投影仪看3d:数学指南

数学指南

写在前面的几句话

余幼读小学时,酷爱算术,每遇难题,辙废寝忘食,行思坐想,若不得正确答案,终萦萦不乐,誓必求得解决而后快,若一旦融会贯通,豁然开朗,快而如云。

于小学时喜爱算术,锻炼了我的思考、推理、分析、判断能力。所以我认为学习算术,不单纯是为倍养儿童计算能力,更重要的是加强儿童逻辑思维能力的训练,因为每解答一道算题,必须跟据题目所提供的已知条件,和条件之间的相互关系,进行思维、推理、分析、判断,才能得出正确的答案,这也是对儿童逻辑思维能力训练的有效途径之一。

现在小学算术教学,都不是用算术方法而是用代数式演算。学生如遇题目注明用算术演算时,即无从下手,甚至有些算术教师,遇此情型,也瞠目结舌,不知所错,我认为这是一种忽视数学双基教学的具体表现。

算术毕竟是算术,不能以代数式而代之,算术有其本身的基本规律,小学生学算术时应摸清算术的基本规律,所以我认为对小学生的算术基础教学,应阐明算术中每一类型的算术的规律,对小学生扩展思路是有一定帮助的。

为了帮助小学数学教师自学和小学五年级学生的学习,现仅根据个人记忆所及,特将算术中各种类型题目,编成一册,以供参考学习,但因手头无任何资料,且又抛荒四十余年,所编内容,难免有掛一漏万和舛错之处,希同志们批评指正。

王醒明

1980年7月25日

目       录

1.和差类

2.年龄类

3.倍数类

4.连续类

5.鸡兔类

6.归一类

7.还原类

8.植树类

9.流水类

10.盈亏类

11.行程类

12.平均类

13.杂类

14 .约数和倍数

质因数检验

15.最大公约数

16.最小公倍数

17.百分法

求利率

求子数

求母数

母子和

母子较

母子和求母数

母子较求母数

18.百分法应用

部份求全数

19.工程类

20.时钟类

21.杂类

22.求利息

23.比例

求缺项

单比例

复比例

配分比例

混合比例

连锁比例

1.和差类

例一，两数之和为98,两数之差为16,求两数。

解:两数之和是包括大数同小数两个数字。

   两数之差是大数多于小数的数字

   在和之中加上小数差于大数数字,则成两大数

   在两数和之中减去大数多于小数的数字(即差)则成两小数。

   据题意分析得算式:(98+16)×2=114×2=57大数

   (98-16)×2=82×2=41小数

例二，大小两数之和为57:差为13:求两数

   据上面分析得算式:(57+13)÷2=35,大数

   (57-13)÷2=22,小数

例三，大数加小数为154,大数减小数为22,求两数

   解:(154+22)÷2=176÷2=88,为大数

   (154-22)÷2=132÷2=66,为小数

   公式:(和+差)÷2=大数

        (和-差)÷2=小数

  说明:和差算题无论题目如何变化,只要分析出两数和同差即可运算.

练习(1)

1.两数之和为99,差为33,求两数?

2.大数加小数为183,大数减小数为31,求两数?

3.某生产队共收大麦.小麦32486斤,只知道大麦比小麦少收12874斤,问这队大.小麦各收多少斤?

4.张计育35岁生了一个孩子,今年父子两人共计是61岁,问他父子今年各多少岁数?

5.甲乙二人合伙经商,商店资本为384元,现在只知甲比乙多出股金88元,问甲乙各有资本多少?

6.某五金公司两次共进自行车589辆,现知第一次比第二次多进17辆,问两次各进车多少辆?

7.某生产队今年收三麦比去年增产12786斤,两年共收三麦108654斤,问两年各收三麦多少斤?

8.两数和为796,差为108,求两数?

9.两数和为1083,差为201,求两数?

10.两数和为3003,差为1021,求两数?

2.年龄类

 例一，父亲年龄42岁,儿子年龄是12岁,几年后父年龄是子年龄的三倍?

    分析:(1)父子年龄之差是42岁-12岁=30岁.

         (2)父年是子年三倍,减去子年本身的一倍,实际是大两倍,

         (3)父年比子年大30岁,是大两倍,那么30岁÷2=15岁,是一倍,

         (4)一倍是15岁,三倍则是15岁×3=45岁,

         (5)父年到45岁时则成子年的三倍,现父年42岁,

            45岁-42岁=3岁,即增加3岁父年是子年的三倍,亦即3年后

    解:据题意分析得简式,(42岁-12岁)÷(3-1)-12岁=30岁÷2-12岁=3岁,即3年后。

         另式:(42岁-12岁)÷(3-1)×3-42岁=15岁×3-42=3岁

 例二，某小化肥厂的资金是某砖瓦厂资金的七倍,现在各增加资金300万元,化肥厂资金是砖瓦厂资金的6倍,求原来各厂的资金.

分析:化肥厂原有资金是砖瓦厂7倍,如果仍保持7倍,则化肥厂资金应增加300万元×7=2100万元,现增加300万元就少了1倍,

      就说明增加资金后每1倍资金是300万元×7-300万元=1800万元,

      未增加资金时每1倍资金是1800万元-300万元=1500万元,

    解:据题意分析得简式,300万元×7÷(7-6)-300万元=1500万元,砖厂资金,

      1500万元×7=10500万元,是小化肥厂资金.

    说明:年龄类算题要留意的是,两数之差总是不变的.

    公式:求几年前=小数-(大数-小数)÷倍数差

         求几年后=(大数-小数)÷倍数差-小数.

练习(2)

1.大数是116,小数是52,两数各减多少,大数是小数的5倍?

2.父年37岁,子年13岁,问几年前,父年是子年的4倍?

3.父年44岁,子年12岁,问什么时候父年是子年的3倍?

4.父年43岁,子年13岁,几年后父年是子年的3倍?

5.父年32岁,子年8岁,几年后父年是子年的3倍?

6.父年42岁,长子20岁,次子14岁,问几年后父年和二子年龄之和相等?

7.父年41岁,他三个儿子的年龄分别是:12岁,9岁,6岁,问几年前父年是三个儿子年龄和的3倍?

8.老人从60岁起,每年植桃树2株,今年冬天,老人以植好50株桃树,问老人今年多大岁数了?

9.姐姐年龄是妹妹年龄的5倍,2年后姐姐年龄是妹妹年龄的3倍,问今年姐妹年龄各几岁?

10.母女二人年龄和是50岁,5年后母亲年龄是女儿年龄的3倍,问今年母女各多少岁数?

11.今年哥哥年龄是弟弟的3倍,过了2年,哥哥年龄是弟弟年龄的2倍,问现在兄弟各几岁?

12.哥哥今年29岁,弟弟13岁,几年前,哥哥年龄是弟弟的3倍?

13.母女年龄和是36岁,差是24岁,问几年后母年是女年的3倍?

14.现在父年是子年的5倍,5年后,父年则为子年的3倍,问现在父子年龄各多少?

15.一人现年29岁,生有四子,年龄为8岁,6岁,4岁,2岁,问几年后父年是四子年龄的总和?

16.父年是子年的3倍,10年后父年是子年的2倍,问父子现在各多少岁?

17.哥哥今年23岁,弟弟今年8岁,问几年前哥哥岁数是弟弟岁数的4倍?

3.倍数类

  例一，新华小学两年入学的新生共计405人,只知去年比前年新生多2.5倍,问两年各入学新生多少人?

    分析:去年比前年多2.5倍,假设前年入学为1倍,去年则应为(1+2.5)倍=3.5倍,两年共计应为1倍+3.5倍=4.5倍,

      解:据题意分析,405÷4.5倍=90人,(这是一倍人数,及前年入学新生),

         90人×3.5=315人,是去年新生,或405人-90人=315人,

         综合式:405人÷(1+1+2.5)=90人,405人-90人=315人,

  例二，光明小学共有学生1428人,其中初中一年级生数是初二生数的2倍还多70人,小学部的学生则是初中部一年级学生的4倍还多22人,问小学部和初中一年级.二年级各有多少人?

    分析:如果设初二为1倍,则初一应为2倍多70人,小学部则应为(2倍+70人)×4+22人=8倍+280人+22人,根据算术定理不同名数不能相加,但我们先确定全部人数应为若干倍,然后在总人数中减去多余的人数,然后用若干倍来除,则成1倍人数,

      解:综合式:(1428人-70人-70人×4-22人)÷(1+2+2÷4)=1056÷11=96人.初二学生.

         96人×2+70人=262人.初一的学生

         262人×4+22人=1048人+22人=1070人,小学部的学生.

  例三，甲乙级两种酒各一斤,共计价2.38元,现在甲酒3斤,乙酒5斤,共计价9.06元,问甲乙酒每斤单价是多少?

    分析:2.38元是甲乙酒各一斤的价,9.06元是3斤甲酒5斤乙酒价,那末在9.06元中减去甲乙酒各3斤的共价,所余钱则为2斤乙酒价,

      解:据分析得:2.38÷3=7.14元,(9.06元-7.14元)×2=0.96元,为乙酒价,

         综合式:(9.06元-2.38元×3)÷(5-3)=1.92元÷2=0.96元,乙酒价,

         2.38元-0.96元=1.42元.甲酒价.

    说明:倍数类算题中,以什么数做标准数,就把那个数确定为一倍,然后依次确定其他数字的倍数,这类题目首先要看准拿哪一个数做标准数是很重要的,最好拿最小的数做标准数确定为1倍,便于远算，如果拿最大数做标准数确定为1倍，那末小数就要化分数,运算时就增加麻烦,中间数是不能作标准数的.

习题(3)

1.某校有学生700人,其中小学部学生是初中部学生的2.5倍,问该校初中小学各有学生多少人?

2.某数的7倍,减去60就是101,求某数?

3.某数的15倍和某数的差是700,求某数?

4.猪肉5斤和鸡4斤的金额相等,现知每斤价相差0.25元,问猪肉和鸡每斤各多少元?

5.一支元珠笔心比一支铅笔贵5分钱,现在买16支铅笔和6支元珠笔心价钱相等,问两种笔每支单价各多少?

6.某大队有土地2310亩,其中旱植物是经济植物面积的64倍还多6亩,水稻面积又是旱植物的2倍多362亩,问各种植物的种植面积是多少亩?

7.兄弟三人岁数之和为45岁,知道他们各大二岁,问各几岁?

8.年终分配时,甲.乙.丙三家共分得现金1000元,只知甲比乙多得卖100元,丙比甲多得50元,问三家各分得多少元?

9.某生买数.理.化自学丛书三本,共付款4元,现知数学是物理价格的3倍,化学是物理价格的4倍,问三种书单价各多少?

10.某数的3倍加2和他的5倍减20相等,求某数?

11.某书上下两册,定价11元,现买上卷7本下卷10本,共付92元,问上下卷各定价多少元?

12.老人叫小孩上街买3斤酒4斤油,需钱6.80元,孩子买错了,买回3斤油4斤酒,结果余0.16元,问油酒每斤单价各多少?

指导：先求油酒各1斤的价，再求各3斤或4斤的价，然后比较解题。

13.买4斤盐和5斤糖,需付3.32元,若买盐5斤糖4斤,则只需付款2.89元,问盐糖每斤各多少钱?

14.某生产队稻子产量是麦子的2倍,麦子又是豆子的2倍,现在知道稻子比豆子多7500斤,问三种粮食各产多少斤?

15.某队库存粮食5500斤,只知稻子是豆子的3倍,麦子是稻子的一半,问该队库存粮食中稻麦豆各多少斤?

16.两数差是19,拿小数除大数商是2,余数是8,求两数?

17.某队年终分配时,甲户分得的现金是乙户的2倍还多36.50元,乙户分得的现金是丙户2倍多25元,现知三家共分得的现金是1000元,问三家各分多少元钱?

4.连续类

例一，有连续的整数5个,它们的和是80,求各连续数的值?

    解:80是5数之和,以5除80则得其中一数,此数为5数的中间数,

       80÷5=16为中间数,其余数则为14,15,17,18,

例二，的连续数4个,它们的和是70 ,各连续数的值是多少?

    解:70÷4=17.5  17.5×2=35,是中间两数和,

       (35+1)÷2=18  (35-1)÷2=17,其余则为16.19.

  说明:连续数的位数如果是双数,则其中间两数之和等于两边两数之和,如2.3.4.5.或1.2.3.4.5.6余类推,

  公式:连续数是单位先求中间,连续数和除以连续数位数.连天续数是双位,较大或小的中数=和÷位数+或-0.5.

习题:(4)

1.三个连续数的和是39,求各数?

2.七个连续数的和是234,求各数?

3.三个连续偶数的和是60,求各连续数值?

4.五个连续奇数的和是105,求各连续数值?

5.七个连续奇数的和是63,求各数?

5.鸡兔类

例一，野鸡兔子119头,共有360只足,问鸡兔各多少只?

  分析:假定119头都是兔子则共足应为119×4=476足,

       现在只有360只足,说明其中有鸡,如果将兔换成鸡,每一只鸡换一只兔要少两只足,476只足-360只足=116只足,

       116只足÷(4-2)=58只,即鸡,119只-58只=61只兔子,

    解:简式:(4只×119只-360只)÷(4-2)=116只÷2=58只鸡,

例二，工人搬运玻璃器皿100只,每只工资0.06元,如损坏一只,则要赔偿2元,结果净得工资1.88元,问损坏几只?

