随机变量概念课中需注意的两个问题人民教育出版社中数室 张唯一#TRS_AUTOADD_1298880125871 {MARGIN-TOP: 0px; MARGIN-BOTTOM: 0px}#TRS_AUTOADD_1298880125871 P {MARGIN-TOP: 0px; MARGIN-BOTTOM: 0px}#TRS_AUTOADD_1298880125871 TD {MARGIN-TOP: 0px; MARGIN-BOTTOM: 0px}#TRS_AUTOADD_1298880125871 DIV {MARGIN-TOP: 0px; MARGIN-BOTTOM: 0px}#TRS_AUTOADD_1298880125871 LI {MARGIN-TOP: 0px; MARGIN-BOTTOM: 0px}/**---JSON--{"":{"margin-top":"0","margin-bottom":"0"},"p":{"margin-top":"0","margin-bottom":"0"},"td":{"margin-top":"0","margin-bottom":"0"},"div":{"margin-top":"0","margin-bottom":"0"},"li":{"margin-top":"0","margin-bottom":"0"}}--**/
DIV.MyFav_1298879972836 P.MsoNormal{TEXT-JUSTIFY: inter-ideograph; FONT-SIZE: 10.5pt; MARGIN: 0cm 0cm 0pt; LINE-HEIGHT: normal; FONT-FAMILY: "Times New Roman"; TEXT-ALIGN: justify}DIV.MyFav_1298879972836 LI.MsoNormal{TEXT-JUSTIFY: inter-ideograph; FONT-SIZE: 10.5pt; MARGIN: 0cm 0cm 0pt; LINE-HEIGHT: normal; FONT-FAMILY: "Times New Roman"; TEXT-ALIGN: justify}DIV.MyFav_1298879972836 DIV.MsoNormal{TEXT-JUSTIFY: inter-ideograph; FONT-SIZE: 10.5pt; MARGIN: 0cm 0cm 0pt; LINE-HEIGHT: normal; FONT-FAMILY: "Times New Roman"; TEXT-ALIGN: justify}DIV.MyFav_1298879972836 P.MsoHeader{BORDER-RIGHT: medium none; PADDING-RIGHT: 0cm; BORDER-TOP: medium none; PADDING-LEFT: 0cm; FONT-SIZE: 9pt; PADDING-BOTTOM: 0cm; MARGIN: 0cm 0cm 0pt; BORDER-LEFT: medium none; LAYOUT-GRID-MODE: char; LINE-HEIGHT: normal; PADDING-TOP: 0cm; BORDER-BOTTOM: medium none; FONT-FAMILY: "Times New Roman"; TEXT-ALIGN: center}DIV.MyFav_1298879972836 LI.MsoHeader{BORDER-RIGHT: medium none; PADDING-RIGHT: 0cm; BORDER-TOP: medium none; PADDING-LEFT: 0cm; FONT-SIZE: 9pt; PADDING-BOTTOM: 0cm; MARGIN: 0cm 0cm 0pt; BORDER-LEFT: medium none; LAYOUT-GRID-MODE: char; LINE-HEIGHT: normal; PADDING-TOP: 0cm; BORDER-BOTTOM: medium none; FONT-FAMILY: "Times New Roman"; TEXT-ALIGN: center}DIV.MyFav_1298879972836 DIV.MsoHeader{BORDER-RIGHT: medium none; PADDING-RIGHT: 0cm; BORDER-TOP: medium none; PADDING-LEFT: 0cm; FONT-SIZE: 9pt; PADDING-BOTTOM: 0cm; MARGIN: 0cm 0cm 0pt; BORDER-LEFT: medium none; LAYOUT-GRID-MODE: