stylemen.1069.23:高考数学难点突破 难点06 函数值域及求法

难点6  函数值域及求法

函数的值域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一.本节主要帮助考生灵活掌握求值域的各种方法，并会用函数的值域解决实际应用问题.

●难点磁场

(★★★★★)设m是实数，记M={m|m>1},f(x)=log₃(x²－4mx+4m²+m+ ).

(1)证明：当m∈M时，f(x)对所有实数都有意义；反之，若f(x)对所有实数x都有意义，则m∈M.

(2)当m∈M时，求函数f(x)的最小值.

(3)求证：对每个m∈M,函数f(x)的最小值都不小于1.

●案例探究

［例1］设计一幅宣传画，要求画面面积为4840 cm²,画面的宽与高的比为λ(λ<1),画面的上、下各留8 cm的空白，左右各留5 cm空白，怎样确定画面的高与宽尺寸，才能使宣传画所用纸张面积最小？如果要求λ∈［ ］，那么λ为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小？

命题意图：本题主要考查建立函数关系式和求函数最小值问题，同时考查运用所学知识解决实际问题的能力，属★★★★★级题目.

知识依托：主要依据函数概念、奇偶性和最小值等基础知识.

错解分析：证明S(λ)在区间［ ］上的单调性容易出错，其次不易把应用问题转化为函数的最值问题来解决.

技巧与方法：本题属于应用问题，关键是建立数学模型，并把问题转化为函数的最值问题来解决.

解：设画面高为x cm,宽为λx cm,则λx²=4840,设纸张面积为S cm²,则S=(x+16)(λx+10)=λx²+(16λ+10)x+160,将x= 代入上式得：S=5000+44  (8 + ),当8 = ,即λ= <1)时S取得最小值.此时高：x= =88 cm,宽：λx= ×88=55 cm.

如果λ∈［ ］可设 ≤λ₁<λ₂≤ ,则由S的表达式得：

又 ≥ ,故8－ >0,

∴S(λ₁)－S(λ₂)<0,∴S(λ)在区间［ ］内单调递增.

从而对于λ∈［ ］,当λ= 时，S(λ)取得最小值.

答：画面高为88 cm,宽为55 cm时，所用纸张面积最小.如果要求λ∈［ ］,当λ= 时，所用纸张面积最小.

［例2］已知函数f(x)= ,x∈［1,+∞

(1)当a= 时，求函数f(x)的最小值.

(2)若对任意x∈［1,+∞ ,f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围.

命题意图：本题主要考查函数的最小值以及单调性问题，着重于学生的综合分析能力以及运算能力，属★★★★级题目.

知识依托：本题主要通过求f(x)的最值问题来求a的取值范围，体现了转化的思想与分类讨论的思想.

错解分析：考生不易考虑把求a的取值范围的问题转化为函数的最值问题来解决.

技巧与方法：解法一运用转化思想把f(x)>0转化为关于x的二次不等式；解法二运用分类讨论思想解得.

 (1)解：当a= 时，f(x)=x+ +2

∵f(x)在区间［1，+∞ 上为增函数，

∴f(x)在区间［1，+∞ 上的最小值为f(1)= .

(2)解法一：在区间［1，+∞ 上，f(x)=  >0恒成立 x²+2x+a>0恒成立.

设y=x²+2x+a,x∈［1,+∞

∵y=x²+2x+a=(x+1)²+a－1递增，

∴当x=1时，y_min=3+a,当且仅当y_min=3+a>0时，函数f(x)>0恒成立，故a>－3.

解法二：f(x)=x+ +2,x∈［1,+∞

当a≥0时，函数f(x)的值恒为正；

当a<0时，函数f(x)递增，故当x=1时，f(x)_min=3+a,

当且仅当f(x)_min=3+a>0时，函数f(x)>0恒成立，故a>－3.

●锦囊妙计

本难点所涉及的问题及解决的方法主要有：

(1)求函数的值域

此类问题主要利用求函数值域的常用方法：配方法、分离变量法、单调性法、图象法、换元法、不等式法等.无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域.

(2)函数的综合性题目

此类问题主要考查函数值域、单调性、奇偶性、反函数等一些基本知识相结合的题目.

此类问题要求考生具备较高的数学思维能力和综合分析能力以及较强的运算能力.在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强.

(3)运用函数的值域解决实际问题

此类问题关键是把实际问题转化为函数问题，从而利用所学知识去解决.此类题要求考生具有较强的分析能力和数学建模能力.

●歼灭难点训练

一、选择题

1.(★★★★)函数y=x²+  (x≤－ )的值域是(    )

A.(－∞,－                                                 B.［－ ,+∞

C.［ ,+∞                                               D.(－∞,－ ］

2.(★★★★)函数y=x+ 的值域是(    )

A.(－∞,1                                B.(－∞,－1

C.R                                                                D.［1,+∞

二、填空题

3.(★★★★★)一批货物随17列货车从A市以V千米/小时匀速直达B市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车间距离不得小于( )²千米 ，那么这批物资全部运到B市，最快需要_________小时(不计货车的车身长).

4.(★★★★★)设x₁、x₂为方程4x²－4mx+m+2=0的两个实根，当m=_________时，x₁²+x₂²有最小值_________.

三、解答题

5.(★★★★★)某企业生产一种产品时，固定成本为5000元，而每生产100台产品时直接消耗成本要增加2500元，市场对此商品年需求量为500台，销售的收入函数为R(x)=5x－ x²(万元)(0≤x≤5),其中x是产品售出的数量(单位：百台)

(1)把利润表示为年产量的函数；

(2)年产量多少时，企业所得的利润最大？

(3)年产量多少时，企业才不亏本？

6.(★★★★)已知函数f(x)=lg［(a²－1)x²+(a+1)x+1］

(1)若f(x)的定义域为(－∞,+∞)，求实数a的取值范围；

(2)若f(x)的值域为(－∞,+∞),求实数a的取值范围.

