偶看新闻明日を信じて出处:什么是数学？
来源：百度文库 编辑：偶看新闻 时间：2024/04/29 02:34:20
[原创]什么是数学？119904 次点击1433 个回复1 次转到微评于夫子 于 2011-11-12 14:51:37 发布在 凯迪社区 > 猫眼看人
最近看了几篇丘成桐教授的文章，也阅读了几篇国内数学专家级别的文章，看到这些代表中文世界顶级的专家们的观点，看他们对于数学的理解，总感觉到该写点什么，因为，我觉得他们这些顶级的专家，对于数学的理解，我感觉并没有完全到位，有不尽兴的感觉，特别是，我认为数学与中国传统思维，有着鸿沟般的差异，我的体会是数学犹如一把锋利的刀片，将中国式的思维同世界的文明割裂开来。
最近，在这个版块也可以看见几个数学爱好者的思维方式，因此，我认为应当思考这个问题了，我不是数学专业，只有初中数学的水平，因此，不是探讨数学的专业内部问题，而是，探讨数学同中国式的思维的关系问题，因为，所有使用中文进行思考、书写、交流的人，均不能够回避这个问题。
同时，我希望“文科的数学”同“理科的数学”，多一些沟通的桥梁，将文科同理科的分离，是中文世界知识分子的悲哀与不幸！总体感觉是数学专业过于局限在他们的专业规则里，而这些规则是数学家们人为创造的，他的概念的内涵到底是什么，其实，是空的，也没有实质内容的，那么，在数学的应用、发展上，如果，不突破这个规则，那么，你只能是数学的技术工匠，如同深圳大芬村的画家，我看见他们的技巧比梵高不差，但是，他们是梵高吗？
就中国的数学教育的现状和历史观察，我可以把中国人对于数学的理解分为这三类：
1、有大学文凭的中国人，这一类的数学知识是为了考试、文聘和职称，数学对于他们是敲门砖，是记忆，是机械地操作，因此，这一类的数学的价值不大，如果，没有把数学当做谋生的工具，他们的初中或者高中的数学都忘了。这种数学知识，可能在当今中国占很大的比例。
2、实用。在工程上，技术上的运用。由于，有了现存的模式，人们只需要比个葫芦画个瓢，这些，只能算技艺。比剃头师傅、鞋匠们高雅一些而已。
3、数学院士、教授、大学教师们的数学，这也是华罗庚、陈景润、陈省身们的数学。他们的数学可能在国际同行中获得认可，好评，但是，他们的数学虽然我不懂，但是，他们对待数学的态度、思想、行动，我还是能够理解的，而他们的数学同人类文明的导师级的人物，还是有区别的，这就是我想表达的思想。
所有上述的数学思想，都是数学的存在与发展的一个原因，但是，不是根本，更不是数学2000多年的持续前进的根本动力！这就是我说的数学精神或者数学信仰！这种东西在中国式的思维中没有的，而恰恰这一点才是引导数学的精神动力！
这种力量仍然存活在数学精神的内部，而且，仍然，十分活跃，回顾数学的历史，仍然，可以看见非常明显的发展脉络。从毕达哥拉斯——柏拉图——亚里士多德——欧几里得——阿基米德——喜帕恰斯——笛卡尔——牛顿、莱布尼兹——麦克斯韦尔——爱因斯坦——霍金等等。
我是从上述这些人的心目中的数学，来考察这个问题的，因为，他们的数学贡献在那里，而且，他们自己的论述、他同时代人的论述都在那里，所以，可以，感受他们鲜活的思想。
我把数学的鼻祖，从毕达哥拉斯算起，因为，他有非常明显的开创性的工作，主要贡献有：1、他发现了数的神秘，因为，数不占空间，也无形状，没有位置，却永不改变，令人确信；2、他认为万物皆数，如同他同时代的人认为万物都是水构成，也类似中国哲学的“气”，数是构成万物的本基。3、他的毕达哥拉斯定理，将数同形，建立了关联，而且，运用了演绎的逻辑方法，进行了证明，建立了逻辑的典范。4、他从锤子的不同质量，发出的声音不同，琴弦不同的长度，发出的声音不同，而且，在量上的整数比例，如二分之一，三分之一，四分之一，五分之一等，就可以构成和声。因此，得出，大自然就是数与数之间的比例关系。而这个比例关系，人是可以感知的。5、认识数是摆脱生死循环的必由之路，宇宙的运行与秩序，就如同音乐般，有规律、有和声，可以为人的灵魂感知，因此，有灵魂的存在。
他的这一哲学思想，为他的学生，柏拉图所吸收和继承，他创立了自己的学园，这是西方最早的大学，他就非常重视数学的学习，据说他的学园的门口，就写有：“不懂数学者，不得入内”。有人说是“不懂几何者不得入内”。
他认为人们看见的世界不是真实的世界，只是因为，光的投影，是世界在人的大脑留下的意念——观念。而认识真实的世界，只有通过人的理性、理智、推理，而数学是认识这个世界的必须依靠的工具，因为，数是抽象的、永恒的、不可分的，理念的世界就是具备这样的特征的，因此，必须，通过数学。数学将人们从依靠肉体的感知的局限性，解放出来，认识太阳、月亮、星辰、宇宙的奥秘，不可能依靠感知，而必须借助理智。他告诫人们，不要像牛一样，一辈子只知道低头吃草，只盯着眼前的那点蝇头小利，权、财、色，抬起头看看星星吧，那有更美丽的世界！这里，我想起一句话：“每一人都会死，但是，这并不意味着每一个人都曾经像真正的人一样，曾经生活过。”
亚里士多德的著作，大量地使用数学的语言，他奠定了西方现代科学的大部分的学科以及研究的方法，欧洲从中世纪的麻木开始苏醒的时候，最早，从阿拉伯人那里接触的《几何原本》，为了搞清楚欧几里得的本意，从希腊文翻译亚里士多德的著作才开始，早期欧洲的大学，就是为了研究《圣经》同亚里士多德的解释的分歧，而创立的。柏拉图和亚里士多德是欧洲精神的始祖，而且，他们存在的时间超过耶稣，所以，对于他们思想的研究、学习、解读，是冲破宗教束缚的强大的精神动力！
欧几里得将前人的数学知识，进行了系统化的工作，并为后人留下了不朽的名著《几何原本》。在中世纪时代，这本书的发行量仅次于《圣经》，其基础部分，仍然是现代数学的必学的基础部分。牛顿的《自然哲学的数学原理》，斯宾诺莎的《伦理学》都深受这本书的影响。
阿基米德，研究了曲线、光学、机械、力学，为数学的运用，提供的学习的范例，他的求曲线面积的方法，已经接近现代的微积分。
喜帕恰斯，利用三角形的相似性、角与边的比例关系，创立了三角函数，用它测量地球的周长、太阳与月亮的距离，是天文观测的基本工具。而1000多年后，哥伦布的地理大发现的没有这些知识，显然是不可能的。
笛卡尔一生都在思考什么是真理。他的“我思故我在”埋下了他的哲学的第一块坚实的基石，而且，他将哲学、真理的价值标准，以确信为重要的指标，代数、几何、逻辑，均是令他放心的工具，但是，这些东西本身不能够发现真理，三者，均有不足，于是，在研究喜帕恰斯的问题时，创立了解析几何，将数与形，建立了紧密的关系，以后，数直接代替了形。
莱布尼兹为论证他哲学的Monards的性质，也发明了微积分，我个人认为他发明微积分的思路，不同于牛顿，牛顿的导数或“流数”是强调运动的连续性，可导即连续，而莱布尼兹则为了描述有形与无形之间的关系，心灵与肉体，而引入的数学思想。例如，为了减少文字的分歧，他就设想用数字表达文字的意思，并用机器储存，他的这个想法就是今天的电脑和互联网的体现。
麦克斯韦尔用数学将当时的电与磁的研究成果统一起来，并创造了自己的数学方法，从他的方程式里，他推断了电磁波的存在，并计算出电磁波的速度接近光的速度，并进一步大胆地预计：光就是电磁波！今天，我们使用手机、使用光纤，这些观念都习以为常了。
对于《几何原本》第五公设的质疑和完善，创立了非欧几何，这是爱因斯坦的相对论的基础，跟本地改变了人们的时空观。
霍金的宇宙模型，创造了大量的新数学，关于宇宙起源的数学模型，就是一个热门的课题。
从上面的例子可以看出，那些伟大的数学家们，他们的数学都是为了他们的哲学和思想，而创立的，他们的数学是他们认识宇宙和自然的工具，他们将数学作为自然的语言看待，甚至于当做信仰！正如伽利略说：“上帝就是一个数学家”。
海森堡的量子力学的数学模型，就是来自于灵感，他推导了他的数学公式，当确信自己的方程式时候，他激动于数学的美，以及数学的连贯性与一致性，他感到惊讶，他似乎看见原子现象的外表，看见异常美丽的内部结构，当看到大自然将如此慷慨地将珍贵的数学结构展现在他的面前时，他几乎陶醉了，他的妻子回忆说：他带着一种自信的微笑，他说，我是足够幸运的，当亲爱的上帝还在工作的时候，我能够越过他的肩膀，瞧了一下。 （《莎士比亚、牛顿和贝多芬》湖南科技出版社 26页。）
也即，他们将数学带进了他们的灵魂！甚至是一种信仰！
当然，绝大多数人不可能像天才们那样，对于数学的感知能达到那样的境界，但是，数学的精神，即确定、确信、严谨、推理、证明的价值，则是一个健康的人格必须具备的，因此，一个没有数学精神的民族，不可能理解文明世界的运行规则的，也就不可能在心灵深处融入世界文明的潮流的。
脱离世俗的价值评价，关注知识的本身，发现宇宙的真实，理解社会的规则，洞悉人性的本质，都必须依赖理性的力量！
认识、享受、创造数学之美，比起发几篇论文、得几个奥利匹克竞赛的奖项，可能对于国人来说，更有意义！该关注数学的精神价值的时候了，那些，聪明的中国数学专家们！
此文，请数学专家们不吝赐教！
(据《科学时报》)
（注：这是著名数学家丘成桐先生在2005年的一次演讲，丘成桐是微分几何学的大师，作为举世闻名的数学大家，他的智慧绝不限于数学本身，他有极深厚的人文知识修养。
中国古代文学记载最早的是诗三百篇，有风雅颂，既有民间抒情之歌，朝廷礼仪之作，也有歌颂或讽刺当政者之曲。至孔子时，文学为君子立德和陶冶民风而服务。战国时，诸子百家都有著述，在文学上有重要的贡献，但是诸子如韩非却轻视文学之士。屈原开千古辞赋之先河，毕生之志却在楚国的复兴。文学本身在古代社会没有占据到重要的地位。至于数学，中国儒家将它放在六艺之末，是一个辅助性的学问。当政者更视之为雕虫小技，与文学比较，连歌颂朝廷的能力都没有。政府对数学的尊重要到近年来才有极大改进。
西方则不然，希腊哲人以数学为万学之基。柏拉图以通几何为入其门槛之先决条件，所以数学家得到崇高地位，在西方蓬勃发展了两千多年。
很多人会觉得我的讲题有些奇怪，中国文学与数学好像是风马牛不相及，但我却讨论它。其实这关乎个人的感受和爱好，不见得其他数学家有同样的感觉，“如人饮水，冷暖自知”。每个人的成长和风格跟他的文化背景、家庭教育有莫大的关系。我幼受庭训，影响我至深的是中国文学，而我最大的兴趣是数学，所以将他们做一个比较，对我来说是相当有意义的事。
一、数学之基本意义