  分析:损坏一只不但要赔偿2元,连0.06元工资也得不到了,如果不坏则应得工资为,0.06元×100=6.00元现仅得1.88元,

       6.00元-1.88元=4.12元,是赔偿损坏器皿钱,4.12元÷2.06元=2只,

    解:简式:(0.06元×100-1.18元)÷(2.00元+0.06元)=4.12元÷2.06元＝2只,

  说明:鸡兔类题目中,总有同性异质的种类两数,解法如下:

     1:假定都是一种类型,总数字应有多少?

     2:与原题中数字相差多少?

     3:两种数字每一单位相差数是多少?

     4:要补足或减去这些差数,应调进另种多少?

  公式:求鸡=(4足×共头数-共足数)÷(4-2)

       求兔=(共足数-2只×共头数)÷(4-2)

习题(5)

1.鸡兔共87头,有足198只,问鸡兔各多少只?

2.野鸡兔子49,100条腿落地走,问野鸡兔子各多少只?

3.百人吃百馍,大人每人吃4个,小孩4人吃1个,问大人小孩各多少?

4.苹果每只0.07元,梨每只0.05元,共买14只,用钱0.86元,问各买几只?

5.工人运磁器,每只运费0.20元,损坏一只赔尝0.30元,工人共运20只,共得工资2.50元,问坏了几只?

6.某人徒步旅行,晴天行36里,阴雨天行24里,11天共行360里,问此人共遇几天雨?

7.买鹅一只5.00元,鸡一只3.00元,用48.00元买鸡鹅共8只,问各买几只?

8.某临时木工在人家做工,每工作一天,除共饭外还得工资1.80元，如停工一天,不但无工资，还要付0.50元饭钱,这工人共做工31天,共得工资51.00元,问此人停工几天?

9.期中测验时有判断题16题,判断对的得5分,判断错了扣3分,结果某学生得0分,问他错了几题?

10.时事测验题10道,做对一题得10分,做错一题扣10分,结果一人得60分,一人得20分,问各错几题?

11.一个剧团每天费用是35.00元,演出一场还要赢利45.00元,他们30天中共得利310元,问他们这个月里共演出多少场?

12.某剧场中座票价0.50元,边座0.30元,某日共卖票750张,收票款266.90元,问中边座各卖多少张?

13.四级工工资每天2.10元,加一个夜班得工资0.60元,某人做工24天,共得工资52.80元,问他做几个夜工?

14.某工人承包200件货物的制造工作,工资为350元,现在只做好60件,因故停工,应得工作多少元?

15.桃子每只0.05元,李子每只0.03元,共买桃李32只,用钱1.48元,问买桃李各多少只?

16.板凳和三脚撐子共计33只,有腿100条,问板凳撐子各多少只?

17.甲种酒每斤1.24元,乙种酒每斤0.96元,现用钱14.72元,共买甲乙两种酒13斤,问甲乙酒各几斤?

18.语文学习资料每本0.76元,数学资料每本0.93元,现在两种书共买12本,用钱9.97元,问两种书各买几本?

6.归一类

例一，两匹马在6个月内吃的饲料钱是180元,5匹马在10个月内须吃多少钱饲料?

  分析:两匹马吃180元,每匹马应吃180元÷2=90元,

       6个月吃90元,每月吃90元÷6=15元

       5匹马每月应15元÷5=75元,10月应吃75÷10=750元.

    解:综合式180元÷2÷6×5×10=15元×5×10=750元

例二，某生产队的玉米地,用6人每天锄9小时,8天可锄完,现在减少2人,每天又减少1小时,问几天能锄完?

    解:90小时×8×6=432小时,是玉米须要锄的总时数.

       现在是4人锄地,每天工作8小时,每天总时数8小时×4=32小时.

       432小时÷32小时=13﹒5天.

    解:综合式:9小时×6×8÷(6-2)÷(9-1)=432小时÷4÷8=13.5天

  说明:归一类算题,大多数题目可以用单比例或复比例运算,这种算题只要把各种事物归做一类,依照这样标准运算.

习题(6)

1.12人30天共得工资504元,问18人25天的工资是多少?

2.某人每天走8小时,7天走840里路,如果每天走11小时,6天走多少路:

3.150名工人每天吃米180斤,现有1200斤米给25人能吃多少天:

4.一件工程用18个工人做,每天做9小时工,50天可以完成,现在少用8个工人,每天做10小时工,几天可完成?

5.一工程给24人做,每天工作10小时,15日完成,现在用60人做,每天工作8小时,几天可完成?

6.有米若干袋,用每辆载15袋的板车6辆运载,24次可运完,现在改用每辆载12袋的板车9辆运载,问几次运完?

7.6台机器每天工作6小时,一桶油够用10天,现改用5台机器每天工作8小时,一桶油够用几天?

8.某食堂存粮够45人吃15天的,吃过3天后走去5人,余粮够余人吃几天的?

  (指导:先求原存粮够一人吃多少天的)

9.4人合做一工程,计划20天做完,做8天后,又增加4人,还要做几天可完成?

7.还原类

例一，某数加1减去2乘以3除以4得6,求某数?

  分析:最后得6是除4后的结果,不除4则成6×4=24

       24是乘以3的结果,不乘3则成为24÷3=8

       8是减去2的结果,不减2则是8+2=10

       10是某数加一的结果,不加1则是10-1=9,某数

    解:综合式:6×4÷3+2-1=9

例二，孩子吃去合中豆子的一半,后又放进去2粒,又吃去合中所存的一半和16粒,尚余34粒,问原有豆多少粒?

  分析:最后吃去合中一半和16粒,余34粒,34粒+16粒=50粒(2分之1)

       50粒÷2=100粒,是第一次吃去一半加进去2粒的结果,

       (100粒-2粒)是第一次吃去一半所余的一半,98粒×2=196粒.

    解:综合式:<(34粒+16粒)×2-2粒>×2=<50粒×2-2粒>×2=98粒×2=196粒.

  说明:还原类算题,要从末数逆推,用题中所说的向反方法运算,学会此法可检验算题的正确与否,

习题(7)

1.某数本来要平方后减10,再用4去乘,现在平方给他当作2倍计算,这就算错了,结果得数是8,如不错得数是多少?

2.某数加25以后用5去除,减15再乘7,等于70,求某数?

3.老人说,我的岁数加8用2除减去40再加90是100岁,问老人现在多少岁?

4.某人先用去存款的一半,又存入386元,又用去一半和127元,存折上还有存款300元,问原有存款多少元?

5.某数本应平方后加8,再给4去除,结果平方当作2倍计算,得数是11,如果不错,得数应该是多少?

6.某数本应立方后减15再加90,现在立方当作3倍计算,得数是93,假如不错得数是多少?

7.有人卖桃,甲卖去篮中一半带3个,乙卖去余下的一半带3个,丙卖去最后的一半带3个,篮中桃子正好卖完,问原有桃子多少个?

8.一人卖鸡蛋,甲卖去一半带半个,乙卖去余下的一半带半个,丙卖去所余的一半带半个,最后卖余下一半和半个,蛋卖完了,问原有鸡蛋多少个?

9.一根铁丝先用去它的带米,后又用去余下的带米,最后用去余下的带米,问铁丝原有多长?

8.植树类

例一，158根电话杆子,每隔3丈坚一根,问两头距离多远?

    解:158根电话杆子,而中间距离只有157个,同此(158-1)×3丈=471丈

综合式:3丈×(158-1)=471丈,

例二，在长方池边植树,每隔2丈植树一株,问在8丈长6丈宽的池边能植树多少株?

    解:池长=8丈×2+6丈×2=16+12=28丈,

       28丈÷2=14株,或(8丈+6丈)×2=28丈,

  简式:(8丈+6丈)×2÷2丈=28丈÷2丈=14株

  说明:直线植树,株数比株距多1,园周植树两者相等,

  公式:园周植树求路长=株数×株距.

       园周路长求植树株数=路长÷株距

       直线植树求路长=株距×(株数-1)

       直线路长求植树株数=1+路长÷株距.

习题(8)

1．某小学游行队伍成双行通过400丈的桥,共计走8分钟,他们走时每排距离2尺,每分钟行12丈,问共有多少人?

    注:通过是指前排上桥到末排下桥而言.

2．6丈4尺的路边,每隔4尺植树一株,问能植树多少株?

3．沿马路每隔3丈设路灯一盏,路上有74盏路灯,问路有多长?

4．两根距离12里的柱子中间,再加8根相等距离的柱子,问两根柱距离多少?

5．一条河上有两桥,相距20里,中间再建4座桥,问桥的等距离是多远?

6．一排树计80棵,每棵树相隔1丈,问头尾两棵树距离多远?

7．一个花园有32根石栏杆,每2根中间再加3根小石栏杆,每根须花5.6元,问新建小石栏杆要花多少钱?

8．有1500人在直路上行军,按4排纵队行进,每排中间保持3步距离,问排头到排尾有多远距离?

9．在马路两旁植树162棵,如果路长是176丈的话,先在每边两头各植一棵,那末中间每棵距离是多少尺,(棵距要相等)

10．把2400人分成4列,每列相隔3尺,以每分钟行240尺速度通过12603尺大桥,要走多少时间?

11．在30丈长22丈宽的地边四周开一条1尺宽小沟,在沟外每隔4尺植树一棵,问这地边能植多少棵树?

   注:沟宽要计算在内.

9:流水类

例一，某机船逆流而上,每小时行20里,顺流而下每小时行60里,求机动力速度及流速各多少?

  解:(60+20)里÷2=40里划速,(60-20)里÷2=20里流速,

例二，某船顺水是逆水速度的3倍,现在顺水行6小时,行108公里,其划速流速每小时各多少公里?

     分析:顺水的速度是划速加流速,逆水速度则是划速减流速,

  解:108公里÷6=18公里,(划速流速之和),18公里÷3=6公里逆行速,

     (18+6)公里÷2=12公里划速,(18-6)公里÷2=6公里流速,

     综合式:<(108公里÷6)+(108公里÷6÷3)>÷2=（18公里+6公里）÷2=12公里,

     名词解释:上行速又叫逆行速,下行速又叫顺流速, 

              划速(人力或机器动力)又叫操舟之速或静水速,

              流速(水力)又叫水速,

              上行速=划速-流速

              下行速=划速+流速.

    公式:(上行速+下行速)÷2=划速

         (下行速-上行速)÷2=流速

习题 (9)

1.每时划速18公里的船在流速6公里的河中顺流行一昼夜，行多远？

2.每时划速14公里的船,逆流行12小时,只行54公里，问流速每小时几公里？

3.某船顺水每小时行24公里，逆水每时行10公里，问划速及流速各多少？

4.水程36公里，一船顺流而下行2小时，逆流而上须3.6小时，求划速、流速.

5.90公里水路，一船顺流行9小时，逆流而返须行15小时，求划速流速各多少？

6.沿河两镇相距96公里，划速每时8公里，流速每时4公里，一船往这两镇,问上须几时，下须几时？

7.船从甲地到乙地，水速每时3公里，划速10公里，顺流7时可到，逆流而返须几小时？指导：先求两距离.

8.顺水行船13小时行234公里，若水速为每时4公里，返回须几时？

9.甲乙两河平行，甲河流速每时3公里，乙河每时2公里，甲河中船逆流而上8小时行48公里，如果该船到乙河中逆流而上，每时能行几里？

10.一河上下两市，上市到下市每人船价0.5元，下市到上市船价为1.4元，上船下来6公里，下船上去4公里相遇，互换乘客各回本市，两船的船价如何解决？

指导：1、河长，2、上下行每公里船价.

10.盈亏类

例一，民兵实弹射击时，每人发5粒子弹，则不足188粒，每人发2粒，则余100粒，问多少民兵，多少子弹？

分析：每人发2粒余100粒，发5粒则不足188粒，因为多发3粒子弹，就须要100粒+188粒=288粒，从而知道288粒÷3粒=96人，2粒×96+100粒=292粒子弹，

综合式：（188+100）粒÷（5-2）粒=288粒÷3粒=96人.

例二，分铅笔给儿童，其中5人分4支，其余人分3支，余26支，若其中有3人各分3支，其余人分5支，只余3支，求儿童及铅笔各多少？

分析：1、若分4支的5人也多分3支，应多余5支，26支+5支=31支；

2、3人分3支的也分5支，则多分去6支，6支-3支=3支，不足数

据上面分析：每人3支余31支，每人5支不足2支.

综合式：[26支+（4-3）支×5+（5支-3支）×3-3支]÷（5支-3支）

=（26支+5支+3支）÷（5支-3支）=34支÷2支=17人.

说明求人数法：

1、（不足+有余）÷前后两次已分之差，

2、（大余-小余）÷前后两次差，

3、（大不足-小不足）÷前后差.

习题（10）

1.儿童分桃，每人5个则少40个，每人3个则多10个，求儿童及桃数多少？

2.某人抄书，每行16字抄满一页，一篇书还余108字，若每行抄30字，抄满1页，则不足60字，问一页抄几行，共有多少字？

3.儿童分铅笔，每人5支余27支，每人7支余5支，求儿童及铅笔数.

4.儿童分桃，每6个余8个，每人9个少43个，求儿童及桃数.

5.若干人分钱，每人1元则差5角，每人分7角则余7角，求人及钱数.

