适合朗诵的小提琴曲:树与二叉树

树的基本概念

树是一种简单的非线性结构。在树这种结构中，所有元素之间的关系具有明显的层次关系。用图形表示树这种数据结构时，就象自然界中的倒长的树，这种结构就用“树”来命名。如图：

在树结构中，每个结点只有一个前件，称为父结点，没有前件的结点只有一个，称为树的根结点，简称为树的根（如R）。

在树结构中，每一个结点可以有多个后件，它们都称为该结点的子结点。没有后件的结点称为叶子结点（如W，Z，A ，L，B，N，O，T，H，X）。

在树结构中，一个结点拥有的后件个数称为结点的度（如R的度为4，KPQDEC结点度均为2）。

树的结点是层次结构，一般按如下原则分层：根结点在第1层；同一个层所有结点的所有子结点都在下一层。树的最大层次称为树的深度。如上图中的树深度为4。R结点有4棵子树，KPQDEC结占各有两棵子树；叶子没有子树。

在计算机中，可以用树结构表示算术运算。在算术运算中，一个运算符可以有若干个运算对象。如取正（+）与取负（-）运算符只有一个运算对象，称为单目运算符；加（+）、减（-）、乘（*）、除（/）、乘幂（**）有两个运算对象，称为双目运算符；三元函数f(x,y,z)为 f函数运算符，有三个运算对象，称为三目运算符。多元函数有多个运算对象称多目运算符。

用树表示算术表达式原则是：

(1)表达式中的每一个运算符在树中对应一个结点，称为运算符结点

(2)运算符的每一个运算对象在树中为该运算结点的子树(在树中的顺序从左到右)

(3)运算对象中的单变量均为叶子结点

根据上面原则，可将表达式：a*(b+c/d)+c*h-g*f表示如下的树。

  树在计算机中通常用多重链表表示，多重链表的每个结点描述了树中对应结点的信息，每个结点中的链域 （指针域）个数随树中该结点的度而定。

1.6.2 二叉树及其基本性质

  1. 什么是二叉树 

二叉树是很有用的非线性结构。它与树结构很相似，树结构的所有术语都可用到二叉树这种结构上。

二叉树具有以下两个特点：

（1）非空两叉树只有一个根结点

（2）每个结点最多有两棵子树，且分别称该结点的左子树与右子树。

也就是说，在二叉树中，每一个结点的度最大为2，而且所有子树也均为二叉树。二叉树中的每一个结点可以有左子树没有右子树，也可以有右子树没有左子树，甚至左右子树都没有。

  2. 二叉树的基本性质 

二叉树性质有：

性质1：在二叉树的第K层上，最多有2k-1(k>=1)个结点

性质2：深度为 m的二叉树最多有2m-1个结点

性质3：在任意一棵二叉树中，度为0的结点（即叶子结点）总比度为2的结点多一个

性质4：具有n个结占的二叉树，其深度至少为[log2n]+1,其中[log2n]表示取log2n的整数部分。

  3. 满二叉树与完全二叉树

（1） 满二叉树

 满两叉树是除了最后一层外，每一层上的所有结点都有两个子结点。即在满二叉树中，每一层上的结点数都达到最大值。在满二叉树的第k层上有2k-1个结点，且深度为m的满二叉树有2m -1个结点。如图：

深度为2的满二叉树

深度为3的满二叉树

深度为4的满二叉树

  （2） 完全二叉树

     完全二叉树除最后一层外，每一层上的结点数均达到最大数；最后一层只缺少右边的若干结点。如图

深度为3的完全二叉树

深度为4的完全二叉树

完全二叉树具有以下两个性质：

性质5：具有n个结点的完全二叉树的深度为[log2n]+1

性质6：设完全[log2n]+1有n个结点(如右图10个结点,编号如图)。如果从根结点开始，按层序用自然数1,2,…n给结点进行编号，则对于编号为k(k=1,2,…n)的结点有以下结论：

  （1）若k=1，则该结点为根结点，它没有父结点；若k>1，则该结点的父结点编号为INT(k/2)。如结点D的编号K=4，则它的父结点B的编号为2

  （2）若2k<=n，则编号为k的结点的左子结点编号为2k，否则该结点无左子结点（也无右子结点），如结点D的编号K=4，则8<=10，它的左子结点H编号为8

  （3）若2k+1<=n，则编号为k的结点的右子结点编号为2k+1，否则该结点无右子结点。如结点D的编号K=4，则9<=10，它的右左子结点H编号为9

1.6.3 二叉树的存储结构

在计算机中，二叉树通常采用链式存储结构。与线性链表类似，用于存储二叉树中各元素的存储结点也由两部分组成：数据域与指针域。但在二叉树中，由于每一个元素可以有两个后件（即两个子结点），因此，用于存储二叉树的存储结点的指针域有两个：一个用于指向结点的左子树结构的存储地址，称为左指针域；另一个用于指向右子树结点的存储地址，称为右指针域。

由于二叉树的存储结构中每一个存储结点有两个指针域，因此二叉树的链式存储结构也称为二叉链表。二叉树存储结构如图：

二叉树

二叉链表的逻辑状态

1.6.4 二叉树的遍历

二叉树的遍历是指不重复的访问二叉树中的所有结点。

由于二叉树是一种非线性结构，因此对二叉树的遍历要比遍历线性表复杂很多。在遍历二叉树过程中，当访问到某个结点时，再往下访问可能有两个分支，应访问哪一个分支呢？对于二叉树来说需要访问根结点、左子树所有结点、右子树所有结点，在这三者中，应访问哪一个？也就是说，遍历二叉树实际是要确定访问各结点的顺序。以便不重复又不能丢掉访问结点，直到访问到所有结点。

在遍历二叉树的过程中，一般选遍历左子树，然后再遍历右子树，在先左后右原则下根据访问结点次序，二叉树的遍历分为三种方法。方法如下：

 1. 前序遍历（DLR）

前序遍历首先访问根结点然后遍历左子树，最后遍历右子树。在遍历左、右子树时，仍然先访问根结点，然后遍历左子树，最后遍历右子树。即：

若二叉树为空则结束返回，否则：

（1）访问根结点

（2）前序遍历左子树

（3）前序遍历右子树

注意的是：遍历左右子树时仍然采用前序遍历方法。

例：如图二叉树，

则前序遍历结果是：A B D E C F

 2. 中序遍历（LDR）

中序遍历首先遍历左子树，然后访问根结点，最后遍历右子树。在遍历左、右子树时，仍然先遍历左子树，再访问根结点，最后遍历右子树。即：

若二叉树为空则结束返回，否则：

    （1）中序遍历左子树

（2）访问根结点

（3）中序遍历右子树。

注意的是：遍历左右子树时仍然采用中序遍历方法。

例：如图二叉树，

则中序遍历结果是：D B E A F C

3. 后序遍历（LRD）

后序遍历首先遍历左子树，然后遍历右子树，最后访问根结点。在遍历左、右子树时，仍然先遍历左子树，然后遍历右子树，最后访问根结点。即：

若二叉树为空则结束返回，否则：

    （1）后序遍历左子树，

（2）后序遍历右子树

（3）最后访问根结点。

注意的是：遍历左右子树时仍然采用后序遍历方法。

例：如图二叉树，

则中序遍历结果是：D E B F C A