数学之为学，有其独特之处，可说是人文科学和自然科学的桥梁。
数学家研究大自然所提供的一切素材，寻找它们共同的规律，用数学的方法表达出来。这里所说的大自然比一般人所了解的来得广泛，我们认为数字、几何图形和各种有意义的规律都是自然界的一部分，我们希望用简洁的数学语言将这些自然现象的本质表现出来。
数学是一门公理化的科学，所有命题必需由三段论证的逻辑方法推导出来，但这只是数学的形式，而不是数学的精髓。大部分数学著作枯燥乏味，而有些却令人叹为观止，其中的分别在哪里？
大略言之，数学家以其对大自然感受的深刻肤浅，来决定研究的方向，这种感受既有其客观性，也有其主观性，后者则取决于个人的气质，气质与文化修养有关，无论是选择悬而未决的难题，或者创造新的方向，文化修养皆起着关键性的作用。文化修养是以数学的功夫为基础，自然科学为辅，但是深厚的人文知识也极为要紧，因为人文知识也致力于描述心灵对大自然的感受，所以司马迁写《史记》除了“通古今之变”外，也要“究天人之际”。
刘勰《文心雕龙》以为文章之可贵，在尚自然，在贵文采。历代大数学家如阿基米德如牛顿莫不以自然为宗，见物象而思数学之所出，即有微积分的创作。费尔玛和尤拉对变分法的开创性发明也是由于探索自然界的现象而引起的。
广义相对论提出了场方程，它的几何结构成为几何学家梦寐以求的对象，因为它能赋予空间一个调和而完美的结构。我研究这种几何结构垂三十年，时而迷惘，时而兴奋，自觉同《诗经》《楚辞》的作者，或晋朝的陶渊明一样，与大自然浑为一体，自得其趣。
在空间上是否存在满足引力场方程的几何结构是一个极为重要的物理问题，它也逐渐地变成几何中伟大的问题。尽管其他几何学家都不相信它存在，我却锲而不舍，不分昼夜地去研究它，“虽九死其犹未悔”。
我花了五年工夫，终于找到了具有超对称的引力场结构，并将它创造成数学上的重要工具。当时的心境，可以用以下两句来描述：“落花人独立，微雨燕双飞。”
以后大批的弦理论学家参与研究这个结构，得出很多深入的结果。刚开始时，我的朋友们都对这类问题敬而远之，不愿意与物理学家打交道。但我深信造化不致弄人，回顾十多年来在这方面的研究尚算满意，现在卡拉比——丘空间的理论已经成为数学的一支主流。
二、数学的文采
数学的文采，表现于简洁，寥寥数语，便能道出不同现象的法则。
我的老师陈省身先生创作的陈氏类，就文采斐然，令人赞叹。它在扭曲的空间中找到简洁的不变量，在现象界中成为物理学界求量子化的主要工具，可说是描述大自然美丽的诗篇，直如陶渊明“采菊东篱下，悠然见南山”的意境。
从欧氏几何的公理化，到笛卡儿创立的解析几何，到牛顿、莱布尼兹的微积分，到高斯、黎曼创立的内蕴几何，一直到与物理学水乳相融的近代几何，都以简洁而富于变化为宗，其文采绝不逊色于任何一件文学创作，它们轫生的时代与文艺兴起的时代相同，绝对不是巧合。
数学家在开创新的数学想法的时候，可以看到高雅的文采和崭新的风格，例如欧几里得证明存在无穷多个素数，开创反证法的先河。高斯研究十七边形的对称群，使伽罗华群成为数论的骨干。这些研究异军突起，论断华茂，使人想起五言诗的始祖苏李唱和诗和词的始祖李太白的《忆秦娥》。
中国诗词都讲究比兴，有深度的文学作品必须要有“义”、有“讽”、有“比兴”。数学亦如是。我们在寻求真知时，往往只能凭已有的经验，因循研究的大方向，凭我们对大自然的感觉而向前迈进，这种感觉是相当主观的，因个人的文化修养而定。
文学家为了达到最佳意境的描述，不见得忠实地描写现象界。数学家为了创造美好的理论，也不必依随大自然的规律，只要逻辑推导没有问题，就可以尽情地发挥想象力，然而文章终究有高下之分。大致来说，好的文章“比兴”的手法总会比较丰富。
数学上常见的对比方法乃是低维空间和高维空间现象的对比。我们虽然看不到高维空间的事物，但可以看到一维或二维的现象，并由此来推测高维的变化。我在做研究生时企图将二维空间的单值化原理推广到高维空间，得到一些漂亮的猜测，我认为曲率的正或负可以作为复结构的指向，这个看法影响至今，可以溯源到十九世纪和二十世纪初期曲率和保角映像关系的研究。
事实上，爱因斯坦的广义相对论也是对比各种不同的学问而创造成功的，它是科学史上最伟大的构思，可以说是惊天地而泣鬼神的工作。它统一了古典的引力理论和狭义相对论。爱氏花了十年功夫，基于等价原理，比较了各种描述引力场的方法，巧妙地用几何张量来表达了引力场，将时空观念全盘翻新。
同文学极为相似的是，从局部结构发展到大范围的结构也是近代数学发展的过程，往往通过比兴的手法来处理。几何学和数论都有这一段历史，代数几何学家在研究奇异点时通过爆炸的手段，有如将整个世界浓缩在一点。微分几何和广义相对论所见到的奇异点比代数流形复杂，但是也希望从局部开始，逐渐了解整体结构。数论专家研究局部结构时则通过素数的模方法，将算术流形变成有限域上的几何，然后和大范围的算术几何对比，得出丰富的结果。
由于文学家对事物有不同的感受，同一事或同一物可以产生不同的吟咏。对事物有不同的感受后，往往通过比兴的方法另有所指，例如“美人”有多重意思，除了指美丽的女子外，也可以指君主，屈原《九章》：“结微情以陈词兮，矫以遗夫美人。”也可以指品德美好的人，《诗经?邶风》：“云谁之思，西方美人。”苏轼《赤壁赋》：“望美人兮天一方。”
数学家对某些重要的定理，也会提出很多不同的证明。例如勾股定理的不同证明有十个以上，等周不等式亦有五六个证明，高斯则给出数论对偶定律六个不同的看法。不同的证明让我们以不同的角度去理解同一个事实，往往引导出数学上不同的发展。
记得三十年前我利用分析的方法来证明完备而非紧致的正曲率空间有无穷大体积后，几何学家Gromov开始时不相信这个证明，以后他找出我证明方法的几何直观意义后，发展出他的几何理论，这两个不同观念都有它们的重要性。
对空间中的曲面，微分几何学家会问它的曲率如何，有些分析学家希望沿着曲率方向来推动它一下看看有甚么变化，代数几何学家可以考虑它可否用多项式来表示，数论学家会问上面有没有整数格点。这种种主观的感受由我们的修养来主导。
三、数学的品评与演化
江山代有人才，能够带领我们进入新的境界的都是好的数学。
好的工作应当是文已尽而意有余，大部分数学文章质木无文，流俗所好，不过两三年耳。但是有创意的文章，未必为时所好，往往十数年后始见其功。
我曾经用一个崭新的方法去研究调和函数，以后和几个朋友一同改进了这个方法，成为热方程的一个重要工具。开始时没有得到别人的赞赏，直到最近五年大家才领会到它的潜力。然而我们还是锲而不舍地去研究，觉得意犹未尽。
数学华丽的作品可从泛函分析这种比较广泛的学问中找到，虽然有其美丽和重要性，但与自然之道总是隔了一层。举例来说，从函数空间抽象出来的一个重要概念叫做巴拿赫空间，在微分方程学有很重要的功用，但是以后很多数学家为了研究这种空间而不断推广，例如有界算子是否存在不变空间的问题，确是漂亮，但在数学大流上却未有激起任何波澜。
能经得起时间考验的工作寥寥无几，政府评审人才应当以此为首选。历年来以文章篇数和被引用多寡来做指针，使得国内的数学工作者水平大不如人，不单与自然隔绝，连华丽的文章都难以看到。
数学的演化和文学有极为类似的变迁。从平面几何至立体几何，至微分几何等等，一方面是工具得到改进，另一方面是对自然界有进一步的了解，将原来所认识的数学结构的美发挥尽至后，需要进入新的境界。江山代有人才，能够带领我们进入新的境界的都是好的数学。上面谈到的高维拓扑文气已尽，假使它能与微分几何、数学物理和算术几何组合变化，亦可振翼高翔。
当一个大问题悬而未决的时候，我们往往以为数学之难莫过于此。待问题解决后，前途豁然开朗，看到比原来更为灿烂的火花，就会有不同的感受。科学家对自然界的了解，都是循序渐进，在不同的时空自然会有不同的感受。有学生略识之无后，不知创作之难，就连陈省身先生的大作都看不上眼，自以为见识更为丰富，不自见之患也。人贵自知，始能进步。即如《庄子》所言：“今尔出于崖縵，观于大海，乃知尔丑，尔将可与语大理矣。”
我曾经参观德国的葛庭根大学，看到十九世纪和廿世纪伟大科学家的手稿，他们传世的作品只是他们工作的一部分，很多杰作都还未发表，使我深为惭愧而钦佩他们的胸襟。今人则不然，大量模仿，甚至将名作稍微改动，据为己有，尽快发表。或申请院士，或自炫为学术宗匠，于古人何如哉。
四、数学的意境与感情
气有清浊，如何寻找数学的魂魄，视乎我们的文化修养。
王国维在《人间词话》中说：“词以境界为最上。有境界则自成高格。”他并因此而区分了“造境”与“写境”，“有我之境”与“无我之境”等。
数学研究当然也有境界的概念，在某种程度上也可谈有我之境、无我之境，当年尤拉开创变分法和推导流体方程，由自然现象引导，可谓无我之境，他又凭自己的想象力研究发散级数，而得到zeta函数的种种重要结果，开三百年数论之先河，可谓有我之境矣。
不少伟大的数学家，以文学、音乐来培养自己的气质，与古人神交，直追数学的本源，来达到高超的意境。
为了达到深远的效果，数学家需要找寻问题的精华所在，需要不断培养我们对问题的感情和技巧，这一点与孟子所说的养气相似。气有清浊，如何寻找数学的魂魄，视乎我们的文化修养。
我的朋友Hamilton先生，他一见到问题可以用曲率来推动，就眉飞色舞。另外一个澳洲来的学生，见到与爱因斯坦方程有关的几何现象就赶快找寻它的物理意义，兴奋异常，因此他们的文章都是清纯可喜。反过来说，有些成名的学者，文章甚多，但陈陈相因，了无新意。这是对自然界、对数学问题没有感情的现象，反而对名位权利特别重视。为了院士或政协委员的名衔而甘愿千里仆仆风尘地奔波，在这种情形下，难以想象他们对数学、对自然界有深厚的感情。
数学的感情是需要培养的，慎于交友才能够培养气质。博学多闻，感慨始深，堂庑始大。
浓厚的感情使我们对研究的对象产生直觉，这种直觉看对象而定，例如在几何上叫做几何直觉。好的数学家会将这种直觉写出来，有时可以用来证明定理，有时可以用来猜测新的命题或提出新的学说。
但数学毕竟是说理的学问，不可能极度主观。《诗经》“蓼莪”“黍离”，屈原《离骚》《九江》，汉都尉河梁送别，陈思王归藩伤逝，李后主忆江南，宋徽宗念故宫，俱是以血书成、直抒胸臆，非论证之学所能及也。
五、数学的应用与训练
解除名利的束缚，俾欣赏大自然的直觉毫无拘束地表露出来，乃是数学家养气最重要的一步。
