双曲线

百科名片

双曲线(Hyperbola)是指与平面上两个定点的距离之差的绝对值为定值的点的轨迹，也可以定义为到定点与定直线的距离之比是一个大于1的常数的点之轨迹。双曲线是圆锥曲线的一种，即圆锥面与平面的交截线。 双曲线在一定的仿射变换下，也可以看成反比例函数。 

　　

·双曲线的第一定义

　　数学上指一动点移动于一个平面上，与平面上两个定点F1,F2的距离之差的绝对值始终为一定值2a(2a小于F1和F2之间的距离即2a<2c）时所成的轨迹叫做双曲线(Hyperbola)。两个定点F1,F2叫做双曲线的左，右焦点(focus)。两焦点的距离叫焦距，长度为2c。其中2a在坐标轴上的端点叫做顶点，c^2=a^2+b^2 (a=长半轴，b=短半轴）

·双曲线的第二定义

1.文字语言定义

　　平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个大于1的常数。定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线,常数e是双曲线的离心率。

2.集合语言定义

　　设 双曲线上有一动点M,定点F,点M到定直线距离为d,　　这时称集合{M| |MF|/d=e,e>1}表示的点集是双曲线.　　注意:定点F要在定直线外 且 比值大于1.　　

3.标准方程

　　设 动点M(x,y),定点F(c,0),点M到定直线l:x=a^2/c的距离为d,　　则由 |MF|/d=e>1.　　推导出的双曲线的标准方程为　　(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1　　其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2.　　这是中心在原点,焦点在x轴上的双曲线标准方程.　　而中心在原点,焦点在y轴上的双曲线标准方程为:　　(y^2/a^2)-(x^2/b^2)=1.