6.儿童分桃，其中2人分4只，其余分3只，尚余12只，若每人分6只正好分完，求人及桃数.

7.一篮杏子，分给儿童，如果其中3人分5个，其余都分4个，余96只，如果1人给4个，其余都分6个，就分完了，问儿童及杏子各多少？

8.一篮苹果和梨，苹果是梨的2倍，每次拿3只梨，4只苹果，拿若干次后，梨拿完了，苹果还余16只，问苹果梨各多少？

9.某校学生宿舍，若每室住3人，则有20个学生没住处，若5人1室则有2室没人住，求学生及宿舍数各多少？

10.有桃杏若干，知道桃子是杏子的2倍，每人分两只杏子，余2只杏子，每人分11只桃子就差21只桃子，求人及桃杏数.

11.行程类

例一，甲乙于同地同时向同一方向前进，甲每时步行8里，乙每时行6里，同到一目的地，乙比甲慢3小时到达，问这条路有多远？

分析：乙比甲迟到3小时，每时乙行6里，实际落后6里×3里=18里；

甲比乙每时快2里，18里÷2里=9时也即是甲走了9小时，8里×9=72里，路长.

解：综合式：8里×[6里×3÷（8里-6里）]=8里×9=72里.

例二，甲乙两船在相隔75公里两地相向而航行，经3小时相会，若同向而航行，须经15小时甲船可以追上乙船，求两船时速.

分析：75公里÷3=25公里，两船时速之和，（相向而行时速）

75公里÷15=5公里，两船时速之差，（同向而行时速）

（25公里+5公里）÷2=15公里，甲船时速.

（25公里-5公里）÷2=10公里，乙船时速.

解：综合式：[（75公里÷3）+（75公里÷15）]÷2=（25+5）公里÷2=15公里

说明：行程类中相向而行是以每时速度之和而接近，同相而行是以时速差而距离.

公式：异向走而相会=全程÷两人时速之和.

同向走而距离=两人时速之差×时数

习题（11）

1、有一山洞长490丈，以每秒时速9.5丈的80丈长列车通过这洞,从进时到出洞须要多时间？

2、甲乙两地相距102里，甲以每时速度9里，乙以每时速8里从两头对面行来，几时能会面？

3、甲乙同在一地相背而行，甲时速11里，乙时速9里，问几时后两人相距120里？

4、甲乙同时同地同向出发，甲自行车时速18公里，乙时速14公里，到达同一目的地时，乙比甲迟到4小时，问路多长？

5、两地相距900里，甲走要15天到达，乙走只要12天即可到达，现在甲先走两天，乙开始追赶，问几天后能追上甲，要走多少里路？

指导（1）先求每人每天速度. （2）再求日数.（3）最后求里数

6、两镇相隔360公里，甲车要行12小时，乙车只行8小时，现甲乙两车从两镇相向开来，问几小时后两车相遇？

7、两地相隔80公里，甲骑自行车须56小时到达，乙须8小时到达，现两人从两地相向行来，2小时后还隔多远？

8、敌舰在离岸650公里处被击伤，侵入海水，每时约50担，海浸入250担时船即沉没，现在用每时吸水15担吸筒三具，吸水向外，船刚到岸边正好沉没了，问该船每时速度是多少？

9、甲乙两地相距186里，由西向东105里处有18里宽的湖，甲骑自行车以时速21里的速度由西向东，乙以步行每时9里速度由东向西，恰巧在甲下船时同乙相会，问过河时船速是多少？

10、甲乙两地相距184里，甲以时速12里速度从甲地出发，走2小时后，乙骑自行车以每时28里速度从乙地出发向甲地，问甲出发后几小时遇到乙？

11、哥哥以每小时12公里速度骑自行车进城，走1小时后，弟弟骑自行车以每小时15公里速度从后面追来，问几小时后追上哥哥？

12、一辆卡车早晨6时从甲地开出，每时行50公里，一辆客车从乙地开出的时间是早晨7时，它的速度是卡车的4÷5，下午3时相遇，两地离多远？

13、甲乙同时下地做工，甲每分钟行20米，乙每分钟行16米，甲行到216米处想起一事要急于问乙，马上转向回来，两人在途中相遇，问甲乙相遇是在出发处几分钟？

12、平均类

例一、哥哥去年统考中的成绩：政治80分，语文72分，数学85分，历史68分，地理75分，生物70分，按规定史、地、生物三科算一种成绩他总平分数多少？

分析：先求史地生物平均分数，则应为（68+75+70）分÷3=71分，

再求总平均分数，则为（80+72+85+71）分÷4=77分，

综合式：[80分+72分+85分+（68+75+70）分]÷4=77分.

例二、甲乙丙三数平均数是18，丁戊平均数是33，问5数平均数多少？

分析：先求5数的总数，18×3+33×2=120，120÷5=24.

综合式：（18×3+33×2）÷（3+2）=120÷5=24，五数平均数.

说明：平均类算法，先将各数归纳成一总数，再以各个数单位的和去平分即得平均数，如题中已出现一部分平均数，应先将平均数还原成总数，再用上法运算.

习题（12）

1、某小学四年级甲班47人，乙班43人，丙班53人，丁班49人，平均每班几人？

2、甲乙平均数是307，丙是247，问三数平均数多少？

3、每斤0.18元的酱油5斤和1斤0.12元的酱油混合，平均价是多少？

4、甲种茶叶6两，每两0.5元,乙种茶叶4两,每两价0.45元,丙种茶叶6两,每两价0.3元,三种茶叶混合后,平均价格是多少元?

5、6人骑4辆自行车，其中有两人轮流步行.行18里时，每人骑车几里？ 

6、七人骑5辆自行车，行70里路、平均每人骑车几里？

7、某生考试六门功课，算术未考时平均为66分，等算术考完后平均成65分，问算术考多少分？

8、一辆汽车过山，上山时速40公里、下山时速60公里，他上山行3小时，下山行2小时，问他平均时速多少里？

9、某班40人考算术时有两人病假未考，班级平均分数是68分，该两生病好后补考，一人考70分，一人考86分,再重行平均是多少分？

10红旗生产队三块稻田，一块是22亩，收稻18750斤，另一块17亩，共收稻13797斤，第三块35亩，收稻28795斤，三地平均产多少斤？

11、卫星生产队有三块棉田，一块是17亩收皮棉3201斤，一块31亩，收皮棉5863斤，第三块22亩，收皮棉4446斤，问三块地平均亩产皮棉多少斤？

12、一队有35棵梨树，每棵产112斤，二、三两队共有梨树65棵，共产梨7480斤，问三队平均每棵梨树产梨多少斤？

13、类

例一、某数给16除，它的被除数、除数、商三数和是50，求某数.

分析：被除数÷除数=商，除数×商=被除数

三数和是50，50-16=34，34是被除数与商之和.

根据上面分析，34=被除数+商，由商和除数求被除数，已知除数是16，那末被除数即是16×商，它的和应是16×商+商，被除数34中有商的16倍和商1本身1倍，共计17倍，34是商的17倍，34÷17=2商，除数是16，商2，16×2=32被除数即某数.

解：（50-16）÷（16+1）×16=34÷17×16=2×16=32某数.

例二、一个两位数，十位数值是个位数值的3倍，从这个数里减去7，然后两个数字值就相等，求这个两位数是多少？

分析：1、从题意知，十位数值是个位数值的3倍得知，个位数值不会大于3，十位数不会大于9，

2、题中说从这数中减去7，和这数个位数值不会大于3，可断定个位数值减7是不够减的，必须问十位数上借，借1当10，10减去7还余3，必须加在个位上，而十位上被借去1，也就是要减去1.

十位减1，个位加3，其数值相差1+3=4.

3、题中说十位数是个位的3倍，实际十位比个位大2倍，即3-1=2，

4、数值相差4，倍数相差2倍，4÷2=2,个位数，2×3=6（十位数），

解：综合式：（1+3）÷（3-1）=2，2×3=6，原数是62.

例三、重69斤的石头放在水中称，只有46斤，问水和石头比重是多少？

分析：物体在水中其所占的位置就是水的位置，物体减轻的重量就是水的重量，用水重除物体重等于比重.

解：据上分析：69÷（69-46）=69÷23=3，水和石头的比重.

例四、有棋子若干，排成正方形，余15个，若排成横竖较前各多1粒的正方形，则少36个棋子，问棋子总数是多少？

分析：先余15粒，因为横竖各加1粒就少36粒，实际是在原有方阵上横竖各加一排棋子，但加过后还不成正方形，必须在角上再加上1粒.

解：（15+36-1）粒÷2=50粒÷2=25粒，原有正方形每边棋子数

综合式：[（15+36-1）÷2]²+15粒=25粒×25+15粒=640粒，棋子总数.

例五、某人在上午说现在到下午8时的时间数和现在时数相等，现在是几时？

分析：说上午某时和当时到下午8时数字相等，即从0点到20点成为2倍，

因此得知：（12+8）÷2=10时，现在是上午10时.

习题（13）

1、用正方形砖排方阵，不足84块，如果每边减少1块，就余31块，问砖的总数是多少？

指导：每边减少一块即每边减少1行和角上1块.

2、学生排成方阵多49人，横直各添一行，少38人，问有学生多少人？

5、重30斤的金块，他的比重是15，问在水中能称几斤？

3、1月某日生的孩子，到2月23日，这孩子的出生的日数正好和他的生日的数字相同，问孩子的生日是哪一天？

4、某人日出起身,工作8小时，休息8小时，还要睡眠8小时，现在是7时日落，问这人何时睡觉？（注：从日出到日落，12点正好是中间）.

6、放比重4的东西在河里称，只有51斤，这物原重多少斤？

指导:（先求轻去的重量）

7、有二位数，个位数数字是十位数字的4倍，若这数加5，两位数字相同，求这数.

8、大小两数的和是125，商是4，求两数.

9、有一个二位数，个位数字是十位数字的2倍，若这数加上8，两位数字就相等，问原数是多少？

10、一个二位数，十位数字是个位2倍，这数减8，则两位数字相等，求这个两位数.

总复习（1）

1、一头猪的肥料等于500斤豆饼的价值，如以50斤豆饼卖3.9元的话，3头猪一年的肥料钱是多少元？

2、三人骑两辆自行车，行程30公里，其中一人轮流坐在车后，问平均每人骑几里？

3、36个工人做工26天，得工资1872元，问40人做工16天共得工资多少元？

4、甲给乙8元，乙给丙12元，丙给甲18元，这时三人各有30元原来各有几元？

5、甲所有钱是乙的3倍，而二人所有钱的差是52元，问二各有多少钱？

6、排列棋子成正方形，周围棋子84个，棋子总数是多少？

指导：每边有棋子84粒÷4+1粒

7、某数用5去除，减去5，再乘3加8就得20，求某数.

8、兄弟二人，兄年38岁，弟年22岁，问多少年前兄年是弟年的3倍？

9、兄弟岁数和是28岁，哥哥比弟弟大6岁，问兄弟各几岁？

10、工人做工，每日工资1.5元，加做夜工，加工资0.6元，一工人做工43天，得工资72.3元，问他做几个夜工？

11、儿童分桃，每人6个则少15个，每人4个仍少5个，问儿童多少人？

12、兄年是弟年的3倍，兄年比弟年大8岁，兄弟各几岁？

13、母年33岁，女年11岁，问几年前母年是女年的12倍？

14、夏天某日5时23分日出，问这天昼长多少时？（注：12点是日出日落的正中）

15、如果夜长13时58分，日出和日没各在什么时候？

16、二数的和是30，商是5，求两数.

17、甲乙二人各有钱20元，甲须给乙多少元，乙钱就成为甲的4倍？

18、甲乙分17元钱，甲须比乙多得3元，问各得多少元？

19、牧羊翁临死将羊分给二子，长子得羊65头，次子得羊47头，不足之数，长子补贴次子81元，问每只羊价值多少元？

20、一条560公里的公路，设15个车站，问两站间距离多少公里？

21、姐妹共有96元，姐姐比妹妹多8元，问各有多少元？

22、有桃若干分给儿童，每人6个余15个，每人8个，则少15个，问人桃各多少？

23、我的年纪请你猜：先加8再乘2给17去除减去3是1岁，你知道我今年的岁数吗？

24、甲有120元，乙有90元，甲给乙多少元，两人的钱数相等？

25、甲乙丙三人存款，甲丙之和750元，乙丙之和680元，甲是丙的存款2倍，问各人存款各多少元？

26、有人射击，射中靶子1次得10分，不中倒扣15分，这人射十箭，倒扣50分，问那人中靶几次？

27、沿一个周围200丈的池沼，每隔4丈植柳树1株，柳树中间各种桃3株，问共种桃柳树各多少株？

28、有一座长1560公尺的桥，现在有一辆长492公尺火车，以每秒114公尺的速度过桥，要几秒钟才能完全通过.

