偶看新闻南方商城美食团购:科学之王——数学
来源：百度文库 编辑：偶看新闻 时间：2024/04/27 13:44:30
科学之王——数学
古印度数学的传说
数学是最集中、最深刻、最典型地反映了人类理性和逻辑思维所能达到的高度，所以，11世纪大数学家、物理学家和天文学家高斯说：“数学是科学之王。”
话说在印度舍罕王时代，舍罕王发出命令：谁能发明一件让人娱乐，又要在娱乐中使人增长知识，使人头脑变得更加聪明的东西，本王就让他终身为官，并且皇宫中的贵重物品任其挑选。
于是乎，全国上下能工巧匠纷纷而动，发明创造的一件又一件东西被送到舍罕王的面前，但是没有一件让他满意。
这是一个风和日丽的早晨，舍罕王闲着无聊，便和众爱卿准备到格拉察湖去钓鱼。舍罕王忽然发现宰相西萨·班·达依尔没有同来，便问道：“宰相干什么去了？”
“宰相因宫中有一件事未处理好，正在那里琢磨呢。”一个大臣答道。
舍罕王没有追问下去，便拿起鱼竿钓起鱼来，众爱卿均忙乎着，于是，一枝枝长竿便同指湖心。
这时，小湖起着微微的涟漪，湖面在阳光照射下，闪烁出金刚钻、绿宝石般的光芒，耀得人直眨眼。垂柳的枝条沐浴在湖水之中，湖岸边长满了菖蒲。
不一会儿，薄云遮住了太阳，太阳仿佛骤然扭过脸去，不理睬小湖，于是湖泊、村庄和树林全都在刹那间黯淡下来；浮云一过，湖水便又闪闪发光，庄稼简直像镀上一层黄金。
舍罕王贪婪地吸着这乡野的新鲜空气，眼前的美景使他目不暇接，连鱼竿都横躺在湖面上了。正在这时，有人来报：宰相达依尔飞马来到。
达依尔匆匆下马，来到舍罕王的面前，禀道：“陛下，为臣在家中琢磨了许多天，终于发明了象棋，不知大王满意否？”
舍罕王一听此言，连忙说道：“什么象棋，赶快拿来看看。”
原来这位宰相有着超人的智慧和聪明的头脑，尤其喜爱发明创造以及严密的数学推理。他发明的象棋是国际象棋，整个棋盘是由64个小方格组成的正方形。
国际象棋共32个棋子，每方各16个，它包括王一枚、王后一枚、仕两枚、马两枚、车两枚、卒八枚。双方的棋子在格内移动，以消灭对方的王为胜。
舍罕王看到此物后，喜不胜收，连忙招呼其他大臣与他对弈，一时间，马腾蹄、卒拱动，车急驰，不一会，舍罕王大胜。
舍罕王于是打算重赏自己的宰相，便说道：“官不能再封了，你已做到顶了，如再要封，恐怕只有我让位了。现在重赏你财物，你要些什么？”
宰相“扑通”跪在国王面前说：“陛下，为臣别无他求，只请您在这张棋盘的第一个小格内，赏给我一粒麦子，在第二个小格内给二粒，第三格内给四粒，第四格内给八粒。总之，每一格内都比前一格加一倍。陛下啊，把这样摆满棋盘上所有64格的麦粒，都赏给我，我就心满意足了。”
看来，这位聪明的宰相胃口并不大，于是国王说道：“爱卿，你所求的并不多啊，你当然会如愿以偿的。”
国王心里为自己对这样一件奇妙的发明，所许下的慷慨赏诺不致破费太多而暗喜。便令人把一袋麦子拿到宝座前。
计数麦粒的工作开始。第一格放一粒，第二格两粒……，还不到第20格，袋子已经空了。一袋又一袋的麦子被扛到国王面前。
但是，麦粒数一格接一格地增长得那样迅速，开始是人扛，后来是马车拉，再后来，干脆一个粮库也填不满一个小格。很快就可以看出，即便拿来全印度的粮食，国王也兑现不了他对宰相许下的诺言了。
这到底是怎么回事，让我们来算一算这位宰相到底要多少麦粒：
1+2+22+23+24+……+262+263
上面这个算式就是宰相所需要的麦粒，让我们用现代的数学方法算出其结果，即：
这个数字不像宇宙间的原子总数那样大，不过也已经够可观的。1蒲式尔（约35.2升）小麦约有500万颗，照这个数，那就得给宰相拿来四万亿蒲式尔才行。
这位宰相所要求的，竟是全世界在2000年内所生产的全部小麦！
这样一来，舍罕王觉得自己金言一出，又不能兑现，怎么办？一大臣献计，找个原因杀他的头。宰相西萨·班·达依尔的头就这样被献上数学的祭坛。
上面这个故事可能是前人所编，只是传说。但它说明一个问题，就是说古印度在数学科学方面，已有相当大的成就。
中国古代的数学
中国古代从“结绳记事”时起，就有了初步的数学。古代甲骨文、金文中就有了记数的符号。如有“1”、“11”、“+”等记数法，这些记号可从出土的彩陶上得到证实。
中国古代的进位制主要是十进位。无论是进位制还是长度都与古人的生理结构直接有关，如人的手指、脚趾都是十个等。
中国古代对“几何学”的认识也非常早，如他们使用的石器、骨器、陶器以及住宅、坟墓等，都具有一定的几何形状。
中国古代原始社会晚期对数和形的初步认识，以及他们制做各种形状并有一定比例的用具时，就出现了初等数学的萌芽。
到了夏、商、周时期，我国的记数方式以十进位的方式从一记到万。如用一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、百、千、万等的组合来记十万以内的自然数。
在这一时期，商代的数学系统比古巴比伦、古埃及同时代更先进、更科学。
大约在西周时期，出现了一种十分重要的计算方法——筹算。筹算是用算筹来进行的。算筹是圆形竹棍，直径约0.2厘米，长约14厘米，以271根为一“握”。
在这一时期，还出现了简单的四则运算，这在数学史上，应该说是一件非常了不起的事情，是一个创举。
而春秋战国时期数学的进步主要表现在四则运算的完善和计算工具的进步方面。如在出土的战国楚墓里，有一个竹筒，内装毛笔、铜削、天平、砝码、算筹等。
总之，当时在数学上既有工具，又有符号，还有部分口诀，如把这些成就和其他地区比较，可以明显看出是处于先进地位。
到了秦汉时期，我国的数学科学有了重大进步，这表现在许多数学专著的出现。这一时期，有我国最早的天文数学专著《周髀算经》、《九章算术》等。
在《周髀算经》中，有一段被尊为古代圣人的周公同一个名叫商高的数学家的对话，在对话中就提到了勾股弦定理，也即毕达哥拉斯定理。
这个定理，就是“直角三角形斜边平方等于两个直角边平方之和”，这个定理在中国也被称作是“商高定理”。
下面简要介绍商高定理部分，周公和商高的部分对话：
周公：“我听说你很精通数的艺术。可否请您谈谈古人是怎样测定天球度数的？没有一种梯子可以使人攀登上天，地也无法用尺来测量。这些数据从何而来？”
商高：“数的艺术从圆形和方形开始，圆形出自方形，而方形又出自矩形，矩形出自9×9=81这个事实。
“假如把矩形的对角线切开，让宽等于3个单位长，长等于4个单位，那么对角线的长度就是5个单位。古代大禹用来治理天下的方形，就是从这些数字中发展出来的。”
周公感叹地说：“数学这门艺术真是了不起啊！我想再请教怎样应用直角三角尺？”
商高：“使直角三角尺平卧在地上，可以用绳子设计出平直的和方形的工程。把直角三角尺竖立起来，可以测量高度。倒立的直角三角尺可以用来测量深浅，而平放着就可以测量距离。让它旋转，就可以画圆；把几个合起来，就可以得到正方形和长方形。”