·双曲线的简单几何性质

　　1、轨迹上一点的取值范围：x≥a,x≤-a（焦点在x轴上）或者y≥a,y≤-a（焦点在y轴上）。　　2、对称性：关于坐标轴和原点对称。　　3、顶点：A(-a,0)， A＇(a,0)。同时 AA＇叫做双曲线的实轴且∣AA＇│=2a.　　B(0,-b)， B＇(0,b)。同时 BB＇叫做双曲线的虚轴且│BB＇│=2b.　　4、渐近线：　　　焦点在x轴：y=±(b/a)x.　　焦点在y轴：y=±(a/b)x. 圆锥曲线ρ=ep/1-ecosθ当e>1时，表示双曲线。其中p为焦点到准线距离，θ为弦与X轴夹角　　令1-ecosθ=0可以求出θ，这个就是渐近线的倾角。θ=arccos（1/e）　　令θ=0，得出ρ=ep/1-e, x=ρcosθ=ep/1-e　　令θ=PI，得出ρ=ep/1+e ,x=ρcosθ=-ep/1+e　　这两个x是双曲线定点的横坐标。　　求出他们的中点的横坐标（双曲线中心横坐标）　　x=【（ep/1-e）+（-ep/1+e）】/2　　（注意化简一下）　　直线ρcosθ=【（ep/1-e）+（-ep/1+e）】/2　　是双曲线一条对称轴，注意是不与曲线相交的对称轴。　　将这条直线顺时针旋转PI/2-arccos（1/e）角度后就得到渐近线方程，设旋转后的角度是θ’　　则θ’=θ-【PI/2-arccos（1/e）】　　则θ=θ’+【PI/2-arccos（1/e）】　　带入上式：　　ρcos{θ’+【PI/2-arccos（1/e）】}=【（ep/1-e）+（-ep/1+e）】/2　　即：ρsin【arccos（1/e）-θ’】=【（ep/1-e）+（-ep/1+e）】/2　　现在可以用θ取代式中的θ’了　　得到方程：ρsin【arccos（1/e）-θ】=【（ep/1-e）+（-ep/1+e）】/2　　5、离心率：　　第一定义： e=c/a 且e∈（1，+∞).　　第二定义：双曲线上的一点P到定点F的距离│PF│ 与 点P到定直线(相应准线)的距离d 的比等于双曲线的离心率e.　　d点（│PF│）/d线（点P到定直线(相应准线)的距离）=e　　6、双曲线焦半径公式（圆锥曲线上任意一点P(x,y)到焦点距离）　　右焦半径：r=│ex-a│　　左焦半径：r=│ex+a│　　7、等轴双曲线　　一双曲线的实轴与虚轴长相等 即：2a=2b 且 e=√2　　8、共轭双曲线　　双曲线S＇的实轴是双曲线S的虚轴 且 双曲线S＇的虚轴是双曲线S的实轴时，称双曲线S＇与双曲线S为共轭双曲线。　　几何表达：S：(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1 S＇：(y^2/b^2)-(x^2/a^2)=1　　特点：（1）共渐近线　　（2）焦距相等　　（3）两双曲线的离心率平方后的倒数相加等于1　　9、准线： 焦点在x轴上：x=±a^2/c　　焦点在y轴上：y=±a^2/c　　10、通径长：（圆锥曲线（除圆外）中，过焦点并垂直于轴的弦）　　d=2b^2/a　　11、过焦点的弦长公式：　　d=2pe/(1-e^2cos^2θ) 或 2p/sin^2θ [p为焦点到准线距离，θ为弦与X轴夹角]　　12、弦长公式：　　d = √(1+k^2)|x1-x2| = √(1+k^2)(x1-x2)^2 = √(1+1/k^2)|y1-y2| = √(1+1/k^2)(y1-y2)^2 推导如下：　　由 直线的斜率公式：k = (y1 - y2) / (x1 - x2)　　得 y1 - y2 = k(x1 - x2) 或 x1 - x2 = (y1 - y2)/k　　分别代入两点间的距离公式：|AB| = √[(x1 - x2)² + (y1 - y2)² ]　　稍加整理即得：　　|AB| = |x1 - x2|√(1 + k²) 或 |AB| = |y1 - y2|√(1 + 1/k²)　　双曲线的概念　　把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎样？它的方程是怎样的呢？　　1．简单实验(边演示、边说明)　　如图2-23，定点F1、F2是两个按钉，MN是一个细套管，两条细绳分别拴在按钉上且穿过套管，点M移动时，|MF1|-|MF2|是常数，这样就画出曲线的一支；由|MF2|-|MF1|是同一常数，可以画出另一支．　　注意：常数要小于|F1F2|，否则作不出图形．这样作出的曲线就叫做双曲线．　　2．设问　　问题1：定点F1、F2与动点M不在平面上，能否得到双曲线？　　请学生回答，不能．强调“在平面内”．　　问题2：|MF1|与|MF2|哪个大？　　请学生回答，不定：当M在双曲线右支上时，|MF1|＞|MF2|；当点M在双曲线左支上时，|MF1|＜|MF2|．　　问题3：点M与定点F1、F2距离的差是否就是|MF1|-|MF2|？　　请学生回答，不一定，也可以是|MF2|-|MF1|．正确表示为||MF2|-|MF1||．　　问题4：这个常数是否会大于等于|F1F2|？　　请学生回答，应小于|F1F2|且大于零．当常数=|F1F2|时，轨迹是以F1、F2为端点的两条射线；当常数＞|F1F2|时，无轨迹．　　3．定义　　在上述基础上，引导学生概括双曲线的定义：　　平面内与两定点F1、F2的距离的差的绝对值是常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点F1、F2叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距．　　教师指出：双曲线的定义可以与椭圆相对照来记忆，不要死记．　　(三)双曲线的标准方程　　现在来研究双曲线的方程．我们可以类似求椭圆的方程的方法来求双曲线的方程．这时设问：求椭圆的方程的一般步骤方法是什么？不要求学生回答，主要引起学生思考，随即引导学生给出双曲线的方程的推导．　　标准方程的推导：　　(1)建系设点　　取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴(如图2-24)　　建立直角坐标系．　　设M(x，y)为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是2c(c＞0)，那么F1、F2的坐标分别是(-c，0)、(c，0)．又设点M与F1、F2的距离的差的绝对值等于常数．　　(2)点的集合　　由定义可知，双曲线就是集合：　　P={M||MF1|-|MF2||=2a}={M|MF1|-|MF2|=±2a}．　　(3)代数方程　　(4)化简方程(由学生演板)　　将这个方程移项，两边平方得：　　化简得：　　两边再平方，整理得：　　(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)．　　(以上推导完全可以仿照椭圆方程的推导．)　　由双曲线定义，2c＞2a　即c＞a，所以c2-a2＞0．　　设c2-a2=b2(b＞0)，代入上式得：　　b2x2-a2y2=a2b2．　　这就是双曲线的标准方程．　　两种标准方程的比较(引导学生归纳)：　　教师指出：　　(1)双曲线标准方程中，a＞0，b＞0，但a不一定大于b；　　(2)如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上．注意有别于椭圆通过比较分母的大小来判定焦点在哪一坐标轴上．　　(3)双曲线标准方程中a、b、c的关系是c2=a2+b2，不同于椭圆方程中c2=a2-b2．　　(四)练习与例题　　1．求满足下列的双曲线的标准方程：　　焦点F1(-3，0)、F2(3，0)，且2a=4；　　3．已知两点F1(-5，0)、F2(5，0)，求与它们的距离的差的绝对值是6的点的轨迹方程．如果把这里的数字6改为12，其他条件不变，会出现什么情况？　　由教师讲解：　　按定义，所求点的轨迹是双曲线，因为c=5，a=3，所以b2=c2-a2=52-32=42．　　因为2a=12，2c=10，且2a＞2c．　　所以动点无轨迹．　　(五)小结　　1．定义：平面内与两定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹．　　3．图形(见图2-25)：　　4．焦点：F1(-c，0)、F2(c，0)；F1(0，-c)、F2(0，c)．　　5．a、b、c的关系：c2=a2+b2；c=a2+b2．　　五、布置作业　　1．根据下列条件，求双曲线的标准方程：　　(1)焦点的坐标是(-6，0)、(6，0)，并且经过点A(-5，2)；　　3．已知圆锥曲线的方程为mx2+ny2=m+n(m＜0＜m+n)，求其焦点坐标．　　作业答案：　　2．由(1+k)(1-k)＜0解得：k＜-1或k＞1

