iphone指南针频繁校准:关于课题学习

关于课题学习

    1．义务教育数学课程标准为什么增设“实践与综合运用”这样一个学习领域

    我国学生实践能力和综合运用能力相对薄弱，为此《基础教育课程改革纲要（试行）》在规划新的课程体系时，规定“从小学到高中设置综合实践活动并作为必修课程”，强调通过学生实践，增强探究和创新意识，学习科学研究的方法，发展综合运用知识的能力，增进学校与社会的密切联系，培养学生的社会责任感。

    同时《基础教育课程改革纲要（试行）》又指出综合实践活动与各学科领域应形成一个有机整体，二者既有其相对独立性，又存在紧密的联系，在某些情况下，综合实践活动也可和某些学科教学打通进行，同时，各学科课程中亦应注重培养学生的实践和综合应用能力。为此，课程标准调整了数学学科的结构，在“数与代数”、“空间与图形”、“统计与概率”这些知识性的领域之外，设置了“实践与综合应用”这一数学学习领域。具体地，《义务教育数学课程标准（实验稿）》指出：“实践和综合应用”将帮助学生综合运用已有的知识和经验，经过自主探索和合作交流，解决与生活经验密切联系的，具有一定挑战性和综合性的问题，以发展他们解决问题的能力，加深对“数与代数”、“空间与图形”、“统计与概率”内容的理解，体会各部分内容之间的联系。当然随着学段的变化，侧重点有所不同，初中阶段则侧重于在实践基础上的“课题学习”，让学生通过一些具有挑战性的研究课题，获得初步的研究经验，发展一定的研究能力。

    2．教材中设计“课题学习”的必要性

    课程标准中明确提出了加强数学的应用教学，倡导自主探索、合作交流的学习方式，倡导在教师的指导下开展“数学知识的再创造”学习活动，培养学生的研究能力。现行实验教材的编写和日常教学的开展中已较好的体现了这一点，在“数与代数”“空间与图形”“概率与统计”等知识教学中，也已经注重了学生的实践和综合应用能力的培养、注重了学生研究性学习方式的养成。因此，有人认为没有必要开展单独的“实践与综合应用”，可以在相应内容的教学中开展一定的实践性活动，增强其实践性即可。为此，有必要进一步比较“实践与综合应用”和其他知识学习的功能。下面以初中阶段“课题学习”为例加以说明。

    固然，在日常教学中，已经注重了学生研究性学习方式的养成，但“课题学习”更具深刻性。具体地，“课题学习”具有如下特点：

    （1）课题学习的目标并非新知识的习得，而是旧知识的综合应用，教学中更为关注学生在问题解决中的亲身体验，因而目标更具过程性。

    （2）课题学习解决的是未经加工的原始问题，因而背景更具现实性、问题更具挑战性。

    （3）课题学习问题的解决，需要综合应用“数与代数”“空间与图形”“概率与统计”等多种知识，因而内容更具综合性。

    （4）有时课题学习只是给出了一个原始的问题，并未规定解决问题的手段，甚至只是规定了一个大的方向，问题本身的提出和解决都由学生自己选择。例如“吸烟和被动吸烟都有害健康，你所在地区大约有多少人吸烟，有多少人被动吸烟，吸烟对人有哪些危害，吸烟浪费多少物质资源……选择某个感兴趣的主题开展调查，并撰写实验报告，在全班交流”。在这一问题中，调查主题及方式都由学生自己选择。因而学生的学习更具自主性、选择性，学习结论更具开放性。

    因此，在教材中编制一定的“实践与综合应用”课题，展开专题研究，有利于提高学生的实践与综合应用能力、转变学生的学习方式、促进学生的合作交流。特别是现阶段广大师生的实践与综合应用的经验相对缺乏、意识比较薄弱的情况下，在教材中设计一定的“实践与综合应用”课题，显得尤为必要。

3．课题学习的形式

    课题学习的开展形式是多样化的，如数学调查、数学制作与设计、数学实验、问题解决、数学探究、数学主题阅读等。因此教学中教师不必局限于教科书上的课题学习，可以根据学生状况选择跟多的主题开展课题研究工作。

    4．课题学习素材选取的原则

    开展“实践与综合应用”活动，必然以某个素材为载体。那么，“实践与综合应用”的素材如何选择呢？笔者认为，实践性和综合性无疑应是“实践与综合应用”题材选择的两个最为重要的原则。