数学除与自然相交外，也与人为的事物相接触，很多数学问题都是纯工程上的问题。有些数学家毕生接触的都是现象界的问题，可谓入乎其内。大数学家如尤拉、如富里哀、如高斯、如维纳、如冯纽曼等都能入乎其内，出乎其外，既能将抽象的数学在工程学上应用，又能在实用的科学中找出共同的理念而发展出有意义的数学。反过来说，有些应用数学家只用计算器作出一些计算，不求甚解，可谓二者皆未见矣。
近代有些应用数学家以争取政府经费为唯一目标，本身无一技之长，却巧立名目，反诬告基本数学家对社会没有贡献，尽失其真矣。有如近代小说以情欲、仇杀、奸诈为主题，取宠于时俗，不如太史公《刺客列传》中所说：“自曹沫至荆轲五人，此其义或成或不成，然其立意较然，不欺其志，名垂后世，岂妄也哉。”
应用数学家不能立意较然，而妄谈对社会有贡献，恐怕是缘木求鱼了。
好的数学家需要领会自然界所赋予的情趣，因此也须向同道学习他们的经验。然而学习太过，则有依傍之病。顾亭林云：“君诗之病在于有杜，君文之病在于有韩，欧。有此蹊径于胸中，便终身不脱依傍二字，断不能登峰造极。”
今人习数学，往往依傍名士，凡海外毕业的留学生，都为佳士，孰不知这些名士泰半文章与自然相隔千万里，画虎不成反类犬矣。很多研究生在跟随名师时，做出第一流的工作，毕业后却每况愈下，就是依傍之过。更有甚者，依傍而不自知，由导师提携指导，竟自炫“无心插柳柳成荫”，难有创意之作矣。
有些学者则倚洋自重，国外大师的工作已经完成，除非另有新意，不大可能再进一步发展。国内学者继之，不假思索，顶多能够发表一些二三流的文章。极值理论就是很好的例子。由Birkhoff、Morse到Nirerberg发展出来的过山理论，文意已尽，不宜再继续了。
推其下流，则莫如抄袭，有成名学者为了速成，带领国内学者抄袭名作，竟然得到重视，居庙堂之上，腰缠万贯而沾沾自喜，良可叹也。
数学家如何不依傍才能做出有创意的文章？
屈原说：“纷吾既有此内美兮，又重之以修能。”如何能够解除名利的束缚，俾欣赏大自然的直觉毫无拘束地表露出来，乃是数学家养气最重要的一步。
媒体或一般传记作者喜欢说某人是天才，下笔成章，仿佛做学问可以一蹴而就。其实无论文学和数学，都需要经过深入的思考才能产生传世的作品，所谓“衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴”。
一般来说，作者经过长期浸淫，才能够出口成章，经过不断推敲，才有深入可喜的文采。王勃《滕王阁序》，丽则丽矣，终不如陶渊明《归去来辞》、庾信《哀江南赋》、曹植《洛神赋》诸作来得结实。文学家的推敲在于用字和遣辞。张衡《两京》、左思《三都》，构思十年，始成巨构，声闻后世，良有以也。数学家的推敲极为类似，由工具和作风可以看出他们特有的风格。传世的数学创作更需要有宏观的看法，也由锻炼和推敲才能成功。
三十年来我研究几何空间上的微分方程，找寻空间的性质，究天地之所生，参万物之行止。乐也融融，怡然自得，溯源所自，先父之教乎。
新华社 2002-8-22
□ 《科学时报》记者 李占军
作为一个重要的科学分支，数学在两院院士联合评选的历届中国和世界十大科技进展新闻中的罕见为舆论所关注。中国科学院院长路甬祥院士、中国工程院党组书记徐匡迪院士和数学家林群院士都在2001年度中国和世界十大科技进展新闻发布会上对此做了简要分析。为此，本报记者对林群院士进行了深入采访。
数学的命运
记者：无疑，经过从古代到现代的充分发展，数学也的确很难像生命科学和信息科学那样不断创造新的惊喜；但也不能否认，无论中国数学界还是国际数学界，其学术研究与交流的活跃程度并不亚于其他任何学科。当然，也听到过这样的说法：一方面由于“垦荒时期”——19世纪末到20世纪上半叶——数学的发展已经相当充分；一方面由于分子生物学的出现吸引了科学界更多的注意力，数学在科学界和社会上的形象越来越黯淡，从事这个领域研究的人与名利之间的距离也就越来越远。这些都在无形中导致了整个社会从人力到其他各方面资源对数学投入的减少。请问，您认为这种说法与数学在当前的状况有无关联？
林群：数学是一门基础性很强的科学，这使它的工作方式和研究成果看起来不是那么很显眼，不容易引起社会和普通人的注意；但也正是因为具有很强的基础性，数学所起的作用往往具有决定意义。一些新兴学科，比如克隆技术，就不一样，社会和普通人很乐意跟着科学家们的思维走，而不管这种思维是否对人类长远发展有益，这使一些科学家把注意力转向纯粹的发明并以此为乐，甚至变得一味贪图标新立异，全然不顾做出的结果对人类是正面的还是负面的。
表面看起来，数学的确跟社会、跟实际离得比较远，但社会对数学的需要只是它露出海面的那部分。比如说我们经常使用的，可能是手机，可能是最时髦的纳米技术，但在手机、纳米技术背后却是数学，主要是算法和方程在起作用。当然，对普通人而言，关心数学上的算法也没什么意义，他只会看到由数学方法物化出来的工具。
这也不怪大众，社会是一个整体，它是互相联系的。我们讲系统工程，局部常常带动全身，各个环节缺一不可。正是有了包括数学方面取得的进展，包括计算机方面取得的进展，基于算法方面的构造，才有了现在计算机科学、纳米科学等新兴学科的发展和繁荣。但无论如何，总是有在前方的，有在后方的，数学就相当于其他学科的后勤。因此，完全可以说，数学家同其他领域的科学家们一道推动了社会的发展，而没必要争论到底谁做的贡献更大。
丘成桐经常说，工科的基础是理科，比如手机、纳米，它的基础是物理，是电磁波和量子力学；但物理的基础是数学，电磁波理论和量子力学事实上都是数学方程。这是一连串的东西。我们现在看见的，物理排在第二位，数学更看不见了。越基础的东西，反而退到后面去了。
生物学能够表现出来，能够被老百姓所熟知，是因为它在人类健康方面，对医疗、医药有很大贡献，但现代制药过程中也有好多算法，比如配方，需要的算法甚至很深、很复杂，很多都是全新的创造性的算法，但这些算法在制成的药物中是看不见的，大家只管吃药就行了。
记者：让我们回到数学本身。任何一门科学的发展总能找到它自身的内部规律，这些规律有的是自身的突变，有的是受其他学科的牵引。因为基础性很强，数学的演变动力可能更多来自它本身……
林群：数学经历过几次大发展。最早是公元前300年欧几里得的《几何原本》，他的惊人之处不在于收集了多少几何定理，而是他首次以公理-逻辑推理-定理的方式，将许多定理串在一起，重组了几何世界，即从少数的公理或公设出发，以逻辑推理的方式导出所有的几何定理，给复杂的几何世界带来了次序，建立了事物之间的因果关系。这成为他之后其他科学包括哲学人文科学的最好榜样，人类一直沿着这条路子走到今天。《几何原本》仍然是今天全世界必读的中学教材，所有其他版本都只是它的通俗改写，并没有内容或方法上的更新。这个“原本”影响了世世代代人的思维方法。记得几年前，《参考消息》曾经登载过欧洲人评选的10部对人类最有影响的著作，其中《几何原本》和《圣经》同时被收入。
第二个大发展应该是17世纪的微积分(包括解析几何)，使数学对固定不变事物的研究进入了对于变化运动事物的研究，使科学由古代的定性研究进入近代的定量研究，包括从天上如太阳系，到地下的运动规律。这个大发展，即从《几何原本》到微积分，大约经历了2000年，可见，数学的大创新是人类长期积累的结果。
以后当然还有不同程度的种种发展或创新。但是从历史发展的长河看，这些发展和创新可能属于微积分，包括解析几何这个主流的延续和发展，难以引起全社会的关注。非欧几何的发现可能是一个例外，因为它是爱因斯坦的时空观，并可用于解释万有引力。对于数学家来说，这似乎有点不公平。按杨振宁的说法，物理学的理论框架也许有10个数学方程式，包括狄拉克方程式、海森伯方程式、麦克斯韦方程式、牛顿方程式、爱因斯坦方程式等。正是这些方程式导致了当今社会通讯技术，例如人们常用的手机，以及社会上炒作很多的纳米技术等的改进和发展。科技进展新闻中虽难得涉及数学，但历次都涉及计算机，可是计算机的诞生、设计与发展，其基本理论都是有关算法的。这些算法是由几个数学家奠定的，这就是上个世纪的图灵、哥德尔、冯?诺伊曼，他们的名字被列入上个世纪评出的“百年百名科学家”之中。
数学和数学家的社会责任
记者：总体而言，科学的社会功能是探索未知世界、造福人类生活，但具体到各门学科，其分工又因自身所承担的任务和所处的时代背景而有所不同。数学是人类最早开创的科学领域之一，自诞生之日起，就是解决人类生存问题的基础工具，数学的发展也为其他学科的诞生和发展起到了基础和手段作用。给人的感觉是，数学就像现代科学的母体，在完成了对其他学科的哺育后，自身却隐退到不起眼的角落里。但我们也知道，作为探索世界上数与形最佳表达和变化的科学，现代社会对数学的要求并未降低，许多新生学科仍旧离不开数学的支持。我们也看到，包括经济学、管理学，甚至政治学这样一些看起来与数学没有多少关系的社会学学科，都在引入数学的方法分析解决问题。但人们也担心，这样的数学会不会迷失自己的方向？在现代社会，数学或者说数学家的任务应该是什么？
林群：可以有不同的角度来看这个问题。我看，评价数学家的工作，最重要的还是看他是否对人类历史的发展、对社会的进步起什么作用，所以我才举了百年百名科学家这个例子。但有讽刺性的是，刚才提到的被列入这个名单的三位数学家都不是费尔兹奖得主，可见数学界的最高奖并不能打动全社会的舆论，这大概就是数学的命运。
记者：也就是说，属于经典数学的费尔兹奖并不认同这三位数学家所做的工作？
林群：对。至少没有把他们的工作看作是水平最高的工作，否则为什么不把数学界的最高奖授予他们呢？这三个人的成绩都是在他们20多岁的时候做出来的，但他们并没有得费尔兹奖，这多少显得有些不可思议。这些数学家所做的工作表面上可能没有一大套理论，但是他们的社会影响、社会价值大大超出那些所谓的很深刻的工作。
费尔兹奖的选拔恐怕主要是从学术角度出发的，并没有考虑可能产生的社会影响，我估计他们会更多考虑集团内部互相推荐的结果。他们会评价哪些工作更重要，并把它推举出来。三位在人类百年科学史上留下痕迹的数学家并没有上榜；而恰好相反，获得了数学界最高奖——费尔兹奖的数学家没有一个获得这份殊荣。这可以说明，数学领域里还是有不同的风格、不同的标准。
