山寨本田150摩托车:数学史话

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数学史话

1、概述

 

数学是研究现实世界中数量关系和空间形式的科学。简单地说,就是研究数和形的科学。

 

由于生活和劳动上的需求,即使是最原始的民族,也知道简单的计数,并由用手指或实物计数发展到用数字计数。在中国,最迟在商代,即已出现用十进制数字表示大数的方法;至秦汉之际,即已出现完满的十进位制。在不晚于公元一世纪的《九章算术》中,已载了只有位值制才有可能进行的开平方、开立方的计算法则,并载有分数的各种运算以及解线性联立方程组的方法,还引入了负数概念。

 

刘徽在他注解的《九章算术》中,还提出过用十进制小数表示无理数平方根的奇零部分,但直至唐宋时期(欧洲则在16世纪斯蒂文以后)十进制小数才获通用。在这本著作中,刘徽又用圆内接正多边形的周长逼近圆周长,成为后世求圆周率 的一般方法。

 

虽然中国从来没有过无理数或实数的一般概念,但在实质上,那时中国已完成了实数系统的一切运算法则与方法,这不仅在应用上不可缺,也为数学初期教育所不可少。至于继承了巴比伦、埃及、希腊文化的欧洲地区,则偏重于数的性质及这些性质间的逻辑关系的研究。早在欧几里得的《几何原本》中,即有素数的概念和素数个数无穷及整数惟一分解等论断。古希腊发现了有非分数的数,即现称的无理数。16世纪以来,由于解高次方程又出现了复数。在近代,数的概念更进一步抽象化,并依据数的不同运算规律,对一般的数系统进行了独立的理论探讨,形成数学中的若干不同分支。

 

开平方和开立方是解最简单的高次方程所必须用到的运算。在《九章算术》中,已出现解某种特殊形式的二次方程。发展至宋元时代,引进了“天元”(即未知数)的明确观念,出现了求高次方程数值解与求多至四个未知数的高次代数联立方程组的解的方法,通称为天元术与四元术。与之相伴出现的多项式的表达、运算法则以及消去方法,已接近于近世的代数学。

 

在中国以外,九世纪阿拉伯的花拉米子的著作阐述了二次方程的解法,通常被视为代数学的鼻祖,其解法实质上与中国古代依赖于切割术的几何方法具有同一风格。中国古代数学致力于方程的具体求解,而源于古希腊、埃及传统的欧洲数学则不同,一般致力于探究方程解的性质。

 

16世纪时,韦达以文字代替方程系数,引入了代数的符号演算。对代数方程解的性质进行探讨,是从线性方程组引出的行列式、矩阵、线性空间、线性变换等概念与理论的出现;从代数方程导致复数、对称函数等概念的引入以至伽罗华理论与群论的创立。而近代极为活跃的代数几何,则无非是高次联立代数方程组解所构成的集合的理论研究。

 

早在欧几里得的《几何原本》中,即有素数的概念和素数个数无穷及整数惟一分解等论断。古希腊发现了有非分数的数,即现称的无理数。16世纪以来,由于解高次方程又出现了复数。在近代,数的概念更进一步抽象化,并依据数的不同运算规律,对一般的数系统进行了独立的理论探讨,形成数学中的若干不同分支。

 

开平方和开立方是解最简单的高次方程所必须用到的运算。在《九章算术》中,已出现解某种特殊形式的二次方程。发展至宋元时代,引进了“天元”(即未知数)的明确观念,出现了求高次方程数值解与求多至四个未知数的高次代数联立方程组的解的方法,通称为天元术与四元术。与之相伴出现的多项式的表达、运算法则以及消去方法,已接近于近世的代数学。

 

在中国以外,九世纪阿拉伯的花拉米子的著作阐述了二次方程的解法,通常被视为代数学的鼻祖,其解法实质上与中国古代依赖于切割术的几何方法具有同一风格。中国古代数学致力于方程的具体求解,而源于古希腊、埃及传统的欧洲数学则不同,一般致力于探究方程解的性质。

 

16世纪时,韦达以文字代替方程系数,引入了代数的符号演算。对代数方程解的性质进行探讨,是从线性方程组引出的行列式、矩阵、线性空间、线性变换等概念与理论的出现;从代数方程导致复数、对称函数等概念的引入以至伽罗华理论与群论的创立。而近代极为活跃的代数几何,则无非是高次联立代数方程组解所构成的集合的理论研究。

 

形的研究属于几何学的范畴。古代民族都具有形的简单概念,并往往以图画来表示,而图形之所以成为数学对象是由于工具的制作与测量的要求所促成的。规矩以作圆方,中国古代夏禹泊水时即已有规、矩、准、绳等测量工具。

 

《墨经》中对一系列的几何概念,有抽象概括,作出了科学的定义。《周髀算经》与刘徽的《海岛算经》给出了用矩观测天地的一般方法与具体公式。在《九章算术》及刘徽注解的《九章算术》中,除勾股定理外,还提出了若干一般原理以解决多种问题。例如求任意多边形面积的出入相补原理;求多面体的体积的阳马鳖需的二比一原理(刘徽原理);5世纪祖(日恒)提出的用以求曲形体积特别是球的体积的“幂势既同则积不容异”的原理;还有以内接正多边形逼近圆周长的极限方法(割圆术)。但自五代(约10世纪)以后,中国在几何学方面的建树不多。

 

中国几何学以测量和计算面积、体积的量度为中心任务,而古希腊的传统则是重视形的性质与各种性质间的相互关系。欧几里得的《几何原本》,建立了用定义、公理、定理、证明构成的演绎体系,成为近代数学公理化的楷模,影响遍及于整个数学的发展。特别是平行公理的研究,导致了19 世纪非欧几何的产生。

 

欧洲自文艺复兴时期起通过对绘画的透视关系的研究,出现了射影几何。18世纪,蒙日应用分析方法对形进行研究,开微分几何学的先河。高斯的曲面论与黎曼的流形理论开创了脱离周围空间以形作为独立对象的研究方法;19世纪克莱因以群的观点对几何学进行统一处理。此外,如康托尔的点集理论,扩大了形的范围;庞加莱创立了拓扑学,使形的连续性成为几何研究的对象。这些都使几何学面目一新。

 

在现实世界中,数与形,如影之随形,难以分割。中国的古代数学反映了这一客观实际,数与形从来就是相辅相成,并行发展的。例如勾股测量提出了开平方的要求,而开平方、开立方的方法又奠基于几何图形的考虑。二次、三次方程的产生,也大都来自几何与实际问题。至宋元时代,由于天元概念与相当于多项式概念的引入,出现了几何代数化。

 

在天文与地理中的星表与地图的绘制,已用数来表示地点,不过并未发展到坐标几何的地步。在欧洲,十四世纪奥尔斯姆的著作中已有关于经纬度与函数图形表示的萌芽。十七世纪笛卡尔提出了系统的把几何事物用代数表示的方法及其应用。在其启迪之下,经莱布尼茨、牛顿等的工作,发展成了现代形式的坐标制解析几何学,使数与形的统一更臻完美,不仅改变了几何证题过去遵循欧几里得几何的老方法,还引起了导数的产生,成为微积分学产生的根源。这是数学史上的一件大事。

 

在十七世纪中,由于科学与技术上的要求促使数学家们研究运动与变化,包括量的变化与形的变换(如投影),还产生了函数概念和无穷小分析即现在的微积分,使数学从此进入了一个研究变量的新时代。

 

十八世纪以来,以解析几何与微积分这两个有力工具的创立为契机,数学以空前的规模迅猛发展,出现了无数分支。由于自然界的客观规律大多是以微分方程的形式表现的,所以微分方程的研究一开始就受到很大的重视。

 

微分几何基本上与微积分同时诞生,高斯与黎曼的工作又产生了现代的微分几何。19、20世纪之交,庞加莱创立了拓扑学,开辟了对连续现象进行定性与整体研究的途径。对客观世界中随机现象的分析,产生了概率论。第二次世界大战军事上的需要,以及大工业与管理的复杂化产生了运筹学、系统论、控制论、数理统计学等学科。实际问题要求具体的数值解答,产生了计算数学。选择最优途径的要求又产生了各种优化的理论、方法。

 

力学、物理学同数学的发展始终是互相影响互相促进的,特别是相对论与量子力学推动了微分几何与泛函分析的成长。此外在19世纪还只用到一次方程的化学和几乎与数学无缘的生物学,都已要用到最前沿的一些数学知识。

 

十九世纪后期,出现了集合论,还进入了一个批判性的时代,由此推动了数理逻辑的形成与发展,也产生了把数学看作是一个整体的各种思潮和数学基础学派。特别是1900年,德国数学家希尔伯特在第二届国际数学家大会上的关于当代数学重要问题的演讲,以及三十年代开拓的,以结构概念统观数学的法国布尔巴基学派的兴起,对二十世纪数学的发展产生了巨大、深远的影响,科学的数学化一语也开始为人们所乐道。

 

数学的外围向自然科学、工程技术甚至社会科学不断渗透扩大并从中吸取营养,出现了一些边缘数学。数学本身的内部需要也孽生了不少新的理论与分支。同时其核心部分也在不断巩固提高并有时作适当调整以适应外部需要。总之,数学这棵大树茁壮成长,既枝叶繁茂又根深蒂固。

 

在数学的蓬勃发展过程中,数与形的概念不断扩大且日趋抽象化,以至于不再有任何原始计数与简单图形的踪影。虽然如此,在新的数学分支中仍有着一些对象和运算关系借助于几何术语来表示。如把函数看成是某种空间的一个点之类。这种做法之所以行之有效,归根结底还是因为数学家们已经熟悉了那种简易的数学运算与图形关系,而后者又有着长期深厚的现实基础。而且,即使是最原始的数字如1、2、3、4,以及几何形象如点与直线,也已经是经过人们高度抽象化了的概念。因此如果把数与形作为广义的抽象概念来理解,则前面提到的把数学作为研究数与形的科学这一定义,对于现阶段的近代数学,也是适用的。

 

由于数学研究对象的数量关系与空间形式都来自现实世界,因而数学尽管在形式上具有高度的抽象性,而实质上总是扎根于现实世界的。生活实践与技术需要始终是数学的真正源泉,反过来,数学对改造世界的实践又起着重要的、关键性的作用。理论上的丰富提高与应用的广泛深入在数学史上始终是相伴相生,相互促进的。

 

但由于各民族各地区的客观条件不同,数学的具体发展过程是有差异的。大体说来,古代中华民族以竹为筹,以筹运算,自然地导致十进位值制的产生。计算方法的优越有助于对实际问题的具体解决。由此发展起来的数学形成了一个以构造性、计算性、程序化与机械化为其特色,以从问题出发进而解决问题为主要目标的独特体系。而在古希腊则着重思维,追求对宇宙的了解。由此发展成以抽象了的数学概念与性质及其相互间的逻辑依存关系为研究对象的公理化演绎体系。

 

中国的数学体系在宋元时期达到高峰以后,陷于停顿且几至消失。而在欧洲,经过文艺复兴、宗教革命、资产阶级革命等一系列的变革,导致了工业革命与技术革命。机器的使用,不论中外都由来已久。但在中国,则由于明初被帝王斥为奇技淫巧而受阻抑。

 

在欧洲,则由于工商业的发展与航海的刺激而得到发展,机器使人们从繁重的体力劳动中解放出来,并引导到理论力学和一般的运动和变化的科学研究。当时的数学家都积极参与了这些变革以及相应数学问题的解决,产生了积极的效果。解析几何与微积分的诞生,成为数学发展的一个转折点。17世纪以来数学的飞跃,大体上可以看成是这些成果的延续与发展。

 

20世纪出现各种崭新的技术,产生了新的技术革命,特别是计算机的出现,使数学又面临一个新时代。这一时代的特点之一就是部分脑力劳动的逐步机械化。与17世纪以来数学之以围绕连续、极限等概念为主导思想与方法不同,由于计算机研制与应用的需要,离散数学与组和数学开始受到重视。

 

计算机对数学的作用已不限于数值计算,符号运算的重要性日趋明显(包括机器证明等数学研究)。计算机还广泛应用于科学实验。为了与计算机更好地配合,数学对于构造性、计算性、程序化与机械化的要求也显得颇为突出。代数几何是一门高度抽象化的数学,最近出现的计算性代数几何与构造性代数几何的提法,即其端倪之一。总之,数学正随着新的技术革命而不断发展。

