偶看新闻crystal倩倩:“离散型随机变量”的教学设计之我见
来源：百度文库 编辑：偶看新闻 时间：2024/04/29 17:49:57
随机变量是因随机试验结果的变化而变化的量．由于随机试验的结果是事先无法确定的，所以表示随机试验结果的量要因结果的不同而变化，这样的量当然属于随机变量．随机变量的本质是定义在样本空间Ω上的一个映射，它把试验结果映为实数，即
R，其中
，且对任意实数x
，由满足
的基本事件所组成的集合也是一个事件．
引入随机变量的概念，其作用不仅是把随机试验的结果数量化从而带来表示方法的简化，更重要的是把对随机现象统计规律的研究数学化，从而可以利用数学方法研究随机现象的规律性，其中对随机变量的概率分布的研究是实现这种转化的关键．
如果样本空间是可数的，即
或
，则随机变量的取值
也可以一一列出，这样的随机变量即离散型随机变量．离散型随机变量比连续型随机变量更容易理解，它是高中数学学习的主要随机变量类型．
一般地，关于离散型随机变量的教学目标大多规定为：
通过具体实例，归纳概括离散型随机变量的特征，得出离散型随机变量的概念；
体会引入随机变量的作用；
渗透将实际问题转化为数学问题进行随机分析的思想方法．
目前的高中数学教材中，离散型随机变量和离散型随机变量的分布列大都先后出现在两个小节中的内容．从教师教学用书中所附的教学设计案例和一般的实际教学过程看，将这两个内容分在两节课中学习是一般的教学安排．在这部分内容的第一课时中，通常只安排关于离散型随机变量概念的内容，而不涉及离散型随机变量的分布列．笔者认为，这样安排是有一定道理的：第一，离散型随机变量是基础概念，离散型随机变量的分布列是针对离散型随机变量而定义的，从逻辑关系上说两者有先后之分；第二，两个概念的第一次出现分在不同课时内，学习内容单一，目标明确，可以将其分别解决，避免认识不清而产生混淆，从而使基本概念学得更扎实牢固；第三，这样处理与现行教材的课文、练习、习题的安排顺序保持基本一致，便于学生自学和做作业．
兵法曰：兵无常态，水无常势．这就是说解决问题的方法不是一成不变的，应根据实际情况权衡利弊相机行事．同样地，教学有法，教无定法．一种教学设计难以方方面面都能兼顾，往往在保证了一些方面有利的同时，也存在另一些方面的不足．如前所述，引入离散型随机变量的概念，体会引入随机变量的作用，渗透将实际问题转化为数学问题进行随机分析的思想方法，是本部分的教学目标，三者是相互联系的一个整体（三位一体）．如果只是引入离散型随机变量的概念，而不能较明显地体现为什么要引入它，则会影响对其作用和相关思想方法的体会．要体现引入随机变量的作用，渗透将实际问题转化为数学问题进行随机分析的思想方法，显然离不开对离散型随机变量的概率分布的研究，这是把对随机现象统计规律的研究数学化的关键．从这个角度看，如果能在同一课时中引入离散型随机变量后，紧接着出现分布列，使两者更密切地联系起来，可能更有利于教学目标的实现．
笔者考察实际教学发现，在一节课中仅讨论离散型随机变量，内容上显得比较单薄，时间上显得比较宽余，效果上显得比较拖沓，从提高教学效率考虑似还有潜力可挖．更重要的是，如果只引入随机变量而不涉及概率分布，这节课至多只能使人感到随机变量是对试验结果的一种数量化表示，而无法认识这种表示与随机度量（即可能性大小）的密切联系，这使得体会随机变量作用的效果大打折扣．在高中数学教材的向量部分，曾指出“如果没有运算，向量只是一个‘路标’，因为有了运算，向量的力量无限．”与此类似，如果不涉及概率分布，随机变量只是一种“表示”，因为有了概率分布，随机变量才能在研究随机现象时发挥作用．
笔者认为，将离散型随机变量和其分布列更紧密地联系起来，在实际教学中具有可行性．为说明这一点，笔者不揣冒昧地提出如下一种教学过程的设计草案，敬请读者指正．
离散型随机变量及其分布列第一课时的教学过程草案
一、描述随机变量
试验结果经常可以用表示计数或度量的量来表示，例如出现某种现象的次数，某物理量的长度，等等．即使是定性的试验结果，也可以数量化表示．例如掷硬币时，正面向上记为1，反面向上记为0．表示随机试验结果的量，其取值事先不能确定，它随着试验结果随机确定．一般地，随着试验结果的变化而变化的量叫做随机变量（random variable）．随机变量通常用
表示．
二、考虑随机试验案例及相关问题
请看下面的随机试验，并考虑相关问题．
