纽约飞香港几个小时:数学之美 - 谢作诗的日志

1. 数学的抽象美、自由美[①]

谈到数学的抽象美、自由美，不能不提及音乐，也不能不提及19世纪德国著名哲学家叔本华的音乐哲学思想。叔本华生于1788年，死于1860年。他有幸耳闻目睹了德国音乐文化两大高峰——古典音乐和19世纪浪漫派音乐——的崛起。当贝多芬创作《第九交响曲》的时候，叔本华正好30岁；德国浪漫派音乐大师舒伯特、韦伯、门德尔松、舒曼等都是叔本华的同时代伟大人物。叔本华的音乐哲学实质就是他对德国音乐文化这两大高峰的反思和界说。他的基本见解是：音乐是旋律，它的歌词是整个世界；或者说，德国音乐的外壳是优美加壮美的旋律，它的丰富深刻的内容则以整个世界为念。音乐不是表现这个或那个个别的、具体的、一定的欢乐，这个或那个个别的、具体的、一定的抑郁、痛苦和心灵灵静，而是表现欢乐、抑郁、痛苦和心灵灵静本身。这种表现是抽象的、普遍的表现。音乐（旋律）语言是普遍程度最高的语言。另一方面，音乐语言又是最具体、最丰富的一种语言。因为音乐是表现事物最内在的核心，是表现自在之物的，当它回到现实世界，同每个人的心灵律动相遇，就会显示出最大的内涵和容量，因而最丰富，最具体，也最能震撼人心。这正是西方古典音乐中“无标题音乐”具有巨大魅力的秘密所在。康德也说过：无标题音乐是充满自由美的东西。

数学也是充满抽象美、自由美的东西。大数学家克兰纳克曾说过：“上帝创造了自然数，其余的一切皆是人的劳作。”当然，上帝是没有的，与其说“上帝创造了自然数”，不如说“人类智能创造了自然数”。睁开你的眼睛去看世界，你只能看到三片秋叶、三头黄牛和三颗星星……你绝对看不到数“3”，数“3”是人类性灵从现实世界所有包含三个东西的集合中抽象出来的产物，它同对象的特有性质无关。当天高气肃，月照当空，目际无垠之时，你仔细想想“3”这个抽象的东西，你定会赞叹人类智能的伟大创造，惊异数学的抽象美。“2+3=5”，它最抽象，最普遍，但同时又最丰富，最具体。两头猪+三头猪=五头猪，两颗星星+三颗星星=五颗星星，两个原子+三个原子=五个原子……

历史上不少著名人物都迷恋音乐，大数学家克兰纳克就是一例。一位数学王子何以如此迷恋音乐？原因也许是多方面的，依我看，最重要的一点就是数学和音乐均为一种抽象语言，它们都充满了抽象美、自由美。而且，数学和音乐还是两个人造的金碧辉煌的世界，前者仅用十个阿拉伯数字和若干符号便造出了一个无限的、绝对真的世界，后者仅用五条线和一些蝌蚪状的音符就造出了一个无限的、绝对美的世界。如果说，音乐是人类感情活动最优美的表现，那么数学便是人类理性活动最惊人的产品。

诗人们在吟诵：“大漠孤烟直，长河落日圆。”数学家们的心中也有：

但谁的烟有数学家心中的“烟”直呢？谁的圆有数学家心中的“圆”圆呢？

2. 数学的公理美

想起曾经读过的一则故事，说牛顿告诉人们，只要给他一个恰当的支点，他就能撬动地球。那么，在理论体系的建立中，这个支点又是什么呢？这个支点就是不定义概念加公理，也只能是不定义概念加公理。试想，你要说明甲概念，就需要借助乙概念，要说明乙概念，又需要借助丙概念……如此等等，总有一个概念是不能用别的概念来说明的；相反，它是用来说明别的概念的逻辑基础。这个概念就是不定义概念。数学中的“集合”、经济学中的“偏好”就是这样的概念。“点”、“线”、“面”也是这样的概念。谁能说清“点”是什么？啊，“点”，没有大小，无限可分。但究竟“点”是什么呢？还是没有说清楚。欧几里德本人说：“面”就是当没有一丝风的时候，池塘中水面的无限延伸。我们明白“面”是什么了吗？似乎明白些什么，但又并不十分清楚。