 

早在欧几里得的《几何原本》中,即有素数的概念和素数个数无穷及整数惟一分解等论断。古希腊发现了有非分数的数,即现称的无理数。

 

16世纪以来,由于解高次方程又出现了复数。在近代,数的概念更进一步抽象化,并依据数的不同运算规律,对一般的数系统进行了独立的理论探讨,形成数学中的若干不同分支。

 

开平方和开立方是解最简单的高次方程所必须用到的运算。在《九章算术》中,已出现解某种特殊形式的二次方程。发展至宋元时代,引进了“天元”(即未知数)的明确观念,出现了求高次方程数值解与求多至四个未知数的高次代数联立方程组的解的方法,通称为天元术与四元术。与之相伴出现的多项式的表达、运算法则以及消去方法,已接近于近世的代数学。

 

在中国以外,九世纪阿拉伯的花拉米子的著作阐述了二次方程的解法,通常被视为代数学的鼻祖,其解法实质上与中国古代依赖于切割术的几何方法具有同一风格。中国古代数学致力于方程的具体求解,而源于古希腊、埃及传统的欧洲数学则不同,一般致力于探究方程解的性质。

 

16世纪时,韦达以文字代替方程系数,引入了代数的符号演算。对代数方程解的性质进行探讨,是从线性方程组引出的行列式、矩阵、线性空间、线性变换等概念与理论的出现;从代数方程导致复数、对称函数等概念的引入以至伽罗华理论与群论的创立。而近代极为活跃的代数几何,则无非是高次联立代数方程组解所构成的集合的理论研究。形的研究属于几何学的范畴。古代民族都具有形的简单概念,并往往以图画来表示,而图形之所以成为数学对象是由于工具的制作与测量的要求所促成的。规矩以作圆方,中国古代夏禹泊水时即已有规、矩、准、绳等测量工具。

 

《墨经》中对一系列的几何概念,有抽象概括,作出了科学的定义。《周髀算经》与刘徽的《海岛算经》给出了用矩观测天地的一般方法与具体公式。在《九章算术》及刘徽注解的《九章算术》中,除勾股定理外,还提出了若干一般原理以解决多种问题。例如求任意多边形面积的出入相补原理;求多面体的体积的阳马鳖需的二比一原理(刘徽原理);5世纪祖(日恒)提出的用以求曲形体积特别是球的体积的“幂势既同则积不容异”的原理;还有以内接正多边形逼近圆周长的极限方法(割圆术)。但自五代(约10世纪)以后,中国在几何学方面的建树不多。

 

 

2、中国数学史

 

数学是中国古代科学中一门重要的学科,根据中国古代数学发展的特点,可以分为五个时期:萌芽;体系的形成;发展;繁荣和中西方数学的融合。

 

 

中国古代数学的萌芽

 

原始公社末期,私有制和货物交换产生以后,数与形的概念有了进一步的发展,仰韶文化时期出土的陶器,上面已刻有表示1234的符号。到原始公社末期,已开始用文字符号取代结绳记事了。

 

西安半坡出土的陶器有用1~8个圆点组成的等边三角形和分正方形为100个小正方形的图案,半坡遗址的房屋基址都是圆形和方形。为了画圆作方,确定平直,人们还创造了规、矩、准、绳等作图与测量工具。据《史记·夏本纪》记载,夏禹治水时已使用了这些工具。

 

商代中期,在甲骨文中已产生一套十进制数字和记数法,其中最大的数字为三万;与此同时,殷人用十个天干和十二个地支组成甲子、乙丑、丙寅、丁卯等60个名称来记60天的日期;在周 代,又把以前用阴、阳符号构成的八卦表示八种事物发展为六十四卦,表示64种事物。

 

公元前一世纪的《周髀算经》提到西周初期用矩测量高、深、广、远的方法,并举出勾股形的勾三、股四、弦五以及环矩可以为圆等例子。《礼记·内则》篇提到西周贵族子弟从九岁开始便要学习数目和记数方法,他们要受礼、乐、射、驭、书、数的训练,作为“六艺”之一的数已经开始成为专门的课程。

 

春秋战国之际,筹算已得到普遍的应用,筹算记数法已使用十进位值制,这种记数法对世界数学的发展是有划时代意义的。这个时期的测量数学在生产上有了广泛应用,在数学上亦有相应的提高。

 

战国时期的百家争鸣也促进了数学的发展,尤其是对于正名和一些命题的争论直接与数学有关。名家认为经过抽象以后的名词概念与它们原来的实体不同,他们提出“矩不方,规不可以为圆”,把“大一”(无穷大)定义为“至大无外”,“小一”(无穷小)定义为“至小无内”。还提出了“一尺之棰,日取其半,万世不竭”等命题.

 

而墨家则认为名来源于物,名可以从不同方面和不同深度反映物。墨家给出一些数学定义。例如圆、方、平、直、次(相切)、端(点)等等。

 

墨家不同意“一尺之棰”的命题,提出一个“非半”的命题来进行反驳:将一线段按一半一半地无限分割下去,就必将出现一个不能再分割的“非半”,这个“非半”就是点。

 

名家的命题论述了有限长度可分割成一个无穷序列,墨家的命题则指出了这种无限分割的变化和结果。名家和墨家的数学定义和数学命题的讨论,对中国古代数学理论的发展是很有意义的。

 

 

中国古代数学体系的形成

 

秦汉是封建社会的上升时期,经济和文化均得到迅速发展。中国古代数学体系正是形成于这个时期,它的主要标志是算术已成为一个专门的学科,以及以《九章算术》为代表的数学著作的出现。

 

《九章算术》是战国、秦、汉封建社会创立并巩固时期数学发展的总结,就其数学成就来说,堪称是世界数学名著。例如分数四则运算、今有术(西方称三率法)、开平方与开立方(包括二次方程数值解法)、盈不足术(西方称双设法)、各种面积和体积公式、线性方程组解法、正负数运算的加减法则、勾股形解法(特别是勾股定理和求勾股数的方法)等,水平都是很高的。其中方程组解法和正负数加减法则在世界数学发展上是遥遥领先的。就其特点来说,它形成了一个以筹算为中心、与古希腊数学完全不同的独立体系。

 

《九章算术》有几个显著的特点:采用按类分章的数学问题集的形式;算式都是从筹算记数 法发展起来的;以算术、代数为主,很少涉及图形性质;重视应用,缺乏理论阐述等。

 

这些特点是同当时社会条件与学术思想密切相关的。秦汉时期,一切科学技术都要为当时确立和巩固封建制度,以及发展社会生产服务,强调数学的应用性。最后成书于东汉初年的《九章算术》,排除了战国时期在百家争鸣中出现的名家和墨家重视名词定义与逻辑的讨论,偏重于与当时生产、生活密切相结合的数学问题及其解法,这与当时社会的发展情况是完全一致的。

 

《九章算术》在隋唐时期曾传到朝鲜、日本,并成为这些国家当时的数学教科书。它的一些成就如十进位值制、今有术、盈不足术等还传到印度和阿拉伯,并通过印度、阿拉伯传到欧洲,促进了世界数学的发展。

 

 

中国古代数学的发展

 

魏、晋时期出现的玄学,不为汉儒经学束缚,思想比较活跃;它诘辩求胜,又能运用逻辑思维,分析义理,这些都有利于数学从理论上加以提高。吴国赵爽注《周髀算经》,汉末魏初徐岳撰《九章算术》注,魏末晋初刘徽撰《九章算术》注、《九章重差图》都是出现在这个时期。赵爽与刘徽的工作

 

赵爽是中国古代对数学定理和公式进行证明与推导的最早的数学家之一。他在《周髀算经》书中补充的“勾股圆方图及注”和“日高图及注”是十分重要的数学文献。在“勾股圆方图及注”中他提出用弦图证明勾股定理和解勾股形的五个公式;在“日高图及注”中,他用图形面积证明汉代普遍应用的重差公式,赵爽的工作是带有开创性的,在中国古代数学发展中占有重要地位。

 

刘徽约与赵爽同时,他继承和发展了战国时期名家和墨家的思想,主张对一些数学名词特别是重要的数学概念给以严格的定义,认为对数学知识必须进行“析理”,才能使数学著作简明严密,利于读者。他的《九章算术》注不仅是对《九章算术》的方法、公式和定理进行一般的解释和推导,而且在论述的过程中有很大的发展。刘徽创造割圆术,利用极限的思想证明圆的面积公式,并首次用理论的方法算得圆周率为 157/50和 3927/1250。

 

刘徽用无穷分割的方法证明了直角方锥与直角四面体的体积比恒为2:1,解决了一般立体体积的关键问题。在证明方锥、圆柱、圆锥、圆台的体积时,刘徽为彻底解决球的体积提出了正确途径。东晋以后,中国长期处于战争和南北分裂的状态。祖冲之父子的工作就是经济文化南移以后,南方数学发展的具有代表性的工作,他们在刘徽注《九章算术》的基础上,把传统数学大大向前推进了一步。他们的数学工作主要有:计算出圆周率在3.1415926~3.1415927之间;提出祖(日恒)原理;提出二次与三次方程的解法等。

 

据推测,祖冲之在刘徽割圆术的基础上,算出圆内接正6144边形和正12288边形的面积,从而得到了这个结果。他又用新的方法得到圆周率两个分数值,即约率22/7和密率355/113。祖冲之这一工作,使中国在圆周率计算方面,比西方领先约一千年之久;祖冲之之子祖(日恒)总结了刘徽的有关工作,提出“幂势既同则积不容异”,即等高的两立体,若其任意高处的水平截面积相等,则这两立体体积相等,这就是著名的祖(日恒)公理。祖(日恒)应用这个公理,解决了刘徽尚未解决的球体积公式。

 

隋炀帝好大喜功,大兴土木,客观上促进了数学的发展。唐初王孝通的《缉古算经》,主要讨论土木工程中计算土方、工程分工、验收以及仓库和地窖的计算问题,反映了这个时期数学的情况。王孝通在不用数学符号的情况下,立出数字三次方程,不仅解决了当时社会的需要,也为后来天元术的建立打下基础。此外,对传统的勾股形解法,王孝通也是用数字三次方程解决的。

 

唐初封建统治者继承隋制,656年在国子监设立算学馆,设有算学博士和助教,学生30人。由太史令李淳风等编纂注释《算经十书》,作为算学馆学生用的课本,明算科考试亦以这些算书为准。李淳风等编纂的《算经十书》,对保存数学经典著作、为数学研究提供文献资料方面是很有意义的。他们给《周髀算经》、《九章算术》以及《海岛算经》所作的注解,对读者是有帮助的。隋唐时期,由于历法的需要,天算学家创立了二次函数的内插法,丰富了中国古代数学的内容。

 

算筹是中国古代的主要计算工具,它具有简单、形象、具体等优点,但也存在布筹占用面积大,运筹速度加快时容易摆弄不正而造成错误等缺点,因此很早就开始进行改革。其中太乙算、两仪算、三才算和珠算都是用珠的槽算盘,在技术上是重要的改革。尤其是“珠算”,它继承了筹算五升十进与位值制的优点,又克服了筹算纵横记数与置筹不便的缺点,优越性十分明显。但由于当时乘除算法仍然不能在一个横列中进行。算珠还没有穿档,携带不方便,因此仍没有普遍应用。

 

唐中期以后,商业繁荣,数字计算增多,迫切要求改革计算方法,从《新唐书》等文献留下来的算书书目,可以看出这次算法改革主要是简化乘、除算法,唐代的算法改革使乘除法可以在一个横列中进行运算,它既适用于筹算,也适用于珠算。

 

 

中国古代数学的繁荣

 

960年,北宋王朝的建立结束了五代十国割据的局面。北宋的农业、手工业、商业空前繁荣,科学技术突飞猛进,火药、指南针、印刷术三大发明就是在这种经济高涨的情况下得到广泛应用。1084年秘书省第一次印刷出版了《算经十书》,1213年鲍擀之又进行翻刻。这些都为数学发展创造了良好的条件。

 

从11~14世纪约300年期间,出现了一批著名的数学家和数学著作,如贾宪的《黄帝九章算法细草》,刘益的《议古根源》,秦九韶的《数书九章》,李冶的《测圆海镜》和《益古演段》,杨辉的《详解九章算法》《日用算法》和《杨辉算法》,朱世杰的《算学启蒙》《四元玉鉴》等,很多领域都达到古代数学的高峰,其中一些成就也是当时世界数学的高峰

