京东电商学院院长周鸿:论文创作3：怎样组织

   ──与青年教师谈写作三

    马明

    有了材料，还要组织，组织要围绕中心。

    以“善问”一文（见《江苏教育》１９８５年第１０期）为例。提问是教学中经常进行的活动，而且“问题”在数学教学中占有极重要位置，因此首先要组织材料阐明“问题”的重要性，该文是这样开头的：

    思维从问题始，海莫斯又说：“问题是数学的心脏。”这些话都有理。试看，一个学生学习的全过程，一位数学家创造数学的全过程，乃至一步数学史的发展全过程，不正是不断提出问题，解决问题的历史吗？

    因此，善问是数学教师的基本功，也是所有数学教育家十分重视研究的问题，一个恰当而富有吸引力的问题往往能拨动全班学生思维之弦，奏出一曲耐人寻味，甚至波澜起伏的大和唱，无怪国际数学教育家G·波利亚在论述讲课效果时提出， 要“尽量通过问题的选择，提法和安排来激发读者，唤起他的好胜心和创造力，并且给他充分的机会去处理各种各样的研究对象。”

    文章接着就应围绕问题的选择，提法和安排这三个中心去组织具体材料。

    “板演”也是数学教学中的经常活动，并与提问相辅相成，“板演”一文（见《江苏教育》１９８６年第１２期）是这样开头的：

    １９５１年我所任教的班级三面黑板，临窗一面也夹有小块黑板，一次可容１０－２０人，经过２－３次板演，全班同学都可轮到一次。即减轻了课外作业负担，同时由于学习成果及时反馈，又可起到激发学生再学习的动机。此时教师心中有数，也就点点拨及时，效果往往超过课外作业批改，当然，这种板演题都是基本题，解法单一，答案形式一致，同学之间也可相互评阅。

    尔后，教室黑板总面积缩小了，一部分还被班报占用，甚至连讲台黑板的两侧也写满“语录”或通知，能用的范围越来越小，就是在这小块面积上，我还是坚持让学生板演，谁会就上来，演一半也可下去，在下面想通了还可上来写。连１９６４━１９６５年的高三学生也习惯这种做法，因为它似乎自然，师生心情都不紧张。

    大面积学生进行板演，对综合题和难题就不适用──不可能三个或五个难题在黑板上同时出现,这样做全班同学跟不上。但是， 同一道题常可由２─３人同时板演，由于综合题的解题途径不单一，甚至答案外形各异，２─３人同时板演一到题，则可相互观摩，取得意想不到的效果。……

    组织青身经历的材料去说明“板演”的重要性和具体做法，使读者有真实感，难怪一位校长读完这篇文章后对我讲：“三面黑板的办法好，我这就回去照办。

    《极坐标》一文很长，内容抽象，定理又多（１１条），阅读是容易使人产生疲劳。在组织教材时，就要不断提出问题，最好是出乎读者意外的问题，使读者欲罢不能。

        问题：求双曲线

    ρ＝cosθ/２与ρ＝１＋cosθ/２的交点。

    由于方程组：ρ＝cosθ/２        （１）

                ρ＝１＋cosθ/２    （２）

    无解，所以这两条曲线没有交点。其实，极点是它们的交点，因为（１）有解（０，π），（２）有解（０，２π）。而（０，π）或（０，２π）都是极点，除极点外，它们还有交点吗？有，例如Ａ（１，π），Ｂ（１/２，４π/３）， Ｃ（１/２，－４π/３）都是它们的交点。（可能，你还不会承认！）

    除此之外，它们还有交点吗没有了。为什么──这就是该文“定理４”要回答的问题。

    这样，一个问题扣一个问题，甚至是出人意料之外的问题，使读者的疲乏感一扫而空。

    运算能力，逻辑思维能力和空间想象能力构成数学教学中相互联系的三项基本能力。在实际教学中我们往往把注意力集中在思维能力的培养上（这当然是必要的），但对运算能力的培养过分忽视，特别是对高中阶段的运算特点的认识不足，估计不足，造成学生运算能力差的现象。

    在《运算能力及其培养途径》一文（见《数学通报》１９８４年第６期）中，我是分以下几个中心组织材料的：

    （一）运算内容──根据大纲规定的内容，从小学到初中，到高中，用具体从材料说明数学运算这个课题在数学教学中是贯彻始终的，并且逐步体现出数学的高度抽象性，严密的逻辑性和广泛的应用性等特点。

    （二）运用能力结构的特点──用具体材料说明运算能力是一个综合能力，它不可能独立存在和发展，而是与记忆能力，理解能力，推理能力，表达能力，以及空间想象等其它能力相互渗透，相互支撑的。这种结构特点是不容忽视的。同时，再用具体材料说明运算能力结构还有一个层次性特点（运算总是从简单到复杂，从低级到高级，从具体到抽象，有层次的发展起来的）。

    （三）运算过程的实质是推理──用具体材料说明运算是被理解为从集合Ａ到集合Ａ的对应，而运算过程则是实现这种对应的过程，即根据运算定义及其性质从已知的运算对象推算出结果的过程。因此，运算过程的实质是一种推理过程。

    （四）培养运算能力的途径──根据运算能力的结构特点以及运算过程的实质（推理），具体介绍数(或式)的变形与几何图形的变换（变换也是运算），并强调要提高理解水平，运算水平以及演算能力。