周公：“这真是太奇妙了！”
《周髀算经》的伟大不仅仅在于对数学知识的阐述，更重要的是在占星术和卜筮占支配地位时，他们在讨论天地现象时，却丝毫不带有迷信色彩！
这部数学专著还谈到日影、不同纬度上日影的长度差、用窥管测量太阳直径等等，还列出了一年中各个节气的日影长度表。
《九章算术》
和《周髀算经》几乎同时，还有一部数学专著，科学史上称它为《九章算术》，这是我国第一部最重要的数学专著。
《九章算术》大约成书于东汉初年，书中载有246个应用题目的解法，涉及到算术、初等代数、初等几何等多方面内容。
其中所载述的分数四则运算、比例算法、用勾股定理解决一些测量中的问题等，都是当时世界最高科学水平的工作。而关于负数的概念和正负数加减法则的记载，也是世界数学科学史中最早的。
书中还讲述了开平方、开立方、一元二次方程的数值解法、联立一次方程解法等许多问题。《九章算术》在我国古代数学史上有很大影响，在世界数学史上也占有重要地位。
《九章算术》大致可分为9个方面内容：
（1）土地测量。书中列有直角三角形、梯形、三角形、圆、弧与环形等，并给出计算这些形状面积的方法。
（2）百分法和比例，根据比例关系来求问题答案。
（3）算术级数和几何级数。
（4）处理当图形面积及一边长度已知时，求其他边长的问题。还有求平方根、立方根等问题。
（5）立体图形体积的测量和计算，实际计算的有墙、城墙、堤防、水道和河流等。
（6）解决征收税收中的数学问题。像人们从产地运送谷物到京城交税所需的时间等有关问题，还有按人口征税的问题。
（7）过剩与不足的问题。也就是解决ax+b=0的问题。
（8）解方程和不定方程。
（9）直角三角形的性质。
在“直角三角形的性质”这一章中，有这样一个问题：
一个水池，长宽各一丈，有棵芦苇生在池中央，芦苇出水面一尺高，让芦苇倒向池边，正好芦苇尖与池边平齐。问水有多深？
这个问题后来又见于印度的数学著作中，又传到了中世纪的欧洲。解决此问题只有利用相似直角三角形来完成。
《九章算术》对中国古代数学发生的影响，正像古希腊欧几里得《几何原本》对西方数学所产生的影响一样，是非常深刻的。
在此后的一千多年的时间里，它一直被直接作为教科书使用。日本、朝鲜也都曾用它作教科书。各代学者都十分重视对这部算书的研究，在欧洲和阿拉伯的早期数学著作中，过剩与不足问题的算法，就被称为“中国算法”，可见其独创性。
我国古代杰出的数学家
到了三国两晋南北朝时代，我国的数学科学已闪烁着耀眼的光芒，出现了历史上杰出的数学家刘徽和祖冲之。这两个不朽的人物为我国数学奠定了牢固的基础。
先说刘徽，他是三国时代魏国人。关于他的身世和生平事迹，由于资料有限，我们了解得很少。他的活动区域大致在山东半岛和江苏北部一带。
刘徽自幼熟读《九章算术》，在魏陈留王景元四年（263）前后，为我国古代数学经典著作《九章算术》作注，做了许多创造性的数学理论工作，对我国古代数学体系的形成和发展影响很大，在数学史上占有突出的地位。
《九章算术》体现了中国古代自先秦到东汉以来的数学成就。但当时没有发明印书的方法，这样好的书也只能靠笔来抄写。
在辗转传抄的过程中，难免会出现很多的错误，加上原书中是以问题集的形式编成，文字过于简单，对解法的理论也没有科学的说明。这种状况明显地妨碍了数学科学的进一步发展。
刘徽为《九章算术》作注，在很大程度上弥补了这个重大的缺陷。在《九章算术注》中，他精辟地阐明了各种解题方法的道理，提出了简要的证明，指出个别解法的错误。
尤其可贵的是，他还做了许多创造性的工作，提出了不少远远超过原著的新理论。可以说，刘徽的数学理论工作为建立具有独特风格的我国古代数学科学的理论体系，打下了坚实的基础。
刘徽在《九章算术注》中，最主要的贡献是创立了“割圆术”，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法，开创了圆周率研究的新阶段。
圆周率即圆的周长和直径的比率，它是数学上的一个重要的数据，因此，推算出它的准确数值，在理论上和实践上都有重要的意义和贡献。
在世界数学史上，许多国家的数学家都曾经把圆周率作为重要研究课题，为求出它的精确数值作了很大努力。在某种意义上说，一个国家历史上圆周率精确数值的准确程度，可以衡量这个国家数学的发展情况。
《九章算术》原著中，沿用自古以来的数据，即所谓“径一周三”取π=3，这是很不精确的。到了后来，三国时期的王蕃（230～266）采用了3.1566，这虽然比“径一周三”有了进步，但仍不够精密，而且也没有理论根据。
怎样才能算出比较精密的圆周率呢？刘徽苦苦地思索着。
一天，刘徽信步走出门去，去大自然呼吸新鲜的空气。在他的眼前，群山绵绵不断地伸展开去，好像数学哲理似的奥妙莫测。
刘徽的思路仿佛进人群山的巍峨中，鉴证着大自然的不可思议的创造。刘徽抬眼望去，远处一个高耸入云的顶峰上，有一座小小的庙宇，他猜测着，数学的殿堂是不是也和这庙宇一样，风光而又曲折。
一阵叮叮当当的响声引起了刘徽的注意，他朝着响声走去，原来这是座石料加工场。这里的石匠师傅们正把方形的石头打凿成圆柱形的柱子。
刘徽颇感有趣，蹲在石匠师傅的身边认真地观看着。只见一块方石，经石匠师傅砍去四角，就变成一块八角形的石头，再去掉八角又变成十六角形，这样一凿一斧的干下去，一方形石料加工成光滑的圆柱了。
刘徽恍然大悟，马上跑回家去，认真地在地上比划着，原来方和圆是可以互相转化的。
他把一个圆周分成相等的6段，连接这些分点组成圆内正六边形，再将每一分弧二等分，又可得到圆内接正12边形，如此无穷尽地分割下去，就可得到一个与圆完全相合的正“多边形”。
刘徽由此指出：圆内接正多边形的面积小于圆面积，但“割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣。”
这段话包含有初步的极限思想，思路非常明晰，为我国古代的圆周率计算确立了理论基础。
综合上面的论述，刘徽实际上建立了下面的不等式：
S2n＜S＜S2n+（S2n-Sn）
这里S是圆面积，S2n、Sn是圆内接正多边形的面积，n是边数。
刘徽使用了这个方法，从圆内接正6边形算起，边数依次加倍，直到正
他还继续计算，直到求出了正3072边形的面积，进一步得到π的近似值
3.14和3.1416这两个数据的准确程度比较高，在当时世界上是很先进的数据。
刘徽还明确地概括了正负数的加减法则，提出了多元一次方程组的计算程序，论证了求最大公约数的原理，对最小公倍数的算法也有一定的研究。
这些都是富有创造性的成果，因此可以说，刘徽通过注解《九章算术》，丰富和完善了中国古代的数学科学体系，为后世的数学发展奠立了基础。