 

从开平方、开立方到四次以上的开方,在认识上是一个飞跃,实现这个飞跃的就是贾宪。杨辉在《九章算法纂类》中载有贾宪“增乘开平方法”、“增乘开立方法”;在《详解九章算法》中载有贾宪的“开方作法本源”图、“增乘方法求廉草”和用增乘开方法开四次方的例子。根据这些记录可以确定贾宪已发现二项系数表,创造了增乘开方法。这两项成就对整个宋元数学发生重大的影响,其中贾宪三角比西方的帕斯卡三角形早提出600多年。

 

把增乘开方法推广到数字高次方程(包括系数为负的情形)解法的是刘益。《杨辉算法》中“田亩比类乘除捷法”卷,介绍了原书中22个二次方程和 1个四次方程,后者是用增乘开方法解三次以上的高次方程的最早例子。

 

秦九韶是高次方程解法的集大成者,他在《数书九章》中收集了21个用增乘开方法解高次方程(最高次数为10)的问题。为了适应增乘开方法的计算程序,奏九韶把常数项规定为负数,把高次方程解法分成各种类型。当方程的根为非整数时,秦九韶采取继续求根的小数,或用减根变换方程各次幂的系数之和为分母,常数为分子来表示根的非整数部分,这是《九章算术》和刘徽注处理无理数方法的发展。在求根的第二位数时,

 

秦九韶还提出以一次项系数除常数项为根的第二位数的试除法,这比西方最早的霍纳方法早500多年。 元代天文学家王恂、郭守敬等在《授时历》中解决了三次函数的内插值问题。秦九韶在“缀术推星”题、朱世杰在《四元玉鉴》“如象招数”题都提到内插法(他们称为招差术),朱世杰得到一个四次函数的内插公式。

 

用天元(相当于x)作为未知数符号,立出高次方程,古代称为天元术,这是中国数学史上首次引入符号,并用符号运算来解决建立高次方程的问题。现存最早的天元术著作是李冶的《测圆海镜》。从天元术推广到二元、三元和四元的高次联立方程组,是宋元数学家的又一项杰出的创造留传至今,并对这一杰出创造进行系统论述的是朱世杰的《四元玉鉴》。

 

朱世杰的四元高次联立方程组表示法是在天元术的基础上发展起来的,他把常数放在中央,四元的各次幂放在上、下、左、右四个方向上,其他各项放在四个象限中。朱世杰的最大贡献是提出四元消元法,其方法是先择一元为未知数,其他元组成的多项式作为这未知数的系数,列成若干个一元高次方程式,然后应用互乘相消法逐步消去这一未知数。重复这一步骤便可消去其他未知数,最后用增乘开方法求解。这是线性方法组解法的重大发展,比西方同类方法早400多年。勾股形解法在宋元时期有新的发展,朱世杰在《算学启蒙》卷下提出已知勾弦和、股弦和求解勾股形的方法,补充了《九章算术》的不足。李冶在《测圆海镜》对勾股容圆问题进行了详细的研究,得到九个容圆公式,大大丰富了中国古代几何学的内容。

 

已知黄道与赤道的夹角和太阳从冬至点向春分点运行的黄经余弧,求赤经余弧和赤纬度数,是一个解球面直角三角形的问题,传统历法都是用内插法进行计算。元代王恂、郭守敬等则用传统的勾股形解法、沈括用会圆术和天元术解决了这个问题。不过他们得到的是一个近似公式,结果不够精确。但他们的整个推算步骤是正确无误的,从数学意义上讲,这个方法开辟了通往球面三角法的途径。中国古代计算技术改革的高潮也是出现在宋元时期。宋元明的历史文献中载有大量这个时期的实用算术书目,其数量远比唐代为多,改革的主要内容仍是乘除法。与算法改革的同时,穿珠算盘在北宋可能已出现。但如果把现代珠算看成是既有穿珠算盘,又有一套完善的算法和口诀,那么应该说它最后完成于元代。

 

宋元数学的繁荣,是社会经济发展和科学技术发展的必然结果,是传统数学发展的必然结果。此外,数学家们的科学思想与数学思想也是十分重要的。宋元数学家都在不同程度上反对理学家的象数神秘主义。秦九韶虽曾主张数学与道学同出一源,但他后来认识到,“通神明”的数学是不存在的,只有“经世务类万物”的数学;莫若在《四元玉鉴》序文中提出的“用假象真,以虚问实”则代表了高度抽象思维的思想方法;杨辉对纵横图结构进行研究,揭示出洛书的本质,有力地批判了象数神秘主义。所有这些,无疑是促进数学发展的重要因素。

 

 

中西方数学的融合

 

中国从明代开始进入了封建社会的晚期,封建统治者实行极权统治,宣传唯心主义哲学,施行八股考试制度。在这种情况下,除珠算外,数学发展逐渐衰落。

 

16世纪末以后,西方初等数学陆续传入中国,使中国数学研究出现一个中西融合贯通的局面;鸦片战争以后,近代数学开始传入中国,中国数学便转入一个以学习西方数学为主的时期;到19世纪末20世纪初,近代数学研究才真正开始。

 

从明初到明中叶,商品经济有所发展,和这种商业发展相适应的是珠算的普及。明初《魁本对相四言杂字》和《鲁班木经》的出现,说明珠算已十分流行。前者是儿童看图识字的课本,后者把算盘作为家庭必需用品列入一般的木器家具手册中。随着珠算的普及,珠算算法和口诀也逐渐趋于完善。例如王文素和程大位增加并改善撞归、起一口诀;徐心鲁和程大位增添加、减口诀并在除法中广泛应用归除,从而实现了珠算四则运算的全部口诀化;朱载墒和程大位把筹算开平方和开立方的方法应用到珠算,程大位用珠算解数字二次、三次方程等等。程大位的著作在国内外流传很广,影响很大。

 

1582年,意大利传教士利玛窦到中国,1607年以后,他先后与徐光启翻译了《几何原本》前六卷、《测量法义》一卷,与李之藻编译《圜容较义》和《同文算指》。1629年,徐光启被礼部任命督修历法,在他主持下,编译《崇祯历书》137卷。《崇祯历书》主要是介绍欧洲天文学家第谷的地心学说。作为这一学说的数学基础,希腊的几何学,欧洲玉山若干的三角学,以及纳皮尔算筹、伽利略比例规等计算工具也同时介绍进来。

 

在传入的数学中,影响最大的是《几何原本》。《几何原本》是中国第一部数学翻译著作,绝大部分数学名词都是首创,其中许多至今仍在沿用。徐光启认为对它“不必疑”、“不必改”,“举世无一人不当学”。《几何原本》是明清两代数学家必读的数学书,对他们的研究工作颇有影响。

 

其次应用最广的是三角学,介绍西方三角学的著作有《大测》《割圆八线表》和《测量全义》。《大测》主要说明三角八线(正弦、余弦、正切、余切、正割、余割、正矢、余矢)的性质,造表方法和用表方法。《测量全义》除增加一些《大测》所缺的平面三角外,比较重要的是积化和差公式和球面三角。所有这些,在当时历法工作中都是随译随用的。

 

1646年,波兰传教士穆尼阁来华,跟随他学习西方科学的有薛凤柞、方中通等。穆尼阁去世后,薛凤柞据其所学,编成《历学会通》,想把中法西法融会贯通起来。《历学会通》中的数学内容主要有比例对数表》《比例四线新表》和《三角算法》。前两书是介绍英国数学家纳皮尔和布里格斯发明增修的对数。后一书除《崇祯历书》介绍的球面三角外,尚有半角公式、半弧公式、德氏比例式、纳氏比例式等。方中通所著《数度衍》对对数理论进行解释。对数的传入是十分重要,它在历法计算中立即就得到应用。

 

清初学者研究中西数学有心得而著书传世的很多,影响较大的有王锡阐《图解》、梅文鼎《梅氏丛书辑要》(其中数学著作13种共40卷)、年希尧《视学》等。梅文鼎是集中西数学之大成者。他对传统数学中的线性方程组解法、勾股形解法和高次幂求正根方法等方面进行整理和研究,使濒于枯萎的明代数学出现了生机。年希尧的《视学》是中国第一部介绍西方透视学的著作。

 

清康熙皇帝十分重视西方科学,他除了亲自学习天文数学外,还培养了一些人才和翻译了一些著作。1712年康熙皇帝命梅彀成任蒙养斋汇编官,会同陈厚耀、何国宗、明安图、杨道声等编纂天文算法书。1721年完成《律历渊源》100卷,以康熙“御定”的名义于1723年出版。其中《数理精蕴》主要由梅彀成负责,分上下两编,上编包括《几何原本》、《算法原本》,均译自法文著作;下编包括算术、代数、平面几何平面三角、立体几何等初等数学,附有素数表、对数表和三角函数表。由于它是一部比较全面的初等数学百科全书,并有康熙“御定”的名义,因此对当时数学研究有一定影响。

 

综上述可以看到,清代数学家对西方数学做了大量的会通工作,并取得许多独创性的成果。这些成果,如和传统数学比较,是有进步的,但和同时代的西方比较则明显落后了。

 

雍正即位以后,对外闭关自守,导致西方科学停止输入中国,对内实行高压政策,致使一般学者既不能接触西方数学,又不敢过问经世致用之学,因而埋头于究治古籍。乾嘉年间逐渐形成一个以考据学为主的乾嘉学派。

 

随着《算经十书》与宋元数学著作的收集与注释,出现了一个研究传统数学的高潮。其中能突破旧有框框并有发明创造的有焦循、汪莱、李锐、李善兰等。他们的工作,和宋元时代的代数学比较是青出于蓝而胜于蓝的;和西方代数学比较,在时间上晚了一些,但这些成果是在没有受到西方近代数学的影响下独立得到的。

 

与传统数学研究出现高潮的同时,阮元与李锐等编写了一部天文数学家传记—《畴人传》,收集了从黄帝时期到嘉庆四年已故的天文学家和数学家270余人(其中有数学著作传世的不足50人),和明末以来介绍西方天文数学的传教士41人。这部著作全由“掇拾史书,荃萃群籍,甄而录之”而成,收集的完全是第一手的原始资料,在学术界颇有影响。

 

1840年鸦片战争以后,西方近代数学开始传入中国。首先是英人在上海设立墨海书馆,介绍西方数学。第二次鸦片战争后,曾国藩、李鸿章等官僚集团开展“洋务运动”,也主张介绍和学习西方数学,组织翻译了一批近代数学著作。

 

其中较重要的有李善兰与伟烈亚力翻译的《代数学》《代微积拾级》;华蘅芳与英人傅兰雅合译的《代数术》《微积溯源》《决疑数学》;邹立文与狄考文编译的《形学备旨》《代数备旨》《笔算数学》;谢洪赉与潘慎文合译的《代形合参》《八线备旨》等等。

 

《代微积拾级》是中国第一部微积分学译本;《代数学》是英国数学家德·摩根所著的符号代数学译本;《决疑数学》是第一部概率论译本。在这些译著中,创造了许多数学名词和术语,至今还在应用,但所用数学符号一般已被淘汰了。戊戌变法以后,各地兴办新法学校,上述一些著作便成为主要教科书。

 

在翻译西方数学著作的同时,中国学者也进行一些研究,写出一些著作,较重要的有李善兰的《《尖锥变法解》《考数根法》;夏弯翔的《洞方术图解》《致曲术》《致曲图解》等等,都是会通中西学术思想的研究成果。

 

由于输入的近代数学需要一个消化吸收的过程,加上清末统治者十分腐败,在太平天国运动的冲击下,在帝国主义列强的掠夺下,焦头烂额,无暇顾及数学研究。直到1919年五四运动以后,中国近代数学的研究才真正开始。

 

 

 

3.古希腊数学

 

古希腊的地理范围,除了现在的希腊半岛外,还包括整个爱琴海区域和北面的马其顿和色雷斯、意大利半岛和小亚细亚等地。公元前5、6世纪,特别是希、波战争以后,雅典取得希腊城邦的领导地位,经济生活高度繁荣,生产力显著提高,在这个基础上产生了光辉灿烂的希腊文化,对后世有深远的影响。