从我们的角度，客观地说，对历史进步、对人类发展做出更大、更实际的贡献是更重要的标准，多做些这样的工作恐怕要比纯学术的探讨更有意义。数学界有数学界的标准，一个民族一个社会也要有自己的标准。就这个角度而言，一位数学家可以轻松获得数学界内部的奖励，但不一定能得到整个社会的认可，换句话，获得这样的认可更难。据说，美国现在在评价一些数学家的工作的时候，会把很多著名的企业家请来发表意见。我认为，这样的评法实际上可能来得更客观，因为人的思维习惯，从来都是觉得自己的工作好，很难注意周围人怎么评价自己。我认为数学家应该开放，应该请外部的人来观察自己的工作到底做得怎么样。
记者：我们在讨论一位中国数学家的社会责任感的时候，也许更多地要把中国当前所处的社会历史背景带进来。因为正像您刚才所说的那样，如果单纯从科学共同体内部看，一位数学家的工作也许很重要，但如果放在整个社会主义现代化建设也就是社会对数学的要求中，比如放在对我国计算机科学发展所做贡献的要求方面，我们对数学家的评价可能就不是要他去得什么费尔兹奖，他只要为国家在这一个方面做出了贡献，社会也会对他给予很高的评价。
林群：从在世界上所处的地位来看，一方面我们是大国，也是正在逐渐崛起的强国；但另一方面，我们也看到，在实力方面，我们和一些发达国家之间还有很大差距，这就需要我们科学家尽更多的义务，使国力尽快强大起来。现在，我们的经济已经开始走向强大，科学技术能不能经过艰苦的努力，尽量缩短和世界强国之间的距离，这对中国国家安全恐怕是非常要紧的。以美国为首的北约轰炸中国驻南联盟大使馆后，在国家自然科学基金委员会的一次会议上，我就提到过中国数学家应该做什么的问题，那就是应该对我们的国力、对我们的国家安全做贡献。这牵涉到每个国民。国家如果没有安全，我们也没有机会搞科学了。
记者：看来，我们要在导向上更多地把社会对科学家的要求放在优先位置，而不是要求他一定要得什么奖。
林群：当然这只是一方面。另一方面，我们要注意，在这种情况下特别容易产生短见的现象。虽说要多从国家实际需求考虑选题，但是“海底”部分的工作还是很重要的。比如，大家都说计算机很重要，但计算机的诞生、设计和今天的大发展，完全是由于有了三位数学家奠定的理论基础。直到现在，计算机行业仍然要挖掘“图灵机”的潜力，而且很多工作还没有做好。三位数学家的工作影响极其深远，而且是本质的，是创始性的，这一点务必要看得很清楚。现在大家每天都在用计算机，觉得很方便，但只知道有个比尔?盖茨，而忘了这些大数学家。
我们要把目标放在国家利益、国家需求上，把社会的需要作为我们的长远目标。我们每个人，包括数学家在内，都应该永远牢记这一点。但是，每个人的长处不一样，比如让数学家搞卫星上天肯定是行不通的，这要牵涉到好多工程方面的东西，我们只能做一些基础性的工作，让大家踩着我们的肩膀往上攀登。社会需要各种分工，数学家的长处不一定体现在各个方面。
算法是数学家的长处，现在看来，它对科学技术进步所起的作用也越来越重要了。本世纪数学的一个重要特征，就是算法所起的作用越来越大，三位在百年人类历史上留下重要影响的数学家就不用说了。从国内看，吴文俊是搞算法的，故去的冯康也是搞算法的，张景中院士也是做算法的。事实上，在两院院士联合评选的科技进展中，国内数学在算法方面也曾榜上有名。这些都不是偶然的。数学中有一部分工作，更直接地对技术科学的发展起作用。可以看到，算法的发展与计算机的发展不无关系，这证明数学是被整个社会的火车头推着走的，但表现在无形中间。
在教育方面所起的作用是数学对社会的另一个重要贡献。数学教育主要是培养人的理智思维。做一切事情都需要理智思维，所以，数学是做一切事情的基础。这方面我们不能够有短见的做法。现在，有很多人主张数学教学里不要搞逻辑证明，不要搞逻辑推理……
记者：那搞什么呢？
林群：他们认为数学靠观察得出好多结果来就行了。靠观察，就是认为数学属于实验科学。数学理论的发明过程可能需要很多实验和感性认识，但也必须理智地处理实践上出现的各种现象。这个“理智处理”就是必须从公理出发，通过逻辑的方法得出结论，这样才能将其理智化。
从教育看数学的本质
记者：我读的是文科，整个大学期间基本上没再接触过数学。小学到中学接受的一直都是应试教育，老师只是教给你怎么做题。而在大学里，像院士这样能真正给大学生讲数学的也不是很多。我是说，我们整个社会在数学教育方面的认识恐怕都没有触及数学的本来要求……
林群：我自己在北京航空航天大学低年级的文科生中讲过数学，覆盖的文科专业范围很广，包括旅游专业；之后又在首都师范大学的高年级讲过选修课，就是想让更多的人理解数学的精神、数学的思想方法；要知道，公式只是表面的形式。像你刚才讲的，几何，自己可能做了很多题，但有没有理解几何的本质呢？
几何是什么呢？几何就是做事要有公理，后面的一切结果都必须是这个公理的延伸，不能互相矛盾，这是几何学的基本原则。这就是“理性交易”。美国宪法采用的就是欧几里得的方法，首先一条基本法则或说基本公理，比如，“人生来是平等的”。在这样一个基本法则下，就很容易得出“总统与百姓同罪”这样的结论。又如，物物平等，所以必须遵循平等交换的原则，那么在商业上，他们就确立了等价交换的商业标准。
为什么说贪官有罪呢？因为他用很少的劳动，靠国家和人民赋予的权力换取了大量财物，这是不等价的。他违背了等价交换的原则。所以，制定法律者需要良好的几何训练。他会提出：我们需要先肯定四项基本原则是社会主义国家在一个阶段内必须遵循的公理，然后在这个前提下制定各种活动的行为准则。
记者：您这番话我第一次听说。经历给我的感觉，好像哪怕高中时的数学老师，也很难具备对数学的这种理解。一般的高中生，学完数学后就是会做题，而不会把这种方法应用到观察社会、观察人生这个层面上来。
林群：对，这也是我要坚持到文科生中去讲数学的原因，我要告诉他们数学的精神到底在哪里。大家做了很多题，还不知道自己是怎么回事，数学是怎么回事，这就是为什么文科生怕数学。一个数学老师，除要跟他的学生讲许多定理，还要告诉他数学的精神是什么。
数学是一种普遍的思维方法，对每个人都起作用。你做每件事的时候，都要考虑自己的行为是否符合公理。你知道贪官也会发牢骚，他会说“我也很辛苦啊，我领导这么多人，为什么不能捞呢？”但他不知道，他违反了等价交换的原则：你捞了500多万元，但你创造的价值并没有500多万元。现在，科学家为社会做出了很大贡献，社会也回报他很多，那才叫等价交换。比如吴文俊得到了500万元的国家最高科技奖，是因为他做出的贡献值500万元。如果一个县长拿了500万元，可他做了什么贡献呢？他把国家和人民给的权力作价折到自己的价值里去了。
说了半天，就是一句话：一切都要吻合既定的公理，这就是数学的精神。数学对人的这种理性教育，从长期看，对中华民族的复兴大有裨益。
中国数学的环境和创新路径
记者：中国科学院院长路甬祥院士曾经透露，为鼓励青年数学家创新，中国科学院数学与系统科学研究院不再把发表论文的篇数、出成果的时间作为考核科学家工作的硬指标，希望为数学家做出创新贡献创造一个良好的文化氛围。您认为这种氛围最重要的内涵是什么？再大一点说，您认为我们整个社会以及科学界本身应该为数学的发展提供一种什么样的环境？
林群：中国科学院院士郝柏林先生曾把当时的科技部部长朱丽兰请到中国科学院座谈，好多人参加了这个座谈会，我本人是作为数学方面的代表去的。给我震动的是一些年轻物理学家，他们的发言让我深思。
他们说，在他们这个年龄的时候，欧洲的海森伯们在做什么呢？在讨论物理学的重大变革，他们整天沉醉在一些重大科学问题如基本粒子的构成问题、社会及宇宙的存在问题中，从而引发了物理学革命，创立了量子力学。而我们呢？每天考虑的是买便宜菜，下班要带孩子，然后，快分房子了，要赶紧写几篇论文多争取些资格……在这样的气氛中，怎么能做出人家那样的工作呢？
这说明科学的环境非常要紧。在这个环境里，人们所关注的应该是这个世界最重要、最本源的问题，也就是哲学问题。欧洲从16、17世纪就有这个传统。海森伯为什么能有发明量子力学的大创造？第一，他关心哲学；第二，他有兴趣数学；第三，他有幸从老师那里学到了物理。哲学排在第一位，这是欧洲哲学传统决定的，这个传统关心天、地、生的基本问题，而不是写篇论文，然后改一改拿去发表。
中国哲学的历史也很长，但关注的问题与欧洲不太一样。从欧几里得开始，西方注意公理化和逻辑推理。中国比较重视实用技术，像吴文俊先生讲的：搞个基本原理，然后做出一般方法，大家套用。中国人更实用一点，西方人更理性一点，区别在这里。后来，半殖民地半封建社会把中国文化发展的线索切断了，失去了内部连续性，这可能是导致中国哲学没能有更大作为的另一个重要因素。
当然，西方也不是唯一标准。他们搞公理化、搞逻辑思维，显然是现在的主流；但中国人喜欢搞算法，在实际上解决问题，也是一个重要方面，即使不占主流，对中国来讲也是一个宝贵遗产，同样值得发扬。世界很复杂，解决问题的途径不可能是单一的。
记者：中国数学在历史上取得过辉煌业绩，《九章算术》、精确到小数点以后7位数的圆周率、勾股定理等，都对世界数学发展起到重要推动作用。现代以来，中国也向世界数学界贡献出一批像陈景润、华罗庚、冯康这样的数学家。2004年，世界数学大会在中国举办，这是世界数学界对中国数学界的肯定。记者也听说，正是这个大会的召开，激励中国数学界、尤其是一批年轻数学家向世界数学难题进军，力争重振中国数学界的士气。中国数学界的这种勇气和自信事实上涉及到中国数学的创新路径问题。请问，您认为中国数学界要想获得突破，关键在哪里？
林群：关于中国，可能有一个走什么路子的问题。过去有人说，中国最好的工作也就是“在外国的花盆里开的一朵花”。最近还有人说，中国的一些好工作“问题是外国的，方法也是外国的”，因此不能左右世界数学的发展。看来，有一段时间会有众多的工作属于这一类，例如从国外回来的人通常带的是外国的问题和外国的方法，这对于与国际接轨，较快登上国际舞台是一个办法。但是，中国也有少数工作并非如此，如刚获首届国家最高科技奖的吴文俊算法，以及曾获国家自然科学一等奖的已故冯康的有限元和辛算法，这些都跟计算机的算法有关，还有“中国邮路问题”以及优选法等也都是中国人的独特之处。从将来看或往前看，这一点非常重要，而且也有可能由于数学的问题和方法本来就非常之多，不限于外国的问题和方法，也就会有吴、冯那样的在自己本土上长出的花朵。就像文艺界说的，民族的就是国际的。科学恐怕也是这样。我国文艺体育，也参加了国际大赛，很多都是外国原先有的项目，如西洋音乐，钢琴、提琴、歌剧，照样拿了国际大奖，为中国争光。但是，我国是不是更要发展自己的强项，如乒乓球，这就是有所为、有所不为。战略问题，春秋有过赛马故事，还有一种说法，你打你的我打我的，打得赢就打，打不赢就走。