29、某人25年前的年龄是他儿子的4倍，现在他儿子已33岁，问这人今年多大岁数？

30、甲乙丙丁戊五人年龄总和200岁，从甲以下依次小6岁，五个人年龄各是多少？

31、某船每时速度顺水是10公里，逆水是6公里，现在因雨后水增，流急，逆水每时只行4公里，顺水每时几公里？

32、放比重5的东西在水里秤，减去重量25公斤，这物体原重多少？

33、甲乙共有钱90元，乙丙钱之和是50元，若甲丙之和为80元，问三人共有钱多少元？各有钱多少元？

34、母亲和一子一女，母子年龄和是60岁，母女年龄和是58岁，10年后子女年龄和是50岁，今年各几岁？

指导：子女现年是（50-2×10）岁

35、某人骑自行车到152里路的地方，要在9小时内赶回，他还要在路上休息1小时，问他每小时要骑多少里？

36、兔的头数是鸡5倍，两样足数共132只，求鸡兔各有多少头？

37、一只时速15公里的船，追赶已先走24公里的船，船行120公里追上前船，那么先行的船时速多少？

38、有150页书，让甲抄3天抄完，乙抄要抄6天，两人共抄要抄几天完成？

39、顺水行船，120里路行12小时，如果水流速度每小时2里，那么回来要几小时？

40、某数的一半等于它的2倍减36，某数是什么数？

41、甲乙两人同时同地相背而行，1小时后相隔13里，但知甲每时比乙多走2里，求每人每时行几里？

42、甲有钱56元，乙有12元，要甲给乙多少元，甲钱是乙钱的3倍？

43、有一个两位数，数字之和是8，假如从原数减去它的倒转数，就是18，这个数是什么？指导：原数和倒数之差是数字差的9倍.

44、有一个两位数，数字的和是12，原数减去倒数是54，原数是多少？

注：倒数系指原数的数字倒转，并注意现在两位数数字之和.

45、甲乙两人年龄的和是49岁，7年以前，甲年是乙年的2倍，他们今年各几岁？

46、小王有一元和五角的人民币，共值10元，1元的张数恰是5角张数的2倍，问各有几张？

47、一辆火车通过33丈的大桥，需时10秒钟，过49丈的大桥，需时14秒钟，求车长和速度.

48、池的周围120丈，甲乙同时从同地沿池反方向走，4分钟遇着，若同一个方向走40分钟甲追上乙，问甲乙每分钟速度各多少？

49、甲步行出门，每分钟走21丈，先走了918丈，乙骑车后追，每分钟走30丈，问多少时间可以追到？

50、两车站相距36公里，甲乙两车同时从两站出发，相向而行，12分钟相会，若同向而开，经30分钟后甲车追到乙车，求两车速度.

51、舟行水中，逆流而上，12小时行36公里，顺流而下，速度是逆流的2倍，问流速及划速各是多少？

52、甲骑车每时行12公里，乙每时行16公里，今甲在乙前24公里，问几时乙可追及甲？

53、有路60里，一人步行，每时10里，一人骑车，每时走15里，二人同时动身，问骑车的早到几时？

54、狗每分钟跑50公尺，兔跑35公尺，兔在狗前135公尺，狗几时追上兔？

55、甲乙丙三人存款，总共存780元，只知甲是乙的2倍，比丙多70元，问三人各存款多少元？

56、方地一块，每边长360公尺，每隔3公尺植树1株，问每边植树几株？周围共植树几株？

57、某校有24公尺一条路，两边共植树26株，问每隔多远植树1株？

58、一甲班32人，一乙班48人，一丙班58人，现改编为一样多人数的班，每班应该几人？

59、甲乙平均数是200，甲乙丙三人平均数是160，求丙数.

60、甲乙有钱32元，乙丙钱的和是24元，甲丙钱的和是28元，求3人各有钱多少？

61、鸡兔36头，鸡足与兔足相等，鸡兔各几头？

62、兄每月储款5元，弟每月储3元，今弟先储半年，问几月后兄弟存款相等？

63、甲乙同时由同地出发，相背而行，5分钟后相距185步，同向而行，8分钟后，甲在乙前40步，问每人每分钟走几步？

64、一数的个位数字是十位数字的2倍，如果加18，两位数字相等，求原数.

65、一个花园四边长度是：12丈、14丈、14丈2尺、15丈，若在四角先植树4棵，再在每边隔2尺植树一株，问种树几株？

66、某人每月存款20元，6个月后用去一半，三个月后又用去一半，尚余存款多少元？

67、李老师每月工资50元，一月份付工资后用去一半多1元，二月份付工资时加入一月份工资后，用去一半少10元，求李老师还余工资多少元？

68、有桃若干，甲拿去一半带3个，乙又拿去其余的一半带2个，丙拿下余的四分之三带一个，恰好拿完，问原有桃多少个？

69、有钱330元分给甲乙丙丁四人，甲取得是乙的4倍，丙取得是甲乙取得和的一半，丁取得等于乙丙取得的和，问四人各得多少元？

70、甲乙原有一样多的钱，后甲收入50元，而乙却用去35元，这样一来，甲的钱是乙的2倍了，问原来有钱多少元？

71、某校语文图书是理化图书的4倍，一月后又买进语文图书30本，理化150本，这时两类图书相等，问原来两种图书各有多少本？

72、有两个数，一个是97，一个是16，现在要加一个相等的数，使大数是小数的4倍，要加什么数？

73、儿子今年12岁，爸爸年纪43岁，妈妈年纪34岁，问经过几年之后，父母年龄之和就是儿子岁数的3倍了.

74、甲有钱120，乙有钱72元，乙给甲多少钱，甲钱比乙钱就会多3倍了？

75、鸡兔共有34只脚，若拿头数互换，那么只数就是38，问鸡兔多少？

76、10年前父年是子年的7倍，15年后父年是子年的2倍，问现年各多少岁数？

77、甲骑车每时行15里，乙步行每时行5公里，现在甲乙在同地同时相背而行，一小时后甲返回追乙，问何时追上乙？

78、买帽一顶，皮鞋一双，共计化26元，但知皮鞋价比帽价的6倍贵8角钱，求鞋帽价.

79、甲桶有水920斤，乙桶有水220斤，如今从甲桶每小时落54斤水到乙桶，问几小时后乙桶水是甲桶水的2倍？

80、两地相距48里，甲乙从两地相向走来，3小时相遇，只知甲每小时比乙多走2里，两人每小时各走几里？

81、甲乙两人同数棋子，甲数6个时，乙数4个，今同时数起，乙数到44个时忽然忘记，又从头数起，到116个时两人同时停止，棋子还余5个，问共有棋子多少？

约数和倍数

质因数检验

例一、有一个六位数是645？28，问百位数应填进那一个数字，全数可用11整除？

说明：检验11的质因数，只要计算一数的偶位和与奇位和的差，如果差是0或11的倍数，那个数一定可以用11除尽.

解：偶位和6+5+2=13，奇位和除去空位是：4+8=12

13-12=1差，奇位和比偶位少1，如果百位上加1，它的差就是“0”了，645128是可以被11除尽的.

例二、在53186一数里，至少加什么或减什么，则全数可被9除尽？

解：用9除53186，余数是5，所以这数至少加（9-5）=4，或减去5，则全数可用9除尽.

说明：普通检验质因数的方法如下：

1、2、5，只要未位是2、4、6、8、0，就有2质因数.未位是5、0，就有5质因数.

2、3，只要看各位的和是否可以将3整除，能整除的就有3质因数.

3、7，只要将个位数字2倍，从十位、百位减去其积，余数是0或7的倍数，那数就可被7除尽.

例三、238有无7的质因数？解：23-8×2=23-16=7，238是7的倍数.

例四、581，58-1×2=58-2=56，56是7的倍数，58可以被7除尽

.4、13，只要先将个位数字4倍，再加十位、百位等数字，和数是13的倍数，那数就是13的倍数.

例（一）、481、48＋1×4=52，52是13的倍数，418也是13的倍数.

例（二）、533，53+3×4=65，65是13的倍数，533也是13的倍数.

备注：7、13的倍数的另一种检验法（11也同）

照上法检验三位数以下的比较便当；如果在三位数以上的，用下法也可.

从右面起向左每三位分作一段，奇段和同偶段和的差是7倍数，那数就可被7除尽，是11、13的倍数，就分别可给11、13除尽.

例（一）、1974中，974-1=973，是7的倍数（根据3）

23961，961-23=938，（根据3解）是7的倍数.

176246，246-176=70，是7的倍数.

29042，42-29=13

4084925，925-4-84=845，根据4解是13的倍数.

963985，985-963=22，是11的倍数.

5、17，先将个位5倍，从十位以上数字减去其积，余数是0或17的倍数.

例（一）、697、69-5×7=34，697是17的倍数，

4692，469-5×2=459，45-5×9=0，4692是17倍数.

6、19，只要将个位2倍，加上十位以上数字和是19的的倍数即是.

例、437，43+7×2=57，57是19的倍数，437也是19的倍数.

例、2546，254+6×2=266，26+6×2=38是19的倍数.

说明：下列的表，左行是质数，上行是要乘的倍数，交错地方是乘积.

倍 数 表

1

2

3

4

5

6

7

8

9

13

13

26

39

52

65

78

91

104

117

17

17

34

51

68

85

102

119

136

153

19

19

38

57

76

95

114

133

152

171

表中：3×13=39，40=39+1，因为40是39+1，所以检验13的倍数只要将个位4倍加上十位以上数.

3×17=51，50=51-1，因为50是51-1，检验17位倍数，只要将个位5倍从十位以上数来减.

1×19=19，20=21-1，因为20是21-1，只要将个位2倍加上十位以上数字.

懂了以上道理，那么上面7、13、17、19等倍数验算道理都可明白，就是23、29、31……等质因数的检验，也可自己去推想.

备注：因数4、6、8、9、12、15、18、24等检验.

1、求两位是0或求两位可给4除尽就是4倍数，如1700、296.

2、求三位是0或可给8除尽就是8的倍数，如23000、1736.

3、这数是符合2和3的两个条件的是6的倍数，如192、768.

4、各数字的和可以给9整除就是9的倍数，如2331、7488.

5、这数符合3和4的条件的是12的倍数，如516、1500.

6、这数符合3和5两数的条件的是15的倍数，如735、255.

7、这数符合2和9的条件的是18的倍数，如1134、2376.

8、这数符合3和8的两个条件的是24的倍数，如15264、3000.

9、数字末两位是0或是25、50、75的，这数是25的倍数.

习题14

1、将下列各数化成质因数的连乘式.

396、476、250、1958、576、1296

指导：把能整除本数的各质因数从小到大，挨次去除，到商数是质数为止；那每次除数及商就是本数的质因数；把它们连乘起来就是质因数连乘积.

2、在17？23一数里百位数应填什么数字，全数才可给9整除？如果给11整除，又该填什么数字？

3、从某数减它的数字之和是13□52，那□位的位置是什么数字？

指导：一定是9的倍数.

4、不用除法，去求57623÷9的解数.

5、检验2366、5682、5632、8451四数，那些数中有7的质因数？

6、把23928、75000、23788中8的倍数划出！

7、把192、993、1233中9的倍数划出！

8、把576、2937、16203中11的倍数划出！

9、把89329、19669、235833中13的倍数划出！

10、把3195、1555、9330中15的倍数划出！

11、棋子150枚，排成一个长方形，问这长方形的排法有几种？

12、买桃子若干只，共计2.55元，现在只知道桃子一只的价钱比桃子只数少1，问买桃子多少只？

13、有两数的积是2639，知道其中一数在20和30之间，问其他一数是多少？

15最大公约数

例（一）、求216、360、504三数的最大公约数！

2 2 2 3 3

216

360

504

108

180

252

54

90

126

27

45

63

9

15

21

3

5

7

2×2×2×3×3=72，最大公约数.

说明：先用公约数除诸数，再用公约数除诸商，到诸商无公约数为止，把许多公约数连乘，就是最大公约数.

例（二）、求10549、34661、1918最大公约数.

（除数）1918

5（商）

10549（被除数）

959

36

34661

9590（商乘除数积

34524

（被除数）1918

2（商）

959（余数）（除数）

959

7

137最大公约

说明：质因数一时看不出来，可用转辗相除法：先用小数除大数，再用余数做除数，拿从前的除数做被除数；挨次除到恰恰没有余数为止.那最后一次除数就是两数最大公约，如果在两数以上，先随便拿两数求公约数，再用这个最大公约数和第三数照前法运算，最后除数即是几数的最大公约数.如上例.

例（3）、有纸长72寸，宽48寸，现剪成几个最大的正方形，它们边长是多少？

4

72

48

6

18

12

3

2

所以每边最长是4×6=24寸

说明：最大最贵最长，此题中原数值小的都是最大公约.

习题（15）

1、781、275、462最大公约数.

2、419、1848最大公约数.

3、292、511最大公约数.（指导：这题用转辗相除法演算）

4、某校女生22人，男生143人，分成人数相等的若干组,每组人数要最少，可分几组？

5、把麦子231斤和大米609斤分在若干袋中，恰好不余，这种袋最大可装多少斤？

6、有蜜桃84个、白桃108个、红桃132个，分装各篮内，不许混杂，而且每篮桃子数目一定要相等，问每篮最多装几个桃子，要几只篮子？

7、有房一间，门面1丈2尺6寸，进深2丈8尺8寸，用正方形砖铺地，问最大尺寸应该是多少？须要多少块砖头？

8、有桃子26个，杏子42个，李250个，平均分给许多人，还多余桃

例（一）、求35、42、84的最小公倍数！

解：2个，杏6个，李10个，求人数是多少？

9、甲地到乙地的距离是1358公尺，乙地到丙地距离是1455公尺，现在要在甲乙的中间和乙丙的中间分成最长而又相等的距离，这种距离应该是多少尺？

10、有一块长方形木头，长1尺1寸4分，宽9寸6分，厚7寸2分，现在要截成最大的立方体，能截几个？立方体每边长度是多少？

             16、最小公倍数

例（一）、求35、42、84的最小公倍数

解:

7

35

42

84

2

5

6

12

3

5

3

6

5

1

2

先用二数以上公约数除诸数，如有不能整除的，把原数抄下，直到没有公约数为止，然后把所有除数和最后商连乘，就是最小公倍数.