 

希腊数学的发展历史可以分为三个时期。第一期从伊奥尼亚学派到柏拉图学派为止,约为公元前七世纪中叶到公元前三世纪;第二期是亚历山大前期,从欧几里得起到公元前146年,希腊陷于罗马为止;第三期是亚历山大后期,是罗马人统治下的时期,结束于641年亚历山大被阿拉伯人占领。

 

从古代埃及、巴比伦的衰亡,到希腊文化的昌盛,这过渡时期留下来的数学史料很少。不过希腊数学的兴起和希腊商人通过旅行交往接触到古代东方的文化有密切关系。

 

伊奥尼亚位于小亚细亚西岸,它比希腊其他地区更容易吸收巴比伦、埃及等古国积累下来的经验和文化。在伊奥尼亚,氏族贵族政治为商人的统治所代替,商人具有强烈的活动性,有利于思想自由而大胆地发展。城邦内部的斗争,帮助摆脱传统信念在希腊没有特殊的祭司阶层,也没有必须遵守的教条,因此有相当程度的思想自由。这大大有助于科学和哲学从宗教分离开来。

 

米利都是伊奥尼亚的最大城市,也是泰勒斯的故乡,泰勒斯是公认的希腊哲学鼻祖。早年是一个商人,曾游访巴比伦、埃及等地,很快就学会古代流传下来的知识,并加以发扬。以后创立伊奥尼亚哲学学派,摆脱宗教,从自然现象中去寻找真理,以水为万物的根源。

 

当时天文、数学和哲学是不可分的,泰勒斯同时也研究天文和数学。他曾预测一次日食,促使米太(在今黑海、里海之南)、吕底亚(今土耳其西部)两国停止战争,多数学者认为该次日食发生在公元前585年5月28日。他在埃及时曾利用日影及比例关系算出金字塔的高,使法老大为惊讶。

 

泰勒斯在数学方面的贡献是开始了命题的证明,它标志着人们对客观事物的认识从感性上升到理性,这在数学史上是一个不寻常的飞跃。伊奥尼亚学派的著名学者还有阿纳克西曼德和阿纳克西米尼等。他们对后来的毕达哥拉斯有很大的影响。

 

毕达哥拉斯公元前580年左右生于萨摩斯,为了摆脱暴政,移居意大利半岛南部的克罗顿。在那里组织一个政治、宗教、哲学、数学合一的秘密团体。后来在政治斗争中遭到破坏,毕达哥拉斯被杀害,但他的学派还继续存在两个世纪之久。

 

毕达哥拉斯学派企图用数来解释一切,不仅仅认为万物都包含数,而且说万物都是数。他们以发现勾股定理(西方叫做毕达哥拉斯定理)闻名于世,又由此导致不可通约量的发现。

 

这个学派还有一个特点,就是将算术和几何紧密联系起来。他们找到用三个正整数表示直角三角形三边长的一种公式,又注意到从 1起连续的奇数和必为平方数等等,这既是算术问题,又和几何有关,他们还发现五种正多面体。

 

伊奥尼亚学派和毕达哥拉斯学派有显著的不同。前者研习数学并不单纯为了哲学的兴趣,同时也为了实用。而后者却不注重实际应用,将数学和宗教联系起来,想通过数学去探索永恒的真理。

 

公元前五世纪,雅典成为人文荟萃的中心,人们崇尚公开的精神。在公开的讨论或辩论中,必须具有雄辩、修辞、哲学及数学等知识,于是“智人学派”应运而生。他们以教授文法、逻辑、数学、天文、修辞、雄辩等科目为业。在数学上,他们提出“三大问题”:三等分任意角;倍立方,求作一立方体,使其体积是已知立方体的二倍;化圆为方,求作一正方形,使其面积等于一已知圆。这些问题的难处,是作图只许用直尺(没有刻度的尺)和圆规。

 

希腊人的兴趣并不在于图形的实际作出,而是在尺规的限制下从理论上去解决这些问题,这是几何学从实际应用向系统理论过渡所迈出的重要的一步。

 

这个学派的安提丰提出用“穷竭法”去解决化圆为方问题,这是近代极限理论的雏形。先作圆内接正方形,以后每次边数加倍,得8、16、32、…边形。安提丰深信“最后”的多边形与圆的“差”必会“穷竭”。这提供了求圆面积的近似方法,和中国的刘徽的割圆术思想不谋而合。

 

公元前三世纪,柏拉图在雅典建立学派,创办学园。他非常重视数学,但片面强调数学在训练智力方面的作用,而忽视其实用价值。他主张通过几何的学习培养逻辑思维能力,因为几何能给人以强烈的直观印象,将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中。

 

这个学派培养出不少数学家,如欧多克索斯就曾就学于柏拉图,他创立了比例论,是欧几里得的前驱。柏拉图的学生亚里士多德也是古代的大哲学家,是形式逻辑的奠基者。他的逻辑思想为日后将几何学整理在严密的逻辑体系之中开辟了道路。

 

这个时期的希腊数学中心还有以芝诺为代表的埃利亚学派,他提出四个悖论,给学术界以极大的震动。这四个悖论是:

 

二分说,一物从甲地到乙地,永远不能到达。因为想从甲到乙,首先要通过道路的一半,但要通过这一半,必须先通过一半的一半,这样分下去,永无止境。结论是此物的运动被道路的无限分割阻碍着,根本不能前进一步;阿基琉斯(善跑英雄)追龟说,阿基琉斯追乌龟,永远追不上。因为当他追到乌龟的出发点时,龟已向前爬行了一段,他再追完这一段,龟又向前爬了一小段。这样永远重复下去,总也追不上;飞箭静止说,每一瞬间箭总在一个确定的位置上,因此它是不动的;运动场问题,芝诺论证了时间和它的一半相等。

 

以德谟克利特为代表的原子论学派,认为线段、面积和立体,是由许多不可再分的原子所构成。计算面积和体积,等于将这些原子集合起来。这种不甚严格的推理方法却是古代数学家发现新结果的重要线索。

 

公元前四世纪以后的希腊数学,逐渐脱离哲学和天文学,成为独立的学科。数学的历史于是进入一个新阶段——初等数学时期。

 

这个时期的特点是,数学(主要是几何学)已建立起自己的理论体系,从以实验和观察为依据的经验科学过渡到演绎的科学。由少数几个原始命题(公理)出发,通过逻辑推理得到一系列的定理。这是希腊数学的基本精神。

 

在这一时期里,初等几何、算术初等代数大体己成为独立的科目。和17世纪出现的解析几何学、微积分学相比,这一个时期的研究内容可以用“初等数学”来概括,因此叫做初等数学时期。

 

埃及的亚历山大城,是东西海陆交通的枢纽,又经过托勒密王的加意经营,逐渐成为新的希腊文化中心,希腊本土这时已经退居次要地位。几何学最初萌芽于埃及,以后移植于伊奥尼亚,其次繁盛于意大利和雅典,最后又回到发源地。经过这一番培植,已达到丰茂成林的境地。

 

从公元前四世纪到公元前146年古希腊灭亡,罗马成为地中海区域的统治者为止,希腊数学以亚历山大为中心,达到它的全盛时期。这里有巨大的图书馆和浓厚的学术空气,各地学者云集在此进行教学和研究。其中成就最大的是亚历山大前期三大数学家欧几里得、阿基米德和阿波罗尼奥斯。

 

欧几里得的《几何原本》是一部划时代的著作。其伟大的历史意义在于它是用公理法建立起演绎体系的最早典范。过去所积累下来的数学知识,是零碎的、片断的,可以比作砖瓦木石;只有借助于逻辑方法,把这些知识组织起来,加以分类、比较,揭露彼此间的内在联系,整理在一个严密的系统之中,才能建成宏伟的大厦。《几何原本》体现了这种精神,它对整个数学的发展产生深远的影响。

 

阿基米德是物理学家兼数学家,他善于将抽象的理论和工程技术的具体应用结合起来,又在实践中洞察事物的本质,通过严格的论证,使经验事实上升为理论。他根据力学原理去探求解决面积和体积问题,已经包含积分学的初步思想。阿波罗尼奥斯的主要贡献是对圆锥曲线的深入研究。

 

除了三大数学家以外,埃拉托斯特尼的大地测量和以他为名的“素数筛子”也很出名。天文学家喜帕恰斯制作“弦表”,是三角学的先导。

 

公元前146年以后,在罗马统治下的亚历山大学者仍能继承前人的工作,不断有所发明。海伦(约公元62)、门纳劳斯(约公元100)、帕普斯等人都有重要贡献。天文学家托勒密将喜帕恰斯的工作加以整理发挥,奠定了三角学的基础。

 

晚期的希腊学者在算术和代数方面也颇有建树,代表人物有尼科马霍斯(约公元100)和丢番图(约250)前者是杰拉什(今约旦北部)地方的人。著有《算术入门》,后者的《算术》是讲数的理论的,而大部分内容可以归入代数的范围。它完全脱离了几何的形式,在希腊数学中独树一帜,对后世影响之大,仅次于《几何原本》。

 

公元325年,罗马帝国的君士坦丁大帝开始利用宗教作为统治的工具,把一切学术都置于基督教神学的控制之下。

 

公元529年,东罗马帝国皇帝查士·丁尼下令关闭雅典的柏拉图学园以及其他学校,严禁传授数学。许多希腊学者逃到叙利亚和波斯等地。数学研究受到沉重的打击。641年,亚历山大被阿拉伯人占领,图书馆再次被毁,希腊数学至此告一段落。

 

 

4、埃及古代数学

 

埃及是世界上文化发达最早的几个地区之一,位于尼罗河两岸,公元前3200年左右,形成一个统一的国家。尼罗河定期泛滥,淹没全部谷地,水退后,要重新丈量居民的耕地面积。由于这种需要,多年积累起来的测地知识便逐渐发展成为几何学。

 

公元前2900年以后,埃及人建造了许多金字塔,作为法老的坟墓。从金字塔的结构,可知当时埃及人已懂得不少天文和几何的知识。

 

例如基底直角的误差与底面正方形两边同正北的偏差都非常小。 现今对古埃及数学的认识,主要根据两卷用僧侣文写成的纸草书;一卷藏在伦敦,叫做莱因德纸草书,一卷藏在莫斯科。

 

埃及最古老的文字是象形文字,后来演变成一种较简单的书写体,通常叫僧侣文。除了这两卷纸草书外,还有一些写在羊皮上或用象形文字刻在石碑上和木头上的史料,藏于世界各地。两卷纸草书的年代在公元前1850~前1650年之间,相当于中国的夏代。

 

埃及很早就用十进记数法,但却不知道位值制,每一个较高的单位是用特殊的符号来表示的。例如111,象形文字写成三个不同的字符,而不是将 1重复三次。埃及算术主要是加法,而乘法是加法的重复。 他们能解决一些一元一次方程的问题,并有等差、等比数列的初步知识。占特别重要地位的是分数算法,即把所有分数都化成单位分数(即分子是1的分数)的和。莱因德纸草书用很大的篇幅来记载2/N(N从5到101)型的分数分解成单位分数的结果。为什么要这样分解以及用什么方法去分解,到现在还是一个谜。这种繁杂的分数算法实际上阻碍了算术的进一步发展。

 

纸草书还给出圆面积的计算方法:将直径减去它的1/9之后再平方。计算的结果相当于用3.1605作为圆周率,不过他们并没有圆周率这个概念。根据莫斯科纸草书,推测他们也许知道正四棱台体积的计算方法。总之,古代埃及人积累了一定的实践经验,但还没有上升为系统的理论。

 

 

5.欧洲中世纪数学

 

中世纪开始于公元476年西罗马帝国灭亡,约结束于15世纪。这一千年的历史大致可以分为两段。十一世纪之前常称为黑暗时代,这时西欧在基督教神学和烦琐哲学的教条统治下,人们失去了思想自由,生产墨守成规,技术进步缓慢,数学停滞不前。十一世纪以后情况稍有好转。

 

希腊文化通过罗马人传到中世纪的很少,这大部分体现在博伊西斯(约480~524)的著作中。他的《算术原理》大体上是新毕达哥拉斯学派数学家尼科马霍斯《算术入门》的译本,但若干精采的命题均被删去。博伊西斯的《几何》取材于欧几里得《几何原本》,但却完全没有证明,因为他认为证明是多余的。