什么是数学？
最近看了几篇丘成桐教授的文章，也阅读了几篇国内数学专家级别的文章，看到这些代表中文世界顶级的专家们的观点，看他们对于数学的理解，总感觉到该写点什么，因为，我觉得他们这些顶级的专家，对于数学的理解，我感觉并没有完全到位，有不尽兴的感觉，特别是，我认为数学与中国传统思维，有着鸿沟般的差异，我的体会是数学犹如一把锋利的刀片，将中国式的思维同世界的文明割裂开来。
最近，在这个版块也可以看见几个数学爱好者的思维方式，因此，我认为应当思考这个问题了，我不是数学专业，只有初中数学的水平，因此，不是探讨数学的专业内部问题，而是，探讨数学同中国式的思维的关系问题，因为，所有使用中文进行思考、书写、交流的人，均不能够回避这个问题。
同时，我希望“文科的数学”同“理科的数学”，多一些沟通的桥梁，将文科同理科的分离，是中文世界知识分子的悲哀与不幸！总体感觉是数学专业过于局限在他们的专业规则里，而这些规则是数学家们人为创造的，他的概念的内涵到底是什么，其实，是空的，也没有实质内容的，那么，在数学的应用、发展上，如果，不突破这个规则，那么，你只能是数学的技术工匠，如同深圳大芬村的画家，我看见他们的技巧比梵高不差，但是，他们是梵高吗？
就中国的数学教育的现状和历史观察，我可以把中国人对于数学的理解分为这三类：
1、有大学文凭的中国人，这一类的数学知识是为了考试、文聘和职称，数学对于他们是敲门砖，是记忆，是机械地操作，因此，这一类的数学的价值不大，如果，没有把数学当做谋生的工具，他们的初中或者高中的数学都忘了。这种数学知识，可能在当今中国占很大的比例。
2、实用。在工程上，技术上的运用。由于，有了现存的模式，人们只需要比个葫芦画个瓢，这些，只能算技艺。比剃头师傅、鞋匠们高雅一些而已。
3、数学院士、教授、大学教师们的数学，这也是华罗庚、陈景润、陈省身们的数学。他们的数学可能在国际同行中获得认可，好评，但是，他们的数学虽然我不懂，但是，他们对待数学的态度、思想、行动，我还是能够理解的，而他们的数学同人类文明的导师级的人物，还是有区别的，这就是我想表达的思想。
所有上述的数学思想，都是数学的存在与发展的一个原因，但是，不是根本，更不是数学2000多年的持续前进的根本动力！这就是我说的数学精神或者数学信仰！这种东西在中国式的思维中没有的，而恰恰这一点才是引导数学的精神动力！
这种力量仍然存活在数学精神的内部，而且，仍然，十分活跃，回顾数学的历史，仍然，可以看见非常明显的发展脉络。从毕达哥拉斯——柏拉图——亚里士多德——欧几里得——阿基米德——喜帕恰斯——笛卡尔——牛顿、莱布尼兹——麦克斯韦尔——爱因斯坦——霍金等等。
我是从上述这些人的心目中的数学，来考察这个问题的，因为，他们的数学贡献在那里，而且，他们自己的论述、他同时代人的论述都在那里，所以，可以，感受他们鲜活的思想。
我把数学的鼻祖，从毕达哥拉斯算起，因为，他有非常明显的开创性的工作，主要贡献有：1、他发现了数的神秘，因为，数不占空间，也无形状，没有位置，却永不改变，令人确信；2、他认为万物皆数，如同他同时代的人认为万物都是水构成，也类似中国哲学的“气”，数是构成万物的本基。3、他的毕达哥拉斯定理，将数同形，建立了关联，而且，运用了演绎的逻辑方法，进行了证明，建立了逻辑的典范。4、他从锤子的不同质量，发出的声音不同，琴弦不同的长度，发出的声音不同，而且，在量上的整数比例，如二分之一，三分之一，四分之一，五分之一等，就可以构成和声。因此，得出，大自然就是数与数之间的比例关系。而这个比例关系，人是可以感知的。5、认识数是摆脱生死循环的必由之路，宇宙的运行与秩序，就如同音乐般，有规律、有和声，可以为人的灵魂感知，因此，有灵魂的存在。
他的这一哲学思想，为他的学生，柏拉图所吸收和继承，他创立了自己的学园，这是西方最早的大学，他就非常重视数学的学习，据说他的学园的门口，就写有：“不懂数学者，不得入内”。有人说是“不懂几何者不得入内”。
他认为人们看见的世界不是真实的世界，只是因为，光的投影，是世界在人的大脑留下的意念——观念。而认识真实的世界，只有通过人的理性、理智、推理，而数学是认识这个世界的必须依靠的工具，因为，数是抽象的、永恒的、不可分的，理念的世界就是具备这样的特征的，因此，必须，通过数学。数学将人们从依靠肉体的感知的局限性，解放出来，认识太阳、月亮、星辰、宇宙的奥秘，不可能依靠感知，而必须借助理智。他告诫人们，不要像牛一样，一辈子只知道低头吃草，只盯着眼前的那点蝇头小利，权、财、色，抬起头看看星星吧，那有更美丽的世界！这里，我想起一句话：“每一人都会死，但是，这并不意味着每一个人都曾经像真正的人一样，曾经生活过。”
亚里士多德的著作，大量地使用数学的语言，他奠定了西方现代科学的大部分的学科以及研究的方法，欧洲从中世纪的麻木开始苏醒的时候，最早，从阿拉伯人那里接触的《几何原本》，为了搞清楚欧几里得的本意，从希腊文翻译亚里士多德的著作才开始，早期欧洲的大学，就是为了研究《圣经》同亚里士多德的解释的分歧，而创立的。柏拉图和亚里士多德是欧洲精神的始祖，而且，他们存在的时间超过耶稣，所以，对于他们思想的研究、学习、解读，是冲破宗教束缚的强大的精神动力！
欧几里得将前人的数学知识，进行了系统化的工作，并为后人留下了不朽的名著《几何原本》。在中世纪时代，这本书的发行量仅次于《圣经》，其基础部分，仍然是现代数学的必学的基础部分。牛顿的《自然哲学的数学原理》，斯宾诺莎的《伦理学》都深受这本书的影响。
阿基米德，研究了曲线、光学、机械、力学，为数学的运用，提供的学习的范例，他的求曲线面积的方法，已经接近现代的微积分。
喜帕恰斯，利用三角形的相似性、角与边的比例关系，创立了三角函数，用它测量地球的周长、太阳与月亮的距离，是天文观测的基本工具。而1000多年后，哥伦布的地理大发现的没有这些知识，显然是不可能的。
笛卡尔一生都在思考什么是真理。他的“我思故我在”埋下了他的哲学的第一块坚实的基石，而且，他将哲学、真理的价值标准，以确信为重要的指标，代数、几何、逻辑，均是令他放心的工具，但是，这些东西本身不能够发现真理，三者，均有不足，于是，在研究喜帕恰斯的问题时，创立了解析几何，将数与形，建立了紧密的关系，以后，数直接代替了形。
莱布尼兹为论证他哲学的Monards的性质，也发明了微积分，我个人认为他发明微积分的思路，不同于牛顿，牛顿的导数或“流数”是强调运动的连续性，可导即连续，而莱布尼兹则为了描述有形与无形之间的关系，心灵与肉体，而引入的数学思想。例如，为了减少文字的分歧，他就设想用数字表达文字的意思，并用机器储存，他的这个想法就是今天的电脑和互联网的体现。
麦克斯韦尔用数学将当时的电与磁的研究成果统一起来，并创造了自己的数学方法，从他的方程式里，他推断了电磁波的存在，并计算出电磁波的速度接近光的速度，并进一步大胆地预计：光就是电磁波！今天，我们使用手机、使用光纤，这些观念都习以为常了。
对于《几何原本》第五公设的质疑和完善，创立了非欧几何，这是爱因斯坦的相对论的基础，跟本地改变了人们的时空观。
霍金的宇宙模型，创造了大量的新数学，关于宇宙起源的数学模型，就是一个热门的课题。
从上面的例子可以看出，那些伟大的数学家们，他们的数学都是为了他们的哲学和思想，而创立的，他们的数学是他们认识宇宙和自然的工具，他们将数学作为自然的语言看待，甚至于当做信仰！正如伽利略说：“上帝就是一个数学家”。
海森堡的量子力学的数学模型，就是来自于灵感，他推导了他的数学公式，当确信自己的方程式时候，他激动于数学的美，以及数学的连贯性与一致性，他感到惊讶，他似乎看见原子现象的外表，看见异常美丽的内部结构，当看到大自然将如此慷慨地将珍贵的数学结构展现在他的面前时，他几乎陶醉了，他的妻子回忆说：他带着一种自信的微笑，他说，我是足够幸运的，当亲爱的上帝还在工作的时候，我能够越过他的肩膀，瞧了一下。 （《莎士比亚、牛顿和贝多芬》湖南科技出版社 26页。）
也即，他们将数学带进了他们的灵魂！甚至是一种信仰！
当然，绝大多数人不可能像天才们那样，对于数学的感知能达到那样的境界，但是，数学的精神，即确定、确信、严谨、推理、证明的价值，则是一个健康的人格必须具备的，因此，一个没有数学精神的民族，不可能理解文明世界的运行规则的，也就不可能在心灵深处融入世界文明的潮流的。
脱离世俗的价值评价，关注知识的本身，发现宇宙的真实，理解社会的规则，洞悉人性的本质，都必须依赖理性的力量！
认识、享受、创造数学之美，比起发几篇论文、得几个奥利匹克竞赛的奖项，可能对于国人来说，更有意义！该关注数学的精神价值的时候了，那些，聪明的中国数学专家们！
此文，请数学专家们不吝赐教！
(据《科学时报》)
（注：这是著名数学家丘成桐先生在2005年的一次演讲，丘成桐是微分几何学的大师，作为举世闻名的数学大家，他的智慧绝不限于数学本身，他有极深厚的人文知识修养。
中国古代文学记载最早的是诗三百篇，有风雅颂，既有民间抒情之歌，朝廷礼仪之作，也有歌颂或讽刺当政者之曲。至孔子时，文学为君子立德和陶冶民风而服务。战国时，诸子百家都有著述，在文学上有重要的贡献，但是诸子如韩非却轻视文学之士。屈原开千古辞赋之先河，毕生之志却在楚国的复兴。文学本身在古代社会没有占据到重要的地位。至于数学，中国儒家将它放在六艺之末，是一个辅助性的学问。当政者更视之为雕虫小技，与文学比较，连歌颂朝廷的能力都没有。政府对数学的尊重要到近年来才有极大改进。
西方则不然，希腊哲人以数学为万学之基。柏拉图以通几何为入其门槛之先决条件，所以数学家得到崇高地位，在西方蓬勃发展了两千多年。
很多人会觉得我的讲题有些奇怪，中国文学与数学好像是风马牛不相及，但我却讨论它。其实这关乎个人的感受和爱好，不见得其他数学家有同样的感觉，“如人饮水，冷暖自知”。每个人的成长和风格跟他的文化背景、家庭教育有莫大的关系。我幼受庭训，影响我至深的是中国文学，而我最大的兴趣是数学，所以将他们做一个比较，对我来说是相当有意义的事。
一、数学之基本意义
数学之为学，有其独特之处，可说是人文科学和自然科学的桥梁。