例（二）、求3042、936的最小公倍数.

解：

3042

3

936

2808

234

4

936

（936÷234）×3042

                            =12168.

（3042÷234）×936       

先用转辗相除法,求出最大公约数, 再将这最大分约数去除一原数,而乘另一原数,即得最小公倍数

例（三）、一马车，前轮周长15尺，后轮周长12尺，同时起行时着地之点到第二次同时着地，走多少路？

分析：同时着地必须是15尺和12尺的公倍数，从第一次着地到第二次着地必定最小公倍数.

解：求出最小倍数是60，60÷15=4转，60÷12=5转，

说明：最少（至少）比题中原有的各个数值大的多的，要用求最小公倍数去运算.

习题16

1、求75、210、84 和26、30、39、45两组的最小公倍数.

2、求一个最小的数，用32、36、48去除都解12的数？

3、桃子一篮，分成5只、7只、8只一堆，都余1只，这蓝最少有多少桃子？

4、甲乙丙三人绕地竞走，共行一周，各需15、18、24分钟，三人同时同地出发，再过多少时又能同时回到原地？

5、四人同游公园，甲10天游一次，乙15天游一次，丙20天游一次，丁25天游一次，从第一次相会到第二次相会，至少要隔多少天？

6、某人有一部分5分币，5个、7个、8个、9个去除，都余2个，问最少有多少5分币？

7甲乙丙三人同在一地同时绕园地散步，甲每分钟走30步，乙走20步，丙走24步，假定这园地为480步，问三人第一次相会于原地要经过几分钟？

指导：先求出每人绕地一周要几分钟.

8、甲每分钟走150尺，乙每分钟走200尺，丙每分钟走250尺，现在三人绕一周围7500尺的园城进行，要几分钟后再集合于原出发点？

9、大小两齿轮，大齿轮132齿，小齿轮48齿，齿与齿相接，问小轮旋转几回，则原相接的齿再相接呢？

10、求一个最小的数，用15、18、24去除，都不够1的？

总复习（二）

1、在148？3和7？563二数中，各加上什么数字就是11的倍数？

2、让803642成为11的倍数，至少要加什么数字？

3、求下列三题的最大公约数和最小公倍数.

（一）12、18、96、144；（二）192、576、1760；（三）45、75、1125.

4、分解成质因数的连乘积

（一）1008，（二）4114

5、求最小一个数字！

（一）以2、3、4、5、6去除都余1……

（二）以32、36、48去除都余15……

（三）以13、51除去都余11……

（四）以12、16、28去除都余4

6、以某数除5302和4316都余15，求某数.

7、把一数除17则余2，除34则余1，除45则除尽，求某数.

8、以一个最大的数去除3456则余12，去除4325则余13，求某数.

9、两数的积是437，一数在10和20中间，问另一数是什么？

10、某家立一食表，定3日吃一次肉，4日吃一次鱼，5日吃一次鸭，6日吃一次鸡，问第一次同时吃后，须多少时间又同时吃这几样菜？

11、三个謄写员，甲4日用笔一支，乙6日用笔一支，丙8日用笔一支，某月某日同用新笔，再同时用新笔要多长时间.

12、若小羊8元一只，小猪28元一只，小牛54元一只，小马162元一只，问最少要多少钱才能买羊、猪、牛、马各多少只？

13、一个学校有将近400儿童，如果分成24人一班，或60人一班或45人一班恰好都可以分成班，这个学校到底有多少儿童？

14、有书三种，甲种102册，乙种170册，两种238册，分装小箱，每箱册数相同，要箱数最少，每箱应装几册？

15、有布二疋，一疋长19.2丈，一疋长12丈，现在要把这两种布剪成一样长又恰尽无余，每段最长多少尺？

16、有棋子一包，若使3个一数，5个一数，7个一数，都缺2个，棋子至少有几个？

17、用1尺2寸宽1尺6寸长的砖几块，方能铺成最小的正方形？

18、室内平地长18尺，宽8尺4寸，若用最大的方砖铺满要多少块？

19、一长方体，长6尺，宽2尺6寸，要分成最大的正方体若干，问正方形每边多少寸？能分成多少块？

20、桃253只，李231只，分给一组儿童，恰巧分完，问儿单几人，桃李各几只？

21、有二数的积是21、636、151，最小公倍数是527、711，最大公约是什么？（指导：二数的积=最大公约数×最小公倍数）

22、两数的积是216，两数的最大公约数是6，那么两数的最小公倍数是几？

23、一条6里长的大路，两旁从一端起植树，一边每隔12尺植桃树一棵，另一边每隔15尺植柳一棵，那么桃柳相对的树有几棵呢？

24、有棋子若干，用3个去数，余2个，用5个去数余4个，用7个去数余6个，问最少有多少棋子？

25、有一个数，用5除余1，用8除余4，用15去除余11，那么这个数目最小是多少？

26、甲乙丙三人，绕园池周围走路，甲45分钟绕一周，乙60分钟绕一周，丙72分钟绕一周，现今三人同时同向起行，问几时后三人同在原处相会，三人各绕了多少周？

27学生四百余人，分抄书两本，上册2959页，平均分抄余19页，下册2556页，平均分抄余36页，问有多少学生？

28、某校学生分成30人，50人、70人一队,皆少一人,问这校至少有多少学生?

29、甲乙两数,他们的最大公约数与最小公倍数的积是3072,甲数是48,乙数是多少?

30、两数最小公倍数是504,最大公约数是8,两数是多少?

31、甲乙丙三人竟走,甲每分钟走330尺,乙每分钟走264尺,丙走192尺,今同时同地同向饶周围3960尺的园地走,何时再会于原地点?

32、鸡每只1.35元,鸭每只1.08元,鹅每只2.4元,某食堂司务长上街买三种动物,要用同样多的钱去买最少只数的鸡鸭鹅,问最少要用多少相等的钱,买鸡鸭鹅最少各几只?

百分法

求分率(17)

例(一)、桃子500只,坏的有48只,好的占几分之几?

解:好桃500只－48只=452只.占总数的即

例二、投考初中学生250人，有100人被录取，问录取及落弟者各占百分之几？

解：100÷250==0.4=40%录取数.

150÷250==0.6=60%落弟数.

分率=子数÷母数.

习题（17）

1、某大队学龄儿童350人，其中有332人入学，入学的占到百分之几？

2、有桃子28只，吃去4只还余总数的几分之几？

3、125斤小麦兑换104斤干面，问兑换率占百分之几？

4、185斤稻子轧成133.2斤大米，问这稻子出米率占百分之几？

5、某学校报考新生，录取55人，落弟的165人，问各占几分之几？

6、某畜牧场养鸡鸭163400只，其中鸭子110000只，问鸡占百分之几？

7、某生产队秋庄稼共计894亩，其中旱作物为481.7亩，问水旱作物各占百分之几？

8、某校招收初一新生150名，却有250人投考，录取和未录取人数各占百分之几？

9、初一班有学生45人，其中女生9人，问男女学生各占百分之几？

10、某队有水稻380亩，其中有76亩是三类苗，问三类苗占总数的百分之几？

11、某队240亩大豆的治虫工作，开始三天，已治虫204亩，问未治的还占百分之几？

18、求子数

例（一）、有学生52人，其中本大队占，问有多少人？

解：将52人分成13份，其中5份是本大队人，52×5÷13=20人.

（照52人÷13×5=4人×5=20人，这样理解容易明白）

公式：子数=母数×公率

例（二）有小麦4500斤，投八五折轧出麦面，能轧多少面？

折扣里的八五折就是85%，4500×85%=3825斤.

习题（18）

1、有稻子1245640斤，按七五折出米率计算，能碾米多少斤？

2、366日的的是多少日？

3、一家全年开支850元，内中有衣食费占去，儿女读书费占衣食费的，那么各占多少？

4、某物滞销，原价12元，现照85%削价，仍未卖出，又照九折出售，卖多少钱？

5、一件货物价值50元，照六五折出售和照七折九扣算，各多少钱？

6、父子二，父年63岁，13年前，子年是父年的，问子现年几岁？

7、我级50位同学中有70%是本大队人，其中又有80%是本生产队人，问本队人是多少？

19、求母数

例（一）、某数的是18，求某数.

解：把某数分成三分，拿出它的两份即18，可见一份则是18÷2=9，而三份则9×3=27，列成分数式是用分数除法.

18÷=18×=27，某数.

例（二）、某校女学生是198人，占全校学生的，问男学生是多少人？

解：198相当于5份中的2份，总数则是198÷=198×=495人.

495人-198人=297人男学生.

母数=子数÷分率.

习题19

1、某人提取存款250元却是他存款的，问他原有存款多少元？

2、某削价商品，定明照原价六折现售价9元，问原价是多少？

3、工人张明每月工资57元，是他爱人的90%的80%，问他爱人每月工资多少元？

4、某队选民占全队人口的十分之九，计243人，问全队有多少人？

5、照八五折换面，现换95斤面，问须要多少小麦？

6、某人每月开支40元，占他收入的，问他每月进款多少？

20、母子和

例（一）、某队棉花每亩定产96斤皮棉，实际产量比定产高90%，问产皮棉多少？

解：假设原定产为1，则增产为（1+）倍，依题意得式为：

96斤×（1+）=182.4斤.

例（二）、某队前年亩产510斤，去年增加了45%，问去年亩产多少斤？

解：510×（1+45%）=739.5斤.

说明：母子和是母数与子数的和，可先求子数，再加母数，但没有下列式中假定母数作1简便,母子和=母数×(1+分率)

习题20

1、客车每小时走38公里，货车每小时可多走，问货车一小时走多少里？

2、某学生语文考80分，算术比语文多5%，问算术考多少分数？

3、某校去年学生528人，今年增加，问若以每人6元收费，该收多少元？

4、几个青年集资4000元，开生产合作社，一年中赚利13%，问现有本利多少？

5、某队前年皮棉每亩120斤，去年增产66%，问去年亩产皮棉多少斤？

6、某队前年稻子亩产860斤，去年增产，问去年亩产多少斤？

7、某队以5000元买4头牛，若牛价加，问每头牛价至少要多少元？

21、母子较

例（一）、冬天夜长占总时间的，问昼长多少时？

解：一昼夜24小时，全时作1，那么昼长是（1-）即，

简式：24时×（1-）=24时×=10时.

说明：母子较即母数同子数的差，可以把母数作1去运算.

公式：母子较=母数×（1-分率）

习题21

1、河水原深1丈4尺，现因大旱，浅去，现在有多深？

2、小弟体重84斤，因病减去3.5%体重，问现在还有多重？

3、信用社以3000元借贷给甲乙两队，甲队借去33.5%，问乙队借多少元？

4、生产队每天劳动8小时，暑天减少，每周劳动几小时？

5、生产队存款4500元，先用去，后用去余下的，还余多少元？

6、某校共有540学生，其中初中部占去，问小学部还有多少学生？

7、木工合作做五斗橱原定价每只80元，现削价13%出售，问每只卖多少钱？

8、某工人在外共做工40天，其中在张家做，在李家做，其余在王家做的，问在王家做工几天？

22、母子和求母数

例（一）、明光小学今年有学生517人，比去年增加，去年有多少人？

解：假定去年人数为1倍，则今年有（1+）倍，计517人.

简式：517人÷（1+）=517×=423人.

说明：这种由母子和求母数的题目，最要紧的是拿原定标准做母数，比原定标准多的做母子和，得公式：母数=母子和÷（1+分率）

习题22

1、生产合作社一年营利是原本的，现有资金1500元，问原本多少元？

2、某公社有小学生3000人，今年比去年多，问去年多少学生？

3、生产队今年稻子产量为960斤，比去年多24%，问去年产量多少？

4、某队今年收粮食10800斤，比定产额增产35%，问定产是多少斤？

5、某队收粮食114460斤，比去年增产18%，问去年产量是多少斤？

6、游泳表照明试销价增加20%定价，出卖时又照九折6扣作实价为72元，问这表原试销价是多少元？

7、茶叶13斤，加利24%可卖104.16元，若依照原价出售，应卖多少元？

8、有202.4元货物，按税率15%纳税，问应纳税款多少元？

23、母子较求母数

例（一）、定货一种，先付款36元，取货时再付，问货价多少元？

解：假定货价为1，那么先付定款是货价的（1-）相当于36元.

简式：36元÷（1-）=36元×=50元.

例（二）、某生以其所有钱的缴学费，缴宿费，缴书费，尚余2.8元，问他带多少钱？

解：假定所有钱为1，用去、、尚余2.8元.

1-（++）相当于2.8元.

简式：2.8元÷[1-（++）]= 2.8元÷=9.6元.原带钱.

例（三）、某人拿所有钱的买粮食，又拿余下的做衣服，又拿二次余下的存入分银行，还有78元.问原有多少元？

解：这题和上题不同，上题拿原钱做标准，这题拿余钱做标准.