 

公元529年,东罗马帝国皇帝查士丁尼勒令关闭雅典的学校,严禁研究和传播数学。数学发展再一次受到沉重的打击。此后数百年,值得称道的数学家屈指可数,而且多是神职人员。

 

号称博学多才的比德是英国的僧侣学者,终生在修道院度过。他的本领是会算复活节(每年过春分月圆后的第一个星期日)的日期,和用手指来计算。稍后的阿尔昆也是著名的英国神学家。781年左右,接受查理曼大帝的聘请,到法兰克王国担任宫廷教师和顾问。他所编的算术书,现在看来是相当粗浅的。热尔贝原是兰斯的大主教,后被选为教皇,改名西尔威斯特二世。他热心提倡学术,对推动“四艺”(音乐、几何、算术、天文)的学习有一定的功劳。十字军远征(1096~1291)使欧洲人接触到阿拉伯国家所保有古代文化宝藏。

 

他们将大量的阿拉伯文书籍译成拉丁文。于是希腊、印度和阿拉伯人创造的文化,还有中国的四大发明便传到了欧洲。意大利地处东西方交通的要冲,逐渐成为新的经济和文化中心。

 

12、13世纪欧洲数学界的代表人物是斐波那契,他向欧洲人介绍了印度-阿拉伯数码和位值制记数法,以及各种算法在商业上的应用。

 

中国的盈不足术和《孙子算经》的不定方程解法也出现在斐波那契的书中。此外他还有很多独创性的工作。

 

14世纪的法国主教奥尔斯姆引入了分指数记法和坐标制的思想,后者是从天文、地理的经纬度到近代坐标几何的过渡。英国大主教布雷德沃丁的算术、几何、力学的著作影响也很大。欧洲第一本系统的三角学作者是雷格蒙塔努斯。

 

文艺复兴以后,人类摆脱了中世纪束缚思想的精神枷锁,迎接了一个新时代的到来。

 

 

 

 

6、十六、十七世纪数学

 

16、17世纪的欧洲,漫长的中世纪已经结束,文艺复兴带来了人们的觉醒,束缚人们思想自由发展的烦琐哲学和神学的教条权威逐步被摧毁了。封建社会开始解体,代之而起的是资本主义社会,生产力大大解放。资本主义工场手工业的繁荣和向机器生产的过渡,促使技术科学和数学急速发展。

 

例如在航海方面,为了确定船只的位置,要求更加精密的天文观测。军事方面,弹道学成为研究的中心课题。准确时计的制造,运河的开凿,堤坝的修筑,行星的椭圆轨道理论等等,也都需要很多复杂的计算。古希腊以来的初等数学,已渐渐不能满足当时的需要了。

 

在科学史上,这一时期出现了许多重大的事件,向数学提出新的课题。首先是哥白尼提出地动说,使神学的重要理论支柱的地心说发生了根本的动摇。他的弟子雷蒂库斯见到当时天文观测日益精密,推算详细的三角函数表已成为刻不容缓的事,于是开始制作每隔10"的正弦、正切及正割表。当时全凭手算,雷蒂库斯和他的助手勤奋工作达12年之久,直到死后才由他的弟子奥托完成。

 

16世纪下半叶,丹麦天文学家第谷进行了大量精密的天文观测,在这个基础上,德国天文学家开普勒总结出行星运动的三大定律,导致后来牛顿万有引力的发现。

 

开普勒的《酒桶的新立体几何》将酒桶看作由无数的圆薄片累积而成,从而求出其体积。这是积分学的前驱工作。

 

意大利科学家伽利略主张自然科学研究必须进行系统的观察与实验,充分利用数学工具去探索大自然的奥秘。这些观点对科学(特别是物理和数学)的发展有巨大的影响。他的学生卡瓦列里创立了“不可分原理”。依靠这个原理他解决了许多现在可以用更严格的积分法解决的问题。“不可分”的思想萌芽于1620年,深受开普勒和伽利略的影响,是希腊欧多克索斯的穷竭法到牛顿、莱布尼茨微积分的过渡。

 

16世纪的意大利,在代数方程论方面也取得了一系列的成就。塔塔利亚、卡尔达诺、费拉里、邦贝利等人相继发现和改进三次、四次方程的普遍解法,并第一次使用了虚数。

 

这是自希腊丢番图以来代数上的最大突破。法国的韦达集前人之大成,创设大量代数符号,用字母代表未知数,改良计算方法,使代数学大为改观。

 

在数字计算方面,斯蒂文系统地阐述和使用了小数,接着纳皮尔创制了对数,大大加快了计算速度。以后帕斯卡发明了加法机,莱布尼茨发明了乘法机,虽然未臻于实用,但开辟了机械计算的新途径。

 

17世纪初,初等数学的主要科目(算术、代数、几何、三角)已基本形成,但数学的发展正是方兴未艾,它以加速的步伐迈入数学史的下一个阶段:变量数学时期这一时期和前一时期

 

(常称为初等数学时期)的区别在于前一时期主要是用静止的方法研究客观世界的个别要素,而这一时期是用运动的观点探索事物变化和发展的过程。

 

变量数学以解析几何的建立为起点,接着是微积分学的勃兴。这一时期还出现了概率论和射影几何等新的领域。但似乎都被微积分的强大光辉掩盖了。分析学以汹涌澎湃之势向前发展,到18世纪达到了空前灿烂的程度,其内容的丰富,应用之广泛,使人目不暇接。

 

这一时期所建立的数学,大体上相当于现今大学一二年级的学习内容。为了与中学阶段的初等数学相区别有时也叫古典高等数学,这一时期也相应叫做古典高等数学时期。

 

解析几何的产生,一般以笛卡儿《几何学》的出版为标志。这本书的内容不仅仅是几何,也有很多代数的问题。它和现在的解析几何教科书有很大的差距,其中甚至看不到“笛卡儿坐标系”。但可贵的是它引入了革命性的思想,为开辟数学的新园地作出了贡献。 《几何学》的主要功绩,可以归结为三点:把过去对立着的两个研究对象“形”和“数”统一起来,引入了变量,用代数方法去解决古典的几何问题;最后抛弃了希腊人的齐性限制;改进了代数符号。

 

法国数学家费马也分享着解析几何创立的荣誉,他的发现在时间上可能早于笛卡儿,不过发表很晚。他是一个业余数学家,在数论、概率论、光学等方面均有重要贡献。他已得到微积分的要旨,曾提出求函数极大极小的方法。他建立了很多数论定理,其中“费马大定理”最有名,不过只是一个猜想,至今仍未得到证明。

 

对概率论的兴趣,本来是由保险事业的发展而产生的,但促使数学家去思考一些特殊的概率问题却来自赌博者的请求。费马、帕斯卡、惠更斯是概率论的早期创立者,以后经过18、19世纪拉普拉斯、泊松等人的研究,概率论成为应用广泛的庞大数学分支。

 

和解析几何同时,17世纪在几何领域内还发生了另一场重大的变革,这就是射影几何的建立。决定性的进步是德扎格和帕斯卡的工作。前者引入了无穷远点、无穷远线,讨论了极点与极线、透射、透视等问题,他所发现的“德扎格定理”是全部射影几何的基本定理。

 

帕斯卡1640年发表的《圆锥曲线论》,是自阿波罗尼奥斯以来圆锥曲线论的最大进步。可是当时的数学家大多致力于分析学的研究,射影几何没有受到重视,直到18世纪末才重新引起人们的注意。

 

17世纪是一个创作丰富的时期,而最辉煌的成就是微积分的发明。它的出现是整个数学史也是整个人类历史的一件大事。它从生产技术和理论科学的需要中产生,同时又回过头来深刻地影响着生产技术和自然科学的发展。微积分对于今天的科技工作者来说,已经象布帛菽粟一样,须臾不可离了。

 

微积分是经过了长时间的酝酿才产生的。积分的思想,早在阿基米德时代已经萌芽,16、17世纪之交,开普勒、卡瓦列里、费马、沃利斯特别是巴罗等人作了许多准备工作。作为微分学中心问题的切线问题的探讨,却是比较晚的事,因而微分学的起点远远落在积分学之后。

 

17世纪的著名数学家(主要是法国)如费马、笛卡儿、罗贝瓦尔、德扎格等人都曾卷入“切线问题”的论战中。笛卡儿和费马认为切线是当两个交点重合时的割线。而罗贝瓦尔则从运动的角度出发,将切线看作描画这曲线的运动在这点的方向,这观点至今在力学上还有实际意义。

 

牛顿、莱布尼茨的最大功劳是将两个貌似不相关的问题联系起来,一个是切线问题(微分学的中心问题),一个是求积问题(积分学的中心问题),建立起两者之间的桥梁,用微积分基本定理或者“牛顿—莱布尼茨公式”表达出来。

 

在牛顿1665年5月20日(格里历31日)手写的一页文件中,有微积分的最早记载,但他的工作长久没有人知道,直到1687年才用几何的形式摘记在他的名著《自然哲学的数学原理》中。牛顿建立微积分主要从运动学的观点出发,而莱布尼茨则是从几何学的角度去考虑。特别和巴罗的“微分三角形”有密切关系。

 

莱布尼茨第一篇微分学的文章1684年在《学艺》上发表,第一篇积分学的文章1686年在同一杂志发表。他所创设的符号远优于牛顿,故为后世所沿用。它的理论很快就得到洛必达、伯努利家族和欧拉等人的继承和发扬光大,到18世纪进入了一个丰收的时期。

 

任何一项重大发明,都不可能一开始便完整无瑕。17世纪的微积分带有严重的逻辑困难,以致受到多方面的非议。它的基础是极限论,而牛顿、莱布尼茨的极限观念是十分模糊的。究竟极限是什么,无穷小是什么,这在当时是带有根本性质的难题。尽管如此,微积分在实践方面的胜利,足以令人信服。大多数数学家暂时搁下逻辑基础不顾,勇往直前地去开拓这个新的园地。

 

17世纪数学发展的特点,可以概括如下。产生了几个影响很大的新领域,如解析几何、微积分、概率论、射影几何等。每一个领域都使古希腊人的成就相形见绌。

 

代数化的趋势,希腊数学的主体是几何学,代数的问题往往也要用几何方法去论证。17世纪的代数学比几何学占有更重要的位置,它冲破希腊人的框框,进一步向符号代数转化,几何问题常常反过来用代数方法去解决。

 

出现了大量新概念,如无理数、虚数、瞬时变化率、导数、积分等等,都不是经验事实的直接反映,而是由数学理论进一步抽象所产生。

 

数学和其他自然科学的联系更加紧密,实验科学(从伽利略开始)的兴起,促进数学的发展,而数学的成果又渗透到其他科学部门中去。许多数学家,如牛顿、莱布尼茨、笛卡儿、费马等, 本身也都是天文学家、物理学家或哲学家。

 

数学知识广泛交流传播,希腊时代只有少数人在研究数学,直到16世纪,情况并无多大改变。17世纪研究人员大增,学术团体(学会或学院)相继成立,加上印刷业的兴旺发达,数学知识得到普遍的推广和应用。

 

总的来说,17世纪是许多新兴科目的始创阶段,而18世纪是充实和发扬阶段,19世纪是回顾、推广和改革阶段,并以崭新的姿态进入下一个世纪。

 

 

7、十八世纪的数学

 

将微积分学深入发展,是十八世纪数学的主流。这种发展是与广泛的应用紧密交织在一起的,并且刺激和推动了许多新分支的产生,使数学分析形成了在观念和方法上都具有鲜明特点的独立的数学领域。在十八世纪特别是后期,数学研究活动和数学教育方式也发生了变革。这一切使十八世纪成为向现代数学过渡的重要时期。

 

 

微积分学的发展

 

在十八世纪,无限小算法的推广,在英国和欧洲大陆国家是循着不同的路线进行的。不列颠数学家们在剑桥、牛津、伦敦、爱丁堡等著名的大学里传授和研究牛顿的流数术,代表人有科茨、泰勒、麦克劳林、棣莫弗和斯特林等。

 

泰勒发现的著名公式使人们有可能通过幂级数展开来研究函数;马克劳林的《流数论》可以说是对微积分最早的系统处理,该书是为反驳伯克利主教《分析学家》一文而作,后者出于宗教的动机,对牛顿流数论中存在的无限小概念混乱提出了尖锐批评,引起了关于微积分基础的论战。