    “实践与综合应用”的一个重要目标，是让学生体会数学与现实世界的联系，树立正确的数学观[2]。因此，选择“实践与综合应用”题材时务必遵循实践性原则。通过切合学生生活实际和认知实际的现实问题，加强数学学习与学生生活的联系，激发学生的学习兴趣，培养学生学习的主动性和数学应用的意识，同时，也有助于学生对数学知识本体的掌握。此外，具有现实背景的“实践与综合应用”题材，更容易体现课程的人文精神和德育价值。如“调查学生一天丢弃的纸团的个数或家庭丢弃的垃圾袋个数”，可增强学生的环保意识；“调查家庭、学校或城市的用水量、水龙头漏水量等”可加强国情教育。

    加强数学各部分内容间的联系，发展学生的综合应用能力，是这一部分学习活动的另一个重要目标[2]。这里的“综合应用”可以是数学各部分知识与表达方式之间的综合。例如对于前述课题学习“用一张长方形的纸制作一个尽可能大的无盖长方体纸盒”，它本身是一个几何背景问题，在如何折叠方可制成一个无盖的长方体的过程中，学生势必应用到许多“空间与图形”的知识；而在长方体体积的表示过程中，又要综合运用“数与代数”和“空间与图形”的知识；初中生尚不具备求三次函数极值的严格数学方法，因此，学生还难以数学地回答“什么情况下，长方体的体积较大”这一问题，只能通过一些具体情形的比较从而获得问题的解决，在这一过程中，又会运用到一定的统计知识，因此，可以说该例是加强“数与代数”“空间与图形”“概率与统计”知识联系和综合应用的一个较好案例。当然，这里的综合应用也可以是数学学科知识与其他学科知识的综合。如“平面图形重心的确定”、“抛物线拱桥的设计”等则可加强数学与物理的联系；而“C60的球状结构分析”也可以作为高中阶段加强数学与化学学科知识联系的一个案例。

    当然，在体现题材的实践性和综合性的基础上，素材选择时还应关注问题的数学性，力图在问题的解决过程中发展学生的数学思维。特别是，在初中阶段，学生已经具备了初步的抽象思维的能力，进行一定的数学拓展已经成为可能。

    案例：猜想、证明与拓广[6]

    本案例依次提出下列问题：

    任意给定一个正方形，是否存在另一个正方形，它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积地2倍？你是怎样做的？你有哪些解决方法？你能提出什么新的问题吗？

    任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍？

    任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半呢？

    在这些问题的解决过程中，学生必将经历猜想、尝试、证明、拓广等过程，从而增强学生问题意识和自主性，使学生获得一定的探索和发现的体验。

    此外，在素材选取时，还应关注问题解决方式的多样化和问题结论的开放性。

5．课题学习素材选取的主体

    这些素材又由谁来选取呢？应该说，在现阶段，一线教师和学生对于“实践与综合应用”尚处于实验探索阶段，对于其素材的选取还缺乏一定的把握能力，因此由课程编制人员通过多方研讨确定一些“实践与综合应用”的主题以供一线教师和学生选用，是十分必要的。但应该明确，我国幅员辽阔，地区、学校、学生之间的差异性较大，因而课程编制人员所提供的素材很难符合所有学生的认知实际。为此，一方面，教材编制时也可就同类题材编制多个“实践与综合应用”，以供学生或老师根据学生的认知实际和生活实际自主选用；另一方面，随着教材实验的进一步推广，教师和学生“实践与综合应用”活动经验的不断丰富，应逐步由一线教师和学生根据学生自己的生活实际和认知状况选取有关“实践与综合应用”的素材。在这样的素材选取过程，实际上也无形中增强了学生运用数学知识解决实际问题的一种主动意识，发展了学生发现问题和探究问题的能力。

    6．课题学习的学习形式

    可以通过课堂学习方式完成，也可以通过作业形式，要求学生经过一段时间实践去完成。特别是一些较大的调查活动和研究活动，可以让学生组成合作小组，在课后完成，然后到课堂上进行班组汇报、总结。

    不管采用哪种方式展开课题学习的教学，在教学过程中都应力图激发学生的主体精神，发挥学生的主体作用。实际上，课题学习的教学过程，应是一个师生一起学习的过程，它为学生主体作用的发挥提供了较大的空间。具体的，课题学习的主题、学习的方法、问题的发现、问题解决的深度、广度等都可以由学生自主控制和完成。学习中不同的学生可能发现并解决不同的问题，对问题的解决方式也是各式各样，问题的结果也是多样的，提出的新的研究问题也千变万化，因而在这样的过程，学生的主体作用得到尽情的发挥，学生将得到各自应有的发展，真正实现不同的学生得到不同的发展 。

