稻弄蝶:数学动点题

【本讲教育信息】
一. 教学内容：
探究题专题
二. 重点难点：
1. 重点：利用题设大胆猜想、分析、比较、归纳、推理，或由条件去探索不明确的结论；或由结论去探索未给予的条件；或去探索存在的各种可能性以及发现所形成的客观规律。
2. 难点： 探索存在的各种可能性以及发现所形成的客观规律。
三. 具体内容：
通常情景中的“探索发现”型问题可以分为如下类型：
1. 条件探索型——结论明确，而需探索发现使结论成立的条件的题目。
2. 结论探索型——给定条件但无明确结论或结论不惟一，而需探索发现与之相应的结论的题目。
3. 存在探索型——在一定的条件下，需探索发现某种数学关系是否存在的题目。
4. 规律探索型——在一定的条件状态下，需探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的题目。
由于题型新颖、综合性强、结构独特等，此类问题的一般解题思路并无固定模式或套路，但是可以从以下几个角度考虑：
（1）利用特殊值（特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等）进行归纳、概括，从特殊到一般，从而得出规律。
（2）反演推理法（反证法），即假设结论成立，根据假设进行推理，看是推导出矛盾还是能与已知条件一致。
（3）分类讨论法。当命题的题设和结论不惟一确定，难以统一解答时，则需要按可能出现的情况做到既不重复也不遗漏，分门别类加以讨论求解，将不同结论综合归纳得出正确结果。
（4）类比猜想法。即由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似问题的结论或解决方法，并加以严密的论证。
以上所述并不能全面概括此类命题的解题策略，因而具体操作时，应更注重数学思想方法的综合运用。
【典型例题】
[例1]（2007呼和浩特市）在四边形中，顺次连接四边中点，构成一个新的四边形，请你对四边形填加一个条件，使四边形成为一个菱形，这个条件是                           。

解：或四边形是等腰梯形（符合要求的其它答案也可以）
[例2]（2007荆门市）将两块全等的含30°角的三角尺如图1摆放在一起，设较短直角边为1。

（1）四边形ABCD是平行四边形吗？说出你的结论和理由：______________。
（2）如图2，将Rt△BCD沿射线BD方向平移到Rt△B1C1D1的位置，四边形ABC1D1是平行四边形吗？说出你的结论和理由：_________________________。
（3）在Rt△BCD沿射线BD方向平移的过程中，当点B的移动距离为______时，四边形ABC1D1为矩形，其理由是______________________；当点B的移动距离为______时，四边形ABC1D1为菱形，其理由是______________________。（图3、图4用于探究）
解：
（1）是，此时ADBC，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
（2）是，在平移过程中，始终保持ABC1D1，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
（3），此时∠ABC1=90°，有一个角是直角的平行四边形是矩形。
，此时点D与点B1重合，AC1⊥BD1，对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
[例3]（2006广东）如图所示，在平面直角坐标中，四边形OABC是等腰梯形，BC∥OA，OA=7，AB=4，∠ COA=60°，点P为x轴上的—个动点，点P不与点O、点A重合。连结CP，过点P作PD交AB于点D。
（1）求点B的坐标；
（2）当点P运动什么位置时，△OCP为等腰三角形，求这时点P的坐标；
（3）当点P运动什么位置时，使得∠CPD=∠OAB，且=，求这时点P的坐标。

解析：（1）过C作CH⊥OA于H，BE⊥OA于E
则△OCH≌△ABE，四边形CHEB为矩形
∴OH=AE，CH=BE
∵OC=AB=4，∠COA=60°
∴CH=，OH=2
∴CB=HE=3
∴OE=OH+HE=5
∵BE=CH=
∴B（5，）
（2）∵∠COA=60°，△OCP为等腰三角形
∴△OCP是等边三角形
∴OP=OC=4
∴P（4，0）
即P运动到（4，0）时，△OCP为等腰三角形
（3）
∵∠CPD=∠OAB=∠COP=60°
∴∠OPC+∠DPA=120°
又∵∠PDA+∠DPA=120°
∴∠OPC=∠PDA
∵∠OCP=∠A=60°
∴△COP∽△PAD
∴
∵，AB=4
∴BD=
∴AD=
即
∴
得OP=1或6
∴P点坐标为（1，0）或（6，0）
[例4]（2007云南省）已知：如图，四边形ABCD是矩形（AD＞AB），点E在BC上，且AE =AD，DF⊥AE，垂足为F。 请探求DF与AB有何数量关系？写出你所得到的结论并给予证明。

解：经探求，结论是：DF = AB
证明如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴ ∠B =   AD∥BC，
∴ ∠DAF = ∠AEB。
∵ DF⊥AE     ∴ ∠AFD =
∵ AE = AD
∴ABE ≌DFA
∴ AB = DF
[例5]（2007北京市）我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形。
（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；
（2）如图，在中，点分别在上，设相交于点，若，。
请你写出图中一个与相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形；
（3）在中，如果是不等于的锐角，点分别在上，且。探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论。