 

泰勒、马克劳林之后,英国数学陷入了长期停滞、僵化的状态。十八世纪初即已爆发的微积分发明权的争论,滋长了不列颠数学家们浓厚的民族保守情绪,他们囿于牛顿的传统,难以摆脱其迂回的几何手法等弱点的束缚。与此相对照,在海峡的另一边,新分析却在莱布尼茨的后继者们的推动下蓬勃发展起来。

 

推广莱布尼茨学说的任务,主要由他的学生、瑞士巴塞尔的雅各布第一·伯努利和约翰第一·伯努利两兄弟担当,而这方面最重大的进步则是由欧拉作出的。

 

欧拉于1748年出版了《无穷小分析引论》,这部巨著与他随后发表的《微分学》、《积分学》标志着微积分历史上的一个转折:以往的数学家们都以曲线作为微积分的主要研究对象,而欧拉则第一次把函数放到了中心的地位,并且是建立在函数的微分的基础之上。函数概念本身正是由于欧拉等人的研究而大大丰富了。数学家们开始明确区分代数函数与超越函数、隐函数与显函数、单值函数与多值函数等;通过一些困难积分问题的求解,诸如B函数、椭圆不定积分等一系列新的超越函数被纳入函数的范畴;已有的对数、指数和三角函数的研究不仅进一步系统化,而且被推广到复数领域。

 

在十八世纪,数学家们对于函数、导数、微分、连续性和级数收敛性等概念还没有形成统一的见解,他们往往不顾基础问题的薄弱而大胆前进。尽管如此,许多人对建立微积分的严格基础仍作出了重要的尝试。除了欧拉的函数理论外,另一位天才的分析大师拉格朗日采取了所谓“代数的途径”。他在1797年出版的《解析函数论》一书中,主张用泰勒级数来定义导数,并以此作为整个微分、积分理论之出发点。

 

达朗贝尔则发展了牛顿的“首末比方法”,但用极限的概念代替了含糊的“最初与最终比”的说法。如果说欧拉和拉格朗日的著作引入了分析的形式化趋势,那么,达朗贝尔则为微积分的严格表述提供了合理的内核。19世纪的严格化运动,正是这些不同方向融会发展的结果。

 

 

数学与力学开始结合

 

数学同力学的有机结合,是十八世纪数学的另一个鲜明特征。这种结合,其紧密的程度为数学史上任何时期所不能比拟。几乎所有的数学家都以巨大的热情,致力于运用微积分新工具去解决各种物理、力学问题。

 

欧拉的名字同流体力学和刚体运动的基本方程联系着;拉格朗日最享盛名的著作《分析力学》,“将力学变成了分析的一个分支”;拉普拉斯则把数学看作是研究力学天文学的工具,他的许多重要数学成果正是包含在他的五大卷《天体力学》中。

 

这种广泛的应用成为新的数学思想的源泉,而使数学本身的发展大大受惠。一系列新的数学分支在十八世纪成长起来。

 

达朗贝尔关于弦振动的著名研究,导出了弦振动方程及其最早的解,成为偏微分方程论的发端。另一类重要的偏微分方程——位势方程,主要通过对引力问题的进一步探讨而获得。与偏微分方程相联系的一些较为深入的理论问题也开始受到注意。

 

拉格朗日发展了解一阶偏微分方程的一般理论;对不同类型的二阶方程的研究还促使欧拉、达朗贝尔等具备了将函数展为三角级数的概念。

 

常微分方程的研究进展更为迅速。三体问题、摆的运动及弹性理论等的数学描述,引出了一系列的常微分方程,其中以三体问题最为重要,二阶常微分方程在其中扮演了中心角色。

 

数学家起先是采用各种特殊的技巧对付不同的方程,但渐渐地开始寻找带普遍性的方法。这样,欧拉推广了约翰第一·伯努利的积分因子和常数变易法;黎卡提在以他的名字命名的非线性方程的研究中,首创了后来成为处理高阶方程主要手段的降阶法;泰勒最先引起人们对奇异解存在性的注意;欧拉在1750年解出了一般的常系数

 

线性方程,他还引进超几何级数作为解二阶线性方程的基础;对全微分方程的研究亦由欧拉、拉格朗日和蒙日等开展起来。变分法起源于最速降曲线问题和相类似的一些问题,它的奠基人是欧拉。所谓“最速降曲线”问题,是要求出两点间的一条曲线,使质点在重力作用下,沿着它由一点至另一点的降落最快。这问题在1696年被约翰第一·伯努利提出来向其他人挑战,牛顿、洛必达和伯努利兄弟不久都分别获得了正确的解答。

 

欧拉自1728年开始以他特有的透彻精神重新考察了最速降曲线等问题,最终确立了求积分极值问题的一般方法。欧拉的方法后来又为拉格朗日所发展,拉格朗日首先将变分法置于分析的基础上,他还充分运用变分法来建造其分析力学体系,全部力学被他化归为一个统一的变分原理——虚功原理。

 

这些新的分支与微积分本身一起,形成了被称之为“分析”的广大领域,与代数、几何并列为数学的三大学科,在十八世纪,其繁荣程度远远超过了代数与几何。十八世纪的数学家们不仅大大拓展了分析的疆域,同时赋予它与几何相对的意义,他们力图用纯分析的手法以摆脱对于几何论证的依赖,这种倾向成为十八世纪数学的另一大特征,并且在欧拉和拉格朗日的工作中表现得最为典型。

 

拉格朗日在《分析力学》序中宣称:“在这本书中找不到一张图,我所叙述的方法既不需要作图,也不需要任何几何的或力学的推理,只需要统一而有规则的代数(分析)运算”。

 

 

几何与代数

 

对于几何学,十八世纪数学家们着眼于分析方法的应用,及与此相联系的坐标几何的发展。虽然早先已有部分结果,但微分几何形成为独立的学科主要是在十八世纪。

 

伯努利兄弟以及欧拉、拉格朗日等在确定平面曲线曲率、拐点、渐伸线、渐屈线、测地线及曲线簇包络等方面作出许多贡献;蒙日自1771年起发表的一系列工作,则使微分几何在十八世纪的发展臻于高峰。

 

蒙日及其学生全面概括了空间曲线的一般理论,并借着偏微分方程对已为欧拉等人触及的可展曲面、极小曲面、曲面曲率及各种曲面簇等问题获得了系统的结果。蒙日通过其几何研究还建立了偏微分方程的特征理论。现代解析几何的基本课题如对称的坐标轴概念、平面曲线的系统研究等,基本上也是十八世纪的产品。帕伦于1705、1713年将解析几何推广至三维情形,该项工作被克莱罗所继续。解析几何突破了笛卡儿以来作为求解几何难题的代数技巧的界限。

 

对综合几何的兴趣直到十八世纪末才被重新唤起,这主要归功于蒙日的《画法几何学》。蒙日指出画法几何只是投影几何的一个方面,这促进了更一般的投影几何学与几何变换理论的发展。投影几何在十九世纪整整活跃了一个世纪,而几何变换则已成为现代几何学的基本概念。

 

十八世纪许多数学家将分析看作代数的延伸,代数本身的研究有时便服从分析的需要。然而十八世纪代数学仍为下一世纪的革命性发展开辟了道路。

 

1799年,高斯发表了关于代数基本定理的研究,给出了该定理的第一个严格证明;高于四次的代数方程用根式求解之不可能,也已被拉格朗日等人认识,拉格朗日在《方程的代数求解》一文中讨论了这个问题,虽未能作出严格证明,但却考察了根的有理函数及根的置换对它们的影响。高斯、拉格朗日的结果是19世纪阿贝尔、伽罗瓦、雅可比等在方程论方面的划时代成就的出发点。虚数在十八世纪数学中的重要性增加了,达朗贝尔关于一切虚数都有形式a+bi的断言,被大多数同时代的学者所接受(虽然他的论证并不严格);丹麦的韦塞尔提出了虚数的图像表示法,这一切为19世纪复变函数论的发展奠定了基础。

 

 

概率论进一步的发展

 

帕斯卡、费马和惠更斯以来,第一个对概率论给予认真注意的是雅各布第一·伯努利。他的《猜度术》一书,包含了大数律的叙述;棣莫弗最早使用正态分布曲线;拉格朗日的贡献在于误差理论。

 

不过,首先将概率论建立在坚固的数学基础上的是拉普拉斯。从1771年起,拉普拉斯发表了一系列重要著述,特别是1812年出版的《概率的解析理论》,对古典概率论作出了强有力的数学综合,叙述并证明了许多重要定理。拉普拉斯等人的著作还讨论了概率论对人口统计、保险事业、度量衡、天文学甚至某些法律问题的应用。概率论在十八世纪已远不再是只与赌博问题相联系的学科了。

 

 

数学教育的发展

 

十八世纪的数学研究活动,大部分是与欧洲各国的科学院相联系,尤其是大陆国家的科学院。它们不仅是评议研究成果,促进科学通讯,而且掌握着聘用专门成员的财政经费。

 

莱布尼茨1700年创立的柏林科学院,在普鲁士国王弗里德里克时代曾拥有欧拉和拉格朗日为院士;欧拉其余的生涯是在彼得堡科学院奉职;拉格朗日在弗里德里克死后被路易十六请到巴黎。而巴黎科学院也许是十八世纪欧洲最

 

重要的学术中心,与它相联系的法国最卓越的数学家还有克莱罗、达朗贝尔、孔多塞、拉普拉斯、蒙日以及勒让德等。

 

这种主要靠宫廷支持的科学院,在推动数学研究职业化方面起了一定的但却是有限的作用。在十八世纪的晚期,人们开始注意并努力改变大学中数学教育与研究分离、脱节的现象。

 

格丁根大学最先强调教学与研究的结合,但对当时的数学并未发生影响。真正的冲击来自法国。法国大革命时期建立的巴黎综合工科学校和巴黎高等师范学校,不仅提供为培养工程师和教师所必需的数学教育,对数学研究也给予同样的重视,它们作为新型的科学教育和研究机构的典范,对19世纪数学研究职业化运动有极大的影响。

 

社会政治对十八世纪数学发展的影响值得注意。十八世纪数学研究活动中心的转移,明显地与资产阶级革命中心的转移现象相吻合。英国学术界的保守气氛,同拥教保王的政治环境不无关系,而在启蒙思想熏陶下的法国学派,却自觉地接过了发展牛顿自然科学理论的任务。

 

法国大革命本身提供了社会变革影响数学事业的史例。这个国家当时最优秀的数学家,几乎都被革命政权吸收到度量衡改革、教育改革、军事工程建设等活动中去。

 

对于数学发展特别重要的是他们在新成立的巴黎综合工科学校与巴黎高等师范学校中的作用。拉格朗日、拉普拉斯、蒙日、勒让德等均受聘出任那里的数学教授,蒙日还是综合工科学校的积极创建者并兼校长。他们的任职,使这两所学校特别是综合工科学校成为新一代数学家的摇篮,如柯西和泊松都是毕业于综合工科学校。这些学校为适应培养新人才的需要而采用的数学新教材,酿成了“教科书的革命”,其中勒让德的《几何学基础》、蒙日的《画法几何学》、拉克鲁瓦的《微积分学》以及毕奥和勒弗朗索瓦的解析几何教程,都是反复再版,并被译成了多国语言。在法国所进行的改革,到19世纪初即已扩及旁国特别是德国,并刺激了英国数学的复苏,成为数学发展新时代的序幕。

 

 

 

8、十九世纪的数学

 

十九世纪是数学史上创造精神和严格精神高度发扬的时代。复变函数论的创立和数学分析的严格化,非欧几何的问世和射影几何的完善,群论和非交换代数的诞生,是这一世纪典型的数学成就。它们所蕴含的新思想,深刻地影响着二十世纪的数学。

 

 

十九世纪数学发展的概貌

 

十八世纪数学发展的主流是微积分学的扩展,它与力学和天文学的问题紧密相联。微积分的运用使这些自然科学领域迅猛发展,至十八世纪末,它们达到了一种相对完美的程度。

 

然而,将数学和这些自然科学基本上视为一体的观念,使当时一些著名的数学家,如拉格朗日、欧拉、达朗贝尔等对数学的前途产生了悲观情绪,他们觉得数学泉源已近枯竭。

 