char; LINE-HEIGHT: normal; PADDING-TOP: 0cm; BORDER-BOTTOM: medium none; FONT-FAMILY: "Times New Roman"; TEXT-ALIGN: center}DIV.MyFav_1298879972836 P.MsoFooter{FONT-SIZE: 9pt; MARGIN: 0cm 0cm 0pt; LAYOUT-GRID-MODE: char; LINE-HEIGHT: normal; FONT-FAMILY: "Times New Roman"}DIV.MyFav_1298879972836 LI.MsoFooter{FONT-SIZE: 9pt; MARGIN: 0cm 0cm 0pt; LAYOUT-GRID-MODE: char; LINE-HEIGHT: normal; FONT-FAMILY: "Times New Roman"}DIV.MyFav_1298879972836 DIV.MsoFooter{FONT-SIZE: 9pt; MARGIN: 0cm 0cm 0pt; LAYOUT-GRID-MODE: char; LINE-HEIGHT: normal; FONT-FAMILY: "Times New Roman"}DIV.MyFav_1298879972836 P{FONT-SIZE: 12pt; MARGIN-LEFT: 0cm; LINE-HEIGHT: 18pt; MARGIN-RIGHT: 0cm; FONT-FAMILY: 宋体}DIV.MyFav_1298879972836 P.MsoAcetate{TEXT-JUSTIFY: inter-ideograph; FONT-SIZE: 9pt; MARGIN: 0cm 0cm 0pt; LINE-HEIGHT: normal; FONT-FAMILY: "Times New Roman"; TEXT-ALIGN: justify}DIV.MyFav_1298879972836 LI.MsoAcetate{TEXT-JUSTIFY: inter-ideograph; FONT-SIZE: 9pt; MARGIN: 0cm 0cm 0pt; LINE-HEIGHT: normal; FONT-FAMILY: "Times New Roman"; TEXT-ALIGN: justify}DIV.MyFav_1298879972836 DIV.MsoAcetate{TEXT-JUSTIFY: inter-ideograph; FONT-SIZE: 9pt; MARGIN: 0cm 0cm 0pt; LINE-HEIGHT: normal; FONT-FAMILY: "Times New Roman"; TEXT-ALIGN: justify}DIV.MyFav_1298879972836 SPAN.math1{FONT-FAMILY: "Times New Roman"}DIV.MyFav_1298879972836 P.a{FONT-SIZE: 12pt; MARGIN: 0cm 0cm 0pt; TEXT-INDENT: 21pt; LINE-HEIGHT: normal; FONT-FAMILY: 宋体}DIV.MyFav_1298879972836 LI.a{FONT-SIZE: 12pt; MARGIN: 0cm 0cm 0pt; TEXT-INDENT: 21pt; LINE-HEIGHT: normal; FONT-FAMILY: 宋体}DIV.MyFav_1298879972836 DIV.a{FONT-SIZE: 12pt; MARGIN: 0cm 0cm 0pt; TEXT-INDENT: 21pt; LINE-HEIGHT: normal; FONT-FAMILY: 宋体}DIV.MyFav_1298879972836 DIV.Section1{page: Section1}DIV.MyFav_1298879972836 OL{MARGIN-BOTTOM: 0cm}DIV.MyFav_1298879972836 UL{MARGIN-BOTTOM: 0cm}
在“中学数学核心概念、思想方法结构体系及其教学设计的理论与实践”第九次课题会上，以“随机抽样”和“离散型随机变量”两节研究课为载体，对中学数学中统计与概率的教育价值进行专题研究．讨论中，大家对教学内容的理解、教学方法的把握等都展开了争论．笔者就“离散型随机变量”的教学谈两点看法．
一、随机变量与概率