78元是第二次余下的（1-）所以第二次余下78元÷（1-）=208元.

208元是做衣服余下的，208元÷（1-）=208×=364元.

原有是364元÷（1-）=360    元÷=360元×=455元.

简式：78元÷（1-）÷（1-）÷（1-）=455元.

说明：母子较求母数的算题，都要假定1做标准，这1就相当母数.

看清题中什么是母数，什么是子数就好算了.

公式：母数=母子较÷（1-分率）.

习题23

1、有一条路走去1÷3，尚余60公里，求路长.

2、某校招生录取占投考人数，尚余80人，求投考人数.

3、某队前年收45390斤粮食，和去年比较却比去年少收11%，问去年收多少粮？

4、布一疋卖去还余324尺，问这疋布原长多少尺？

5、某买书5册，共付12元，比定价少20%，问书每册原定价多少元？

6、某校入学试验考取150人，落第占投考人数的25%，问投考有多少人？

7、某人从银行提款15%还余170元，问他未提款前存款是多少？

8、有一竹竿涂红色，涂杏色，涂黄色，还余3尺5寸，问竹竿多长?

9、有书一册，甲乙丙三人共抄，甲抄全页数的，乙抄全页数的，下余540页是丙抄的，问全书有多少页？

10、某人提取存款买石料，提买砖头，还有500元留买木料及瓦工盖房时零用，问此人准备多少钱盖房子的？

11、插竿池中入泥的是竿长的侵入水中的是入泥的1倍，水面上还露出2尺3寸，问竿长多少？

12、一队有家禽是二队的36%，一队卖去它所有的36%，尚余176只，问一队有家禽多少只？

13、物理仪器3付，照原价减少30%出售，计得钱50.4元，问每付折去价钱多少？

14、某生以所有钱的缴伙食费，又以其余的缴学杂费，尚余20元，问原有钱多少？

指导：学杂费占总钱数的（1-）×.

15、某人从甲地到乙地，坐轮船走，从火车走余下的，坐汽车走第二次余下的，再步行5里而到，问两地相隔多远？

16、某大学教职员占全校的21%，工友占全校的3%，学生是456人，问全校有多少人？教职员工各是多少人？

17、张光的存款是陈洋的，两人相差925元，问各存款多少元？

18、买盐一包，从甲地到乙地漏去5%，从乙地到丙地又漏去余下的18%，还存盐280斤，问原有盐多少斤？

19、某校录取新生120名，落第是投考人数的76%，问投考人数若干？

20、小麦兑换于面是8.4折，现在要换126斤面，须要多少小麦？

24、百分法应用

例（一）、代人卖出货物，照卖价扣去佣钱5%，卖主净得款169.48元，问卖价多少？佣钱多少？

解：169.48元相当于（1-5%）=95%.

169.48元÷95%=178.4元卖价，178.4元×5%=8.92元佣钱.

公式：佣钱÷货价=佣率；货价×佣率=佣钱.

佣钱÷佣率=货价；货价×（1-佣率）=净得钱.

例（二）、市房一所,价值6000元,照它的保险,每年保险费38.4元，求保险率.

解：保险额是6000元×=4000元.

得保险率38.4元÷4000元=0.96%

公式：保险费÷保险率=保险金，保险金×保险率=保险费，

保险费÷保险金=保险率.

例（三）、从上海汇款到兰州，汇率0.2%，现在汇款2800元，连汇费共须付钱多少？

解：汇费2800元×0.2%=5.6元.

2800元＋5.6元=2805.6元，总银.

别解：2800元×（1+0.2%）=2800元×=5.6元.

公式：汇款×汇率=汇费，汇费÷汇率=汇款，

汇费÷汇款=汇率，汇款×（1+汇率）=总银.

例（四）、某批货品从外国进口，按照货价的75%在海关纳税，现在该货连税共须8750元，那么该货原价值多少元？

解：8750元是货价同税费的和，所以原价是8750元÷（1+75%）=5000元.

公式：货价×税率=税银，税银÷货价=税率，

税银÷税率=货价，货价×（1+税率）=总价.

备注：折扣类亦属百分法应用之一，前面已讲过，不再赘述.

说明：百分法应用题先要辨别各数的母数、子数、分率就好运算了.

习题（24）

1、连汇率1%在内，共付73.73元，汇出多少？

2、现在将80元交邮局汇出，连汇费付80.4元，求汇率.

3、某机关住房一所，保火险银2700元，五年中共付保险费270元，求保险率.

4、代人卖货，照卖价扣去佣钱4.5%净得款1337元，问卖价及佣钱各多少？

5、速印品的货物税率是80%，现有速印品六件，须缴货物税120元，问每件速印品的原价是多少？

6、代客卖去肥皂203箱，除了扣除4%佣钱外，客人净得款4209.408元，问肥皂每箱卖多少钱？

7、上海海关一年中报关货物，平均7.5%缴税，每年税款450万元，若照12.5%纳税，每年可以多收入多少？

8、一人建筑房屋一所，费钱5000元，把这数的保险，每年保险率4厘，经过12年，而此宅烧去，问保险公司损失多少？此人损失多少？

25、部份求全数

说明：分数里的1是非常巧妙的，我们会用这个“1”，不少难题都可以迎刃而解，反之，如果对“1”的概念还是模模糊糊的话，在解题时将感到莫大的苦恼.

什么叫部份？什么叫全数？从整个里分出的就是部份，譬如吃西瓜，一个瓜就是全数，把瓜用刀切开，一瓣一瓣的，我们叫它部份，分数里有不少算题是具有这种特性的，有了部份求全数，要用分数除法的，全数求部份用分数乘法.

例（一）、人民银行对某大队举行农贷，一队贷得，二贷得，两队共贷得245元，其余贷给别队，问银行共贷出多少元？

解：两队总贷款是+=，相等245元，

现在要求它的总贷款总数是1，是部份，245元÷=300元总数.

例（二）、竹竿一根，它的比长3尺，这竹竿有多长？

解：比，即-=，相当于3尺得式：

3尺÷（-）=3尺÷=3尺×=22尺竿长

例（三）、某大队男劳力占，女劳力占，其余是老人和小孩，只知男劳力比老人小孩多100人，问这大队共有多少人口？

解：假定总人口为1，那么老幼部份占1-（+）=1-=，

男劳力比老幼多100人，看多几分之几？-=，总人数100人÷1÷15=1500人

简式：100人÷｛－[1－（＋）]｝=100人÷=1500人.

例（四）、一个少先队员，拿所有钱的买书，后来劳动又收入2元，于是合原有的，问这孩子原有多少钱？

解：用去，可见还余1－=，本余，现在还余，这是又收入2元的原因.

－=，现有的比原余的多，相当于2元.

这孩子原有钱2元÷=2元×=30元.

简式：2元÷[－（1－）]=2元÷（－）=2元÷=2元×=30元.

习题（25）

1、到连云港市花果山去游玩，坐汽车行全程的，骑自行车行全程，共走70里，问全程多少里？

2、少年买语文算术书两本，共用1.9元，但知道买算术书用所有钱的，语文书用所有钱的，他共有带多少钱？

3、有某数它的比它的多12，求某数.

4、爸爸把所有钱分给三个孩子，幼子得，次子得，其余给长子，不过比幼子多得22元，问爸爸共拿出多少钱？

5、某生产合作社全部资金的的是1200元，这合作社全部资金多少元？

6、一人从甲地到乙地，坐船行，坐车子行，其余是步行，只晓得步行比坐车子少9里，问全程多远？

7、甲乙丙三人年龄，乙年是甲年的，丙年是甲年的，但是乙比丙大4岁，问三人各几岁？

8、有某数，它的与的和比原数多104，问某数是多少？

9、有布一块，拿它的做制服，余布恰好做童装一套，但知童装比成人制服少用8尺布，这块布原有多少尺？

10、兄弟二人进城购粪肥，哥得6份，其余给弟弟，知道哥哥比弟弟多36担，问兄弟各得多少担

11、甲有钱是乙的，乙比甲多60元，问两人各有多少钱？

12、绳一条，剪去9尺，余下的部份比全长的还多3尺，问这条绳原有多长？

13、某人4年前的年龄是8年后的，问某人今年多少岁数？

14、有满桶水，漏去，吸出1斗6升，还余半桶，这桶水容量多少？

15、某人用去所有钱的40%，又得24元合到原来的66%，问这个人原有多少钱？

16、某校男学生是全校的60%少16人，女学生是全校的33%多33人，问男女生各有多少人？

26、工程类

例（一）、有一件事，甲做5天完成，乙做8天完成，甲乙合作要几天完成？

解：甲做5天，那么每天做，乙做8天，每天做，假设全工程是1，现在两个人在一天内共做+.

得式：1÷（+）=÷40=3天.

例（二）、甲乙二人共做一事，16小时完成，如果甲做要34小时，问乙做要多少小时？

解：全事作1，甲乙两人每小时做，甲每时做，两人合做的减去甲做的，就是乙做的，1÷16－1÷34=9÷272.

简式：1÷（11÷12=49分，即6时49分.

   （5分×时数+15分）÷11÷12=成直角（在时针前）

   （5分×时数－15分）÷11÷12=成直角（在时针后）

例（二）、五时和六时间，两针相重叠的时刻是什么？

解：5点钟时，分针在时针后，5分×5=25分.

两针相重，分针要追上25分，但分针每行1分，时针走1÷12分，

所以分针每行1分，要追上时针11÷12分，要追上25分，分针自己必须走

25分÷11÷12=25分×12÷11=300÷11分=27分，即5时27分.

重叠=长针在短针后面的时间÷11÷12.

例（三）、10时和11时中间两针成直线，在什么时候？

解：10点钟的时候，分针在时针后面，5分×10=50分，两针成直线，必须相隔30分，那么分针要比时针多走50分－30分=20分.

现在要多走20分，所以分针必须要走20分÷11÷12=21分.

即10时21分成直线.

   （5分×时数＋30分）÷11÷12=成直线

（5分×时数－30分）÷11÷12=成直线

例（四）、七点钟以后，什么时候两针成120⁰角？

解：钟面360度，120度角恰占三份之一的距离.

三分之一距离是60分×1÷3=20分，

7点钟时，两针相距5分×7=35分.

现在要相距20分，只要分针比时针多走35分-20分=15分.

分针每走1分要比时针多走11÷12分，要多走15分，分针一定要多走

15分÷11÷12=15分×12÷11=16分，即7时16分成120⁰角.

说明：时钟类算题，最要注意的是分针每行1分，追上时针11÷12分，因为围绕钟面走一圈，时针走5分，分针却能走60分，所以分针走一分，时针只走1÷12分.至于必须要给11÷12除是根据：“同数求倍数用除法”的定义.

习题（27）

1、何时长针成直角？

a、三点钟后，c、四点钟到五点钟之间，有几次？

b、八点钟后，d、10时到11时之间

2、一点钟后，钟的长短针相重在什么时候？

3、三点到四点钟时，两针成直线在什么时候？

4、表的时针和分针经过多少分则相重一次？

5、七时到八时，两针成直线在什么时候？

6、五时到六时，两针重叠在什么时候？

7、八点和九点之间，时针和分针成60度角在什么时候？

8、七点钟之后，两针成功150度角在什么时候？

9、10时之后，两针成90度角在什么时候？

28、杂类

例（一）、有鸡兔共足数390只，鸡数是兔数的2÷7，问二者头数多少

解：假定兔的头数是1，只数就是4.

鸡的头数是2÷7，只数就是2÷7×2=4÷7.

那么只数的（4+4÷7）倍就是320，所以只数的1倍就是

320÷（4+4÷7）=320×7÷32=70，兔的头数，70×4=280只足数.

鸡的头数是70×2÷7=20头，20×2=40只，足数.

例（二）、有分数3÷4，分子加上24，分母要加上什么数，其值不变？

解：分数里的定理，分数的两项（母子）同用一数去乘，大小不变.现在分子加上24，就是分子给（24÷3）=8乘，所以分母也要给8乘，即加4×8=32，分数的值才不变.

例（三）、某生写字，今日比昨天多写1÷5，两日共写3300字，两日各写多少？

解：假定昨天写1倍，今天就写（1+1÷5）倍，两天共写2倍.

3300字÷2=3300字×5÷11=1500字，昨天写的.

1500字×（1+1÷5）=1800字，今天写的.

例（四）、2÷7、4÷35、8÷21的最小公倍数是什么？

解：分数最小公倍数=分子的最小公倍÷分母的最大公约.

2÷7、4÷35、8÷21=8÷7

例（五）、求2÷3、1÷2、4÷7、6÷8的最大公约.

公式：分数最大公约=分子最大公约÷分子最小公倍.

2÷3、1÷2、4÷7、6÷8=2÷84.

习题28

1、求6÷7、4÷21、8÷25的最小公倍数.

2、求1÷7、3÷14、5÷49的最小公倍数.

3、从25÷53的分子分母同加一数就是9÷16，加的什么数？

4、本校今年学生比去年增加2÷15，两年共有1280学生，问两年各有多少学生？

5、有鸡兔只数共168只，兔数是鸡数的2÷3倍，问二者各有多少？

6、有鸡兔只数共276只，鸡数是兔数的3÷10，问二者各有多少？

7、姐妹两人岁数共33岁，姐比妹年龄多1÷5，姐妹各几岁？

8、甲乙丙三块田，共产稻3150斤，甲田比乙田多1÷6，乙田比丙田多1÷7，问三块田各产多少斤稻子？

9、求24、20、16、8的最小公倍数.