而实际上,此时的数学正处于兴旺发达的前夜:18世纪的数学家忙于获取微积分的成果与应用,较少顾及其概念与方法的严密性,到十八世纪末,为微积分奠基的工作已紧迫地摆在数学家面前;另一方面,处于数学中心课题之外的数学分支已积累了一批重要问题,如复数的意义、欧式几何中平行公设的地位,高次代数方程根式解的可能性等,它们大都是从数学内部提出的课题;再者,自十八世纪后期开始,自然科学出现众多新的研究领域,如热力学、流体力学、电学、磁学、测地学等等,从数学外部给予数学以新的推动力。上述因素促成了十九世纪数学充满活力的创新与发展。

 

十九世纪欧洲的社会环境也为数学发展提供了适宜的舞台,法国资产阶级大革命所造成的民主精神和重视数学教育的风尚,鼓励大批有才干的青年步入数学教育和研究领地。法国在十九世纪一直是最活跃的数学中心之一,涌现出一批优秀人才,如傅里叶、泊松、彭赛列、柯西、刘维尔、伽罗华、埃尔米特、若尔当、达布、庞加莱、阿达马。他们在几乎所有的数学分支中都作出了卓越贡献。法国革命的影响波及欧洲各国,使整个学术界思想十分活跃,突破了一切禁区。

 

英国新一代数学家克服近一个世纪以来以牛顿为偶像的固步自封局面,成立了向欧洲大陆数学学习的“分析学会”,使英国进入世界数学发展的潮流。皮科克、格林、哈密顿、西尔维斯特、凯莱、布尔等英国数学界的杰出人物,在代数学、代数几何、数学物理方面的成就尤为突出。

 

德国在1870年统一之前,资本主义发展比较缓慢,但从十八世纪下半叶起,它一直是思想意识领域十分活跃的地区,特别是思辨哲学强调事物内部矛盾促进事物发展的思想,对纯粹数学的发展产生了有益的影响。

 

从高斯登上数学舞台至十九世纪下半叶,德国逐渐发展成为与法国并驾齐驱的又一个世界数学中心,除高斯外,施陶特、普吕克、雅可比、狄利克雷、格拉斯曼、库默尔、魏尔斯特拉斯、克罗内克、黎曼、戴德金、康托尔、克莱因、希尔伯特都无愧为十九世纪最重要的数学家。

 

处于数学中心之外的国家和地区,也出现不少优秀学者,最突出的有挪威的阿贝尔和李,捷克的波尔查诺、俄国的罗巴切夫斯基、切比雪夫和柯瓦列夫斯卡娅,匈牙利的波尔约,意大利的贝尔特拉米和里奇等。这种人才辈出的局面在数学史上是空前的。

 

十九世纪数学突破分析学独占主导地位的局面,几何、代数、分析各分支出现如雨后春笋般的竟相发展。仅在十九世纪的前30多年中,一批二三十岁的年轻数学家就在数论、射影几何、复变函数、微分几何、非欧几何、群论等领域作出开创性的成绩。

 

随着众多新研究方向的开拓和证明严格化的要求,越来越多的学者开始埋头于较窄的领域作精细的研究。如阿贝尔主要从事分析与代数学研究,彭赛列专攻射影几何,伽罗瓦关心代数方程的可解性。只有高斯和柯西仍然关心科学与数学中几乎所有的问题。

 

在十九世纪下半叶,一些数学家注意了各分支间的联系,最著名的有克莱因的埃尔朗根纲领,在几何中引进群的观点,取得很大成功,但专门化的研究方式尚处于方兴未艾的阶段。从十九世纪晚期开始的将数学各分支奠基于公理体系之上的运动,又推进了各分支的细分,这种倾向一直延续到二十世纪。

 

十九世纪数学家的工作方式呈现出全新的、不同于十八世纪的特色。数学成为一项得到全社会承认的职业,数学家主要在大量培养人才的新型大学教书,研究与教学有机地联系在一起。法国的巴黎综合工科学校、巴黎高等师范大学,德国的柏林大学、格丁根大学是当时最重要的数学研究与教学中心。

 

由于数学家人数与成果的剧增交流思想与成果的渠道增多了,数学杂志成了重要的传播媒介。法国的热尔岗编辑出版了《纯粹与应用数学年刊》,是最早的专门数学期刊。之后,高水平的数学杂志相继问世,最著名的有克雷尔创办的德文的《纯粹与应用数学杂志》,刘维尔创办的法文的《纯粹与应用数学杂志》。

 

到十九世纪后半叶,随着各国数学会的问世,各种会刊及专门杂志显著增加。这些数学会还在推动本国数学发展和促进国际学术交流方面发挥积极作用。最早成立的是伦敦数学会,之后创建的有法国数学会、美国数学会和德国数学会。在接近世纪之末,由各国数学会发起在瑞士苏黎世召开了第一届国际数学家大会,后成为一项定期举行的国际学术活动。

 

十九世纪数学的发展错综复杂,粗略地可以分为四个阶段。

 

 

数论、分析与几何的创新阶段

 

这一阶段从十九世纪初到十九世纪二十年代。

 

1801年,高斯发表《算术研究》,这部象征近代数论起点的巨著,同时也打开了数学新世纪的大门。十九世纪前的数论主要是一些漂亮但却孤立的成果,高斯一方面将这些成果系统化,对问题及方法加以分类,同时开辟了全新的课题及方法。树立了严格证明的典范,认为找出简单漂亮的证明,有助于掌握问题的实质并发现不同问题间的联系(典型的是他给出了二次互反律的七个证明)。

 

高斯的观点代表了十九世纪对数学严密性追求的时代精神,也指出了纯粹数学发展的一条途径。同年,高斯依据少量观测数据,运用误差分析等方法计算出谷神星的轨道,准确地预报了这颗小行星在天空出现的时刻,哄动了科学界。高斯在一生中始终对理论与应用同等重视,他的成就一直鼓舞着最有才华的数学家。他和阿基米德、牛顿一起,被认为是历史上最伟大的数学家。

 

1807年,傅里叶向巴黎科学院提交了一篇关于热传导的文章,在解热传导方程时,提出任意函数可用三角级数表示。这是分析学在十九世纪的首项重要工作,它不仅使分析方法进入新的物理领域,而且扩展了函数概念,推进了偏微分方程理论。对傅里叶级数收敛点的研究,最终导致康托尔创立集合论。由于傅里叶级数在应用中的重要性,研究其收敛性成为分析严格化的动力之一。

 

十九世纪分析严格化的倡导者有高斯、波尔查诺、柯西、阿贝尔和狄利克雷等人。1812年,高斯对一类具体的级数——超几何级数,进行了严密研究,这是历史上第一项重要的有关级数收敛性的工作。1817年,波尔查诺首先抛弃无穷小量概念,用极限观念给出导数和连续性的定义,并得到判别级数收敛的一般准则(现称柯西准则),由于他的工作长期被埋没,因此对当时数学的发展没有产生影响,是数学史上一件憾事。

 

柯西是对分析严格化影响最大的学者,1821年发表了《分析教程》,除独立得到波尔查诺的基本结果,还用极限概念定义了连续函数的定积分,这是建立分析严格理论的第一部重要著作。值得注意的是,柯西的分析理论基本上基于几何直观,按现代标准衡量仍不够严密。阿贝尔一直强调分析中定理的严格证明,在1826年最早使用一致收敛的思想,证明了连续函数的一个一致收敛级数的和在收敛区域内部连续。柯西在建立严格的分析理论的同时,还为十九世纪最重要的数学创造——单复变函数论奠定了基础。1814~1825年间,他得到了计算复函数沿复平面上路径积分的基本定理和留数计算公式。由于柯西的工作,复数和复变函数论在十九世纪20年代为广大数学家所熟悉。1826年,阿贝尔和雅可比创立了椭圆函数理论,成为复变函数论蓬勃发展的生长点。十九世纪最富革命性的创造当属非欧几何。自古希腊时代始,欧氏几何一直被认为是客观物质空间惟一正确的理想模型,是严格推理的典范。16世纪后的数学家在论证代数或分析结果的合理性时,都试图归之为欧氏几何问题。

 

但欧氏几何的平行公设曾引起数学家的持久的关注,以弄清它和其他公理、公设的关系。这个烦扰了数学家千百年的问题,终于被高斯、罗巴切夫斯基和波尔约各自独立解决。高斯在1816年已认识到平行公设不可能在欧氏几何其他公理、公设的基础上证明,得到在逻辑上相容的非欧几何,其中平行公设不成立,但由于担心受人指责而未发表。

 

1825年左右,波尔约和罗巴切夫斯基分别得到同样的结果,并推演了这种新几何中的一些定理。罗巴切夫斯基1829年的文章《论几何基础》是最早发表的非欧几何著作,因此这种几何也称为罗巴切夫斯基几何。这项发现的技术细节是简单的,但观念的变革是深刻的,欧氏几何不再是神圣的,数学家步入了创造新几何的时代。

 

非欧几何对人们认识物质世界的空间形式提供了有力武器,但由于它背叛传统,创立之初未受到数学界的重视。只是当高斯有关非欧几何的通信和笔记在他1855年去世后出版时,才因高斯的名望而引起数学家们的关注。

 

十九世纪前半叶最热门的几何课题是射影几何。1822年,彭赛列发表《论图形的射影性质》,这是他1813~1814年被俘关在俄国时开始研究的总结。他探讨几何图形在任一投影下所有截影所共有的性质,他的方法具有象解析几何那样的普遍性。1827年左右,普吕克等人引进齐次坐标,用代数方法研究射影性质,丰富了射影几何的内容。

 

对纯几何问题兴趣的增长,并未减弱分析在几何中的应用。高斯从1816年起参与大地测量和地图绘制工作,引起他对微分几何的兴趣。1827年他发表的《关于曲面的一般研究》,为这一数学分支注入了全新的思想,开创了微分几何的现代研究。

 

 

代数观念的变革时期

 

代数思想的革命发生在十九世纪30~40年代。

 

1830年,皮科克的《代数学》问世,书中对代数运算的基本法则进行了探索性研究。在这之前,代数的符号运算实际仅是实数与复数运算的翻版。皮科克试图建立一门更一般的代数,它仅是符号及其满足的某些运算法则的科学。他和德·摩根等英国学者围绕这一目标的工作,为代数结构观点的形成及代数公理化研究作了尝试,因而皮科克被誉为“代数中的欧几里得”。皮科克的目标虽然很有价值,但方法过于含糊,无法达到他的愿望。

 

代数中更深刻的思想来自于数学史上传奇式的人物伽罗华。在1829~1832年间,他提出并论证了代数方程可用根式解的普遍判别准则,从概念和方法上为最基本的一种代数结构(群)理论奠定了基础,阐明了群的正规子群及同构等重要概念。

 

伽罗瓦在1832年去世前,几次向巴黎科学院递交他的论文,均未获答复。他的理论在1846年由刘维尔发表之前几乎无人知晓,到十九世纪60年代后才引起重视,这是数学史上新思想历经磨难终放异彩的最典型的例证。

 

另一项引起代数观念深刻变革的成果,归功于哈密顿和格拉斯曼。哈密顿在用“数对”表示复数并探究其运算规则时,试图将复数概念推广到三维空间,未获成功,但却意想不到的创立了四元数理论,时间是1843年。

 

四元数是第一个被构造出的不满足乘法交换律的数学对象。从此,数学家便突破了实数与复数的框架,比较自由地构作各种新的代数系统。四元数理论一经问世便引来数学与物理学家的讨论,它本身虽没有广泛应用,但成为向量代数、向量分析以及线性结合代数理论的先导。1844年,格拉斯曼在讨论 n维几何时,独立得到更一般的具有 n个分量的超复数理论,这一高度独创的成果由于表达晦涩,无法为当时的学者所理解。在这一时期,还诞生了代数不变量理论,这是从数论中的二次型及射影几何中的线性变换引伸出的课题。1841年左右,凯莱受布尔的影响开始研究代数型在线性变换下的不变量。之后,寻找各种特殊型的不变量及不变量的有限基,成为十九世纪下半叶最热门的研究课题,出现了人数众多的德国学派,进而开辟了代数几何的研究领域。

 

数论中的重要问题,往往成为新思想发展的酵母。1844年,库默尔在研究费马大定理时提出了理想数理论,借助理想数可证明在惟一因子分解定理不成立的代数数域中,普通数论中的某些结果仍成立。