对于理论体系的建立，仅有不定义概念是不够的，我们还要有一些基本的命题。同样的道理，这些基本命题是不可以证明的；相反，它们是用来证明别的命题的逻辑基础。这些基本命题就是公理。“两点决定一条直线”、“不在同一直线上的三点决定一个平面”、“在平面上，过直线外一点能且只能引一条直线与这直线平行”、等等，这些就是欧几里德几何的公理。“人是理性的，所谓理性就是追求约束条件下的最大化”、“消费者的偏好满足完备性、自反性和传递性”、“消费者的偏好具有连续性、单调性和凸性”、等等，这些就是微观经济学消费者理论的公理。

实际上，从根本上来讲一切科学的理论都是公理体系。欧氏几何是这样，消费者理论是这样，相对论也是这样……一切科学的理论也只能是公理体系。

在西方哲学文献中，探寻无法观察、不可实证对象的那部分哲学即“形而上学”。“自在之物”便属于“形而上学”范畴。自然科学所取得的一些最伟大的成就正是源于坚持消除“形而上学”。现代科学方法的要义就是放弃对“自在之物”的领悟和对世界最终本质的阐明。这对于质朴的热诚者来说，可能会带来心理上的痛苦，但事实上这转变却是近代思想史上最有成效的一种转变。

世世代代的人们都试图回答世界是什么这样一些本原问题，但不可能找到答案。找来找去，只能去找上帝。到了近代，西方人不再问世界是什么这样一些“形而上学”的问题，转而去研究摩擦生热、石头抛向空中某个瞬间的速度这样一些具体的问题。然而，恰恰是对于这些具体问题的研究导致了近现代西方的文明。数学中这类情况更为突出。世世代代的数学家一直把他们的研究对象看成是“自在之物”。直到19世纪，数学家们才开始懂得，追问“数”是什么，“点”是什么并不属于数学讨论的范围，而是一种没有实际意义的“形而上学”问题。故必须抛弃。数学家所能做的工作只是说明“不加定义的对象之间的相互关系以及它们所遵循的运算法则”。

人类最光辉的思想之一就是公理思想。这一思想在欧几里德几何里得到了最完美的表现。“点”、“线”、“面”几个不定义概念外加几条公理，瑰丽壮观的欧几里德大厦建立起来了。罗巴切夫斯基只将平行公理“在平面上，过直线外一点能且只能引一条直线与这直线平行”改为“过直线外一点可以引两条直线与这直线平行”，瑰丽壮观的非欧大厦也建立起来了。在欧几里德大厦里，我们看到“三角形三内角之和等于180度”。在罗巴切夫斯基的非欧大厦里，我们看到“三角形三内角之和大于180度”。走出两个大厦，世界之大，竟都正确。它们都反映了现实空间的相对真理。

是的，世界之大，不是一个或几个公理体系所能刻画和反映得了。幸好，公理体系的要害不在于公理假设本身是否正确（与现实相符），而在于它们之间是否满足相容性、独立性和完备性；也不在于这个体系的逻辑结论是否正确（与现实相符），而在于从公理假设到逻辑结论的推导是否严谨可信。当然，人们不会凭空建立公理体系，并且，当公理体系的逻辑结论被检验为不正确（与现实不相符）的时候，人们就会修改这个理论体系的公理假设，或者抛弃这个理论体系。但这并不否定人们可以用错误（与现实不相符）的公理假设构造出“完美”的公理体系。尽管由错误（与现实不相符）的公理假设所构造出的公理体系的逻辑结论是错误（与现实不相符）的，但这个公理体系仍然是“完美”的。