总复习三

1、苹果一篮，拾去坏的1÷4后，每只卖6分钱，共卖7元2角，问这篮苹果多少？

2、生产队收麦子72000斤，社员口粮及征购共用去60000斤，还余在分之几？

3、房屋一所，价值8500元，假使照价值4÷5保火险，每年保险率2.6%，每年保险费是多少？

4、从东村到西村，甲行5时可到，乙行7时可到，现甲从东村，乙从西村相对而行，经过几小时相遇？

5、布30丈用去5÷12，下余每丈3.6元，问可卖多少钱？

6、弟弟比哥哥小5岁，但是等于哥哥4÷5，两人年纪各多少？

7、用稻机米，每减少35%，问1200斤米须要多少稻？

8、一小孩用去原有钱的2÷3，尚余5元，问原有多少钱？

9、木竿一根，1÷4涂红色，1÷3涂杏色，1÷6涂黑色，还余1尺5寸，木竿多长？

10、小数的1÷7等于大数的1÷9，但知两数相差28，问两数各多少？

11、一块布剪下1÷2做被单，1÷4做衣服，还余1.25丈，问这块布多长？

12、民兵带子弹42粒，第一次射击用2÷7，第二次射击用去所余2÷5，还余几粒？

13、、甲乙丙三人合开合作社，计资本2400元，甲出所占2÷5，乙出占甲的2÷3，问丙出多少元？

14、甲的奖金占总数的4÷9，乙占3÷9，丙得40元，求甲乙各得多少元？

15、甲乙集资1500元开合作商店，只知乙是甲的2÷3，问二人各出多少元？

16、某书每册成本8角，加50%定价，现又照8折削价卖出，可赚百分之几？

17、寄售商店代人售货，收手续费4%，今代人售货650元，可得手续费多少？

18、某生买书五册，付款2.4元，比原价少20%，问原价多少元？

19、本校上届初中入学试验，共录取121人，落第者占投考人数45%，问投考人数有多少？

20、某厂一种布，卖出时加利润百分之二十三，卖价2.46元，现有布80丈，问赚钱多少？原价共多少？

21、甲用1000元买房一所，后卖给乙获利15%，后乙又卖给丙，亏损买价的15%，问丙出多少钱？

22、某校入学试验，投考人数1000人，其中女生100人，若各取45人，则男女生录取名额各占其投考人数的百分之几？

23、某人先用去所有钱的1÷5，又用去余下的3÷7，又用去余下的3÷8，还余78元，问原有钱多少？

24、男社员6日的工分和女社员7日的工分相等，男社员每天比女社员每天多2分工，问男女社员每日工分是多少？

25、建房一所，用技工18人，小工7人.12日共付工资489.6元，以知小工每日工资是技工的2÷3，问每日的工资各是多少？

26、哥弟每月工资和是150元，哥哥是弟弟的3÷2，问二人的工资各是多少元？

27、某人卖货48箱，每箱缴税4.5元，佣钱308元，问佣金百分度是多少？

28、某到旧书店买旧书一册，计价8元，后照七五折成交，回家后又重新装订，又费去买价的15%，问共用多少钱？

29、某校学生按每年10%增加，今年330人，去年多少人？明年又派多少人？

30、某校今年毕业140人，其中升学的是3÷7，问就业及升学各多少人？

31、某数的3÷5加14，恰等于原数的5÷6，求某数.

32、某种货物100件，削价按八折出售，共计少卖40元，问每件货物多少钱？

33、某数的1÷2与1÷3之差是4，求某数.

34、一人切瓜，要半瓜的1÷4，问所余部分占全瓜的几分之几？

35、代人卖自行车一辆，照卖价扣佣钱5%，现在卖主净得钱169.48元，问买主出钱多少？佣钱多少？

36、甲乙丙三人存款，甲存576元，乙存是甲的5÷6，丙是乙的5÷8，求丙存款数.

37、有绳一条，先截去1÷5，然后截去余下的1÷6，再截去其余的1÷3，尚余4尺8寸，问绳原有多长？

38、本校去年投考学生285人，今年比去年多60%，问今年多少人？

39、有绳子一条，三折比四折长5尺，求绳长.

40、甲乙二人分夜间劳动所得，甲得3÷7，乙比甲多得2角钱，问总数是多少？

41、某书成本每册5角，加2%利润作定价，后又照定价8折卖出，问赚（或赔）多少钱？

42、某工人以全月工资1÷6买柴，再以其余的2÷5买米，还余24元，问工资多少？柴米钱各多少？

43、竿长63尺，折为两段，较长一段的3÷5等于较短一段的3÷4，各长多少？

44、某工人家属，一月份生活开支41.5元，其中买米、炭钱是买菜钱的5÷9，求菜各用多少钱？

45、钟上时针和分针所成的角度是150度，问两针相隔多少分钟？

46、某幼儿园招生，不合格的占报名的1÷12，未考取的占3÷4，录取84人，问报名的有多少人？

47、某校招生，投考总人数是2400人，投考小中专的占全数1÷5，其余报考高中的，其中1÷10是女生，问投考高中的男生共多少人？

48、某数1÷5加24恰等于某数的2÷7，求某数.

49、某工人以全部收入3÷8存入银行，以余下的2÷3作生活用费，还余13元作零用，问某人全部收入是多少？

50、某人以半月工资的5÷9存银行，再拿余钱6÷7买日用品，已知存款比购物多4.18元，问这人每月工资多少？

51、一年共365日，暑假占56天，寒假20天，春假3天，例假7天，办理开学手续和学期考试24天，问一年中上课的日子占几分之几？如果一天读书8小时，问读书时间占一年时间几分之几？假定人生上寿70岁，受教育的期限不超过15年，问在校读书时间占一生总时间几分之几？

52、某校投考学生，男生占2÷5，女生比全数的1÷2少108人，问有多少考生？

53、上等粮的价是次等粮的4÷3，今买上粮3斤，次粮5斤，共付5.13元，问上等和次等粮价各多少元？

54、甲有钱当乙所有的3÷5，而甲的2倍比乙多3元，问二人各有钱若干？

55、某小学戴帽初中部是总学生数的14÷25，小学比初中部少21人，问学生总数是多少？

56、一卖梨的，定价1元卖30只，可获利18.5元，如定价1元卖40只，就亏本9.25元，问他有多少梨？

57、牛马数1÷9等于羊数的1÷4，牛数是162只，羊是多少只？

58、某数的1÷3与1÷7的和比原数少55，求某数.

59、甲7时能走56里，乙5时能走42里，今同时同地出发，问四时后，两人相距几里？

60、有满桶水，漏去1÷3，汲出21斤，还余半桶，求这桶水的容量.

61、某人的钱用去1÷3和42元，还余一半，这人有多少钱？

62、某厂原计划每月出布2400疋，现超额1÷6完成任务，共出布多少？

63、某合作社进价每尺32元的布，按卖价八折优待出售，还获利20%，如果不折出售，应卖多少钱一尺？

64、池中插一竹竿，其5÷13露出水面，2÷13陷进泥中，量得水浸的长是9尺，问竿全长和陷入泥中是几尺？

65、某人由甲地到乙地，已行9里，余下的部分比全长的1÷4多3里，两地多远？

66、一事甲乙共做6天可成，若二人共作4天后，甲因事停工，余下部分乙独作5天完成，若甲乙二人独作各需几日？

67、一工程甲做20天完成，做5天后叫乙做，18日可完成，甲乙二人合作几日可成？

68、一人上街买粮，所有钱买米可买180斤，买麦可买270斤，今得此款买米麦，其斤数相同，问各多少斤？

69、有分数4÷7，分子分母同加一数，则为3÷4，所加的是什么数？

70、鸡兔160只，鸡数1÷4等于兔数，问鸡兔各几只？

71、鸡兔共足120只，兔足数是鸡足数的1÷4问鸡兔各多少？

72、甲8日的工资和乙7日的工资相等，乙5日的工资和丙10日的工资相等，甲乙丙三人每日共得工资7.6元，问各得工资多少？

73、甲乙同作一事，10日可完成，今甲乙同作此工，8日后甲因事停工，余工由乙独作，5日完成，甲乙单作此工，各须几日完成？

74、鸡犬一群共有520足，鸡的头是犬的头数的3÷5，问鸡犬各多少头？

75、有一工程甲独作8日完工，乙独作10完工，今乙先独做1日，其余由二人合作，须几日完工？

76、某校总人数720人，高师是初中的2÷3，附小是高师的2倍，问三部各有多少人？

77、池中立竿，全长1÷5入泥，泥上之长的3÷4在水，水上之长是8尺，求竿长。

78、甲乙共有钱130元，若甲用去所有1÷5就比乙所有的还多5元.甲乙各多少？

79、兄弟原有钱数相等，后 用去所有的25%，弟又得工资24元，现在兄所有等于弟的1÷2，问原来有几元？

80、儿童分桃，每人5个，则少15个，若桃子加1÷5，则多10个，求儿童数.

81、有一分数，分子加3就成1，分母加2就成1÷2，求此数.

82、有一块地，用马7头或牛5头去耕，都须18日耕完，今用牛马各3头共同去耕，问几日可耕完？

83、某中学共有高初中两部，共有学生468人，原初中部有1÷4转学和退学，而高中部又续招36人，然后高初中人数相等，原来各有多少？

84、有绳二条，共长1丈1尺；甲绳剪去1÷5，乙绳加长7寸，二绳恰好相等，问二绳各长多少？

85、有纯酒精1斤，倒掉1两，加清水1两；如是再倒再加，共有三次，问倒掉纯酒精几两？

86、父子三人年龄的和是78，但知长子岁数比父年1÷3多3岁，幼子年龄比父年的1÷4少1岁，求父子三人现年龄多少？

29、求利息

例（一）、存款120元，年利5厘，问每年的利息多少？（除利息所得税5%）

120元×5%×（1－5%）=57元.

说明：利息算法和百分算法一样，不再演算，只得公式抄录如下：

利息=本银×期数×利率

本银=利息÷（期数×利率）

本银=本利和÷[1＋（期数×利率）]

期数=利息÷（本银×期数）

利率=利息÷（本银×期数）

利率=（本利和－本银）÷（本银×期数）

本利和=本银（1+利率×期数）

30、比例

①  比

例（一）5：3

解：5：3=：=17：10==1

公式：前项后项比值互求公式如下：

分率=子数÷母数          比值=前项÷后项

母数=子数÷分率          后项=前项÷比值

子数=母数×分率          前项=后项×比值

例（二）、2：4、4：3和21：25的复比

解：2：4

4：3    =2×4×21：4×3×25=168：300=14：25

21：25

例（三）、有四数，甲比乙是2：3，乙比丙是4：5，丙比丁是3：4，求甲乙丙丁的边比.

解：甲   乙   丙   丁       四数的连比是

    2    3                      2×4×3：3×4×3：3×5×3：3×5×4

         4    5             24：36：45：60即

              3    4        8：12：15：20

说明：凡比的三项互求，都只要利用倒一的公式，求多数的连比只要看例二的解法，使前比的后项和后比的前项相同就得，求复比，只要各比的前项相乘做前项，各比的后项相乘做后项即得.

习题30

1、：的比值是多少？

2、用什么数目比64，值是1÷4？

3、用28比什么，值是1÷7？

4、16和某数之比值是3÷8，问某数是多少？

5、甲：乙=5：8，乙比丙=9：5，求甲乙丙的连比是什么？

6、有四数，甲比乙是2：5，乙比丙是10：9，丙比丁是6：5，求四数的连比.

7、甲比乙是3：2，乙比丙是4：7，求甲：乙：丙？

8、求2：5和9：8的复比？

9、求5：3：1：1和2：1的复比！

②求缺项

例（一）、？担：8.4担=15亩：12亩

解：缺在外项，所以只要用另一外项做分母，内项相乘做分子.

？=（8.4×12）÷12=10.5担

例（二）、有7：21=5：15，如在第二项加14以后，第四项该加多少，比值不变？

解：现在把第四项当做缺项计算，列式如下：

7：（21+14）=5：？得？=（5×35）÷7=25

现在第四项是15，所以该加25－15=10.

说明：缺外项用另一项做分母，内项相乘做分子；缺内项，用另一项做分母，外项相乘做分子.

外项×外项=内项×内项.

习题31

1、4：5=84：？

2、12：60=？10

3、5：4=？：13

4、2：3=10：？

5、有6：3=18：9，这第三项加7，第一项应加多少，比值不变？

6、有4：9=10：22.5，在第一项减2以后，第三项减多少比值不变？

③单比例

（例1）、竖一根长6尺的竹竿在日影下，影长4尺，旁有一塔，影长6丈，求塔高.

解：塔愈高影愈长，所以高度和长度成正比的.

4：60=6：x

x==90尺（所以塔高9丈）

（例二）、有长方形田两块，面积相同：一块长25丈2尺，宽20丈5尺；一块长86丈1尺，问宽派多少？

解：25丈2尺=252尺，20丈5尺=205尺，86丈1尺=861尺.