    7．采用课内学习的方式的一些参考建议

    选择课内学习的方式展开课题学习活动时，应注意以探索为活动主线，并在探索过程中发挥学生的主体性，在活动的选择与确定、探索与实践活动的展开等过程中加强学生的自主性，从而真正地让学生经历自主的问题解决和研究过程，获得一定的“微科研”的研究经验。为此，在具体教学时，应给予学生较为充分的时间与空间，同时增大问题设置的梯度，保证学生较大的探索余地和思考空间。

    案例：《平面的镶嵌》
    教学课堂教学的流程可以大致如下：课前师生收集镶嵌图案——课堂展示交流有关镶嵌图案——明晰概念（镶嵌）——对所展示图片观察的基础上提出一些有待研究的问题——对学生所提出问题进行适当的归类并进一步引导以展开后续的课堂教学。
学生所提出的问题必将是十分丰富的，同时也可能是十分繁杂的。因此，教师课前应认真分析有关问题，根据学生的学习经验、思维水平以及问题之间的逻辑关系对后续问题的研究进行一个整体的规划，这样才能及时对学生所提出的问题有一个比较好的评判（如对这个问题的研究价值、研究方法、研究难度等作出比较恰当的评判，从而确定这样的问题是否可以在课堂上进行研究，按照什么顺序进行研究等），从而保证课堂教学的有序而高效地进行。固然，教学中可以有多样的选择，下面仅提出一些建议供参考。

总体而言，教学中应认真分析问题的繁简和难易程度，一般遵循先易后难、先简后繁的顺序展开教学活动。因此，建议首先研究较为简单的单个多边形的镶嵌问题，再研究复杂的多个多边形的组合镶嵌问题。

    对于单个多边形的镶嵌问题，基于学生的水平和课程标准的要求，这里主要研究三角形、四边形、正六边形的镶嵌问题。

    对于三角形、正六边形以及一些特殊的四边形（如正方形、长方形、平行四边形）的镶嵌问题，学生应该都比较熟悉，因此，教学中，教师可以根据课堂教学状况灵活选择不同的教学顺序。如可以在收集、观察的基础上发现正方形、正六边形等平面图形都可以镶嵌整个平面，然后思考还有哪些正多边形也可以镶嵌整个平面，再从特殊到一般进一步研究一般的多边形（三角形、四边形）的镶嵌问题；也可以在明晰了镶嵌概念之后，直接要求学生想象哪些多边形能够镶嵌平面，并进行具体的纸上描画或者进行实际的拼接（当然，这里就未必有一个确定的教学顺序了，根据课堂学生的状况可能有不同的教学顺序）。显然，对于前一种处理方式，课堂教学的逻辑顺序更为明显，教学易于操控；而对于后一种处理方式，给学生和教师都留下了比较大的空间，教学将更为开放，课堂更具生成性，但同时也不可避免具有一定的不可操控性，对教师自身素质提出了更高的要求。

    一般四边形的镶嵌问题，是这堂课的教学难点。如何突破，这是摆在老师们面前的一个课题。这里可以有多种方式：如，考虑到该镶嵌图案的探究对学生而言确实有难度，可以在学生一定的拼接活动的基础上“告诉”，或者借助现实生活中一些具体图形（如一些道路护坡的图片）直接“告诉”；也可以引导学生关注三角形、平行四边形等不同的镶嵌图案之间的关系以及同一个镶嵌图案中各个多边形之间的变换关系，然后通过适当的变式揭示四边形的镶嵌问题（见参考案例）。在获得一般四边形的镶嵌图案（如甲图）之后，可能学生还有一些疑问，如四边形所构成的图案是“凹凸不平”的，如何铺满整个平面？为此，可以通过具体的拼接活动让学生获得进一步的直观感受；或者分析共顶点的四个四边形组成的“基本图案”（如乙图），发现将“基本图案”中的两个三角形剪切后平移即可得到一个平行四边形（如丙图），而平行四边形是可以镶嵌整个平面的，因此，这里“基本图案”的镶嵌相当于将平行四边形中剪切了部分移入另一个临近的平行四边形中。这样，不仅关注了什么图形能够镶嵌，而且关注了镶嵌图形的形成过程，可以为镶嵌图形的设计提供一些参考。