引入随机变量的主要目的是，把随机试验的结果数量化，这样就可以利用数学工具来研究所感兴趣的随机现象．通俗地说，随机变量就是用数来表示试验结果，即每一个试验结果都用一个数字表示．例如，在掷硬币的试验中，可以用“1”表示“正面向上”，“0”表示“反面向上”．从随机变量的定义来看，用什么数字来表示试验结果是随意的．也就是说完全可以用其他的数字分别表示，比如“1”和“－1”，“1”和“2”等．有很多情形，随机试验的结果本身就是用数量来刻画的，这时最自然的做法就是把刻画试验结果的数值直接定义成随机变量的取值．例如，灯泡的寿命，小麦的产量等．从数学上讲，随机变量就是一个从试验结果的集合到实数集的映射．这个和学生熟悉的函数概念相同之处在于值域是某一实数集，不同之处在于定义域不一定是实数集，而是试验结果．
比较函数与随机变量两个概念的异同，是对随机变量概念内涵作辨析的有效途径．出于此目的，课堂上教师给出了如下的表格：
并针对表格依次提了两个问题：“对于随机变量的每一个取值都有唯一确定的概率值与它对应，这种关系是什么关系？”“每一个随机试验结果用唯一确定的数字与它对应，这个对应是函数关系吗？”显然，这里教师把随机变量的取值到概率值的关系看作函数，作为随机变量概念比较的对象．
首先，不妨先看一下概率是不是随机变量的取值到概率值的函数关系．我们知道，概率是随机事件发生可能性大小的数值度量，每一个随机事件都对应唯一的概率值．我们也知道，针对具体的问题，可以找到一组“不能或不必再分”的随机事件，即基本事件（只含有一个试验结果），使得任何随机事件都可以表示成基本事件的和，且这种表示唯一．例如，在掷骰子的试验中，我们关心掷出骰子面朝上的点数，可以选择“点数为1”“点数为2”…“点数为6”为基本事件，那么随机事件“点数小于3”发生，当且仅当“点数为1”“点数为2”有一个发生，这说明随机事件“点数小于3”与基本事件集{“点数为1”，“点数为2”}相互唯一决定，“点数小于3”为“点数为1”“点数为2”的和．于是，随机事件“点数小于3”可以等同基本事件集{“点数为1”，“点数为2”}．类似的，可以将每一随机事件与基本事件集合的某个子集等同，于是认为研究随机事件就是研究相应的基本事件集合的子集．这样，概率就是以集类为定义域的函数，这种函数叫做集函数．又由于表中定义的随机变量的取值与基本事件一一对应，因此概率也就是定义在随机变量取值集合的子集上的函数．例如，对于随机事件“点数小于3”，有
P(“点数小于3”)=P({“点数为1”，“点数为2”})= PX({1，2})．
对于单个随机变量取值的概率，就是以此取值为元素的单点集的概率．可见，概率是从随机变量的取值集合的子集到概率值的对应关系，是集函数，而不是我们通常意义下的函数．
那么，随机变量的取值到概率值看成函数关系有没有问题？按照函数的定义是没有问题，但笔者体会不到需要看成函数关系的必要性，况且，从连续型随机变量的情形来看，每个随机变量取值对应的概率值都为0，这种对应关系就更没有讨论价值了．其实笔者更担心的是，过分强调它是函数关系，容易给学生一种误导—概率是随机变量的取值到概率值的函数．因此，把随机变量的取值到其概率值看成函数关系，作为随机变量的概念比较的对象，不是很合适．
二、恰当地定义随机变量
虽然前面提到，按随机变量的定义，用什么数表示试验结果具有任意性．但对具体问题而言，定义随机变量时还应注意恰当性问题．
课堂上曾有学生列举了如下的离散型随机变量的例子：“一个盒子里放5个球，其中3个红球，2个黑球，任意摸出2个球，摸出的各种结果分别用下表数字表示
那么这里的X就是一个离散型随机变量．”这样定义的X是一个离散型随机变量，这个教师应该肯定，但同时应指出这不是一个好的定义（但遗憾的是教师没有这么做，错过了一次关于恰当定义随机变量的好机会）．因为用1，2，3表示摸球结果时，这些数只是简单的符号，数值本身没有实际意义，或者说实际意义不明确，数字与被表示的各种摸球结果之间的对应关系不明显．如果用下表，数字就可以赋予明确的实际意义：
表中0表示“2个黑球”，即摸出的结果中含有0个红球；1表示“1个红球1个黑球”，即摸出的结果中含有1个红球，2表示“2个红球”，摸出的结果中含有2个红球．这样定义，随机变量就有了明确的实际意义，X就表示摸出的2个球中含有红球的个数．随机变量的每个取值0，1，2也很容易与摸球的各种结果建立对应，有利于用随机变量表示一些事件．例如，{X≤1}表示“红球个数不超过1个”，{X＞0}表示“至少含有1个红球”等．
由于引入随机变量是为了更好地研究随机现象，因此除了随机变量的定义要注意其实际意义外，更重要的是要有利于随机现象的研究，且表示简单．例如，在掷硬币的试验中，表示硬币的正面向上和反面向上，可以用“1”和“0”，也可以用“1”和“－1”，如果只从对应的角度讲，似乎后一组更合适，“一正一负”和“一正一反”正好对应．但如果研究掷n次硬币出现正面的次数
,当选用“1”和“0”表示每次试验结果的正、反面，那么可以表示为
，其中
表示上非常简洁．若用“1”和“－1”表示试验结果，那么次数的表达会变得很复杂．可见，随机变量的定义，要根据所研究的问题来恰当构造．
参考文献：
严士健，王隽骧，刘秀芳，等.概率论基础．北京：科学出版社，1999.
偶看新闻