刘徽撰写的《重差》，原是《九章算术注》的第十卷，后来单独刊行，被称作《海岛算经》。这是一部说明各种高度或距离的测量和计算方法的著作。就是关于几何测量方面的著作。
有一次，刘徽和朋友们到海边去散步，刘徽抬眼望去，那是一片伟丽而宁静的、碧蓝无边的海。它在眼光所及的远处，与淡蓝色的云天相连。
微风爱怜地抚摸着海的绸缎似的胸膛，太阳用自己的热烈的光线温暖着它。而海，在这些爱抚的温柔力量之下睡梦似的喘息着，使沸热的空气充满了蒸发的盐味。
淡绿的波浪跑到黄沙上来，抛掷着雪白的泡沫，吻着刘徽及朋友们的脚，刘徽心旷神怡，索性坐在沙滩上，让那微咸的海水润湿着裤脚。
这时，一个朋友指着茫茫大海中耸立着的一座孤岛问道：“谁知道小岛有多高？多远？”另一朋友想了想：“只要准备一只小船和足够的绳子，我就能量出小岛的距离和高度。”
众人哄地笑了起来，这得需要多少绳子，即使给你绳子，你也量不出小岛的距离和高度。因为绳子有伸缩性，而小岛有斜坡。再说，这办法也太笨了。
这时，刘徽在一旁沉默不语，有人请他发表意见。刘徽说：“我根本不需要到小岛去，只需两根竹竿，即可量出它的高和远。”
朋友们睁大双眼愣愣的望着刘徽，刘徽见朋友不相信他，便在水滩上画出图来。
然后解释道：“在岸边垂直竖立两根一样长的杆子GH和EF，使它们与小岛AB位于同一方向上，然后分别在与两杆顶E、G与岛尖A成一直线的地面C和D点作记号，便可以了。
这样一来CF、DH、HF、EF的长度我们都可量出来，现在来算出岛的距离BF和岛的高度AB，刘徽算出的结果是：
具体怎样计算，我们就不再一一赘述了，读者诸君如有兴趣的话，不妨一试，来证明刘徽的公式。
刘徽在《九章算术注》的自序中说：“事类相类，各有攸归。故枝条虽分，而同本干者，知发其一端而已。”
刘徽的研究方法和研究成果对我国古代数学的发展产生了非常深刻的影响，为我国数学科学史增添了光辉的一页。
近年来，国内外出版了许多种关于研究的专集和专著，他的《九章算术注》和《海岛算经》被翻译成许多国家的文字，向世界显示了中华民族灿烂的古代文明。
刘徽之后的200年，我国南北朝时期又出现了一位大科学家祖冲之。他认为刘徽采用割圆术只算到正3072边形就停止了，得出的结果还是不够准确。
如果能在刘徽3072边形的基础上割之又割，作出6144、12288……边形，不就可以求出更精确的圆周率吗？
祖冲之不满足于前人的成就，决定攀登新的高峰。他通过长期刻苦钻研，在儿子祖暅的协助下，反复测算，终于求得了精确度更高的圆周率。
《隋书·律历志》记载了他的成就：
“宋末，南徐州从事史祖冲之更开密法，以圆径一亿为一丈，圆周盈数3丈1尺4寸1分5厘9毫2秒7忽
（3.1415927丈），朒数3丈1尺4寸1分5厘9毫2秒6忽
（3.1515926丈），正数在盈朒之间。密律：圆径113，圆周355。约律：圆径7，周23。”
从上述文字记载来看，祖冲之对圆周率贡献有3点：
1.计算出圆周率在3.1415926到3.1415927之间，即3.1415926＜π＜3.1415927，在世界数学史上第一次把圆周率推算准确到小数点后7位。
这在国外直到1000年后，15世纪阿拉伯数学家阿尔·卡西计算到小数16位，才打破祖冲之的纪录。
2.祖冲之明确地指出了圆周率的上限和下限，用两个高准确度的固定数作界限，精确地说明了圆周率的大小范围，实际上已确定了误差范围，这是前所未有的。
3.祖冲之提出约率20/7和密率355/113。这一密率值是世界上第一次提出，所以有人主张叫它“祖率”。在欧洲，德国人奥托和荷兰人安托尼兹得到这一结果，已是16世纪了。
祖冲之是怎样得出这一结果的呢？他应该是从圆内接正6边形、12边形、24边形……一直计算到12288边形和24576边形，依次求出它们的边长和面积。
这需要对有9位有效数字的大数进行加减乘除和开方运算，共一百多步，其中近50次的乘方和开方，有效数字达17位之多。
当时，数字运算还没有用纸、笔和数码，而是用落后的筹算法。通过纵横相间的小竹棍来演算，可见祖冲之付出多么艰巨的劳动，需要具备多么严肃认真的精神。
祖冲之和他的儿子祖暅还用巧妙的方法解决了球体积的计算问题。在他们之前，《九章算术》中已经正确地解决了圆面积和圆柱体体积的计算问题。
但是在这本书中，关于球体积的计算公式却是错误的。刘徽虽然在《九章算术注》中指出了这个错误，但是也未能求出球体积的计算公式。
200年后，祖冲之父子继续刘徽的工作，在我国数学史上第一次导出了正确的球体积公式。值得注意的是，祖暅在推算求证的过程中，得出了“等高处的横截面积相等，那么二个立体的体积必然相等”的结论。
这个问题在1000年后才由意大利数学家卡瓦列利提出，被人称为“卡瓦列利定理”，其实我们完全有权利称它为“祖暅定理”。
祖冲之父子的研究成果汇集在一部名叫《缀术》的著作中，被定为“十部算经”之一。可惜的是，到了宋朝以后，这部伟大的著作就失传了。
祖冲之的科学成就，在我国以至世界科学技术发展史上，将永远放射光芒。为了纪念这位伟大的科学家，国际上把月球背面的一个山谷，命名为“祖冲之”，可见人们对祖冲之的敬仰。
李淳风与数学
到了隋唐五代时期，数学科学有了较大的发展，在这一时期，国家创办的学校中设置了数学教育，在科举中有“明算科”。
在数学教育时，学生主要学习十部算经：《九章算术》、《海岛》、《孙子》、《五曹》、《张邱建》、《夏侯阳》、《周髀算经》、《五经算》、《缀术》、《缉古算经》等。
其中《缉古算经》是唐代著名数学家王孝通的专著，其他算经均是前人所著。在《缉古算经》中，王孝通已经提出解三次（高次）方程的问题。
在数学科学上有特出贡献的要算是唐高宗时代的李淳风。他的贡献倒不是在数学上有多大才能，而是注释和校核了《算经十书》。
唐朝初年，统治者为了培养能够胜任计算工作的低级官员，决定开设专门考试数学的“明算科”。并在国子监中设置算学馆，招收“算学生”学习数学。
一开始，考试和学习都没有统一教材，于是李淳风奉命与梁述等人一起编辑整理一套规范的数学教材，它们就是我们上面介绍的十部算经。
这是一项十分艰巨的工作，因为这些书不是成于一时一世，古代又没有发明印刷术，全凭人手来抄，工程巨大。
另外，由于时代的局限性，古人的著作中也难免会有一些错误，如果完全照搬下来岂不是误人子弟？
因此，李淳风在这项工作中，不但对各种抄本进行了认真的核对，而且还校正了若干错误，为当时的“算学生”和后人的学习带来了极大的便利。
更重要的是，他把自己对某个数学问题的见解与其他后学者的科学成就以注解的形式附于有关正文之后，为中华民族的文化宝库保存了不少瑰丽的珠宝。
其中最有代表性的要算祖暅推导球体积公式的记载，原来祖暅的成就和祖冲之一起被记载在《缀术》中，但后来《缀术》失传，只能从李淳风的注释中得知。
纵观中国古代数学，自《九章算术》成书后出现了两个高潮期：一是我们前面说过的魏晋南北朝，一是我们马上就要谈到的宋朝和元朝。