  

   对于多个多边形的组合镶嵌，教学中更多的是一种展示和设计活动，希望通过活动使学生获得一定的数学活动经验和解决问题的体验，而并不希冀获得一般的结论，因此这里不要提出更高的要求。

    当然，根据学生以往课题学习的经验水平和认知水平的实际状况，教学中可以设置不同的问题梯度。

案例：猜想、证明与拓广

    课堂教学中可以采用几种下面方案：

    方案1：教学中仅仅提出问题：任意给定一个正方形，是否存在另一个正方形，它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积地2倍？你是怎样做的？你有哪些解决方法？你能提出什么新的问题吗？你们又是如何解决的？然后让学生组成合作小组，自主的提出问题，并选择问题进行研究；最后进行班级汇报、小结。

    在这样的教学设计中，教师只是提出了一个原始的问题，后续问题的提出与研究都交给了各个合作小组，从而切实培养了学生的自主学习能力。当然，这样的教学设计对学生的提出问题和解决问题的能力提出了较高的要求。

    方案2：和方案1一样，教师首先提出问题：任意给定一个正方形，是否存在另一个正方形，它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的2倍？你是怎样做的？你有哪些解决方法？你能提出什么新的问题吗？然后让学生提出新的问题并进行交流；基于学生所提出的问题，教师进行适当的整理与归类，然后选择某些或某类问题展开下一个研究活动；再根据学生新问题的解决情况继续进行后续的课堂活动。

    这样的教学设计应该说力图做到以学生的课堂行为为教师教学的生长点，当然，对于这样的课堂行为教师做了一定的选择性，这也应该是教师主导性的一个方面。

    方案3：依次安排下面的研究活动：

    活动1：（1）任意给定一个正方形，是否存在另一个正方形，它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积地2倍？你是怎样做的？你有哪些解决方法？你能提出什么新的问题吗？
    （2）任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍？
    活动2：如果已知矩形的长和宽分别是2和1，结论会怎样？你是怎么做的？与同伴交流。

    活动3：当已知矩形的长和宽分别是3和1时，是否有和活动2相同的结论？已知矩形的长和宽分别是4和1，5和1，。。。。。。，n和1呢？更一般地，当已知矩形的长和宽分别是n和m时,是否仍然有相同的结论?你是怎么做的？

    活动4：任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半呢？你是怎么做的？

    活动5：当矩形满足什么条件时，才存在一个新的矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？

    当然，教学中教师应通过适当的语言引导以顺利实现各个活动之间的转换。

    相对于方案1、方案2，方案3所设置问题的梯度稍小，但考虑到这个问题相对于初中学生而言具有较大的挑战性，同时刚开始实验的学生的实践与综合应用能力相对较低，在一定的情况下使用这样的教学设计可能更为符合广大学生的认知水平。当然，采用这样的教学设计时，教师不仅应关注问题的解决，同样应力图让学生体会各个问题之间的关系，感受将一般问题特殊化处理的问题解决策略以及将具体问题一般化的数学研究意识，从而发展学生一定的提出问题和解决问题的能力。

8．采用“课外活动、课内交流”形式进行教学的一些建议

    如果以课外活动、课内交流的方式进行课题的学习，教师在课外同样要关注学生的活动情况、进度以及所遇到的困难，以对他们进行适时的指导和帮助，解决学生所遇到的一些困惑，确保学生能够顺利完成有关活动，从而进行课内交流；在课内交流时，教师应注意小组汇报的组织与调控，力图每个学习小组都能获得汇报的机会，同时可以要求学生在汇报交流的过程中反思各个小组的优缺点，并在课后通过对其他小组结果的借鉴和自己小组的反思，对自己小组的课题报告进行进一步的修缮整理，从中培养学生自我反思的意识和合作交流的能力。

    案例：制成一个尽可能大的无盖长方体

    青岛四中的陈怡老师认为，学生通过一个学期的学习已经具备了解决该问题的知识基础和活动经验基础，因此，没有将课题分解成一个一个小问题，去限制学生的思维，而是采用短周期作业与课上的汇报、展示、交流相结合的形式，利用一周的学习时间，事先发放课题研究内容，要求学生以小组为单位进行研究，然后在其中两天安排两节课让学生进行汇报、展示与交流，力图给学生提供更为充分的探索和合作的空间，让学生自己主动去探索、研究、发现问题、解决问题，在学习过程中不断获得成功体验。

