彭德怀图片:形象思维与初中数学教学?董林伟?发表在《中学数学月刊》08年第11期

形象思维与初中数学教学

董林伟

发表在《中学数学月刊》08年第11期

数学思维在数学学习中具有重要作用，严格地说，没有数学思维，就没有真正的数学学习。从本质上说，数学学习是学生获取知识、形成技能和能力的一种思维活动过程，这个过程是直观思维、具体形象思维和逻辑思维三个方面的结合。

形象思维是借助于事物的形象（表象），并按照描述逻辑的规律而进行的一种思维，这种思维的形式为表象、联想和想象。表象是外界事物在头脑中的感性映象，形象思维的特征是表象作为思维的外壳，形象伴随着思维，使思维鲜明生动，丰富具体，形象其表，思维其里，一表一里，相得益彰。形象思维不同于直观的感性认识，在形象思维过程中，作为思维材料的形象已不再是原始形象，而是经过加工改造了的形象，它高于感性认识，又不同于抽象思维。形象思维具有以下几个鲜明的特点：

（1）形象性：形象材料的最主要特征是形象性，也即具体性、直观性，这与抽象思维所使用的概念、理论、数字是截然不同的。例如骨牌游戏。

（2）概括性：这时的思维材料并不是原始的感性材料，而是经过一定程度加工了的东西，这种认识不是停留在个别事物的表面形象上，而必须运用概括的方法来把握同类事物的共同特征。抽象思维用概念进行概括，而形象思维则用典型形象或概括性形象来完成这一使命。

（3）创造性：创造性思维使用的思维材料和思维产品绝大部分都是加工改造过或重新创造出来的形象。数学中的类比和联想是常用的形象思维方法。类比可以引导发现，这也表现出形象思维的创造性。例如“6人可以找到三个人互相认识或互相不认识”。

（4）整体性：人在理性认识过程中，常常要从整体上把握事物的本质，而形象思维正是如此。数学中许多问题，往往都是由学生自己画出图形，从整体上把握问题的条件和结论，与逻辑思维结合，使问题得以解决。如哥尼斯堡七桥问题。

（5）运动性：形象思维作为一种理性认识，它的思维材料不是静止的，孤立的，不变的。例如，为了描述曲线上一点的切线将思维材料（切线）纳入到割线运动中去。

义务教育阶段，是学生的思维由具体形象思维为主向抽象思维为主的发展时期，即使到了初中阶段，学生的抽象思维已经获得了较大的发展，但学生一般还不能完全依靠抽象的数学概念进行思考，往往还需要形象思维的支持，他们习惯于把新的数学概念、具体形象和自己的经验联系起来，从“数学现实”出发，用观察、模仿、实验、猜想等手段收集材料，喜欢用图形、图表、模型等具体手段进行学习。因此在初中数学教学中，应充分关注并发挥形象思维在教学中的运用，使学生的思维方式与思维能力得到更好的改善与发展。

1．创设问题情境，直观生动地建立数学概念

数学抽象必须以具体的素材为基础，任何抽象的数学概念与原理，都有具体、生动的现实原型，即形象材料。例如我们通过数东西来学习计算，如果没有数过东西，数字的含义及数字间的关系就不能被内化，只有拥有了大量数东西的经验后，对数字的理解才能达到更抽象。因此，在进行更抽象的符号运算之前，必须有大量丰富的模拟数学情境的经验。

初中数学教学，在抽象的数学概念或原理的建立过程中，要注意问题情境的创设，从实例引入，引导学生通过具体直观的形象材料，激发兴趣，引发思考，形成抽象。例如关于有理数的运算法则的形成，应注意从实际问题情境中抽象出运算的过程，关注对运算意义的理解。建立实际操作与数学运算的内在联系，在学生的实际操作中，产生直觉经验，找到数的运算的现实背景，促进学生理解运算的含义与性质，并自觉地运用于解决问题的过程中：

“有理数的加法与减法”：可以通过创设“观察最高气温和最低气温在温度计上的位置求日温差”的情境，既贴近学生生活，又直观形象地揭示了有理数减法运算法则的合理性，有利于学生领会有理数减法运算的实质，从而实现减法运算向加法运算的转化。

“有理数的乘法与除法”：可以创设“水位升降”的实际问题情境，引导学生借助生活经验和已有知识，解答有关“水位变化”的问题，把实际问题“数学化”，探索有理数乘法法则，感受“规定”的合理性，最后明晰结论。

除了真实的生活情境，教学时还可以结合教学内容，设计一些模拟情境：例如，关于函数概念的学习，在学生处于初中函数学习的初期，可以借助“函数发生器”来帮助学生建立函数的概念：输入一个x，输出一个惟一的y。利用“函数发生器”，既可以帮助学生直观地了解函数概念的本质，又可以避免抽象语言带来的理解上的困难。