随机试验1 掷一枚质地均匀的骰子．
（1）用X表示掷出的点数，要表示试验的全部可能结果，X应取哪些值？
掷骰子时，掷出的点数可能是1，2，3，4，5，6中的一个，但事先不能确定，结果是随机产生的．用X表示掷出的点数，X的值应随机地取1，2，3，4，5，6中的某个．
（2）X取到每一个值的概率各是多少？
由古典概型可知，X取1，2，3，4，5，6中每一个值的概率都是
这可以列表表示如下：
（3）X<5表示什么？它对应的概率是多少？
X<5表示事件“点数小于5”，即事件“点数为1或2或3或4”．它的概率为
（4）如果多次重复掷一枚骰子，那么掷出点数的平均值最可能是多少？
每次掷出的点数无法事先确定，因此多次掷出的点数的平均值也无法事先确定．但是，我们可以依据“大量重复试验时频率稳定于概率”对此进行估计．由于点数1，2，3，4，5，6出现的频率都会稳定于
，所以多次重复掷骰子时点数的平均值最可能是
随机试验2 同时掷两枚质地均匀的硬币．
（1）用X表示掷出正面的个数，要表示试验的全部可能结果，X应取哪些值？
掷两枚硬币时，掷出正面的个数可能是0，1，2中的一个，但事先不能确定，结果是随机产生的．用X表示掷出正面的个数，X的值应随机地取0，1，2中的某个．
（2）X取到每一个值的概率各是多少？
由古典概型可知，X取0，1，2中每一个值的概率可以列表表示如下：
（3）X<2和X>0各表示什么？它们对应的概率各是多少？
X<2表示事件“正面个数小于2”，即事件“正面个数为0或1”； X>0表示事件“正面个数大于0”，即事件“正面个数为1或2”．它扪的概率分别为
和
．
（4）如果多次重复这个试验，那么掷出正面个数的平均值最可能是多少？
每次掷出的结果无法事先确定，因此多次掷出的正面个数的平均值也无法事先确定．但是，我们可以依据“大量重复试验时频率稳定于概率”对此进行估计．由于点数0，1，2出现的频率分别会稳定于
，
和，所以多次重复试验时正面个数的平均值最可能是
三、引出离散型随机变量及其分布列
思考1 上面两个X是随机变量吗？它们的取值形式有什么特点？这些取值与试验结果有什么关系？
在上述试验及相关问题中，两个X分别表示“点数”和“正面个数”，它们都是表示随机试验的结果的量，都随试验结果的变化而变化，因此都是随机变量．这两个随机变量的所有可能取值都可以一一列出，即分别为1，2，3，4，5，6和0，1，2．每一列数都对应着一个试验的所有可能结果．
一般地，所有可能取值能够一一列出的随机变量，叫做离散型随机变量（discrete random variable）．
思考2 上面两个表格的形式有什么特点？它们表示了什么内容？
上面问题中的表格，分两行列出随机变量X的可取值，以及各值对应的概率．它不仅表示出离散型随机变量X的变化范围，而且表示出各种变化的可能性大小，即从变化内容及其可能性这两方面全面地刻画了离散型随机变量X．
一般地，表示离散型随机变量X的所有可能值及取各个值的概率的表格
叫做X的分布列（distribution series）．X的分布列也可以表示为
，
容易发现，由于
与随机试验的全部可能结果一一对应，所以它们所对应的概率的和
思考3 初步体会离散型随机变量及其分布列的作用．
从上面的问题可以看出，对于研究随机试验问题，例如估计多次重复试验结果的平均值，离散型随机变量及其分布列是非常有用的工具．由此可以觉察，引入随机变量给定量地表示和研究随机性问题带来方便；有了离散型随机变量及其分布列，就可以对许多随机试验的结果从变化范围和变化可能性两方面有更清晰的认识．
四、例题
此处例题为巩固与加深对离散型随机变量及其分布列的一般认识而安排,二项分布、超几何分布等内容安排在后续课时．
例 用随机变量X表示掷两枚骰子的试验结果,并写出X的分布列．
解：设X表示两枚骰子的点数之和，则X的分布列为
根据X的分布列，可以求出有关事件的概率．例如，
,
五、小结
1. 回顾离散型随机变量及其分布列的概念；
2. 初步体会离散型随机变量及其分布列在研究随机试验问题时的作用．
前面已经说过，教学有法，教无定法．教材和教学的设计方案具有多样性，不同方案各有长短．选择方案的关键在于从实际出发，在保证重点，突出要实现的主要教学目标的前提下，力求教学效果的最大化．笔者提出上述意见及教学设计，只是一孔之见，意在抛砖引玉，能为改进教材和教学的讨论提供参考．