在第一个高潮期，以“算经十书”为代表的中国古代数学体系已经形成；第二个高潮期将要出现一系列具有世界意义的成果。李淳风正是处于这两个高潮期之间的一个最为关键的人物。
设想一下，如果没有唐初李淳风校注的“算经十书”，可能也不会有北宋年间的大量的刊刻算书和数学知识的普及，那么宋元时代的数学发展也许会推迟。
因此，李淳风在中国数学史上占有不容忽视的地位。
另外，隋唐五代时的应用数学发展较快，在历法和天体的计算中，徐昂于公元822年创立了二次内插法，并把数学用于税收、工商业活动的大量的实际计算中。
秦九韶的高次方程
公元1819年7月1日，英国人霍纳在皇家学会宣读了一篇数学论文，提出了一种解任意高次方程的巧妙方法，一时引起了英国数学界的轰动。
由于这一方法有其独到之处，而且对数学科学有很大的推进作用，因而这一方法被命名为“霍纳方法”。
但是没过多久，意大利数学界就提出了异议，因为他们发现自己的同胞鲁菲尼已在15年前就得到了同样的方法，只是没有及时地报道罢了。
因此，意大利数学界要求将这一数学方法命名为“鲁菲尼方法”。于是英、意双方开始了喋喋不休的争论。
正巧，有个阿拉伯人前往欧洲，听到了双方的争论后，不置可否地大笑起来。争论双方问他，为何这般嘲笑。
这位阿拉伯人从背包中掏出一本书，递与争论双方，说道：“你们都不要争了，依我看来，这个方法应该称作‘秦九韶方法’”。
他们这才知道，早在570多年前，有个叫秦九韶的中国人就发明了这种方法。双方觉得他们的这场争论已显得毫无意义了。
秦九韶，生于1202年，南宋普州安岳（今四川安岳）人。他自幼随做官的父亲周游过许多地方。20岁的时候，秦九韶随父亲来到南宋的都城——临安（今杭州）。
秦九韶被父亲送到掌管天文历法的大史院学习。在这里，他了解了制定历法的一些基本算法和理论依据，这对于他后来写作著名的《数书九章》大有益处。
后来他回到四川老家，在一个县城里当县尉，这时，北方的元兵大举进犯，战乱频繁。他在这种动乱的环境中度过他的壮年。后来他在《数书九章》中写了“天时”和“军旅”等问题，想必与这段生活有关。
过了几年，秦九韶的母亲去世了，他按照封建社会的传统，回家为母亲守孝三年。正是在这段时间里，秦九韶完成了他的辉煌的数学著作——《数书九章》。
《数书九章》共分九大类，每类各有九题，全书共有81道数学题目，内容包括天时、军旅、赋役、钱谷、市易等类问题。
在这81道题目中，有的题目比较复杂，但题后大多附有算式和解法。正是在这些解法中包含着许多杰出的数学创造，高次方程的解法就是其中最重要的一项。
高次方程就是未知数的最高次幂在3次以上的。对于一元二次方程，我们可以用求根公式来解，三、四次的求根公式很复杂，至于五次以上的方程，那就没有求根公式。
那么用什么办法来解决呢？秦九韶创造的这种解法是一种近似的解法，但是它能够把结果算到任意精确的程度，只要你按照一些简单的程序，反复地进行四则运算即可。
除了高次幂方程的解法之外，这本书中的另一项伟大成就是关于同余式方面的工作。什么叫同余式呢？
我们还是从“韩信点兵”的故事来说起：传说汉代开国功臣韩信有一次到练兵场，只见军士们龙腾虎跃，你来我往，好不热闹。
韩信问带兵的军官：“你们这里共有多少士兵？”
军官说：“人太多太乱，数不准确。”
韩信说：“你把令旗给我，我来给你点数。”
军官一听，慌忙将令旗奉上，只见韩信挥起令旗，命令道：“排一长队。”
韩信见军士们已排好长队，便交待道：“先从1到3报数，再从1到5报数，最后从1到7报数。报完后，把剩余的人数告诉我，我便知总的军士人数。
于是，军士们便认真地报起数来，第一报数后余2；第2报数后余3，第3报数后余2，韩信掐指一算，共计233人。
其实，“韩信点兵”问题又叫“孙子问题”，最早出现在公元4世纪的数学著作《孙子算经》中。原来的问题是这样表述的：
“有物不知其数，三个一数余2，五个一数余3，七个一数余2，问该物总数几何？”
这个问题按照现在的人可以列出方程来：设总数为N，X为3人一数的次数，Y为5人一数的次数，Z为7人一数的次数，则：
N=3x+2 N=5y+3 N=7z+2
三个方程式，但却有四个未知数，这就叫不定方程。解不定方程在现代数论中有一个著名定理：剩余定理。
但这个问题出现在公元4世纪的中国算书中，他们虽然给出了算法，但却没有明确地表述和证明这个定理。
到公元13世纪，大数学家秦九韶集前人之大成，在同余式的研究上获得了超越前人的成果。
什么叫同余式呢？在上面的故事中，如果三人一组剩2人，那么总人数可能是5、是8、也可能是11……。
换句话说，5、8、11……这些数被3除后余数相等，那么我们就说5、8、11……等数对于3是同余的，用数学符号写出来就是5≡8≡11（mod3），这个式子叫同余式。
秦九韶在写作《数书九章》时，把当年在太史局学到的天文学知识与《孙子算经》的数学问题结合起来，发展了同余式的理论和算法，从而圆满解决了韩信点兵之类问题。
秦九韶还有许多数学创造，他是世界上最早提出十进小数概念和表示法的人。他还独立地推导出已知三边求三角形面积的公式：
秦九韶在多元一次方程组和几何测量方面也有创新。他是世界上最伟大数学家之一，《数书九章》标志着中国的古代数学达到了一个新的高峰。
杨辉与数学
宋元数学四大家之一的杨辉，他是世界上第一个排出丰富的纵横图和讨论其构成规律的数学家。
说起杨辉的这一成就，还得从偶然的一件小事说起。
一天，台州府的地方官杨辉出外巡游，路上，前面铜锣开道，后面衙役殿后，中间，大轿抬起，好不威风。
迷人的春天慷慨地散布着芳香的气息，带来了生活的欢乐和幸福。杜鹃隐藏在芒果树的枝头。用它那圆润、甜蜜、动人心弦的鸣啭来唤醒人们的希望。
成群的画眉鸟像迎亲似的蹲在树的枝丫上，发出婉丽的啼声。楝树、花梨树和栗树都仿佛被自身的芬芳熏醉了。
杨辉撩起轿帘，看那杂花生树，飞鸟穿林，真乃春色怡人淡复浓，唤侣黄鹂弄晓风。更是一年好景，旖旎风光。
走着、走着，只见开道的镗锣停了下来，前面传来孩童的大声喊叫声，接着是衙役恶狠狠的训斥声。杨辉忙问怎么回事，差人来报：“孩童不让过，说等他把题目算完后才让走，要不就绕道。”
杨辉一看来了兴趣，连忙下轿抬步，来到前面。衙役急忙说：“是不是把这孩童哄走？”
杨辉摸着孩童头说：“为何不让本官从此处经过？”
孩童答道：“不是不让经过，我是怕你们把我的算式踩掉，我又想不起来了。”
“什么算式？”
“就是把1到9的数字分三行排列，不论直着加，横着加，还是斜着加，结果都是等于15。我们先生让下午一定要把这道题做好。我正算到关键之处。”
杨辉连忙蹲下身，仔细地看那孩童的算式，觉得这个数字，从哪见过，仔细一想，原来是西汉学者戴德编纂的《大戴礼》书中所写的文章中提及的。