面积相同，愈长则宽愈短；愈短则宽愈长，成反比，

861尺：252=205：x

x=60尺

说明：单比例题，第一要辨别反正，正比例两比都顺列，反比例一个顺列，一个反列，求单比例有两句话，就是：“顾求大数，大数字中；欲求小数，小数字中.”中即比例的第二项.如问题未知数比已知数大的，就把同性质一对已知数中比较大的放在第二项；如问题的未知数，比已知数小的，就把同性一对已知数中比较小的放在第二项，未知数都放在第四项，和它对等的放在第三项。（此类单比例题，一律可用普通四则中归一法运算）

习题（31）

1、十人做一工程，10可成，现在要5日赶成，该用几天？

2、米300斤42元，问700斤的价是多少？

3、一公尺相当3尺，求5公尺7公尺和几尺相当？

4、一事三人做，八日可成，六人做几日可成？

5、牧童割草，六一人天可割半亩，今一天要割三亩，当用多少人？

6、一件事5人作，8时可完，问4人作，几日可完？

7、某学生做算术题，8分钟可做5题，问几分钟可做20题？

8、某工程3人做21日可成，问7人做几天可完成？

9、以豆三升制酱，须扣面6斤，盐1.2斤，今以豆24升做酱，须扣面几斤？几斤盐？

10、圆周和直径之经是3.14：1，今有一圆城，从东门到西门，长2里110丈，问环城一周，共有多长？

11、稻140斤换酒40斤，问稻35斤换酒几斤？酒30斤换稻几斤？

12、竖一根长8尺的竹竿在日光下，影长4尺，旁有一塔，影长8丈，问塔高多少？

13、一工程每天雇150人去做，90天可完工，若想早30天完工，须增加多少工人？注：注意题中“提早”及“增加”字样的含义.

14、若一立方公分的水重一公斤，则一立方公尺的水重几公斤？

注：1000分=1公斤，1000立方公分=1立方公寸.

15、有粮分给解放军1800人，可吃9个月，今增加60人，可吃几天？

16、一工程14人合作，24日可成，若要21日赶成，应添几人？

17、筑路一条长48公里，15日筑成36公里，问下余的路，还要几日筑完？

18、有一工程50人合作15日可完成，今限8日完工，须要几人？

19、社员若干人，每时能耕地3亩20平方丈，今耕4时12分，能耕地多少亩？

20、某校建筑校舍雇工人60名，预计50日可完成，今欲提早10日完工，问须添雇多少工人？

复比例

（例一）、每日工作8小时，15日割草40担，若每日工作5小时，21日可割草多少担？

解：每日工作时间愈长，割草愈多，所以工作时间和割草数量成正比例，日数愈多割草也愈多，日数和割草量也成正比例。

8：5

           40：x     x==35担

15：21

整数式：40÷（8×15）×（5×21）=35担

（例二）、某项工程，80人做，每日工作6小时，30日可完成；若减少20人，每日加2小时，几日可完成？

解：人愈多所需日数愈少，两者成反比例；每日工作时间愈长，则所需日数愈少，两者也成反比例。

（80－20）：80

                   30日：x日          x= =30日.

（6+2）：6

整数式：（6×30×80）÷[（6+2）×（80－20）]=30日.

说明：复比例题只要辨别题中原有各对的数量和所问的数量成正比还时成反比？正反比辨明后，只要复比的前项相乘做分母，复比的后项和已知项相乘做分子就得，（不辨正反比，辨大小也可以的）。

附因果法：用因果法解复比例题，比例成比例式演算方便。

公式：前因×后果=后因×前果

例-别解：  前因      前果      后因     后果

8         40         5        ？

15                   21

按照上列公式解：

x==30日

例-别解：    前因      前果      后因     后果

80                  80-20

6          1        6+2       1

30                   x

x= =30日.

备注：前果和后果的1，都表示一件工程做好。用这种方法去解复例，用不到去辨正反比了。

习题32

（6--10用因果法解）

1、解75：84

          　   =2060：x

42：95

2、有旅客每日步行8小时，7日行84里，若每日行11小时，6日行几里？

3、工人150名，每日吃大米180斤，现有米1200斤，供250名工人吃多少天？

4、12人30日工资是540元，问18人25日工资是多少元？

5、马2头6个月中食费180元，马5头10个月要多少元？

6、工匠10做7日得工资160元，今有11人，要得480元工资，须作工几日？

7、有一堆石头，用21辆车去运每日工作8小时，36日可运完，现在用24辆车去运，要28日运完，每日要工作几小时？

8、6张牛犁，8日可耕地72亩，今有田90亩，要在5日内耕完，问需几张牛犁？

9、6000民工，15日可筑堤80丈，50个民工多少天可筑堤160丈？

10、1500民工，每人每日吃米1.5斤，所有粮食可支持60天，今增加300人，问每人每日给米多少方可支持50天？

11、有一工程，5人每日工作8小时，27日可做成；如加1人工作，每天增加1小时，问可提前几天完成？

12、4人每日耕7时地，5天可耕地15亩，如果7人每日工作6.5小时，19.5亩地可耕几天？

13、一幛房屋，用18个瓦工，每日做工9小时，50日可完成；现在少用8人，每日增加1小时，问几日可成？

14、甲乙二抄书，甲写了3页，乙可写4页，甲每日写8小时，10日可写480页；今欲以15日的时，写完720页，每日须写几小时？

15、以男5人或女7人，每日作工28小时，于10做完的事；若以男8人女3人合作，每日工作10小时，问几日可做完？

16、工人造屋，20人140日成其1÷3；此后添25人，问再须几日，可将屋造成？

指导：后来造的（1-1÷3）

17、从甲地到乙地，寻常6时可到；若路程减少1÷4，速度加倍，问几时可到？

指导：原来路和速度，都假定做1.

配分比例

（例一）、甲乙二人，合伙下乡收购土产，甲出200元，乙出150元，一年后除税共赚367.5元，问各人派得多少元？

解：甲200元，乙150元，共资本200元+150元=350元

甲出200÷350=4÷7，乙出150÷350=3÷7，

367.5元x×4÷7=210元，甲得，367.5元x×3÷7=157.5元，乙得.

（例二）、65支铅笔分给甲乙丙三人，其分配之法：甲：乙是3：2，乙比丙是4：3，问三人各得几支？

解：甲：乙：丙=12：8：6=6：4：3     6+4+3=13

13：6=65：x       x=30支，甲得的

13：4=65：x       x=20支，乙得的

13：3=65：x       x=15支，丙得的

（例三）、甲：乙是1：6，乙比丙是12：5，丙比丁是25：4，丁比戊是4：1，问5000元分给甲乙丙丁戊五人，各得多少？

解：  甲    乙    丙    丁    戊

       1：  6

12：  5

25：  4

4：   1

10： 60：  25：   4：   1

（甲：乙：丙：丁：戊=1×12×25×4：6×12×25×4：6×5×25×4：6×5×4×4：6×5×4×1

=1200：7200：3000：480：120

=10：60：25：4：1）

5000元×10÷100=500元，甲；5000元×60÷100=3000元，乙；

5000元×25÷100=1250元，丙；5000元×4÷100=200元，丁；

5000元×1÷100=50元，戊.

说明：1、单比例法：拿各项相加做总分，为比的第一项，各份的比率为比的第二项，拿原数做第三项，未知数做第四项；

2、分数式：拿各份相加的总分做分母，各份分别做分子，将原数去遍乘就得.

习题33

1、甲乙两队以6：7的比率，分得国家分配的化肥23斤，各得多少？

2、某工人年终分配时，有现金1900元，由22个男劳动力和16个女劳动力平均分配，问男女劳动力各得多少？

3、甲出900元，乙出450元，合资开店，年终得红利150元，问各人应得多少元？

4、有341斤化肥，分施三块稻田，其比率为2：3：6，问各施多少斤？

5、甲出350元，乙出220元，丙出270元，丁出450元合伙开店，年终除工资及开支外，净得红利215元，各人应得多少元？

6、兄弟三人共65岁，各人年龄的比若是1和7÷8和5÷6，问三人各几岁？

7、有钱65元，分给甲乙丙三人；甲的3倍等于乙的4倍，丙又是乙的2倍，问三人各得多少？

8、有甲乙丙三生，在暑假内复习功课，时数的比，甲乙是4：5，乙丙是3：4，若甲生复习96时，那么丙生应复习多少时？

9、甲乙丙丁四校，共计有学生9000名，甲校和乙校学生之比是4：3，乙校和丙校学生之比是6：5，丙校学生数的7倍等于丁校的10倍，问四校各有学生多少人？

10、甲出资本240元，乙出400元合伙开饭店，一月获利160元，提红利1÷16给甲作奖金，其余按本均分，各得多少元？

11、甲乙丙三人分1060元钱，甲所提的1÷2等于乙所得的1÷5；乙所得的1÷4等于丙所得的1÷5，求和人所得的数目！

混合比例

（例一）、三人喝酒，一天里甲喝3.6斤，乙喝5斤，丙喝2斤，数日内酒店卖给他们的酒平均每天3.2斤，三人各喝几天？

解：

平均量

原价

比较（损益）

混合量

混合比

3.2斤

甲3.6斤

多0.4斤

1      3

1+3=4

乙3斤

少0.2斤

2

2

丙2斤

少1.2斤

1

1

甲喝4天，乙喝2天，丙喝1天.

说明：1凡两种物品求混合比，均可用鸡兔类算法运算，若三种物品则不便运算.

2混合比例求均价的算题都可用平均法运算.

3混合比例只要将上面价和平均价的较做下面的分量.用下面的价同平均的较做上面的价即得.

分析：以上题为例，三人每天喝酒平均是3.2斤而甲每天却要喝3.6斤，甲喝1天则要多喝0.4斤，这就须乙来替甲节省，乙每天喝3斤，每天只能节约0.2斤，因此甲每喝1天，就须要乙喝两天，所以他们的混合比甲是1，乙就是2.丙喝1天只能喝2斤，和平均量相比，要少喝1.2斤，也就是说丙喝1天，就余1.2斤，这就须要甲把它喝掉才能达到平均量，而甲每天只能多喝0.4斤，因此丙余的1.2斤，要甲喝3天才能喝完，因此甲丙的混合比例则是3：1所以丙喝1天，乙喝2天，甲就要喝4天，才能达到每日平均量为3.2斤.

（例二）、甲稻每百斤10.4元，乙稻每百斤8.6元，今把甲乙两种稻混合，共计165斤，每百斤价9.8元，问两种稻各用几斤？

平均价

原价

损益

混合量

混合比

9.8元

甲稻10.4元

损0.6元

12

2

乙稻8.6元

益1.2元

6

1

2+1=3，甲稻165斤×2÷3=110斤，乙稻165斤×1÷3=55斤.

习题34

1、将每百斤45元和每百斤57元的两种糖，混合起来，现在定它每百斤平均价为53元，问混合的比就该怎样？

2、乙种白酒每斤1.08元，山羊干酒每斤0.9元，将两种酒与水混合，造成每斤0.96元的酒，应该依照怎样的比混合呢？

3、上等名酒11斤，每斤4.2元中等酒6斤，每斤2. 4元，问与每斤1.8元的高梁酒多少斤混合，可得3元1斤的酒？

4、今有1元、5角、1角三种人民币，共有231张，值69.3元，求各种人民币的张数.

5、甲酒每斤1.2元，乙酒每斤0.975元，丙酒0.90元，今将三种酒混合造成每斤1.125元的酒，若用甲酒8斤，乙丙酒各用多少？

6、5元、2元、1元三种人民币共计16张，值48元，问三种票子各多少张？

7、用2元钱买0.14元、0.2元、0.29元的三种香烟10包；问每种烟各买几包？

连锁比例

（例一）有上中下三种米，上米3斤的价等于中米3.2斤的价；中米4斤的价等于下米4.5斤的价；下米25斤价值3元，上米200斤价多少？

解：

x                   上米200斤

上米3斤            中米3.2斤

中米4斤            下米4.5斤

下米25斤            3元

x=200×3.2×4.5×3÷3×4×5=28.8元

别解：下米每价3÷25=0.12元

中米每斤价0.12元×4.5÷4=0.135元

上米每斤价0.135×3.2÷3=0.144元

下米200斤0.144元×200=28.8元.

说明：连锁比例算题，先列未知项，将等价的碍列左右，同种的量斜列左右；次列其余诸已知量，凡等价的都并列，同种都不同行.

将左项诸数连乘积，除右项诸项连乘积，即得未知项.（如用整小数中的乘除法，逐次化求亦可.见别解）

习题35

1铅笔9支的价等于纸8张的价，纸5张的价等于橡皮6块的价，橡皮16块等于铅笔几支的价？

2人走1里的时候，自行车走6里，自行车走9里的时候，汽车走22.5里，问汽车走645里的时候，人会走几里？

3米8斤的价等于黄豆6斤的价；黄豆2斤的价等于麦3斤的价；麦6斤的价等于蚕豆5斤的价，蚕豆10斤的价是108元，问米100斤价值多少？

4米4斤的价等于黄豆3斤的价，黄豆10斤等于麦15斤的价，麦30斤和蚕豆25斤价相等，蚕豆10斤价值1.12元，问米1斤价是多少？

5、甲乙丙三人，甲与乙速度之比是4：3，乙与丙之比是5：6，今知丙从东镇到西镇要行30时，问甲须行几时？

数学指南

王醒明 著

编者：王加华