数学家研究大自然所提供的一切素材，寻找它们共同的规律，用数学的方法表达出来。这里所说的大自然比一般人所了解的来得广泛，我们认为数字、几何图形和各种有意义的规律都是自然界的一部分，我们希望用简洁的数学语言将这些自然现象的本质表现出来。
数学是一门公理化的科学，所有命题必需由三段论证的逻辑方法推导出来，但这只是数学的形式，而不是数学的精髓。大部分数学著作枯燥乏味，而有些却令人叹为观止，其中的分别在哪里？
大略言之，数学家以其对大自然感受的深刻肤浅，来决定研究的方向，这种感受既有其客观性，也有其主观性，后者则取决于个人的气质，气质与文化修养有关，无论是选择悬而未决的难题，或者创造新的方向，文化修养皆起着关键性的作用。文化修养是以数学的功夫为基础，自然科学为辅，但是深厚的人文知识也极为要紧，因为人文知识也致力于描述心灵对大自然的感受，所以司马迁写《史记》除了“通古今之变”外，也要“究天人之际”。
刘勰《文心雕龙》以为文章之可贵，在尚自然，在贵文采。历代大数学家如阿基米德如牛顿莫不以自然为宗，见物象而思数学之所出，即有微积分的创作。费尔玛和尤拉对变分法的开创性发明也是由于探索自然界的现象而引起的。
广义相对论提出了场方程，它的几何结构成为几何学家梦寐以求的对象，因为它能赋予空间一个调和而完美的结构。我研究这种几何结构垂三十年，时而迷惘，时而兴奋，自觉同《诗经》《楚辞》的作者，或晋朝的陶渊明一样，与大自然浑为一体，自得其趣。
在空间上是否存在满足引力场方程的几何结构是一个极为重要的物理问题，它也逐渐地变成几何中伟大的问题。尽管其他几何学家都不相信它存在，我却锲而不舍，不分昼夜地去研究它，“虽九死其犹未悔”。
我花了五年工夫，终于找到了具有超对称的引力场结构，并将它创造成数学上的重要工具。当时的心境，可以用以下两句来描述：“落花人独立，微雨燕双飞。”
以后大批的弦理论学家参与研究这个结构，得出很多深入的结果。刚开始时，我的朋友们都对这类问题敬而远之，不愿意与物理学家打交道。但我深信造化不致弄人，回顾十多年来在这方面的研究尚算满意，现在卡拉比——丘空间的理论已经成为数学的一支主流。
二、数学的文采
数学的文采，表现于简洁，寥寥数语，便能道出不同现象的法则。
我的老师陈省身先生创作的陈氏类，就文采斐然，令人赞叹。它在扭曲的空间中找到简洁的不变量，在现象界中成为物理学界求量子化的主要工具，可说是描述大自然美丽的诗篇，直如陶渊明“采菊东篱下，悠然见南山”的意境。
从欧氏几何的公理化，到笛卡儿创立的解析几何，到牛顿、莱布尼兹的微积分，到高斯、黎曼创立的内蕴几何，一直到与物理学水乳相融的近代几何，都以简洁而富于变化为宗，其文采绝不逊色于任何一件文学创作，它们轫生的时代与文艺兴起的时代相同，绝对不是巧合。
数学家在开创新的数学想法的时候，可以看到高雅的文采和崭新的风格，例如欧几里得证明存在无穷多个素数，开创反证法的先河。高斯研究十七边形的对称群，使伽罗华群成为数论的骨干。这些研究异军突起，论断华茂，使人想起五言诗的始祖苏李唱和诗和词的始祖李太白的《忆秦娥》。
中国诗词都讲究比兴，有深度的文学作品必须要有“义”、有“讽”、有“比兴”。数学亦如是。我们在寻求真知时，往往只能凭已有的经验，因循研究的大方向，凭我们对大自然的感觉而向前迈进，这种感觉是相当主观的，因个人的文化修养而定。
文学家为了达到最佳意境的描述，不见得忠实地描写现象界。数学家为了创造美好的理论，也不必依随大自然的规律，只要逻辑推导没有问题，就可以尽情地发挥想象力，然而文章终究有高下之分。大致来说，好的文章“比兴”的手法总会比较丰富。
数学上常见的对比方法乃是低维空间和高维空间现象的对比。我们虽然看不到高维空间的事物，但可以看到一维或二维的现象，并由此来推测高维的变化。我在做研究生时企图将二维空间的单值化原理推广到高维空间，得到一些漂亮的猜测，我认为曲率的正或负可以作为复结构的指向，这个看法影响至今，可以溯源到十九世纪和二十世纪初期曲率和保角映像关系的研究。
事实上，爱因斯坦的广义相对论也是对比各种不同的学问而创造成功的，它是科学史上最伟大的构思，可以说是惊天地而泣鬼神的工作。它统一了古典的引力理论和狭义相对论。爱氏花了十年功夫，基于等价原理，比较了各种描述引力场的方法，巧妙地用几何张量来表达了引力场，将时空观念全盘翻新。
同文学极为相似的是，从局部结构发展到大范围的结构也是近代数学发展的过程，往往通过比兴的手法来处理。几何学和数论都有这一段历史，代数几何学家在研究奇异点时通过爆炸的手段，有如将整个世界浓缩在一点。微分几何和广义相对论所见到的奇异点比代数流形复杂，但是也希望从局部开始，逐渐了解整体结构。数论专家研究局部结构时则通过素数的模方法，将算术流形变成有限域上的几何，然后和大范围的算术几何对比，得出丰富的结果。
由于文学家对事物有不同的感受，同一事或同一物可以产生不同的吟咏。对事物有不同的感受后，往往通过比兴的方法另有所指，例如“美人”有多重意思，除了指美丽的女子外，也可以指君主，屈原《九章》：“结微情以陈词兮，矫以遗夫美人。”也可以指品德美好的人，《诗经?邶风》：“云谁之思，西方美人。”苏轼《赤壁赋》：“望美人兮天一方。”
数学家对某些重要的定理，也会提出很多不同的证明。例如勾股定理的不同证明有十个以上，等周不等式亦有五六个证明，高斯则给出数论对偶定律六个不同的看法。不同的证明让我们以不同的角度去理解同一个事实，往往引导出数学上不同的发展。
记得三十年前我利用分析的方法来证明完备而非紧致的正曲率空间有无穷大体积后，几何学家Gromov开始时不相信这个证明，以后他找出我证明方法的几何直观意义后，发展出他的几何理论，这两个不同观念都有它们的重要性。
对空间中的曲面，微分几何学家会问它的曲率如何，有些分析学家希望沿着曲率方向来推动它一下看看有甚么变化，代数几何学家可以考虑它可否用多项式来表示，数论学家会问上面有没有整数格点。这种种主观的感受由我们的修养来主导。
三、数学的品评与演化
江山代有人才，能够带领我们进入新的境界的都是好的数学。
好的工作应当是文已尽而意有余，大部分数学文章质木无文，流俗所好，不过两三年耳。但是有创意的文章，未必为时所好，往往十数年后始见其功。
我曾经用一个崭新的方法去研究调和函数，以后和几个朋友一同改进了这个方法，成为热方程的一个重要工具。开始时没有得到别人的赞赏，直到最近五年大家才领会到它的潜力。然而我们还是锲而不舍地去研究，觉得意犹未尽。
数学华丽的作品可从泛函分析这种比较广泛的学问中找到，虽然有其美丽和重要性，但与自然之道总是隔了一层。举例来说，从函数空间抽象出来的一个重要概念叫做巴拿赫空间，在微分方程学有很重要的功用，但是以后很多数学家为了研究这种空间而不断推广，例如有界算子是否存在不变空间的问题，确是漂亮，但在数学大流上却未有激起任何波澜。
能经得起时间考验的工作寥寥无几，政府评审人才应当以此为首选。历年来以文章篇数和被引用多寡来做指针，使得国内的数学工作者水平大不如人，不单与自然隔绝，连华丽的文章都难以看到。
数学的演化和文学有极为类似的变迁。从平面几何至立体几何，至微分几何等等，一方面是工具得到改进，另一方面是对自然界有进一步的了解，将原来所认识的数学结构的美发挥尽至后，需要进入新的境界。江山代有人才，能够带领我们进入新的境界的都是好的数学。上面谈到的高维拓扑文气已尽，假使它能与微分几何、数学物理和算术几何组合变化，亦可振翼高翔。
当一个大问题悬而未决的时候，我们往往以为数学之难莫过于此。待问题解决后，前途豁然开朗，看到比原来更为灿烂的火花，就会有不同的感受。科学家对自然界的了解，都是循序渐进，在不同的时空自然会有不同的感受。有学生略识之无后，不知创作之难，就连陈省身先生的大作都看不上眼，自以为见识更为丰富，不自见之患也。人贵自知，始能进步。即如《庄子》所言：“今尔出于崖縵，观于大海，乃知尔丑，尔将可与语大理矣。”
我曾经参观德国的葛庭根大学，看到十九世纪和廿世纪伟大科学家的手稿，他们传世的作品只是他们工作的一部分，很多杰作都还未发表，使我深为惭愧而钦佩他们的胸襟。今人则不然，大量模仿，甚至将名作稍微改动，据为己有，尽快发表。或申请院士，或自炫为学术宗匠，于古人何如哉。
四、数学的意境与感情
气有清浊，如何寻找数学的魂魄，视乎我们的文化修养。
王国维在《人间词话》中说：“词以境界为最上。有境界则自成高格。”他并因此而区分了“造境”与“写境”，“有我之境”与“无我之境”等。
数学研究当然也有境界的概念，在某种程度上也可谈有我之境、无我之境，当年尤拉开创变分法和推导流体方程，由自然现象引导，可谓无我之境，他又凭自己的想象力研究发散级数，而得到zeta函数的种种重要结果，开三百年数论之先河，可谓有我之境矣。
不少伟大的数学家，以文学、音乐来培养自己的气质，与古人神交，直追数学的本源，来达到高超的意境。
为了达到深远的效果，数学家需要找寻问题的精华所在，需要不断培养我们对问题的感情和技巧，这一点与孟子所说的养气相似。气有清浊，如何寻找数学的魂魄，视乎我们的文化修养。
我的朋友Hamilton先生，他一见到问题可以用曲率来推动，就眉飞色舞。另外一个澳洲来的学生，见到与爱因斯坦方程有关的几何现象就赶快找寻它的物理意义，兴奋异常，因此他们的文章都是清纯可喜。反过来说，有些成名的学者，文章甚多，但陈陈相因，了无新意。这是对自然界、对数学问题没有感情的现象，反而对名位权利特别重视。为了院士或政协委员的名衔而甘愿千里仆仆风尘地奔波，在这种情形下，难以想象他们对数学、对自然界有深厚的感情。
数学的感情是需要培养的，慎于交友才能够培养气质。博学多闻，感慨始深，堂庑始大。
浓厚的感情使我们对研究的对象产生直觉，这种直觉看对象而定，例如在几何上叫做几何直觉。好的数学家会将这种直觉写出来，有时可以用来证明定理，有时可以用来猜测新的命题或提出新的学说。
但数学毕竟是说理的学问，不可能极度主观。《诗经》“蓼莪”“黍离”，屈原《离骚》《九江》，汉都尉河梁送别，陈思王归藩伤逝，李后主忆江南，宋徽宗念故宫，俱是以血书成、直抒胸臆，非论证之学所能及也。
五、数学的应用与训练
解除名利的束缚，俾欣赏大自然的直觉毫无拘束地表露出来，乃是数学家养气最重要的一步。
数学除与自然相交外，也与人为的事物相接触，很多数学问题都是纯工程上的问题。有些数学家毕生接触的都是现象界的问题，可谓入乎其内。大数学家如尤拉、如富里哀、如高斯、如维纳、如冯纽曼等都能入乎其内，出乎其外，既能将抽象的数学在工程学上应用，又能在实用的科学中找出共同的理念而发展出有意义的数学。反过来说，有些应用数学家只用计算器作出一些计算，不求甚解，可谓二者皆未见矣。
