚起见，我们考虑多项式方程，看看一般的多项式丢番图方程的次数和未定元的数目是否可以降低。

1938年斯科兰姆证明，任何丢番图方程的次数可约化成次数小于等于4的方程；1974年马蒂亚谢维奇和罗滨逊证明未定元的数目可约化成小于等于3。对于齐次方程，阿德勒在1971年证明，任何齐次方程可以能行地约化为二次齐次方程组，从而等价于一个四次齐次方程。对于一次方程早就有具体方法解丢番图方程了。对于任意多未定元的二次方程，1972年西格尔也找到一个算法。四次方程不能判定，三次方程尚不知道。

解决丢番图方程解是否存在的判定问题的方法是引进丢番图集。我们把丢番图方程的变元分成两有一组解。每个丢番图集合是递归可枚举集。1970年，苏联大学生马蒂亚谢维奇证明了每个递归可枚举集也是丢番图集合。这样一来，由于存在不可判定的递归可枚举集，所以存在一些特殊的丢番图方程，使得对是否有解的判定问题不可解。当然对一般丢番图方程的判定问题就更不可解了。

另一个判定问题是半群和群论中字的问题，半解问题是挪威数学家图埃在1907年首先提出来的。问题是对于一个半群，如果给定它的有限多生成元和有限多关系，那么能否找到一个方法来判定任何一个特殊的字是否等于单位元素。1947年，波斯特否定地解决了这个问题。

群论中字的问题更为重要，它是在1911年由德恩首先研究的，一直到1955年才由苏联数学家诺维科夫否定解决。这些结果给数学家指明了新的方向：不要妄图去解决一大类问题。不过对于更窄的一类的对象比如一类特殊的群，群的字问题是可解的。

在世界范围内各国的科学发展是不平衡的，这种不平衡性的宏观表现是存在着世界科学活动的中心，而且这个活动的中心并不是总停留在某一个国家，而是随着历史的发展，从一个国家转移到另一个国家。纵观近代科学以来的历史，在社会生产、社会变革、思想解放等诸多因素的影响和作用下，世界科学活动中心曾相继停留在几个不同的国家。其转移的格局大体是：意大利→英国→法国→德国→美国。从中心区停留的时间跨度看：

意大利1540—1610

英国1660—1730

法国1770—1830

德国1810—1920

美国1920—

历史表明，科学活动中心的转移，实际上就是科学人才中心的转移。处于世界科学活动中心的国家，同时也处于世界科学人才的中心，处于科学人才发展的盛事时期。就数学来说。一个国家和民族一旦成为世界科学活动的中心区，这个国家和民族就会数学人才辈出。

事实上，欧洲的文艺复兴运动带来了意大利科学的春天，意大利成为近代科学活动的第一个中心。继多才多艺的天才达?芬奇(L.da Vinci,1452—1519)之后，近代科学的先驱者伽利略（Galilei,1564—1642）在这个科学活动中心区应运而生，意大利产生了一大批杰出的数学家。著名的有：塔尔塔利亚（N.taritaglia.1500—1557）、卡当（G.Cardano ,1509—1576）、科曼狄诺（F。Commandiano，1509—1575）、费拉里（L.Ferrarl,1522—1565）、邦别利（R.Bombelli，1526—1572）、卡瓦列里（B.Cavaleieri,1578—1647），等等。

17世纪因果的自残阶级革命迎来了第二个科学活动中心。在这个中心区，英国造就了一近代科学奠基人牛顿（I.Newton,1642—1727）为代表的一大批杰出的数学家，就微积分这一数学领域而言，在这个时期做出重大贡献的除了牛顿，还有华利斯（J.Wallis,1616—1703）、巴罗（I.Barrow,1630—1677）、泰勒（(B.Taylor,1685—1731)和马克劳林（C.Maclaurin,1698—1746）等著名数学家。

18世纪法国的资产阶级大革命引来了法国科学的繁荣，巴黎成为当时世界学术交流的中心。在良好的学术环境中，法国的数学人才群星般出现，著名的有拉格朗日（J.L.Lagarange,1736—1813）、蒙日（G.Monge，1746—1818）、拉普拉斯（P.S.Laplace,1749—1827）、勒让德（A.M.Legendre,1752—1833）、卡诺（L.N.M.Carnot,1753—1823）、傅立叶（B.J.Fourier,1768—1830）、杜班（P.C.F.Dupin,1784—1873）、彭色列（J.V.Poncelet,1788—1867）、柯西（B.A.L.Cauchy,1789—1857）、拉梅（G.Lame,1795—1870）、伽罗华（E.Galois,1811—1832）等人。其取得的成果占当时世界重大数学成果总数的一半以上。

德国科学技术的起步比英国和法国都要晚，但在法国自1830年7月革命以后科学技术发展开始走向相对低潮的时候，德国的经济和社会变革却使他的科学技术迅速崛起，并很快超过了英国和法国。

德国在18世纪末和19世纪初比英国和法国都要落后，以手工业生产为主，几乎没有大工业，封建生产关系仍然占据统治地位，无论在经济上或政治上都很分散，没有形成一个统一的国家。他的资产阶级很弱小，不敢用革命的手段来解决资本主义与封建主义之间的矛盾。封建制度和贵族的特权严重阻碍了德国资本主义的兴起。1834年1月德意志关税同盟的实现，统一的商品市场的形成，为德国发展工业资本主义奠定了广泛的而良好基础。1843年3月革命以后，开始了德意志的资本主义发展时代。1871年统一战争的胜利，标志着近代的国已跻身于资本主义强国之列。在这一个社会变革的时期，德国政府为了发展资本主义，采取了一系列改革措施，包括迅速普及蒸汽机的应用，以发展铁路为基础的重工业，建立行业内的联合企业和行业间的综合联合企业，保护农业和工商业等。这样，在60年代，终于使德国的经济实力赶上并超过了先进的英国和法国。