杨辉和孩童俩人连忙一起算了起来，直到天已过午，俩人才舒了一口气，结果出来了，他们又验算了一下，觉得结果全是15，这才站了起来。我们把算式摆出来：
（在左边的方块中，无论你横、竖、斜着加结果都是15。请试一下）
孩童望着这位慈祥和善的地方官说：“耽搁你的时间了，到我家吃饭吧！”
杨辉一听，说：“好，好，下午我也去见见你先生。”
孩童望着杨辉，泪眼汪汪，杨辉心想，这里肯定有什么蹊跷，温和地问道：“到底是怎么回事？”
孩童这才一五一十把原因道出：原来这孩童并未上学，家中穷得连饭都吃不饱，哪有钱读书。而这孩童给地主家放牛，每到学生上学时，他就偷偷地躲在学生的窗下偷听，今天上午先生出了这道题，这孩童用心自学，终于把它解决了。
杨辉听到此，感动万分，一个小小的孩童，竟有这番苦心，实在不易。便对孩童说：“这是10两银子，你拿回家去吧。下午你到学校去，我在那儿等你。”
下午，杨辉带着孩童找到先生，把这孩童的情况向先生说了一遍，又掏出银两，给孩童补了名额，孩童一家感激不尽。自此，这孩童方才有了真正的先生。
教书先生对杨辉的清廉为人非常敬佩，于是俩人谈论起数学。杨辉说道：“方才我和孩童做的那道题好像是《大戴礼》书中的？”
那先生笑着说：“是啊，《大戴礼》虽然是一部记载各种礼仪制度的文集，但其中也包含着一定的数学知识。方才你说的题目，就是我给孩子们出的数学游戏题。”
教书先生看到杨辉疑惑的神情，又说道：“南北朝的甄鸾在《数术记遗》一书中就写过：“九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履，一五居中央。”
杨辉默念一遍，发现他说的正与上午他和孩童摆的数字一样，便问道：“你可知道这个九宫图是如何造出来的？”
教书先生也不知出处。杨辉回到家中，反复琢磨，一有空闲就在桌上摆弄着这些数字，终于发现一条规律。
他把这条规律总结成四句话：九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出”。就是说：一开始将九个数字从大到小斜排三行，然后将9和1对换，左边7和右边3对换，最后将位于四角的4、2、6、8分别向外移动，排成纵横三行，就构成了九宫图。
下面我们演示一下：
（九子斜排）（上下对易，左右相更）（四维挺出）
按照类似的规律，杨辉又得到了“花16图”，就是从1到16的数字排列在四行四列的方格中，使每一横行、纵行、斜行四数之和均为34。读者诸君，不妨一试。
后来，杨辉又将散见于前人著作和流传于民间的有关这类问题加以整理，得到了“五五图”、“六六图”、“衍数图”、“易数图”、“九九图”、“百子图”等许多类似的图。
杨辉把这些图总称为纵横图，并于1275年写进自己的数学著作《续古摘奇算法》一书中，并流传后世。
纵横图，也叫幻方，它要求把从1到n2个连续的自然数安置在n2个格子
理。
但长期以来，人们习惯于把它当作纯粹的数学游戏，没有给予应有重视。随着近代组合数学的发展，纵横图显示了越来越强大的生命力，在图论、组合分析、对策论、计算机科学等领域中，找到了用武之地。
杨辉可以说是世界上第一个给出了如此丰富的纵横图和讨论了其构成规律的数学家。
杨辉除此成就之外，还有一项重大贡献，就是“杨辉三角”。
有一次，杨辉得到一本《黄帝九章算法细草》，这是北宋数家贾宪写的。这里面有不少了不起的成就，如贾宪描画了一张图，叫作“开方作法本源图”。
图中的数字排列成一个大三角形，位于两腰上的数字均是1，其余数字则等于它上面两数字之和。
从第二行开始，这个大三角形的每行数字，都对应于一组二项展开式的系数，下面试举例说明：
在第三行中，1、3、3、1，这4个数字恰好是对应于（X+1）3=X3+3X2+3X+1；
再如第四行对应于（X＋1）4=X4+4X3+6X2+4X+1。以此类推。
杨辉把贾宪的这张画忠实地记录下来，并保存在自己的《详解九章算术》一书中。
后来人们发现，这个大三角形不仅可以用来开方和解方程，而且与组合、高阶等差级数、内插法等数学知识都有密切关系。
在西方，直到16世纪才有人在一本书的封面上绘出类似的图形。法国数学家巴斯加在1654年的论文中详细地讨论了这个图形的性质，所以在西方又称“巴斯加三角”。
杨辉除上述成就外，还分别写了《日用算法》、《乘除通变本末》和《田亩比类乘除捷法》等书，这为后世的人们了解当时的数学面貌提供了极为重要的资料。
杨辉的几部著作极大地丰富了我国古代数学宝库，为数学科学的发展做出了卓越的贡献，他不愧为“宋元四大家”之一。
朱世杰的《四元玉鉴》
朱世杰是元朝一位杰出的数学科学家。
朱世杰，字汉卿，号松庭，燕山（今北京）人氏。他长期从事数学研究和教育事业，以数学名家周游各地20多年，四方登门来学习的人很多。他的主要著作有《算学启蒙》三卷和《四元玉鉴》三卷。
说起朱世杰周游各地，这里还有一段鲜为人知的佳话，我们把这段佳话介绍给读者。
13世纪末，历经战乱的祖国为元王朝所统一，遭到破坏的经济和文化又很快繁荣起来。蒙古统治者为了兴邦安国，便尊重知识，选拔人才，把各门科学推向新的高峰。
有一天，风景秀丽的扬州瘦西湖畔，来了一位教书先生，在寓所门前挂起一块招牌，上面用大字写着：“燕山朱松庭先生，专门教授四元术”。
不几天，朱世杰门前门庭若市，求知者络绎不绝，就在朱世杰在接待学生报名之时，突然一声声叫骂声引起他的注意。
只见一穿绸戴银半老徐娘，追着一年轻的姑娘，边打边骂：“你这贱女人，大把的银子你不抓，难道想做大家闺秀，只怕你投错了胎，下辈子也别想了。”
那姑娘被打得皮开肉绽，连内身衣服都被撕坏了。姑娘蜷成一团，任凭她打，也不跟她回去。
朱世杰路见不平，便上前询问，那半老徐娘见冒出一个爱管闲事之人，就嘲笑道：“你难道想抱打不平，你送上50两银子，这姑娘就归你了！”
朱世杰见此情景，大怒道：“难道我掏不出50两银子。光天化日之下，竟胡作非为，难道没有王法不成？”
那半老徐娘讽刺道：“你这穷鬼，还谈什么王法，银子就是王法，你若能掏出50两银子，我便不打了。”
朱世杰愤怒已极，从口袋里抓出50两银子，摔在半老徐娘面前，拉起姑娘就回到自己的教书之地。
原来，那半老徐娘是妓女院的鸨母，而这姑娘的父亲因借鸨母的10两银子，由于天灾，还不起银子，只好卖女儿抵债。今天碰巧遇上朱世杰，才把姑娘救出苦海。
后来，在朱世杰的精心教导下，这姑娘也颇懂些数学知识，成了朱世杰的得力助手，不几年，两人便结成夫妻。
所以，扬州民间至今还流传着这样一句话：
元朝朱汉卿
教书又育人
救人出苦海
婚姻大事成
上面这段佳话是不是事实，已不好考证，但说明了朱世杰在做学问的同时，还有着一颗慈爱的心。
再说朱世杰在数学科学上，全面地继承了秦九韶、李冶、杨辉的数学成就，并给予创造性的发展，写出了《算学启蒙》、《四元玉鉴》等著名作品，把我国古代数学推向更高的境界，形成宋元时期中国数学的最高峰。