近代有些应用数学家以争取政府经费为唯一目标，本身无一技之长，却巧立名目，反诬告基本数学家对社会没有贡献，尽失其真矣。有如近代小说以情欲、仇杀、奸诈为主题，取宠于时俗，不如太史公《刺客列传》中所说：“自曹沫至荆轲五人，此其义或成或不成，然其立意较然，不欺其志，名垂后世，岂妄也哉。”
应用数学家不能立意较然，而妄谈对社会有贡献，恐怕是缘木求鱼了。
好的数学家需要领会自然界所赋予的情趣，因此也须向同道学习他们的经验。然而学习太过，则有依傍之病。顾亭林云：“君诗之病在于有杜，君文之病在于有韩，欧。有此蹊径于胸中，便终身不脱依傍二字，断不能登峰造极。”
今人习数学，往往依傍名士，凡海外毕业的留学生，都为佳士，孰不知这些名士泰半文章与自然相隔千万里，画虎不成反类犬矣。很多研究生在跟随名师时，做出第一流的工作，毕业后却每况愈下，就是依傍之过。更有甚者，依傍而不自知，由导师提携指导，竟自炫“无心插柳柳成荫”，难有创意之作矣。
有些学者则倚洋自重，国外大师的工作已经完成，除非另有新意，不大可能再进一步发展。国内学者继之，不假思索，顶多能够发表一些二三流的文章。极值理论就是很好的例子。由Birkhoff、Morse到Nirerberg发展出来的过山理论，文意已尽，不宜再继续了。
推其下流，则莫如抄袭，有成名学者为了速成，带领国内学者抄袭名作，竟然得到重视，居庙堂之上，腰缠万贯而沾沾自喜，良可叹也。
数学家如何不依傍才能做出有创意的文章？
屈原说：“纷吾既有此内美兮，又重之以修能。”如何能够解除名利的束缚，俾欣赏大自然的直觉毫无拘束地表露出来，乃是数学家养气最重要的一步。
媒体或一般传记作者喜欢说某人是天才，下笔成章，仿佛做学问可以一蹴而就。其实无论文学和数学，都需要经过深入的思考才能产生传世的作品，所谓“衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴”。
一般来说，作者经过长期浸淫，才能够出口成章，经过不断推敲，才有深入可喜的文采。王勃《滕王阁序》，丽则丽矣，终不如陶渊明《归去来辞》、庾信《哀江南赋》、曹植《洛神赋》诸作来得结实。文学家的推敲在于用字和遣辞。张衡《两京》、左思《三都》，构思十年，始成巨构，声闻后世，良有以也。数学家的推敲极为类似，由工具和作风可以看出他们特有的风格。传世的数学创作更需要有宏观的看法，也由锻炼和推敲才能成功。
三十年来我研究几何空间上的微分方程，找寻空间的性质，究天地之所生，参万物之行止。乐也融融，怡然自得，溯源所自，先父之教乎。
新华社 2002-8-22
□ 《科学时报》记者 李占军
作为一个重要的科学分支，数学在两院院士联合评选的历届中国和世界十大科技进展新闻中的罕见为舆论所关注。中国科学院院长路甬祥院士、中国工程院党组书记徐匡迪院士和数学家林群院士都在2001年度中国和世界十大科技进展新闻发布会上对此做了简要分析。为此，本报记者对林群院士进行了深入采访。
数学的命运
记者：无疑，经过从古代到现代的充分发展，数学也的确很难像生命科学和信息科学那样不断创造新的惊喜；但也不能否认，无论中国数学界还是国际数学界，其学术研究与交流的活跃程度并不亚于其他任何学科。当然，也听到过这样的说法：一方面由于“垦荒时期”——19世纪末到20世纪上半叶——数学的发展已经相当充分；一方面由于分子生物学的出现吸引了科学界更多的注意力，数学在科学界和社会上的形象越来越黯淡，从事这个领域研究的人与名利之间的距离也就越来越远。这些都在无形中导致了整个社会从人力到其他各方面资源对数学投入的减少。请问，您认为这种说法与数学在当前的状况有无关联？
林群：数学是一门基础性很强的科学，这使它的工作方式和研究成果看起来不是那么很显眼，不容易引起社会和普通人的注意；但也正是因为具有很强的基础性，数学所起的作用往往具有决定意义。一些新兴学科，比如克隆技术，就不一样，社会和普通人很乐意跟着科学家们的思维走，而不管这种思维是否对人类长远发展有益，这使一些科学家把注意力转向纯粹的发明并以此为乐，甚至变得一味贪图标新立异，全然不顾做出的结果对人类是正面的还是负面的。
表面看起来，数学的确跟社会、跟实际离得比较远，但社会对数学的需要只是它露出海面的那部分。比如说我们经常使用的，可能是手机，可能是最时髦的纳米技术，但在手机、纳米技术背后却是数学，主要是算法和方程在起作用。当然，对普通人而言，关心数学上的算法也没什么意义，他只会看到由数学方法物化出来的工具。
这也不怪大众，社会是一个整体，它是互相联系的。我们讲系统工程，局部常常带动全身，各个环节缺一不可。正是有了包括数学方面取得的进展，包括计算机方面取得的进展，基于算法方面的构造，才有了现在计算机科学、纳米科学等新兴学科的发展和繁荣。但无论如何，总是有在前方的，有在后方的，数学就相当于其他学科的后勤。因此，完全可以说，数学家同其他领域的科学家们一道推动了社会的发展，而没必要争论到底谁做的贡献更大。
丘成桐经常说，工科的基础是理科，比如手机、纳米，它的基础是物理，是电磁波和量子力学；但物理的基础是数学，电磁波理论和量子力学事实上都是数学方程。这是一连串的东西。我们现在看见的，物理排在第二位，数学更看不见了。越基础的东西，反而退到后面去了。
生物学能够表现出来，能够被老百姓所熟知，是因为它在人类健康方面，对医疗、医药有很大贡献，但现代制药过程中也有好多算法，比如配方，需要的算法甚至很深、很复杂，很多都是全新的创造性的算法，但这些算法在制成的药物中是看不见的，大家只管吃药就行了。
记者：让我们回到数学本身。任何一门科学的发展总能找到它自身的内部规律，这些规律有的是自身的突变，有的是受其他学科的牵引。因为基础性很强，数学的演变动力可能更多来自它本身……
林群：数学经历过几次大发展。最早是公元前300年欧几里得的《几何原本》，他的惊人之处不在于收集了多少几何定理，而是他首次以公理-逻辑推理-定理的方式，将许多定理串在一起，重组了几何世界，即从少数的公理或公设出发，以逻辑推理的方式导出所有的几何定理，给复杂的几何世界带来了次序，建立了事物之间的因果关系。这成为他之后其他科学包括哲学人文科学的最好榜样，人类一直沿着这条路子走到今天。《几何原本》仍然是今天全世界必读的中学教材，所有其他版本都只是它的通俗改写，并没有内容或方法上的更新。这个“原本”影响了世世代代人的思维方法。记得几年前，《参考消息》曾经登载过欧洲人评选的10部对人类最有影响的著作，其中《几何原本》和《圣经》同时被收入。
第二个大发展应该是17世纪的微积分(包括解析几何)，使数学对固定不变事物的研究进入了对于变化运动事物的研究，使科学由古代的定性研究进入近代的定量研究，包括从天上如太阳系，到地下的运动规律。这个大发展，即从《几何原本》到微积分，大约经历了2000年，可见，数学的大创新是人类长期积累的结果。
以后当然还有不同程度的种种发展或创新。但是从历史发展的长河看，这些发展和创新可能属于微积分，包括解析几何这个主流的延续和发展，难以引起全社会的关注。非欧几何的发现可能是一个例外，因为它是爱因斯坦的时空观，并可用于解释万有引力。对于数学家来说，这似乎有点不公平。按杨振宁的说法，物理学的理论框架也许有10个数学方程式，包括狄拉克方程式、海森伯方程式、麦克斯韦方程式、牛顿方程式、爱因斯坦方程式等。正是这些方程式导致了当今社会通讯技术，例如人们常用的手机，以及社会上炒作很多的纳米技术等的改进和发展。科技进展新闻中虽难得涉及数学，但历次都涉及计算机，可是计算机的诞生、设计与发展，其基本理论都是有关算法的。这些算法是由几个数学家奠定的，这就是上个世纪的图灵、哥德尔、冯?诺伊曼，他们的名字被列入上个世纪评出的“百年百名科学家”之中。
数学和数学家的社会责任
记者：总体而言，科学的社会功能是探索未知世界、造福人类生活，但具体到各门学科，其分工又因自身所承担的任务和所处的时代背景而有所不同。数学是人类最早开创的科学领域之一，自诞生之日起，就是解决人类生存问题的基础工具，数学的发展也为其他学科的诞生和发展起到了基础和手段作用。给人的感觉是，数学就像现代科学的母体，在完成了对其他学科的哺育后，自身却隐退到不起眼的角落里。但我们也知道，作为探索世界上数与形最佳表达和变化的科学，现代社会对数学的要求并未降低，许多新生学科仍旧离不开数学的支持。我们也看到，包括经济学、管理学，甚至政治学这样一些看起来与数学没有多少关系的社会学学科，都在引入数学的方法分析解决问题。但人们也担心，这样的数学会不会迷失自己的方向？在现代社会，数学或者说数学家的任务应该是什么？
林群：可以有不同的角度来看这个问题。我看，评价数学家的工作，最重要的还是看他是否对人类历史的发展、对社会的进步起什么作用，所以我才举了百年百名科学家这个例子。但有讽刺性的是，刚才提到的被列入这个名单的三位数学家都不是费尔兹奖得主，可见数学界的最高奖并不能打动全社会的舆论，这大概就是数学的命运。
记者：也就是说，属于经典数学的费尔兹奖并不认同这三位数学家所做的工作？
林群：对。至少没有把他们的工作看作是水平最高的工作，否则为什么不把数学界的最高奖授予他们呢？这三个人的成绩都是在他们20多岁的时候做出来的，但他们并没有得费尔兹奖，这多少显得有些不可思议。这些数学家所做的工作表面上可能没有一大套理论，但是他们的社会影响、社会价值大大超出那些所谓的很深刻的工作。
费尔兹奖的选拔恐怕主要是从学术角度出发的，并没有考虑可能产生的社会影响，我估计他们会更多考虑集团内部互相推荐的结果。他们会评价哪些工作更重要，并把它推举出来。三位在人类百年科学史上留下痕迹的数学家并没有上榜；而恰好相反，获得了数学界最高奖——费尔兹奖的数学家没有一个获得这份殊荣。这可以说明，数学领域里还是有不同的风格、不同的标准。
从我们的角度，客观地说，对历史进步、对人类发展做出更大、更实际的贡献是更重要的标准，多做些这样的工作恐怕要比纯学术的探讨更有意义。数学界有数学界的标准，一个民族一个社会也要有自己的标准。就这个角度而言，一位数学家可以轻松获得数学界内部的奖励，但不一定能得到整个社会的认可，换句话，获得这样的认可更难。据说，美国现在在评价一些数学家的工作的时候，会把很多著名的企业家请来发表意见。我认为，这样的评法实际上可能来得更客观，因为人的思维习惯，从来都是觉得自己的工作好，很难注意周围人怎么评价自己。我认为数学家应该开放，应该请外部的人来观察自己的工作到底做得怎么样。