在科学研究方面，德国开创了国力科学研究所的科研体制，建立了各种专业的国立研究所，并由国家在预算中证实拨款作为研究经费。这就是科学研究中出现了固定的正规训练和专门职业，是科学工作变得专业化。在这种科研体制出现之前，人们只能把科学研究作为一种业余活动，而且个人要承担全部的研究经费。与此同时进行的是整顿和改革教育体制，自1800年建立了柏林大学，一种新型的高等教育体制逐渐形成，自然科学在高等学校由原来的附庸地位上升到应有的地位。在高等学校中教学和科研得到了和好的结合。从19世纪中叶开始，某些德国大学的实验室开始成为科学研究的中心，有的实际上已经成为国际科学研究中心。这些中心不仅为德国培养这新一代的科学家，而且把世界各地最具才华的青年学生吸引到这里。就这样，资本主义在德国的迅猛发展，科学技术在德国社会生活中的地位显著提高，极大的推动了德国科学技术的发展，使德国及法国之后逐渐成为世界科学活动中心。

就数学而言，首先是“欧洲数学之王”高斯（K.F.Gauss,1777—1855）的堂堂雄姿，出现在19世纪世界数学史的地平线上。高斯所开创的哥廷根大学大学的科学传统，经狄里克莱、黎曼、克莱因之手，后在希尔伯特时代得到了充分的发扬。随着高斯的出现，数学的花朵从法国逐渐移植到德国。在这个科学活动中心区，仅有德国数学家做出的重大成果，就占当时世界重大数学成果总数的42%以上。除了高斯和希尔伯特，在这个时期值得提出的杰出数学家还有：麦比乌斯，拓扑学，提出著名的 “麦比乌斯带”；斯泰纳，射影几何学；古德曼，函数论，推广了函数的幂级数表示法；斯陶特，射影几何学；普吕克，解析几何，建立广义等同坐标和正切坐标；雅可比，椭圆函数论，数论，线性代数，变分法和微分方程论；狄里克莱，解析数论，数学分析和位势理论；里斯丁，拓扑学，提出单侧曲面；格拉斯曼，多为欧几里的空间理论，引出矢量的数量积概念；库麦尔，理想数论；外尔斯特拉斯，实数 理论，数学分析，解析函数论，变分学，微分几何和线性代数；海涅，集合论，提出著名的“有限覆盖定理”；克隆尼克，数论和椭圆函数论，提出有名的“克隆尼克代数乘积”；黎曼，黎曼几何学，数学分析，复变函数论和数论，提出著名的“黎曼猜想”；代德金，代数学，提出算术公理的完整系统；果尔丹，代数不变量理论；韦伯，函数论，建立有名的韦伯函数；施瓦尔茨，微分方程论，提出有重要应用的施瓦尔茨函数；康托尔，集合论和实数理论；邦雷格，数理逻辑；克莱因，代数方程论，椭圆函数论，自守函数论，连续群论和非欧几何，提出著名的《爱尔朗根纲领》；林德曼，函数论，证明 π的超越性；龙格，解析函数的多项式逼近理论，现代计算数学的先驱者；赫尔维茨，线性结合代数；豪斯道夫，集合论，拓扑学

17、18、19世纪世界上的数学大国有英国、法国、德国、意大利、俄国。“世界数学中心”在法国（主要是巴黎理工科大学的法国数学学派）。领袖人物：法国的“三L”（拉格朗日、拉普拉斯、勒让德）（主要领域：方程论、微积分、微分方程、变分法），柯西、维尔斯特拉斯（主要领域：微积分），傅立叶、泊松（主要领域：应用数学、傅立叶分析、概率统计），庞加莱（主要领域：纯粹数学与应用数学），波莱尔、勒贝格、毕卡（主要领域：函数论）等

20世纪初“世界数学中心”在德国（主要是哥廷根大学的哥廷根学派）。领袖人物：德国的克莱因（哥廷根学派的组织者，以 “爱尔兰根纲领” 著名，用变换群统一各种几何）、希尔伯特（哥廷根学派的领袖任务，主要领域：代数、几何、分析、元数学），闵可夫斯基（主要领域：狭义相对论的数学框架--四维几何），柯朗（哥廷根数学研究所负责人），外尔（主要领域：广义相对论的理论依据—规范场理论），诺特（抽象代数的奠基人，女数学家）以及匈牙利数学家冯.诺伊曼（主要领域：纯粹数学、应用数学、计算机），波利亚（主要领域：函数论与数学教育），捷克数学家哥德尔（数理逻辑学家）等

20世纪“世界数学中心”在美国的普林斯顿：哥廷根学派的大部分成员移居或避难到普林斯顿（很多人后来都加入了美国籍），像柯朗、诺特、美籍匈牙利数学家冯.诺伊曼，维纳（控制论奠基人）、法国几何学家嘉当、美籍华人微分几何之父陈省身、捷克数理逻辑学家哥德尔等。

21世纪“数学大国”、“世界数学中心”在哪里？

上世纪90年代，著名数学家陈省身曾预言：“二十一世纪中国必将成为数学大国” ！在华人数学界，这一预言被称为“陈省身猜想”。

　第一届世界数学家大会（1897年苏黎士，康托发起组织）到上世纪末已开了23届，却没有一次在发展中国家召开。原因是，只有数学大国或强国才有条件举办这样的会议。1993年5月，丘成桐和他的老师陈省身向中央进言，希望中国申办世界数学家大会。经过努力，2002年第24届世界数学家大会终于在中国召开，这是世界数学家大会历时100多年第一次在发展中国家举行，这是中国数学界的骄傲和光荣。