《算学启蒙》是朱世杰在元成宗大德三年（1299）刊印的，全书共三卷，20门，总计259个问题和相应的解答。
这部书从乘除运算起，一直讲到当时数学发展的最高成就“天元术”，全面介绍了当时数学所包含的各方面内容。
它的体系完整，内容深入浅出，通俗易懂，是一部很著名的启蒙读物。这部著作后来流传到朝鲜、日本等国，出版过翻刻本和注释本，产生过一定的影响。
而《四元玉鉴》更是一部成就辉煌的数学名著。它受到近代数学史研究者的高度评价，认为是中国古代数学科学著作中最重要的、最有贡献的一部数学名著。
《四元玉鉴》成书于大德七年（1303），共三卷，24门，288问，介绍了朱世杰在多元高次方程组的解法——四元术，以及高阶等差级数的计算——垛积术、招差术等方面的研究和成果。
“天元术”是设“天元为某某”，即某某为x。但当未知数不止一个的时候，除设未知数天元（x）外，还需设地元（y）、人元（z）及物元（u），再列出二元、三元甚至四元的高次联方程组，然后求解。
这在欧洲，解联立一次方程开始于16世纪，关于多元高次联立方程的研究还是18至19世纪的事了。
朱世杰的另一重大贡献是对于“垛积术”的研究。他对于一系列新的垛形的级数求和问题作了研究，从中归纳为“三角垛”的公式，实际上得到了这一类任意高阶等差级数求和问题的系统、普遍的解法。
朱世杰还把三角垛公式引用到“招差术”中，指出招差公式中的系数恰好依次是各三角垛的积，这样就得到了包含有四次差的招差公式。
他还把这个招差公式推广为包含任意高次差的招差公式，这在世界数学史上是第一次，比欧洲牛顿的同样成就要早近4个世纪。
正因为如此，朱世杰和他的著作《四元玉鉴》才享有巨大的国际声誉。近代日本、法国、美国、比利时以及亚、欧、美许多国家都有人向本国介绍《四元玉鉴》。
美国已故的著名的科学史家萨顿是这样评说朱世杰的：
“（朱世杰）是中华民族的、他所生活的时代的、同时也是贯穿古今的一位最杰出的数学科学家。”
“《四元玉鉴》是中国数学著作中最重要的，同时也是中世纪最杰出的数学著作之一。它是世界数学宝库中不可多得的瑰宝。”
从此中可以看出，宋元时期的科学家及其著作，在世界数学史上起到了不可估量的作用。
除了以上成就外，朱世杰还在他的著作中提出了许多值得注意的内容：
1.在中国数学史上，他第一次正式提出了正负数乘法的正确法则；
2.他对球体表面积的计算问题作了探讨，这是我国占代数学典籍中唯一的一次讨论。结论虽不正确，但创新精神是可贵的；
3.在《算学启蒙》中，他记载了完整的“九归除法”口诀，和现在流传的珠算归除口诀几乎完全一致。
总之，朱世杰继承和发展了前人的数学成就，为推进我国古代数学科学的发展做出了不可磨灭的贡献。朱世杰不愧是我国乃至世界数学史上负有盛名的数学家。
由于朱世杰和其他同时代数学家的共同努力，使宋元时期的数学达到了光辉的高度，在很多方面都居于世界前列。
自朱世杰之后，我国这种在数学上高度发展的局面不但没有保持发展下去，反而很多成就在明、清一段时期内失传。这实在是科学史上的一件憾事。
“科学之父”的推动
且说古希腊对数学似乎有着特别大的兴趣，尤其是在几何学方面。这在一定程度上应当归功于毕达哥拉斯和柏拉图。他们都是数学的崇拜者和鼓吹者。
据说柏拉图在他所创办的学园的大门口就有着“不懂几何学者不得入内”的牌子，可见数学在古希腊的重要性。
在其他古老的国家里，数学基本上是一门实用性的学科，而在古希腊，也像我们在前面所看到的天文学的情况那样，他们是着重于向理论发展的。
古希腊最早的数学家可能要算被西方称作是“科学之父”的泰勒斯了。据说他提出并证明了下列几何学基本命题：
1.圆为它的任一直径所平分；
2.半圆的圆周角是直角；
3.等腰三角形两底角相等；
4.相似三角形的各对应边成比例；
5.若两三角形两角和一边对应相等，则两三角形全等。
这些定理是每一个现代中学生都知道的，他们简单得不能再简单了。但是，就是这些简单的理论，构成了今天极其复杂而又高深理论的根基。
试想，今天的球面几何学，射影几何学，非欧几何学等等，有哪一门不是从这最简单的定理发生推演出来的呢？
泰勒斯年轻时去过埃及，在那里，他向埃及人学习了几何学知识。但埃及人的几何学在当时只是为了划分地产而研究的。
在那里，埃及的人们只懂得在一块具体的地面上来规划、计算，以弄清人们的地产界线。因为，每年尼罗河一涨水，所有的地面痕迹都被冲毁了，人们在涨水后不得不重新进行测量计算。
埃及人很早在实践中就懂得“所有直径都平分圆周；三角形有两条边相等，则其所对的角也相等”，但都没有从理论上给予概括，并科学地去证明它。
泰勒斯并不满足于仅仅向埃及人学习这些，他经过思考将这些具体的，只是实际操作的知识给予抽象化、理论化，使之概括成为科学的理论。
上面所概括的几条定理，是埃及人在几百年前在实践中便得知的，但并没有把具体的知识提升到理论高度。泰勒斯在这方面做出了卓越的贡献。
泰勒斯不仅把具体的知识理论化，而且还天才地将理论运用到实际中去。下面讲一个泰勒斯解决金字塔高度的故事。
这是一个夏天，静寂的热气在大地上蒸腾，闪着光，闲散而轻柔的晃动着，俨如在小溪里游动着的鱼。
而远处，那些挡住了视野的山崖不停地闪着青的白的反光。底下是一片被灼热的阳光所临照的田野，裸麦的花粉在田间飘浮着，像一片轻烟。
泰勒斯正在金字塔的阴影下歇息着，他身边坐着几位和他同龄的贵族子弟。他们边抽着烟边议论着琐事。
一贵族说道：“亲爱的泰勒斯先生，请您告诉我，你到埃及的日子里有些什么收获呢？总不会空空而回吧？”
因为泰勒斯也是贵族出身，在和家人分家的时候，泰勒斯一样东西也不要，只带些钱去埃及游学了。所以，认识他的人都把他叫做傻子。而这个贵族正是基于此，想找个法子戏弄他。
泰勒斯从容不迫地答道：“亲爱的先生们，我们或许追求不同、也许你喜欢金钱，也许你喜欢女人，而我则不同，只以追求科学知识为光荣。”
众贵族子弟望着他，泰勒斯又说道：“我这次到埃及游学，我认为我得到了我一生中最大的收获，我把埃及人的几何知识提到了理论高度，并给予证明。”
那贵族说道：“我请问泰勒斯先生，你的那些东西我们都看到过了，那又有什么用呢？它能算出金字塔有多高吗？”
泰勒斯听这么一说，当时没有马上想出办法，便说：“怎样测出金字塔的高度，让我回去好好想一想，咱们5天后见！”
其实，不但这些贵族子弟想知道金字塔的高度，全埃及的人都想知道。最着急的应该算尼罗河的祭司们，因为正是这些祭司们掌握着埃及的数学。
到了第5天，泰勒斯如约而至。由于这些贵族子弟回去后，把泰勒斯要算出金字塔高度的消息告诉了全城百姓，所以金字塔旁人山人海，尼罗河祭司站在最前边。
泰勒斯望着人们，清了清嗓子，说道：“你们不是想知道金字塔的高度吗？这其实是很简单的事。”
