许昌黑社会照片:数学思维能力的培养?章建跃

数学思维能力的培养

人民教育出版社　章建跃

我国初、高中数学教学大纲中都明确指出，思维能力主要是指：会观察、实验、比较、猜想、分析、综合、抽象和概括；会用归纳、演绎和类比进行推理；会合乎逻辑地、准确地阐述自己的思想和观点；能运用数学概念、思想和方法，辨明数学关系，形成良好的思维品质。我们认为，大纲中对思维能力的这一阐述是准确的、科学的，反映了心理学对思维能力研究的最新成果，对我国当前的数学教学具有重要的指导意义。

那么，在数学课堂教学中应当如何贯彻教学大纲的思想，更加有效地培养学生的数学思维能力呢？以下我们从发展心理学、教育心理学的角度谈谈看法。

一、数学概括能力的培养

数学教学中，应当强调数学的“过程”与“结果”的平衡，要让学生经历数学结论的获得过程，而不是只注意数学活动的结果。这里，“经历数学结论的获得过程”的含义是什么呢？我们认为，其实质是要让学生有机会通过自己的概括活动，去探究和发现数学的规律。

概括是思维的基础。学习和研究数学，能否获得正确的抽象结论，完全取决于概括的过程和概括的水平。数学的概括是一个从具体向抽象、初级向高级发展的过程，概括是有层次的、逐步深入的。随着概括水平的提高，学生的思维从具体形象思维向抽象逻辑思维发展。数学教学中，教师应根据学生思维发展水平和概念的发展过程，及时向学生提出高一级的概括任务，以逐步发展学生的概括能力。

在数学概念、原理的教学中，教师应创设教学情境，为学生提供具有典型性的、数量适当的具体材料，并要给学生的概括活动提供适当的台阶，做好恰当的铺垫，以引导学生猜想、发现并归纳出抽象结论。这里，教师铺设的台阶是否适当，主要看它是否能让学生处于一种“似懂非懂”、“似会非会”、“半生不熟”的状态。猜想实际上是在新旧知识相互作用的过程中，学生对新知识的尝试性掌握。教师设计教学情境时，首先，应当在分析新旧知识间的本质联系与区别的基础上，紧密围绕揭示知识间本质联系这个目的，安排猜想过程，促使学生发现内在规律；其次，应当分析学生已有数学认知结构与新知识之间的关系，并确定同化（顺应）模式，从而确定猜想的主要内容；再次，要尽量设计多种启发路线，在关键步骤上放手让学生猜想，使学生的思维真正经历概括过程。

概括的过程具有螺旋上升、逐步抽象的特点。在学生通过概括获得初步结论后，教师应当引导学生把概括的结论具体化。这是一个应用新获得的知识去解决问题的过程，是对新知识进行正面强化的过程。在这个过程中，学生的认知结构与新结论之间的适应与不适应之间的矛盾最容易暴露，也最容易引起学生形成适应的刺激。

在概括过程中，要重视变式训练的作用，通过变式，使学生达到对新知识认识的全面性；还要重视反思、系统化的作用，通过反思，引导学生回顾数学结论概括的整个思维过程，检查得失，从而加深对数学原理、通性通法的认识；通过系统化，使新知识与已有认知结构中的相关知识建立横向联系，并概括出带有普遍性的规律，从而推动同化、顺应的深入。

数学的表现方式是形式化的逻辑体系，数学理论的最后确立依赖于根据假定进行抽象概括的能力。因此，教师应当引导学生学会形式抽象，实际上这是一个高层次的概括过程，在这个过程中，学生的逻辑推理能力可以得到很好的培养。

以下课例较好地反映了上述思想（为了节省篇幅，我们只列出提纲）。

课例平行线的判定（参考成都20中傅自素老师的教案）

引入

通过展示日常生活中的实例，引入判定两直线平行的课题；通过一定的数学问题，让学生认识到用平行线的定义来判定两直线平行关系的困难性，从而引起探求新的判断两直线平行方法的需求。