7.(★★★★★)某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周(按120个工时计算)生产空调器、彩电、冰箱共360台，且冰箱至少生产60台.已知生产家电产品每台所需工时和每台产值如下表：

家电名称

空调器

彩电

冰箱

工时

产值(千元)

4

3

2

问每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台，才能使产值最高？最高产值是多少？(以千元为单位)

8.(★★★★)在Rt△ABC中，∠C=90°，以斜边AB所在直线为轴将△ABC旋转一周生成两个圆锥，设这两个圆锥的侧面积之积为S₁，△ABC的内切圆面积为S₂，记 =x.

(1)求函数f(x)= 的解析式并求f(x)的定义域.

(2)求函数f(x)的最小值.

参考答案

难点磁场

(1)证明：先将f(x)变形：f(x)=log₃［(x－2m)²+m+ ］,

当m∈M时，m>1,∴(x－m)²+m+ >0恒成立，故f(x)的定义域为R.

反之，若f(x)对所有实数x都有意义，则只须x²－4mx+4m²+m+ >0,令Δ＜0,即16m²－4(4m²+m+ )＜0,解得m>1,故m∈M.

(2)解析：设u=x²－4mx+4m²+m+ ,∵y=log₃u是增函数，∴当u最小时，f(x)最小.而u=(x－2m)²+m+ ,显然，当x=m时，u取最小值为m+ ,此时f(2m)=log₃(m+ )为最小值.

(3)证明：当m∈M时，m+ =(m－1)+ +1≥3,当且仅当m=2时等号成立.

∴log₃(m+ )≥log₃3=1.

歼灭难点训练

一、1.解析：∵m₁=x²在(－∞,－ ）上是减函数，m₂= 在(－∞,－ ）上是减函数，

∴y=x²+ 在x∈(－∞,－ )上为减函数,

∴y=x²+  (x≤－ )的值域为［－ ，+∞ .

答案：B

2.解析：令 =t(t≥0),则x= .

∵y= +t=－  (t－1)²+1≤1

∴值域为(－∞,1 .

答案：A

二、3.解析：t= +16×( )²/V= + ≥2 =8.

答案：8

4.解析：由韦达定理知：x₁+x₂=m,x₁x₂= ,∴x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²－2x₁x₂=m²－ =(m－ )²－ ,又x₁,x₂为实根，∴Δ≥0.∴m≤－1或m≥2，y=(m－ )²－ 在区间(－∞,1）上是减函数，在［2，+∞ 上是增函数又抛物线y开口向上且以m= 为对称轴.故m=1时，

y_min= .

答案：－1 

三、5.解：(1）利润y是指生产数量x的产品售出后的总收入R(x)与其总成本C(x)之差，由题意，当x≤5时，产品能全部售出，当x>5时，只能销售500台，所以

y=

(2）在0≤x≤5时，y=－ x²+4.75x－0.5,当x=－ =4.75(百台）时，y_max=10.78125(万元），当x>5(百台）时，y＜12－0.25×5=10.75(万元），

所以当生产475台时，利润最大.

(3）要使企业不亏本，即要求

解得5≥x≥4.75－ ≈0.1(百台）或5＜x＜48(百台）时，即企业年产量在10台到4800台之间时，企业不亏本.

6.解：(1）依题意(a²－1）x²+(a+1)x+1>0对一切x∈R恒成立，当a²－1≠0时，其充要条件是 ，

∴a＜－1或a> .又a=－1时，f(x)=0满足题意，a=1时不合题意.故a≤－1或a>为 所求.

(2）依题意只要t=(a²－1)x²+(a+1)x+1能取到(0，+∞）上的任何值，则f(x)的值域为R，故有 ,解得1＜a≤ ,又当a²－1=0即a=1时，t=2x+1符合题意而a=－1时不合题意，∴1≤a≤ 为所求.

7.解：设每周生产空调器、彩电、冰箱分别为x台、y台、z台，由题意得：

x+y+z=360                                                                                                   ①          

                                                                                        ②x>0,y>0,z≥60.                                                                                              ③

假定每周总产值为S千元，则S=4x+3y+2z,在限制条件①②③之下，为求目标函数S的最大值，由①②消去z,得y=360－3x.                                                                                   ④

将④代入①得：x+(360－3x)+z=360,∴z=2x                                                             ⑤

∵z≥60,∴x≥30.                                                                                                    ⑥

再将④⑤代入S中，得S=4x+3(360－3x)+2·2x,即S=－x+1080.由条件⑥及上式知，当x=30时，产值S最大，最大值为S=－30+1080=1050(千元）.得x=30分别代入④和⑤得y=360－90=270,z=2×30=60.

∴每周应生产空调器30台，彩电270台，冰箱60台，才能使产值最大，最大产值为1050千元.

8.解：(1）如图所示：设BC=a,CA=b,AB=c,则斜边AB上的高h= ,

∴S₁=πah+πbh= ,

∴f(x)=                                                                                        ①

又  

代入①消c，得f(x)= .

在Rt△ABC中，有a=csinA,b=ccosA(0＜A＜ ,则

x= =sinA+cosA= sin(A+ ).∴1＜x≤ .

(2)f(x)=  +6,设t=x－1,则t∈(0, －1),y=2(t+ )+6在(0， －1 上是减函数，∴当x=( －1)+1= 时，f(x)的最小值为6 +8.