    具体的，陈老师把整个课题学习设计为两个层次：

    第一层次，主要是关于折叠方法的汇报、展示及初浅的研究成果的反馈，在师生互动中将学生的初步体会进行整理筛选，帮助学生建立初步的认识和经验，进一步明晰方向。

    首先老师提前一周以短周期作业的形式下发第一组课题：

    （1）用一张正方形的纸怎样制作一个无盖的长方体？基本的操作步骤是什么？
    （2）如果设这张正方形的纸边长为a，所折无盖长方体的高为h，应怎样计算无盖长方体的体积？
    （3）随着剪去的小正方形的边长h的增大，所折无盖长方体的容积如何变化？怎样才能直观而形象的表达这种变化?

    要求学生以小组为单位利用2-3天的时间对上面的问题进行合作学习，然后进行班级的汇报与交流。

    当然，在第一组课题2-3天的合作学习、自主探索中，陈老师注意深入合作小组摸清学情，鼓励学生针对课题大疑，鼓励同学间批判性地倾听与思考，勇于尝试多样化的解决方案等。

    而在进行第一课时的汇报交流时，学生发言过程中，陈老师起到主持人的作用，给学生很多机会与选择，如学生可回答老师的第一组课题中的问题，更可以针对课题发表困惑，还可以学生间互相提问、互相解答；对于学生的想法也注意给予了一些及时的激励性的评价，如有的同学想到了借助给代数式赋值或借助统计图、统计表来反映探究结果，有的同学提出：剪去的小正方形的边长非得是整数吗？如果是小数，相应的无盖长方体容积是不也有可能最大?等等，通过陈老师的肯定和鼓励，同学们获得对正确的探究方法、探究方向更明确的感受。

    第二层次，在阅读和讨论的基础上，学生撰写并交流课题报告，通过学生对不同的实验结果的比较和概括，以弥补他们在单纯的观察和操作活动中的不足，帮助同学们把在充分的自主探究、合作交流中方法认识上的提高落到实处。在此基础上再带着问题走出课堂，把得到的结论应用到生活中：在实际生活中用一张正方形的纸板制一个无盖的长方体粉笔盒，，要装的粉笔多一些，如何制？

    在第一课时汇报与交流结束时，发放第二组探究问题：
    （1）用边长为20cm的正方形纸片，你能制作出尽可能大的无盖长方体吗？
    （2）阅读课本p212-213
    （3）对以上问题的探究，你有什么猜想？有办法验证自己的猜想吗？

    同样要求学生通过2-3天的探究撰写课题报告，并在班级进行交流。

    在第二课时汇报交流前，陈老师收齐学生的课题报告，通篇阅读后，给部分同学恰当而有分寸的引导，适当安排发言次序，使同学们的结论由易到难地出现在课堂展示。

通过学生的合作学习和老师恰当的指导，这样的教学设计同样受到了较好的教学效果。在第一课时的展示交流中，学生给出了两种不同于书上的折法：第一种是先将正方形折成筒状，然后在撕出一个底；第二种是学生用了拼补法，学生的想法是：“如果减去的纸越小，折出的体积可能越大，所以我将剪去的纸再贴上，然后折叠。。。”陈老师在课上及时抓住学生的问题，鼓励他们沿着自己的方法验证自己的结论，事实上这样折出的长方体体积最大，为750立方厘米。

    9．让学生课外自主研究一个原始的现实问题，学生具备解决这些问题的能力吗？

    在“制成一个尽可能大的无盖长方体”的教学中，南京树人国际实验学校的王丹娅老师采用了与陈怡老师类似的做法，从下

面学生的课题报告①中我们可以感受到学生的研究能力。

做尽可能大的无盖长方体（1）
    南京树人国际实验学校02级初一（9）班  陈齐

    要利用一张正方形纸片，做一个无盖长方体，只要在纸的四角上剪去四个相同的小正方形，经折叠成一个无盖长方体   

10．课题学习好考查吗？如何考查？

首先我们还是关注课题学习的教育价值，课题学习的目的是发展学生的实践能力与综合运用能力，具备了较强的这种能力，学生是不难应付各种考试的。因此，我们不用因为担心课题学习无法考查，而放弃课题学习的教学。

    当然，可能课题学习也不是完全不好考察。为了更好地引导教师展开课题学习的教学，青岛实验区在04、05年的中考中做了一些有益的尝试。