 

在这代数学丰产的时期,几何、分析和数论也都有长足的进步。格林在讨论变密度椭球体的引力问题时,考虑了 n维位势;凯莱在分析学中讨论了具有 n个坐标的变量;格拉斯曼则直接从几何上建立高维空间理论。他们从不同角度导出超越直观的 n维空间概念。施陶特确立了不依赖欧氏空间的长度概念的射影几何体系,从逻辑上说明射影几何比欧氏几何更基本。

 

分析的严格化在继续。狄利克雷按变量间对应的说法给出现代意义下的函数定义。魏尔斯特拉斯开始了将分析奠基于算术的工作,从1842年起采用明确的一致收敛概念于分析学,使级数理论更趋完善。

 

值得注意的是,未经严格证明的分析工具仍被广泛使用,在获得新结果方面显示威力。格林首先使用了位势函数的极小化积分存在的原理,即现称的狄利克雷原理,它的严格理论迟至1904年才为希尔伯特阐明,但是在十九世纪50年代就已成为黎曼研究分析学的重要工具。

 

随着分析工具的逐步完善,数学家开始更自觉地在数学其他分支使用它们。除微分几何外,解析数论也应运而生。1837年,狄利克雷在证明算术序列包含无穷多素数时,精心使用了级数理论,这是近代解析数论最早的重要成果。刘维尔则在1844年首次证明了超越数的存在,引起数学家对寻找超越数和证明某些特殊的数为超越数的兴趣。在下半世纪,林德曼利用埃尔米特证明 e为超越数的方法,证明了π的超越性,从而彻底解决了化圆为方问题。

 

 

数学新思想的深化阶段

 

这一阶段从十九世纪五十年代到十九世纪七十年代。

 

1851年,黎曼的博士论文《单复变函数一般理论的基础》第一次明确了单值解析函数的定义,指出了实函数与复函数导数的基本差别,特别是阐述了现称为黎曼面的概念和共形映射定理,开创了多值函数研究的深刻方法,打通了复变函数论深入发展的道路。黎曼本人利用这一思想出色地探讨了阿贝尔积分及其反演阿贝尔函数,1854年,黎曼为获大学讲师资格,提交了两篇论文,其中《关于作为几何学基础的假设》是数学史上影响最深远的作品之一。

 

在十九世纪前半叶,数学家已认识到存在不同于欧氏几何的新几何学,并发展了内蕴几何和高维几何的理论,但它们处于分散与孤立的状态。黎曼以其深刻的洞察力将三者统一于 n维流形的理论,开始了现代微分几何学研究。

 

这是关于任意维空间的内蕴几何,黎曼以二次微分形式定义流形的度量,给出了流形曲率的概念。他还论证了能在球面上实现二维正的常曲率空间。据说黎曼的深刻思想当时只有高斯能理解。经十九世纪60年代贝尔特拉米等人的介绍与推进,黎曼的理论才开始为广大数学家领悟,他们对微分不变量的研究,最后导致里奇创立张量理论。

 

在另一篇论文中,黎曼探讨了将积分概念推广到间断函数上去,提出了现称为黎曼积分的概念。他构造了具有无穷间断点而按他的定义仍可积的函数。寻找这类函数是十九世纪70~80年代很时髦的课题。沿着扩展积分概念的方向,后来的数学家得到各种广义积分,最著名的当属二十世纪初出现的勒贝格积分。

 

1859年,黎曼研究 ζ函数的复零点,提出著名的黎曼猜想。黎曼的思想,在几何、分析、数论领域长盛不衰,有力地影响着十九世纪后期以至二十世纪的数学研究。

 

魏尔斯特拉斯在这一时期继续分析算术化的工作,提出了现代通用的极限定义,即用静态的方法(不等式)刻画变化过程。他构造出处处不可微的连续函数实例,告诫人们必须精细地处理分析学的对象,对实变函数论的兴起起了催化作用。在复变函数论方面,他提出了基于幂级数的解析开拓理论。魏尔斯特拉斯的众多成果出自他任中学教员的时期,到1859年出任柏林大学教师后才广为人知。由于他为分析奠基的出色成就,后被誉为“现代分析之父”。

 

当德国学者在分析与几何领域大放异彩之时,英国学者继续发挥他们在代数中的优势。1854年,布尔发表了《思维规律的研究》,创立了符号逻辑代数,这是使演绎推理形式化的有力工具。布尔强调数学的本质不是探究对象的内容,而是研究其形式,因而数学不必限于讨论数和连续量的问题,可由符号表示的一切事物都可纳入数学领域。

 

1855年,凯莱在研究线性变换的不变量时,系统地提出矩阵概念及其运算法则。矩阵是继四元数之后的又一类不满足乘法交换律的数学对象,它们和群论都是推动抽象代数观点形成发展的重要因素。在凯莱之后,矩阵理论不断完善,不仅成为数学中的锐利武器,还是描述和解决物理问题的有效武器。

 

基于对矩阵和四元数的认识,凯莱还引进了抽象群的概念,但未立刻引起重视,抽象群论的发展还有待于对各种具体的群作深入的研究。

 

十九世纪60年代末,若尔当担起了向数学界阐明伽罗瓦理论的重任,在发表于1870年的《置换论》中,他对置换群理论及其与伽罗瓦方程论的联系作出清晰的总结,为群论在十九世纪最后30年间的发展奠定了基础。

 

在这一时期,数学家对射影几何及非欧几何的认识也日趋深化。1859年,凯莱论证了欧氏空间的度量性质并非图形本身的届性,而可以借助某种特定图形按射影概念加以建立,说明欧氏几何是射影几何的一部分。克莱因发挥凯莱的思想,同样论证非欧几何也可以包括在射影几何之内。这样便彻底澄清了射影几何与那些度量几何的关系,铺平了几何公理化发展的道路。

 

1868年,贝尔特拉米在伪球面上实现了罗巴切夫斯基几何,在欧氏空间中给出直观上难以想象的非欧几何模型。之后克莱因和庞加莱分别给出各自的非欧几何模型,说明非欧几何本身的相容性(即无矛盾性)与欧氏几何一致,加速了人们接受非欧几何的进程。

 

在60年代末70年代初,由高斯在十九世纪初开辟的代数数论研究,经由戴德金和克罗内克等人的推进,形成为内容丰富的现代数学分支。戴德金引进一种代数数类代替库默尔的理想数,重建了代数数域中的惟一因子分解定理,创立了理想论。克罗内克则另辟蹊径,得到相似的概念,并创立有理函数域论,引进在域上添加代数量生成扩域的方法。

 

这里,需要提及概率论中的几项重要成果。在十九世纪,概率论的发展不象数学其他分支那样突出。自拉普拉斯之后,泊松曾得到著名的泊松分布。更重要的是切比雪夫关于独立随机变量序列的大数律和某类独立随机变量序列的中心极限定理,概率论的系统理论到二十世纪才完成。

 

综上所述,可看到十九世纪前半叶出现的新思想,在这20多年间变得更成熟,形成了众多独立的研究方向或分支学科。

 

 

数学公理化运动的初创期

 

这一阶段从十九世纪七十年代初到十九世纪末。数学经过十九世纪前七十年的发展,讨论基础问题的条件已趋成熟。与以前的世纪不同,十九世纪的数学家最终选择算术而不是几何作为本门科学的基础。

 

几何中普吕克有关齐次坐标的研究,分析中魏尔斯特拉斯的静态方法都反映了这种倾向。但是算术中最基本的实数概念始终是模糊的。柯西的实数定义有严重缺陷,犯了循环定义的错误。

 

1872年,魏尔斯特拉斯、康托尔、戴德金和其他一些数学家,在确认有理数存在的前提下,通过不同途径给无理数下了精确定义。又经过不少数学家的努力,最终由意大利学者皮亚诺完成了有理数理论。1881年,他在《算术原理新方法》中,给出了自然数的公理体系,由此可从逻辑上严格定义正整数、负数、分数、无理数。

 

康托尔在探讨实数定义的同时,研究了傅里叶级数收敛点集的结构,1874年起发表一系列有关无穷集合的文章,开创了集合论这一基础性的数学分支。康托尔的成果是高度独创性的,他把无穷集本身作为研究对象,通过一一对应方法,区分无穷集的大小,定义了集合的基数(或称势),引进序型、序数以及一些属于拓扑学的基本概念。他提出了著名的连续统假设。

 

康托尔的工作影响十分深远:首先是重新唤起人们对实无穷的研究,开拓了点集拓扑的领域;第二,使人们把函数的定义域建立在一般的点集之上,推动了测度论和泛函分析的研究;第三,由于集合论的内在矛盾,激发起对数理逻辑和数学基础的深入研究。

 

但集合论问世之初,曾遭到一些著名数学家的激烈反对,以至康托尔晚年处于精神崩溃状态。到十九世纪末,阿达马等证实了康托尔的理论在分析学中的重要应用,才使这一理论得到转机,终于成为二十世纪数学研究的一个基础。

 

分析的严格化以皮亚诺的自然数公理体系的建立而告一段落。这种公理化的倾向也同样在其他数学分支蔓延。弗雷格提出了逻辑公理体系,帕施得到了射影几何的公理体系。最著名的是希尔伯特于1899年在《几何基础》中阐述的欧几里得几何的公理系统。他考虑了公理系统的独立性、相容性和完备性,并证明欧几里得几何的相容性可归结为算术的相容性。

 

希尔伯特的工作掀起了公理化的热潮:一方面,数学家为各数学分支建立公理体系;另一方面,通过略去否定或其他方式改变所论体系的公理来探索新体系、新问题。公理化运动并没有限制新思想的萌生和对各种具体课题的研究,后者始终是数学发展中最活跃的因素。群论的应用在这一时期特别引人瞩目,1872年,克莱因受聘任埃尔朗根大学教授时,发表题为《关于近代几何研究的比较考察》的讲演(即著名的埃尔朗根纲领),他指出每种几何可由特定的变换群来刻画,各种几何的研究内容是在相应的变换群下的不变量,一种几何的子几何则是研究原变换群的子群的不变量。根据变换群的观点,克莱因对几何进行了系统分类,揭示了群的概念在几何中的统一作用(不包括一般的黎曼几何和代数几何)开拓了研究几何的一种有效的方法。克莱因的工作体现了数学专门化趋势中蕴含的统一因素。

 

1874年,挪威数学家李在研究常微分方程与保持这些方程的解不变的变换群之间的关系时,创建了连续变换群理论(现称李群)以及相应的代数(现称李代数)。有了对具体的群的广泛研究,抽象群论获得了新生。1882年,德国数学家迪克受凯莱工作的鼓舞,引进用生成元和生成元之间关系来定义群的抽象观点,开始抽象群论的系统研究。与此相伴的是分析与经典代数方法对群论的应用,即群的表示理论应运而生。

 

组合拓扑学作为一门学科在十九世纪末登上了数学舞台。庞加莱是这一领域的主要奠基者。庞加莱是当时领头的数学家之一,兴趣广泛,研究涉及众多数学分支以至天体力学和物理科学。在探讨描述行星运动的微分方程周期解时,他采用了拓扑观点分析奇点及积分曲线的结构,开创了微分方程定性理论。在研究一般”维图形的结构时,引进了一套系统的组合方法,为组合拓扑奠定了基础。拓扑和抽象代数的观点和方法成为二十世纪最有影响的研究手段。

 

与庞加莱齐名的另一位著名数学家是希尔伯特。他不仅积极创导了公理化方法,而且特别重视数学中单个重大问题的研究,认为这是数学活力之所在。他本人就通过解决一系列具体问题,得到许多重要方法。十九世纪末,他发表了两个报告。《数论报告》系统总结了代数数论的全部成果,开辟了类域论的研究方向。

 

1900年,在第二届国际数学家大会上,希尔伯特作了影响深远的题为《数学问题》的报告,成为迎接二十世纪挑战的宣言。

 

在数学分成几十个分支各自独立发展的形势下,希尔伯特坚信数学科学是一个不可分割的有机整体,它的生命力正是在于各部分之间的联系。在十九世纪末,领头数学家对数学前途充满了信心,与十八世纪末的情景形成鲜明对照。庞加莱和希尔伯特的业绩展示了二十世纪数学大发展的曙光。

 

分类:数学史料