人们听他这么一说，嘈杂的人群立时静了下来，千百双眼直盯着泰勒斯。
泰勒斯说道：“当你自己的影子和你身体一样高时，你就去测量金字塔的影长，这便是金字塔的高度。”
多聪明的主意！
全城的老百姓怔了一会，忽地拥向泰勒斯，把他高高抬起，欢呼着。而想戏弄泰勒斯的贵族为自己的无知深深地低下了头。那时祭司们慌慌忙忙回去拿皮尺了。
讲到这里，这使我们想起我国古代曹冲称象的故事（我们另章介绍），他们进行逻辑推理的根据都是一种“代换法”。值得指出的是，在泰勒斯之前，没有人想到这种合理的推论。
泰勒斯是第一个以思维的理性头脑和科学精神面向自然界的人，他一生以自己的思考寻求问题的答案，如果我们追寻人类第一个进行科学思维的代表人物，那么，泰勒斯是当之无愧的。
关于泰勒斯的传说和轶事流传很多，这些传说虽然未必真实，但对我们了解他的生平和性格，是很有帮助的。
有一次，一个邻舍讥笑泰勒斯说：“人家都说你是天才，但依我看，你是个笨蛋。试想，如果你真的聪明的话，为什么不发财呢？”
泰勒斯笑着说：“要想发财，那还不易如反掌！”
邻居不屑地说：“做出来给我们看看，不要光说大话。”
其实，泰勒斯利用各方面的知识，已经预见橄榄今年必然要获得大丰收。为了回敬这位邻居的诬蔑，他就垄断了这一地区的全部榨油机。
果然不出所料，橄榄获得空前丰收，于是人们争相购买榨油机，但无一台榨油机出售，因为全被泰勒斯事先用低价买下了。
于是，人们纷纷奔向泰勒斯家，泰勒斯用自定的价格出售，榨油机还是供不应求，就这样，泰勒斯获得巨额财富。
他用现身说法，痛斥了邻居的不敬，用事实证明发财不见得比研究天文学更加困难。他终于走上了探讨大自然奥秘的道路。
还有一个故事，是由普卢塔克记载的，叫梭伦的故事，也颇为幽默。
有一天，梭伦到米利都去探望泰勒斯，见他还是孤身一人，便问道：“泰勒斯，你已功成名就，为什么不结婚？”
泰勒斯当时没有回答。几天之后，泰勒斯带着一个陌生人到了梭伦的家中。那陌生人对梭伦说：“十天前，我还在雅典呢。”
梭伦的妻子儿女均在雅典，所以梭伦对雅典很关心，便问道：“雅典有什么新闻？”
那人说：“有一个青年人的葬礼轰动了全城，因为其父是一位尊贵人物。儿子死时父亲不在家，他很久以前就出外游历去了。”
梭伦急切地问：“他叫什么名字？”
那人说已记不清，只听说他很聪明、很正直。
当惊慌失措的梭伦就要猜出死者是自己儿子的时候，泰勒斯笑着说：“这就是我不娶妻生儿的原因，这点事连你那么坚强的人都承受不了。不过，这个消息完全是虚构的，是我们的双簧，请不必介意。”
梭伦这才如释重负地舒了一口气。
其实泰勒斯是比较温和的，他之所以对梭伦这样做，是因为他们之间是真挚的老朋友，开个玩笑而已。
泰勒斯言谈幽默并常含哲理。他对于“怎样才能过着正直的生活？”的回答是：“不要做你讨厌别人做的事。”这和中国的“己所不欲，勿施于人”如出一辙。
有人问泰勒斯：“你见过最奇怪的事情是什么？”他回答道：“长寿的暴君。”
又有人问：“你作出一项天文学的发现，想得到什么？”他答道：“当你告诉别人时，不说是你的发现，而说是我的发现，这就是对我的最高奖赏。”
泰勒斯的影响是巨大的，数百年的希腊科学的繁荣，泰勒斯的首创之功，不可磨灭。
泰勒斯的学生
在这一时期，另一位为后世称颂的古希腊学者要算是泰勒斯的学生，提出数学是宇宙万物之本源的毕达哥拉斯。
毕达哥拉斯生于公元前582年，他父亲叫姆内撒克斯，是一位很有钱的希腊人。他想让儿子受到很好的教育，便请了当时著名的两位老师来教儿子。
毕达哥拉斯是一位天才少年，在很短时间里，他的数学和哲学程度就超过了他的老师。当他还不到20岁时，就离开家乡到文化发达的地方去寻求知识了。
毕达哥拉斯是个纯粹的少年，身体修长，面孔充满热情，他怀着理想和好奇来到了求知的第一站——巴比伦。
在巴比伦的几年时间里，他学到了许多知识，但他并不满足，结束了在巴比伦的学习后，他又来到另一文明古国——印度。
几百年的印度文化深深地吸引着毕达哥拉斯，他一头钻进科学的海洋里，吮吸着科学之蜜。这是他能够在以后成为著名科学家，所必须的前题。
在印度，他还学习了印度的佛教。佛教对他后来的生活产生了相当大的影响，使他的思想追求某种神秘性，带上了某种喜欢不切合实际的梦想的色彩。
结束了印度之行，毕达哥拉斯回到西方，住在埃及，他又被埃及那精深的几何学深深吸引住了，他便向祭司们学习了几何学。
毕达哥拉斯定理，也即勾股弦定理，就是在这里发现的。这里，也有一段美妙而动人的故事。
却说毕达哥拉斯在向祭司学习几何的过程中，与祭司的表妹长久相处，渐渐双方有了感情，而且相爱甚笃。
毕达哥拉斯是个极富天才旦人长得又帅的小伙子，而祭司的表妹则是一枝鲜美花朵似的姑娘。她倾羡他的美貌，又仰慕他的才华。于是，双方陷入情网之中。
那天傍晚，温和的太阳颜色只是淡淡的，田野懒洋洋地仿佛快睡着了。各处村子上的小钟在静寂的原野上悠悠地响着，一缕缕烟在阡陌纵横的田间缓缓上升。
毕达哥拉斯带着女友漫步在田野上，一片轻盈的暮霭在远处飘浮。白的雾铺在潮湿的地下，等着黑夜降临。
毕达哥拉斯拉着女友的手慢慢地走着，他极目望去，远处金字塔在暮霭中闪着粉红色的光芒，他蓦地想起白天的问题。
华达哥拉斯的问题是，在直角三角形中，已知两边的长，怎样算出第三边的长度。下午，他和女友在屋内已经讨论了半天，也没有讨论出头绪。
女友也是极有知识之人，她的出现无疑给毕达哥拉斯带来活力。华达哥拉斯边走边想着：如果画上十个直角三角形，再量第三边长度，先把它们之间的关系弄明白，然后再用理论求证，岂不是一条捷径？
毕达哥拉斯想到这，拉着女友转回头，朝住处跑去。女友到他的住处后，才弄明白他的想法，便按照他的吩咐，画出了一个又一个三角形。
当画到一边长为3，另一边长为4时，奇迹出现了，毕达哥拉斯量出斜边竟是5。3、4、5，毕达哥拉斯默念着。
要弄清三边之间的关系，首先弄清楚3、4、5之间的关系，毕达哥拉斯在屋中来回踱步，一边走，一边想。
已是午夜2点了，女友端来热腾腾的夜宵，毕达哥拉斯刚要拿起餐具，忽然，他头脑一亮：32＋42=52。
是呀，这是多么奇妙的等式，难道是巧合吗？毕达哥拉斯连忙离开饭桌，用心地在纸上画了起来，经过上百次验算，直角三角形的两边的平方和等于斜边平方。
毕达哥拉斯高兴若狂，抱起女友亲吻起来。
下一步的工作，就是如何证明这个定理成立，毕达哥拉斯在女友的协助下，用了一个月的时间，终于使这个理论得到证明。
从此，这个定理被西方命名为华达哥拉斯定理。
顺便提一下，华达哥拉斯在离开埃及之时，他和女友已共同生活了10年之久，由于女友不愿意离开埃及，毕达哥拉斯只得独身归国。
毕达哥拉斯在数学上除了证明勾股定理外，还提出了区别奇数、偶数和质数的方法。他和他的学生还发现了无理数，并用数学研究音乐乐律。