记者：我们在讨论一位中国数学家的社会责任感的时候，也许更多地要把中国当前所处的社会历史背景带进来。因为正像您刚才所说的那样，如果单纯从科学共同体内部看，一位数学家的工作也许很重要，但如果放在整个社会主义现代化建设也就是社会对数学的要求中，比如放在对我国计算机科学发展所做贡献的要求方面，我们对数学家的评价可能就不是要他去得什么费尔兹奖，他只要为国家在这一个方面做出了贡献，社会也会对他给予很高的评价。
林群：从在世界上所处的地位来看，一方面我们是大国，也是正在逐渐崛起的强国；但另一方面，我们也看到，在实力方面，我们和一些发达国家之间还有很大差距，这就需要我们科学家尽更多的义务，使国力尽快强大起来。现在，我们的经济已经开始走向强大，科学技术能不能经过艰苦的努力，尽量缩短和世界强国之间的距离，这对中国国家安全恐怕是非常要紧的。以美国为首的北约轰炸中国驻南联盟大使馆后，在国家自然科学基金委员会的一次会议上，我就提到过中国数学家应该做什么的问题，那就是应该对我们的国力、对我们的国家安全做贡献。这牵涉到每个国民。国家如果没有安全，我们也没有机会搞科学了。
记者：看来，我们要在导向上更多地把社会对科学家的要求放在优先位置，而不是要求他一定要得什么奖。
林群：当然这只是一方面。另一方面，我们要注意，在这种情况下特别容易产生短见的现象。虽说要多从国家实际需求考虑选题，但是“海底”部分的工作还是很重要的。比如，大家都说计算机很重要，但计算机的诞生、设计和今天的大发展，完全是由于有了三位数学家奠定的理论基础。直到现在，计算机行业仍然要挖掘“图灵机”的潜力，而且很多工作还没有做好。三位数学家的工作影响极其深远，而且是本质的，是创始性的，这一点务必要看得很清楚。现在大家每天都在用计算机，觉得很方便，但只知道有个比尔?盖茨，而忘了这些大数学家。
我们要把目标放在国家利益、国家需求上，把社会的需要作为我们的长远目标。我们每个人，包括数学家在内，都应该永远牢记这一点。但是，每个人的长处不一样，比如让数学家搞卫星上天肯定是行不通的，这要牵涉到好多工程方面的东西，我们只能做一些基础性的工作，让大家踩着我们的肩膀往上攀登。社会需要各种分工，数学家的长处不一定体现在各个方面。
算法是数学家的长处，现在看来，它对科学技术进步所起的作用也越来越重要了。本世纪数学的一个重要特征，就是算法所起的作用越来越大，三位在百年人类历史上留下重要影响的数学家就不用说了。从国内看，吴文俊是搞算法的，故去的冯康也是搞算法的，张景中院士也是做算法的。事实上，在两院院士联合评选的科技进展中，国内数学在算法方面也曾榜上有名。这些都不是偶然的。数学中有一部分工作，更直接地对技术科学的发展起作用。可以看到，算法的发展与计算机的发展不无关系，这证明数学是被整个社会的火车头推着走的，但表现在无形中间。
在教育方面所起的作用是数学对社会的另一个重要贡献。数学教育主要是培养人的理智思维。做一切事情都需要理智思维，所以，数学是做一切事情的基础。这方面我们不能够有短见的做法。现在，有很多人主张数学教学里不要搞逻辑证明，不要搞逻辑推理……
记者：那搞什么呢？
林群：他们认为数学靠观察得出好多结果来就行了。靠观察，就是认为数学属于实验科学。数学理论的发明过程可能需要很多实验和感性认识，但也必须理智地处理实践上出现的各种现象。这个“理智处理”就是必须从公理出发，通过逻辑的方法得出结论，这样才能将其理智化。
从教育看数学的本质
记者：我读的是文科，整个大学期间基本上没再接触过数学。小学到中学接受的一直都是应试教育，老师只是教给你怎么做题。而在大学里，像院士这样能真正给大学生讲数学的也不是很多。我是说，我们整个社会在数学教育方面的认识恐怕都没有触及数学的本来要求……
林群：我自己在北京航空航天大学低年级的文科生中讲过数学，覆盖的文科专业范围很广，包括旅游专业；之后又在首都师范大学的高年级讲过选修课，就是想让更多的人理解数学的精神、数学的思想方法；要知道，公式只是表面的形式。像你刚才讲的，几何，自己可能做了很多题，但有没有理解几何的本质呢？
几何是什么呢？几何就是做事要有公理，后面的一切结果都必须是这个公理的延伸，不能互相矛盾，这是几何学的基本原则。这就是“理性交易”。美国宪法采用的就是欧几里得的方法，首先一条基本法则或说基本公理，比如，“人生来是平等的”。在这样一个基本法则下，就很容易得出“总统与百姓同罪”这样的结论。又如，物物平等，所以必须遵循平等交换的原则，那么在商业上，他们就确立了等价交换的商业标准。
为什么说贪官有罪呢？因为他用很少的劳动，靠国家和人民赋予的权力换取了大量财物，这是不等价的。他违背了等价交换的原则。所以，制定法律者需要良好的几何训练。他会提出：我们需要先肯定四项基本原则是社会主义国家在一个阶段内必须遵循的公理，然后在这个前提下制定各种活动的行为准则。
记者：您这番话我第一次听说。经历给我的感觉，好像哪怕高中时的数学老师，也很难具备对数学的这种理解。一般的高中生，学完数学后就是会做题，而不会把这种方法应用到观察社会、观察人生这个层面上来。
林群：对，这也是我要坚持到文科生中去讲数学的原因，我要告诉他们数学的精神到底在哪里。大家做了很多题，还不知道自己是怎么回事，数学是怎么回事，这就是为什么文科生怕数学。一个数学老师，除要跟他的学生讲许多定理，还要告诉他数学的精神是什么。
数学是一种普遍的思维方法，对每个人都起作用。你做每件事的时候，都要考虑自己的行为是否符合公理。你知道贪官也会发牢骚，他会说“我也很辛苦啊，我领导这么多人，为什么不能捞呢？”但他不知道，他违反了等价交换的原则：你捞了500多万元，但你创造的价值并没有500多万元。现在，科学家为社会做出了很大贡献，社会也回报他很多，那才叫等价交换。比如吴文俊得到了500万元的国家最高科技奖，是因为他做出的贡献值500万元。如果一个县长拿了500万元，可他做了什么贡献呢？他把国家和人民给的权力作价折到自己的价值里去了。
说了半天，就是一句话：一切都要吻合既定的公理，这就是数学的精神。数学对人的这种理性教育，从长期看，对中华民族的复兴大有裨益。
中国数学的环境和创新路径
记者：中国科学院院长路甬祥院士曾经透露，为鼓励青年数学家创新，中国科学院数学与系统科学研究院不再把发表论文的篇数、出成果的时间作为考核科学家工作的硬指标，希望为数学家做出创新贡献创造一个良好的文化氛围。您认为这种氛围最重要的内涵是什么？再大一点说，您认为我们整个社会以及科学界本身应该为数学的发展提供一种什么样的环境？
林群：中国科学院院士郝柏林先生曾把当时的科技部部长朱丽兰请到中国科学院座谈，好多人参加了这个座谈会，我本人是作为数学方面的代表去的。给我震动的是一些年轻物理学家，他们的发言让我深思。
他们说，在他们这个年龄的时候，欧洲的海森伯们在做什么呢？在讨论物理学的重大变革，他们整天沉醉在一些重大科学问题如基本粒子的构成问题、社会及宇宙的存在问题中，从而引发了物理学革命，创立了量子力学。而我们呢？每天考虑的是买便宜菜，下班要带孩子，然后，快分房子了，要赶紧写几篇论文多争取些资格……在这样的气氛中，怎么能做出人家那样的工作呢？
这说明科学的环境非常要紧。在这个环境里，人们所关注的应该是这个世界最重要、最本源的问题，也就是哲学问题。欧洲从16、17世纪就有这个传统。海森伯为什么能有发明量子力学的大创造？第一，他关心哲学；第二，他有兴趣数学；第三，他有幸从老师那里学到了物理。哲学排在第一位，这是欧洲哲学传统决定的，这个传统关心天、地、生的基本问题，而不是写篇论文，然后改一改拿去发表。
中国哲学的历史也很长，但关注的问题与欧洲不太一样。从欧几里得开始，西方注意公理化和逻辑推理。中国比较重视实用技术，像吴文俊先生讲的：搞个基本原理，然后做出一般方法，大家套用。中国人更实用一点，西方人更理性一点，区别在这里。后来，半殖民地半封建社会把中国文化发展的线索切断了，失去了内部连续性，这可能是导致中国哲学没能有更大作为的另一个重要因素。
当然，西方也不是唯一标准。他们搞公理化、搞逻辑思维，显然是现在的主流；但中国人喜欢搞算法，在实际上解决问题，也是一个重要方面，即使不占主流，对中国来讲也是一个宝贵遗产，同样值得发扬。世界很复杂，解决问题的途径不可能是单一的。
记者：中国数学在历史上取得过辉煌业绩，《九章算术》、精确到小数点以后7位数的圆周率、勾股定理等，都对世界数学发展起到重要推动作用。现代以来，中国也向世界数学界贡献出一批像陈景润、华罗庚、冯康这样的数学家。2004年，世界数学大会在中国举办，这是世界数学界对中国数学界的肯定。记者也听说，正是这个大会的召开，激励中国数学界、尤其是一批年轻数学家向世界数学难题进军，力争重振中国数学界的士气。中国数学界的这种勇气和自信事实上涉及到中国数学的创新路径问题。请问，您认为中国数学界要想获得突破，关键在哪里？
林群：关于中国，可能有一个走什么路子的问题。过去有人说，中国最好的工作也就是“在外国的花盆里开的一朵花”。最近还有人说，中国的一些好工作“问题是外国的，方法也是外国的”，因此不能左右世界数学的发展。看来，有一段时间会有众多的工作属于这一类，例如从国外回来的人通常带的是外国的问题和外国的方法，这对于与国际接轨，较快登上国际舞台是一个办法。但是，中国也有少数工作并非如此，如刚获首届国家最高科技奖的吴文俊算法，以及曾获国家自然科学一等奖的已故冯康的有限元和辛算法，这些都跟计算机的算法有关，还有“中国邮路问题”以及优选法等也都是中国人的独特之处。从将来看或往前看，这一点非常重要，而且也有可能由于数学的问题和方法本来就非常之多，不限于外国的问题和方法，也就会有吴、冯那样的在自己本土上长出的花朵。就像文艺界说的，民族的就是国际的。科学恐怕也是这样。我国文艺体育，也参加了国际大赛，很多都是外国原先有的项目，如西洋音乐，钢琴、提琴、歌剧，照样拿了国际大奖，为中国争光。但是，我国是不是更要发展自己的强项，如乒乓球，这就是有所为、有所不为。战略问题，春秋有过赛马故事，还有一种说法，你打你的我打我的，打得赢就打，打不赢就走。