千寻软件大全:巧求面积-小学数学网-学而思教育

例1 两块等腰直角三角板，如图7—1那样重合，试求重合部分（即阴影部分）的面积（单位：厘米）．

分析：已知△ABC、△BDE是等腰直角三角形，所以∠EBC=45°，∠ACB=45°，由此得出∠BFC=180°-45°-45°=90°，所以△BFC是等腰直角三角形，它的面积恰好等于△ABC的面积的一半．△ABC的面积容易求出，阴影部分的面积用△BFC的面积减去△DCG的面积，由于∠EDB=90°，∠ACB=45°，所以△GDC是等腰直角三角形，很容易求出△GDC的面积，因此问题得以解决．

解：S△ABC=AB×BC÷2=10×10÷2=50（平方厘米）

　　S△BFC=S△ABC÷2=50÷2=25（平方厘米）

　　S△DGC=4×4÷2=8（平方厘米）

　　∴S阴影部分=S△BFC-S△DGC=25-8=17（平方厘米）

　　答：阴影部分的面积是17平方厘米．

例2 边长分别为10厘米、8厘米和4厘米的三块正方形纸片放在桌面上，如图7—2，它们盖住的面积是多少平方厘米？

分析：桌面被盖住的部分是一个不规则的图形，直接求无法求，分割成规则图形再去求比较麻烦．如果将这三个正方形面积求和，必然多算了它们的重叠部分，多算的部分恰好是这三个正方形两两重叠的部分，只需将多算的减去．由于两两重叠部分里有一个边长为2的小正方形减去了3次，显然是多减了2次，需要再加上多减的2次，即可求出被盖住的面积．

解：（1）三个正方形的面积之和

　　10×10＋8×8＋4×4=180（平方厘米）

　　（2）两两重叠部分的面积之和

　　5×5＋4×2+4×2=41（平方厘米）

　　（3）三个正方形重叠的部分的面积

　　2×2=4（平方厘米）

　　（4）它们盖住的面积

　　180-41＋2×4=147（平方厘米）

　　答：它们盖住的面积为147平方厘米．

例3 图7—3，长方形AECD中，AD=10厘米，CD=12厘米．B在AE的延长线上，BD交CE于F，△CFB的面积为24平方厘米，求△FEB的面积等于多少平方厘米？

分析：要想求△FEB的面积，只需求出EB、EF的长．由已知AD=10厘米，CD=12厘米，可以求出△DCB的面积，因为DC是△DCB的底边，CE是这条底边上的高线，且CE=AD=10厘米，S△DCB=12×10÷2=60平方厘米；又因为S△CFB=24平方厘米；所以S△DCF=S△DCB-S△CFB=60-24=36平方厘米；又由于S△DCB＝DC×CF÷2，这样可以求出CF的长，于是很容易得出EF的长；在△CFB中，底边CF上的高线为EB，由S△CFB=CF×EB÷2=24平方厘米，又可求出EB的长，于是问题也就得到了解决．

解：S△BCD=DC×EC÷2=12×10÷2=60（平方厘米）

　　S△DCF=S△DBC-S△CFB=60－24=36（平方厘米）

　　又因为S△DCF=DC×CF÷2

　　所以12×CF÷2=36

　　CF=36×2÷12=6（厘米）

　　EF＝CE—CF＝10—6=4（厘米）

　　又由S△BCF=CF×EB÷2

　　所以6×EB÷2=24

　　EB=24×2÷6=8（厘米）

　　S△EFB=EF×EB÷2=4×8÷2=16（平方厘米）

　　答：△EFB的面积是16平方厘米．

例4 梯形ABCD中（如图7—4），△ABE的面积等于30平方厘米，EC的长是AE长的2倍，梯形ABCD的面积是多少平方厘米？

分析：因为EC的长是AE长的2倍，取EC的中点为F，连结BF、DF，如图7—5，那么△ABE、△EBF、△FBC是等底、等高，所以它们的面积相等．于是可以求出△ABC的面积．

　　又因为△ABC与△DBC有公共的底边BC，相同的高即梯形的高，所以，它们的面积相等，它们的面积分别减去公共△BEC的面积，结果仍应该相等，也就是说，△ABE的面积等于△DEC的面积，是30平方厘米．

　　又由EC是AE的2倍知，△AED的面积是△DEC的面积的一半．至此，很容易求出梯形的面积．

解：因为EC=2AE，取EC的中点F，连结BF、DF．有

　　S△ABC=3S△ABE=3×30=90（平方厘米）

　　又因为S△ABC=S△DBC

　　所以S△ABC-S△EBC=S△DBC-S△EBC

　　即S△ABE=S△DEC=30（平方厘米）

　　而S△AED=SDEC÷2=30÷2=15（平方厘米）

　　所以梯形ABCD的面积是

　　90＋15＋30=135（平方厘米）

　　答：梯形ABCD的面积为135平方厘米．

例5 在△ABC中，如图7—6，AB=3AD，AC=3CG， BE=EF=FC，且△FCG的面积为1平方厘米，求阴影部分的面积是多少平方厘米？

分析：直接求阴影部分的面积不容易求，如果根据已知能求出△ABC的面积及三个空白三角形的面积，就可以求出阴影部分的面积．

　　因为BE=EF=FC，连结AE、AF，△ABE、△AEF、△AFC是等底（BE=EF=FC）、等高的三角形，所以它们的面积相等．

　　又因为AC=3CG，在△AFC、△GFC中，底边AC=3GC，高相等，所以△AFC的面积是△GFC的面积的3倍，由S△FCG=1平方厘米，S△AFC=1×3=3平方厘米，容易求出S△ABC=3S△AFC=3×3=9平方厘米．

解：连结AE、AF、DC，如图7—7．

　　因为AC=3CG，在△AFC、△GFC中，

　　S△AFC=3S△GFC=3×1=3（平方厘米）

　　在△ABE、△AEF、△AFC中，因为BE=EF=FC，它们的高相等，所以

　　S△ABE=S△AEF=S△AFC=3（平方厘米）

　　S△ABC=3S△AFC=3×3=9（平方厘米）

　　S△ABC-S△DBE-S△ADG-S△GFC

　　=9-2-2-1=4（平方厘米）

　　答：阴影部分的面积为4平方厘米．