·双曲线的标准公式与反比例函数

　　X^2/a^2 - Y^2/b^2 = 1(a>0,b>0)　　而反比例函数的标准型是 xy = c (c ≠ 0)　　但是反比例函数确实是双曲线函数经过旋转得到的　　因为xy = c的对称轴是 y=x, y=-x 而X^2/a^2 - Y^2/b^2 = 1的对称轴是x轴，y轴　　所以应该旋转45度　　设旋转的角度为 a （a≠0,顺时针）　　(a为双曲线渐进线的倾斜角)　　则有　　X = xcosa + ysina　　Y = - xsina + ycosa　　取 a = π/4　　则　　X^2 - Y^2 = (xcos(π/4) + ysin(π/4))^2 -(xsin(π/4) - ycos(π/4))^2　　= (√2/2 x + √2/2 y)^2 -(√2/2 x - √2/2 y)^2　　= 4 (√2/2 x) (√2/2 y)　　= 2xy.　　而xy=c　　所以　　X^2/(2c) - Y^2/(2c) = 1 (c>0)　　Y^2/(-2c) - X^2/(-2c) = 1 (c<0)　　由此证得，反比例函数其实就是双曲线函数.只不过是双曲线在平面直角坐标系内的另一种摆放形式.

·双曲线焦点三角形面积公式

　　若∠F1PF2=θ,　　则S△F1PF2=b²·cot（θ/2)　　·例：已知F1、F2为双曲线C：x²-y²=1的左右焦点，点P在C上，∠F1PF2=60°，则P到x轴的距离为多　　少？　　解：有双曲线焦点三角形面积公式得S△F1PF2=b²·cot（θ/2)=1×cot30°，　　设P到x轴的距离为h，则S△F1PF2=½×F1F2×h=½2√2×h=√3， h=√6/2