公理体系的一个意外的好处就是当其逻辑结果被检验为不正确的时候，人们知道错在哪里，知道从哪里着手进行修正。而且，只有一个结果是公理体系的逻辑结果时，不同结果之间才具有可比的基础，不同公理体系的结果之间也才具有可比的基础。这是非常重要的，因为我们知道经验证明是有局限的，仅仅根据经验证明进行比较是不够的。这恐怕是经济模型在现代经济学中大为流行的缘故吧。一个经济模型其实就是一个子公理体系。

世间的事情就是这么有趣，所有的东西最终要靠建立在无法说清、不能证明的不定义概念和公理假设基础上的公理体系来得到说明，而最以结论的精确性和确定性而著称的数学，它的基础竟是一些说不清的、朦胧的东西！

3. 数学的辩证美

我们来计算由抛物线 ， 轴以及直线 所围成的面积。如图，让我们用下列各点                                                                               

   0， ， ，…，  

                                                                          y                   y=x2

把x轴的[0，1]分成n个相等的小段，并在每一个

小段上作左上角碰到抛物线的矩形。我们得到图中

带阴影的一连串矩形，记其面积的总和为Sn，                          

                                                                          O  1/n 2/n 3/n  (n-1)/n 1   x

Sn=

= = 。

让我们把Sn写成下面的样子

Sn= = 。

随n而定的 ，虽然形式颇繁，却具有一种值得注意的性质：若n无限地增大，它将趋于零。进而，Sn就随之趋于 。

从图中我们看到：若n无限地增大，则带阴影的矩形的面积的总和Sn将趋于所求曲边梯形的面积。由此可知所求曲边梯形的面积等于 ，我们的问题便告解决了。

这一方法（极限方法）的观念是简单的，并可归结如下：为了要确定某一个数量，我们最先加以确定的，不是这个数量本身，而是它的某些近似值。这时，我们所建立的也不仅是一个近似值，而是一连串愈来愈准确的近似值。然后，从通过对这一连串近似值的考察，也就是说，通过对近似过程本身的考察，就把那数量的准确值唯一地确定下来了。

稳定不变的事物总是或总可视为运动变化的结果，这便是极限法的思想基础。

再来看分部积分法。分部积分法的公式如

，

或

。

公式的实质是将积分 转化成积分 。自然，我们期望 能比u简单，v能比 简单。但实际题目中并没有告诉我们谁是u，谁是v。不妨做简单考虑，只需 比u简单。我们来确定u。自然，v也就随之而确定了。

计算积分 。

u            

x              1

选 ，则 ， 比u简单；选 ，则 ， 比u简单。很简单，从x到1和从 到 ，后者从繁到简的“步伐”迈得更大。“两优择其重，两劣择其轻”，我们选 ，于是

= =

 =

 = 。

掌握了“两优择其重，两劣择其轻”这一辩证的比较思想，我们就掌握了解这类题目的钥匙。其实，全部数学无处不在贯彻“两优择其重，两劣择其轻”这一原则。

数学无处不体现着辩证法，数学家们无时不在用辩证的眼光看问题。陈省身教授80年代在北大讲学时说：“人们常说，三角形内角和等于 ，但是，这是不对的！”……“说三角形内角和为 不对，不是说这个事实不对，而是说这种看问题的方法不对。应该说三角形外角和是 ！把眼光盯住内角，只能看到：

三角形内角和是 ；

四边形内角和是 ；

五边形内角和是 ；

……

n边形内角和是 。

虽然找到了一个计算内角和的公式，但公式里包含边数n。如果看外角呢？

三角形外角和是 ；

四边形外角和是 ；

五边形外角和是 ；

……

n边形外角和是 。

这就把多种情况用一个十分简单的结论概括起来了，用一个与n无关的常数代替了与n有关的公式，找到了更一般的规律。”

数学是什么？一般认为，数学是研究数与形的科学。其实，数学又何尝不是美学，不是方法论？

[①] 本节主要地吸取了赵鑫珊的论述。