平行线判定公理的认知

1.用三线八角活动教具（如图1所示），让直线a绕点A运动，∠1的大小随着改变，请学生观察在什么位置时有a∥b。

图1

2.让学生用已学会的方法，过直线a外一点A画已知直线的平行线，并要求学生思考：画平行线时，“三角板的一边紧贴直尺移动”的过程中，什么量保持不变？

说明：“三线八角”是学生熟悉的几何图形，通过运动变化，使学生感受平行线判定公理实际上是“三线八角”图形的一种特殊位置，从而为学生自己得出判定公理作了铺垫。这里渗透了运动变化、特殊与一般相互转化等数学思想方法。用两块三角板画平行线也是学生熟悉的，由此而让学生思考“移动过程中的不变量”，渗透了观察能力的培养，由此也为学生认识“用角的相等判断直线平行”作了铺垫。有了这样的准备，判定公理的得出就“水到渠成”了。）

3.请学生用自己的语言叙述出上述过程中发现的规律。（提醒学生注意：判断两条直线平行时，用了“转化”思想，即将判断平行问题转化为判断角相等问题）

说明：让学生用自己的语言叙述规律，是一个归纳概括的过程，这对学生获得原理是非常重要的。

4.同时用图形语言、文字语言和符号语言表示“平行线判定公理”。

说明：在几何教学中，“三种语言”结合使用非常重要，特别是要注意“用图形说话”。

5.巩固性练习：

（1）如图2，如果∠1＝150?/SPAN>，∠2＝150?/SPAN>，a∥b吗？为什么？

（2）如图3，∠C＝30?/SPAN>，当∠ABE＝ 时，可使BE∥CD。

（3）如图4，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4。判断下列推理是否正确，并说明理由。

①如图4，∵∠1＝∠2（已知），∴EM∥FG。（同位角相等，两直线平行）

②如图4，∵∠3＝∠4（已知），∴AB∥CD。（同位角相等，两直线平行）

说明：这里的练习编排具有一定的变化性，其思路是对判定公理的条件、结论的置换，还有是背景图形的变化──在一个相对复杂的变式图形中应用判定公理，目的是为了强调“同位角相等”这个条件。

图2

图3

图4

探究平行线的判定定理

1.利用图形、教具，引导学生观察、猜想。

问：观察图形，结合已学过的判定公理和前面学过的有关两角相等的知识，你能否找出判断两条直线平行的新方法？

请大家讨论一下，提出猜想。

说明：这里，教师在猜想的方向上做出了引导，并用语言唤起学生已有认知结构中的相关知识，这样做有利于学生通过适当的归纳推理的出猜想。

2.验证猜想，发现证明思路。

猜想所获得的结论不一定正确，也既猜想的正确性需要通过严格的逻辑论证。为了寻找证明思路，我们可以先考察一些特殊情况。

请同学们画出两条直线，使它们与第三条直线相交所得的内错角为30?/SPAN>。测量一下这两条直线是否平行。再以你自己选定的一个角为内错角画出图形，测量一下它们的位置关系。

结合判定公理，考虑一下它们为什么相等？

不难发现：由公理知，只要证明∠2＝∠3，即有AB∥CD，而∠2＝∠1＝30?/SPAN>（已知），∠1＝∠3（对顶角相等），于是∠3＝30?/SPAN>（等量代换），∴∠2＝∠3，∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）。

图5

改变∠2、∠1的大小，保持∠1＝∠2的关系不变，让学生观察AB与CD的关系，得出都有AB∥CD。

教师强调：由于不能一一验证，因此应当进行推理来证明一般情况的正确性。

说明：这里，为了使学生获得经验，先用具体例子验证，再通过运动变化将具体推向一般，并引导学生体验对一般情况进行证明的必要性。这样的设计体现了对学生的概括活动从具体到抽象的、循序渐进的引导。

3.证明猜想，获得定理。

教师引导：所谓证明，实际上就是把要证明的问题转化为已经成立的公理或定理。现在我们知道哪些判定两直线平行的方法？（定义、判定公理）

那么，能否把“内错角相等”转化为“同位角相等”？

由上面对具体例子的分析，学生经过一定的思考后不难完成如下证明：

∵∠1＝∠2（已知），

∠1＝∠3（对顶角相等），

∴∠2＝∠3（等量代换）。

∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）。

这样，我们就把“猜想”变成了“定理”，我们将它称为平行线判定定理1。这个定理可简述为“内错角相等，两直线平行”。

4.练习巩固，加深理解（略）。

5.思想方法的总结。

判定定理1的探讨过程是：

猜想──验证──证明──应用

这是探索问题的常用方法。在这个过程中我们可以看到，为了解决新的问题，我们常常将它转化为一个已知的命题来解决。这样，如何实现转化就成为解决问题的关键。另外，“没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现”。