解：（1）回答正确的给1分（如平行四边形、等腰梯形等）。
（2）答：与相等的角是（或）。
四边形是等对边四边形。
（3）答：此时存在等对边四边形，是四边形。
证法一：如图1，作于点，作交延长线于点。

因为，为公共边，所以。
所以。因为，，
所以。
可证。
所以。
所以四边形是等边四边形。
证法二：如图2，以为顶点作，交于点。

因为，为公共边，
所以。
所以，。
所以。
因为，，
所以。
所以。
所以。
所以。
所以四边形是等边四边形。
说明：当时，仍成立。只有此证法，只给1分。
[例6]（07山东滨州）如图1所示，在中，，，为的中点，动点在边上自由移动，动点在边上自由移动。
（1）点的移动过程中，是否能成为的等腰三角形？若能，请指出为等腰三角形时动点的位置。若不能，请说明理由。
（2）当时，设，，求与之间的函数解析式，写出的取值范围。
（3）在满足（2）中的条件时，若以为圆心的圆与相切（如图2），试探究直线与圆O的位置关系，并证明你的结论。

解：如图，
（1）点移动的过程中，能成为的等腰三角形。
此时点的位置分别是：
①是的中点，与重合。
②。③与重合，是的中点。
（2）在和中，，，
。
又，。。
，，，。
（3）与圆O相切。，。。
即。又，。
。
点到和的距离相等。与圆O相切，
点到的距离等于圆O的半径。
与圆O相切。
[例7]（2007乐山）如图，在矩形中，，。直角尺的直角顶点在上滑动时（点与不重合），一直角边经过点，另一直角边交于点。我们知道，结论“”成立。
（1）当时，求的长；
（2）是否存在这样的点，使的周长等于周长的倍？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由。

解：（1）在中，由，得
，由知
，。
（2）假设存在满足条件的点，设，则
由知，
，解得，
此时，符合题意。
[例8]（2006湖南衡阳）观察算式：
1=12；1+3=4=22；1+3+5=9=32；1+3+5+7=16=42；1+3+5+7+9=25=52
用代数式表示这个规律（n为正整数）：1+3+5+7+9++（2n-1）=              。
分析与解答：由以上各等式知，等式左端是从1开始的连续若干个奇数之和，右端是左端奇数个数的平方，由此易得1+3+5+7+…+（2n-1）=n2，填n2。
【模拟试题】
1.（2006年山东省）如图，△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE交于点O。给出下列三个条件：
①∠EBO=∠DCO；②∠BEO=∠CDO；③BE=CD。
（1）上述三个条件中，哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形（用序号写出所有情形）；
（2）选择第（1）小题中的一种情形，证明△ABC是等腰三角形。

2.（2006年随州市）如图，矩形ABCD中，M是AD的中点。
（1）求证：△ABM≌△DCM；
（2）请你探索，当矩形ABCD中的一组邻边满足何种数量关系时，有BM⊥CM成立，说明你的理由。

3. 如图，在△ABC中，D为BC上一个动点（D点与B、C不重合），且DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F。
（1）试探究，当AD满足什么条件时，四边形AEDF是菱形？并说明理由。
（2）在（1）的条件下，△ABC满足什么条件时，四边形AEDF是正方形？请说明理由。

4. 如图，AB是⊙O的直径，EF是⊙O的切线，切点是C。点D是EF上一个动点，连接AD。试探索点D运动到什么位置时，AC是∠BAD的平分线，请说明理由。

5.（2006年成都市）已知：如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线上一点，过点A作BE的平行线与线段ED的延长线交于点F，连结AE、CF。
（1）求证：AF=CE；（2）若AC=EF，试判断四边形AFCE是什么样的四边形，并证明你的结论。

6.（2006广西贺州市）观察图中一列有规律的数，然后在“？”处填上一个合适的数，这个数是              .

7.（2006广西百色市）如图，A1A2B是直角三角形，且A1A2=A2B=a，A2A3⊥A1B，垂足为A3，A3A4⊥A2B，垂足为A4，A4A5⊥A3B，垂足为A5，……，An+1An+2⊥AnB，垂足为An+2，则线段An+1An+2（n为自然数）的长为（    ）
A.    B.   C.    D.

8.（2007成都市）在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与轴交于两点（点在点的左边），与轴交于点，其顶点的横坐标为1，且过点和。
（1）求此二次函数的表达式；
（2）若直线与线段交于点（不与点重合），则是否存在这样的直线，使得以为顶点的三角形与相似？若存在，求出该直线的函数表达式及点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点，试比较锐角与的大小（不必证明），并写出此时点的横坐标的取值范围。

9.（2007绵阳市）如图，已知抛物线y = ax2 + bx－3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，经过A、B、C三点的圆的圆心M（1，m）恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M的半径为。设⊙M与y轴交于D，抛物线的顶点为E。
（1）求m的值及抛物线的解析式；
（2）设∠DBC = a，∠CBE = b，求sin（a－b）的值；
（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，请指出点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由。