2、借助图形直观，提供解决问题的方法与途径

图形以其鲜明的直观和简捷的表现形式为我们提供了解释和思考现实世界的方式，运用几何模型和空间想象，不仅为解决数学内外的问题提供了有效的思维方式和工具，同时也往往成为创造的源泉。其实，学生在很多方面感受图形直观的作用。例如，当他们研究变量之间的关系时，往往需要作出图象，利用直观“看见”变化的趋势；当他们面对一堆数据时，也往往希望作出图来直观描述这些数据；当他们学习一些重要的概念（如实数、比例）时，也希望通过概念的几何模型（数轴、相似）来加深理解；当他们运用所学知识解决问题或创造时，图形往往提供了思路和灵感。

例如 “某届世界杯决赛共有32支队伍参加，他们被分成8个小组，每个小组的4支球队采用单循环的形式（即每两支球队要比赛一场）决出前两名进入复赛。这届世界杯的小组赛一共进行多少场比赛？”解决这个问题的关键要计算出每个小组需要比赛的场次。为了得到这个结果，学生可以利用图来表示4支球队的对决情况：用4个点表示4支球队，任意2点的连线表示这两队的一场比赛。从这张图中不难看出，比赛的场次等于4点构成的四边形的边数和对角线数的和。

利用这种方法，学生还可以求解更大数目的情况。在这个问题中，图形提供了一个有条理的列举方式。

在用方程解决问题的教学中，新课程强调不以题型分类，如行程问题、工程问题等，而强调对实际问题的数量关系的分析，突出解决问题的策略，特别注意借助图表、线图整体把握和分析题意，寻找相等关系，并注意检验和解释方程解的合理性．教学中要为学生提供足够的探索和交流的空间，鼓励学生多采用“尝试、猜想、验证”方法去解决问题．

3、利用数学模型，深化对数学的理解与运用

模型是将数学概念更直观地呈现给学生的方法。操作、图形、表格、类比、比喻以及故事都可以用作说明数学主题的某些重要的模型。在教学中，模型不仅能够起到说明的作用，而且具有更深远的影响——将数学概念融入学生真实的生活。

对于一个概念，任何单独的模型或表征对于发展学生的数学能力是不够的。即使学生理解了一个概念并能够用单一的方法正确地解决问题，如果没有使用多种模型，他们在与他人交流自己所知道的东西时会感到十分困难。“任何一幅图画都可以用千万种语言来表达”，只要有可能，要鼓励多种模型的使用。

例如，函数除了用语言描述外，还可以用多重表示：数值、解析式和图象，学生可以用函数的多重表示的相互转换帮助对函数的理解。其中函数的图象对于理解函数的概念有着十分重要的意义：作函数的图象是将公式或数据转化为几何形式的过程，因此，作图是“看见”相应的公式和函数观察函数变化的途径之一，当要说明一个函数的整体情况及其特征时，函数的图象以其直观性有着别的工具不能替代的作用，虽然图象表示不象解析式那样简洁或便于运算，但是它可以使人们对所满足的关系有一个全面形象的了解。

我们应该鼓励学生用各种适当的模型（包括图形、表格、公式、口头描述和绘图）来交流他们的思想，其他模型如流程图、几何实体、比喻和类比在课堂上也是常用的，使用这些模型并不会影响数学的中心地位，其作用是使数学概念的基本意义更加突出和深化。

4、设计数学活动，引导学生发现创造

数学活动中，可以使学生在直观、形象的活动过程中进行数学探索活动，验证、发现数学结论与方法。

例如“三角形的三个内角和等于180⁰”，可以让学生经过以下操作实验获得初步经验：（1）自己画一个三角形，用量角器量出它的三个内角。求其和；（2）将一个三角形的三个角剪下来，拼成一个半平面；（3）也可以设计以下的实验帮助学生进行思考和理解。用铅笔在纸上所画的一个⊿ABC上做实验：

第1次将笔尖指向A点（铅笔与AC边平行）；

第2次旋转∠A后，笔尖指向A点；

第3次旋转∠B后，笔尖指向C点，但铅笔与BC边平行；

第4次旋转∠C后，笔尖指向A点。

经过4次旋转后，笔尖正好掉转一个方向，这说明∠A+∠B+∠C=180⁰。

B

C

A

借助于计算机（包括图形计算器）的快速运算功能和图形处理能力，模拟再现问题情境，引导学生自主探究数学知识、发现或检验数学结论（或假设）。

例如，在研究圆与圆的位置关系时，让学生上机实验，通过双击“动画”按钮让O₁运动，改变两圆的位置，以便研究它们的位置关系．在整个研究过程中学生可以随意地拖动O₁，研究每一种位置关系时公共点的个数以及R+r、R-r与O₁O₂的数量关系，发现并获得数学结论。

列宁说过：“甚至数学也需要幻想，甚至没有它就没有微积分”。我国思维科学的创始人、著名科学家钱学森认为，以前对抽象思维研究过多，而对形象思维研究则缺少认识，以至于用电子计算机处理各种理论问题势如破竹，而用来处理图象领域中的大量问题却步履艰难。他还明确指出，形象思维应是思维科学中的三大基础科学之一，必须引起足够的重视。对于培养适应新世纪人材的中学数学教育，为培养具有丰富想象力和创造力的新生力量，必须重视受教育者的形象思维能力的发展。