6.知识迁移，独立推理。

请同学们用证明判定定理1的方法，自己探索一下“两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行”是否成立。

学生独立思考，练习书写说理过程。

综合应用（略）。

课堂小结

1.请同学们回顾一下我们已经获得的判定两直线平行的方法。

2.探讨过程中用到的思想方法。

上述课例中，教师根据初中一年级学生思维处于从直观形象思维向抽象逻辑思维转折时期的特点，通过活动教具、作图等，引导学生操作、观察，归纳概括而得平行线判定的有关猜想。在此基础上，通过具体例子引导学生体会证明猜想的方法，并由特殊推向一般、从具体引向抽象，获得了判定定理1的证明。这个概括过程，先使学生获得关于推理的一些直接经验，形象直观，有操作、有想象、有分析、有归纳，思维经历了从具体到抽象的过程。在获得定理的证明后，及时概括相应的数学思想方法，使学生的思维得到及时升华。接着，让学生用刚刚获得思想方法去证明其它猜想，从而及时巩固了学到的知识。由于所有判定定理都是学生自己事先猜想出来的，而猜想的证明也是在教师的引导下学生自己独立作出的，因此学生从中体验到了自己也有能力获得数学定理，这对激发学生的学习愿望，形成数学学习的自信心也是非常有好处的。

另外，在教学过程中，教师特别重视了“化归”这一重要的数学思想方法的渗透，充分利用知识之间的相互联系性，通过分析、归纳、概括，将要解决的新问题转化为已经解决的问题，这个过程的实质就是概括。我们相信，通过这样的教学，长期坚持，潜移默化，学生的观察、猜想、分析、归纳、概括以及逻辑论证等能力都会得到很好的培养和提高。

实践表明，通过向学生展示各个平行线定理的直观背景、产生过程及其证明方法的形成过程，学生的思维活动被激活了，通过他们自己主动的思维活动，不但获得了关于定理的猜想，概括出了定理的证明方法，而且还受到了数学思想方法乃至数学观念的训练：从特殊到一般、从简单到综合，即一般化和特殊化思想；从直观到抽象不断转化，即化归思想；运动变化思想等等。另外，在这样的概括过程中，学生还能体验到，数学不仅有严密的逻辑推理，抽象的演绎论证，在数学理论的产生过程中，也有直观、猜想、非逻辑性，而且也有合情推理。这种展示了数学活动真实过程的教学情境，使学生有机会看到数学知识的实际背景和抽象过程，使他们有机会开展主动的思维活动，通过自己的猜想、发现来概括数学原理，确实使学生的数学概括能力得到了很好的培养和提高。

必须指出的是，概括能力的培养，不论采取何种教学方法（发现法或讲授法），关键是要有正确的教学思想，使学生真正成为学习的主体，把教学真正建立在学生自己的独立探索、思考、理解的基础上，真正给学生以独立探索的机会，使他们在学习过程中有充分的自由思想空间，使学生有机会经历数学概括的全过程。但是，在教学实践中，要做到这些并不容易，教师对学生的学习能力往往并不完全信任，他们总怕学生出错，总怕学生会浪费时间，总想搀扶着学生，甚至不惜去代替学生思维。而这些做法与培养学生的数学概括能力的要求是背道而驰的，也是与数学学习的本来面目不相符合的。因此，在数学教学中，我们应当从数学概括的自身特点出发，在使用抽象的数学语言和符号表述数学定义、定理或原理之前，通过可观察的（实物、图形、图表等等）、描述性的、可亲身体验的形式来传播新的思想，从而引起学生的学习兴趣，促使他们自己去试验、构造，用他们自己的语言去阐述和解释，通过自己的独立思维活动来学习知识。要为学生创造一种环境，使他们在其中扮演自主活动的角色，有发挥自己的聪明才智进行创造性学习的机会，能自己去寻找需要的证据，获得能够反映自身特点的对数学原理的解释，在他们自己的水平上完成对数学原理的概括过程。我们应当把数学当作一种科学探索的过程（当然，它是在教师的指导下进行的），而不要把它当成是一种语言、一种高度抽象的理论。应当努力促使学生形成自己对数学的理解，并能用自己的语言来表达这种理解，而不要只是追求所谓的精确性。因为在学生的数学学习中，精确而没有理解，理解但不精确的现象都不少见。通过死记硬背而一字不差地重述一个定理，在任何时候都不能与理解一个定理划上等号。

二、重点放在培养学生的思维品质上

心理学家认为，培养学生的数学思维品质是发展数学能力的突破口。思维品质包括思维的深刻性、敏捷性、灵活性、批判性和创造性，它们反映了思维的不同方面的特征，因此在教学过程中应该有不同的培养手段。

数学的性质决定了数学教学既要以学生思维的深刻性为基础，又要培养学生的思维深刻性。数学思维的深刻性品质的差异集中体现了学生数学能力的差异，教学中培养学生数学思维的深刻性，实际上就是培养学生的数学能力。数学教学中应当教育学生学会透过现象看本质，学会全面地思考问题，养成追根究底的习惯。对于那些容易混淆的概念，如正数与非负数、空集F和集合{0}、锐角和第一象限的角、充分条件和必要条件、映射与一一映射、sin(arcsinx)与arcsin(sinx)等等，可以引导学生通过辨别对比，认清概念之间的联系与区别，在同化概念的同时，使新旧概念分化，从而深刻理解数学概念。通过变式教学揭示并使学生理解数学概念、方法的本质与核心。在解题教学中，引导学生认真审题，发现隐蔽关系，优化解题过程，寻找最佳解法等等。

数学思维的敏捷性，主要反映了正确前提下的速度问题。因此，数学教学中，一方面可以考虑训练学生的运算速度，另一方面要尽量使学生掌握数学概念、原理的本质，提高所掌握的数学知识的抽象程度。因为所掌握的知识越本质、抽象程度越高，其适应的范围就越广泛，检索的速度也就越快。另外，运算速度不仅仅是对数学知识理解程度的差异，而且还有运算习惯以及思维概括能力的差异。因此，数学教学中，应当时刻向学生提出速度方面的要求，另外还要使学生掌握速算的要领。例如，每次上课时都可以选择一些数学习题，让学生计时演算；结合教学内容教给学生一定的速算要领和方法；常用的数字，如20以内自然数的平方数、10以内自然数的立方数、特殊角的三角函数值、无理数、、π、е、lg2、lg3的近似值都要做到“一口清”；常用的数学公式如平方和、平方差、立方和、立方差、一元二次方程的有关公式、对数和指数的有关公式、三角函数的有关公式、各种面积、体积公式、基本不等式、排列数和组合数公式、二项式定理、复数的有关公式、斜率公式、直线、二次曲线的标准方程等等，都要做到应用自如。实际上，速算要领的掌握和熟记一些数据、公式等，在思维活动中是一个概括的过程，同时也训练了学生的数学技能，而数学技能的泛化就成为能力。

数学思维功能僵化现象在学生中是大量存在的，这与学生平时所受的思维训练有很大关系。教师在教学过程中过分强调程式化和模式化；例题教学中给学生归纳了各种类型，并要求学生按部就班地解题，不许越雷池一步；要求学生解答大量重复性练习题，减少了学生自己思考和探索的机会，导致学生只会模仿、套用模式解题。灌输式的教学使学生的思维缺乏应变能力。因此，为了培养学生的思维灵活性，应当增强数学教学的变化性，为学生提供思维的广泛联想空间，使学生在面临问题时能够从多种角度进行考虑，并迅速地建立起自己的思路，真正做到“举一反三”。教学实践表明，变式教学对于培养学生思维的灵活性有很大作用，在概念教学中，使学生用等值语言叙述概念，数学公式教学中，要求学生掌握公式的各种变形，都有利于培养思维的灵活性。另外，思维的灵活性与思维的敏捷性是相互依存的，因此数学教学中采取措施（如编制口答练习题）加快学生的思维节奏，对于培养学生的思维灵活性也是很有好处的。

创造性思维的培养，首先应当使学生融会贯通地学习知识，在解题中则应当要求学生独立起步，养成独立思考的习惯。在独立思考的基础上，还要启发学生积极思考，使学生多思善问，能够提出高质量的问题是创新的开始。数学教学中应当鼓励学生提出不同看法，并引导学生积极思考和自我鉴别。

批判性思维品质的培养，可以把重点放在引导学生检查和调节自己的思维活动过程上。要引导学生剖析自己发现和解决问题的过程；学习中运用了哪些基本的思考方法、技能和技巧，它们的合理性如何，效果如何，有没有更好的方法；学习中走过哪些弯路，犯过哪些错误，原因何在。批判性思维的培养，有赖于教师根据学生的具体情况，有针对性地设计反思问题，以引起学生的进一步思考。