在研究中，他指出，弦长的比数愈简单，则其音愈和谐。但是，他把数的概念绝对化、神秘化，并断言：凡物皆数。
他把数的物质的东西分割开来，把数的关系当做事物的原型，构成宇宙的秩序，结果走向唯心主义。
但不容讳言，毕达哥拉斯是那个时代最杰出的代表人物之一。他在数学、天文等方面所做出的贡献，将永远铭刻在后人的心里。他的某些理论，为推动科学的发展，有不可磨灭的贡献。
三个流派
到了公元前5世纪，在古希腊成立了几个哲学派别，它们分别是智者派、毕达哥拉斯派和柏拉图派。
在这一时期，被称为智者派的一些数学家们提出了下列三个著名的几何作图难题，即只用圆规和直尺作出以下图形：
1.作一正方形使其面积等于一已知圆的面积；
2.作一立方体使其体积等于一已知立方体的2倍；
3.三等分一任意角。
这三大难题曾在很长的时期内吸引了许多数学家，后来才被证明这是不可能的，任何人借助任何办法都办不到的。
虽然这三大难题是办不到的，但是数学家们在积极求证的过程中，却产生了许多有价值的副产品。
如智者派中的重要人物希匹阿斯在试图三等分一任意角时，发明了割圆曲线，如能作出这条曲线，即可三等分一任意锐角，但是割圆曲线也是不能用直尺和圆规作出的。
这时的毕达哥拉斯派的希波克拉底致力于化圆为方的问题时，得出了求以两不等径圆弧为边的月牙形面积的方法。
而智者派的安提丰在研究画圆的问题时，提出可以把圆看成是无穷多边的正多边形。毕达哥拉斯派的布莱生则以圆外接正多边形来思考同一问题。此即穷竭法的开端。
另外一学派柏拉图派的数学家们，他们研究数学不是为了实用目的，而在于寻求一种思维中的完善和美，因此，他们特别注意数学的证明方法。
有记载说，他们研究过数学中的分析法、归谬法这样一些基本的推理方法，由于他们的工作，数学的推理方法更加严密了。
柏拉图派把这些工作推进到什么程度，有哪些具体成果，我们现在不得而知。但是我们确实看到，自柏拉图以后，古希腊的数学更加理论化了。
我们当然不能想象古希腊发达的生产技术没有相当的实用数学知识，但数学作为一门学科，确实与实际生活的距离加大了。古希腊的实验科学、物理学等在相当长的时期内没有得到相应的发展，与数学脱离实际这种状况看来也不无关系。
柏拉图派的科学家欧多克索不仅在天文学上有重要的贡献，他还是古希腊最有成就的数学家之一。
由于更多的无理数的发现，促使人们不得不认真地去研究它。
无理数究竟是不是数？原先用先可公度量的那些几何学的证明能否用于这些不可公度量？一个一个可数的数目是不连续的，而量则是连续的，这些都是矛盾。
欧多克索面对这些难题，他走出自己的一条路子。他定义了两个量之比和两个量之比相等的关系，即比例关系，以此来解决量之间的问题。
这样，从毕达哥拉斯开始的几何和数的简单而直接的关系就被分开了，量并不就是可数的数目，上述困难便迎刃而解。
从此，古希腊数学更加偏向于几何学。因为在他们看来，似乎几何学是能处理一切问题的，包括无理数这样的问题在内。
对几何学的偏爱却抑制了古希腊代数学的发展，后来在他们那里，有关代数学的问题实际上都用几何学的方法来处理，这不能就被认为是很好的方式。
欧多克索的另一项重要贡献，是他继续了智者派安提丰等人的工作，完成了计算曲边形面积和曲面体体积的方法。
这项工作的重要意义不只在于计算那些难以计算的量，更在于推进了穷竭法的研究。虽然那时还没有清晰的极限的思想，穷竭法已经预示着微积分学的思想正在萌芽。
欧多克索的学生美尼克谟的最重要成就是发现了圆锥曲线。他在这方面的工作可能也是试图解决智者派提出的三大作图难题，而产生的副产品。
美尼克谟选取了顶角分别为直角、锐角和钝角三种圆锥，分别以一垂直于锥面一条母线的平面与之相割，这样就得到了抛物线、椭圆和双曲线。
圆锥曲线的发现，对于几何学以及天文学、物理学等类科学的发展都十分重要。不过，他的工作还只是一个开端。
古希腊的数学高峰
在古希腊后期，学术中心转移到埃及的亚历山大城。这时，古希腊的数学达到了高峰，古希腊数学的最后成果均是在这里总结和完成的。
生活在亚历山大城的欧几里得（约前330～约前275）是古希腊最享有盛名的数学家。
古希腊著名科学哲学家亚里斯多德认为，演绎推理的价值要高于归纳推理。他这一思想形成的原因是什么呢？
如果让我们看一看古希腊几何学的发展，就会容易理解亚里斯多德的这一看法了。事实上可以这样说，整个希腊时代理论上最成功的产物就是几何学这门演绎科学。
我们说它成功一是指这一时期几何学理论的完备、严密与系统；二是指直到今天，我们中学里的几何教科书还都是以两千多年前的希腊几何学为蓝本的。
而希腊几何学成功的代表者便是我们将要介绍的欧几里得。
欧几里得生于雅典，是柏拉图的学生。他的科学活动主要是在亚历山大进行的，在这里，他建立了以他为首的数学学派。
欧几里得，以他的主要著作《几何原本》而著称于世，他的工作重大意义在于把前人的数学成果加以系统的整理和总结，以严密的演绎逻辑，把建立在一些公理之上的初等几何学知识构成为一个严整的体系。
欧几里得建立起来的几何学体系之严谨和完整，就连20世纪最杰出的大科学家爱因斯坦也不能对他不另眼相看。
爱因斯坦说：“一个人当他最初接触欧几里得几何学时，如果不曾为它的明晰性和可靠性所感动，那么他是不会成为一个科学家的。”
《几何原本》中的数学内容也许没有多少为他所创，但是关于公理的选择，定理的排列以及一些严密的证明无疑是他的功劳，在这方面，他的工作出色无比。
欧几里得的《几何原本》共有13篇，首先给出的是定义和公理。比如他首先定义了点、线、面的概念。
他整理的5条公理其中包括：
1.从一点到另一任意点作直线是可能的；
2.所有的直角都相等；
3.a=b，b=c，则a=c；
4.若a=b则a＋c=b＋c等等。
这里面还有一条公理是欧几里得自己提出的，即：整体大于部分。
虽然这条公理不像别的公理那么一望便知，不那么容易为人接受，但这是欧氏几何中必须的，必不可少的。他能提出来，这恰恰显示了他的天才。
《几何原本》第1～4篇主要讲多边形和圆的基本性质，像全等多边形的定理，平行线定理，勾股弦定理等。
第2篇讲几何代数，用几何线段来代替数，这就解决了希腊人不承认无理数的矛盾，因为有些无理数可以用作图的方法，来把它们表示出来。
第3篇讨论圆的性质，如弦、切线、割线，圆心角等。
第4篇讨论圆的内接和外接图形。
第5篇是比例论。这一篇对以后数学发展史有重大关系。
第6篇讲的是相似形。其中有一个命题是：直角三角形斜边上的矩形，其面积等于两直角边上的两个与这相似的矩形面积之和。读者不妨一试。
第7、8、9篇是数论，即讲述整数和整数之比的性质。
第10篇是对无理数进行分类。
第11～13篇讲的是立体几何。
全部13篇共包含有467个命题。《几何原本》的出现说明人类在几何学方面已经达到了科学状态，在经验和直觉的基础上建立了科学的、逻辑的理论。
欧几里得，这位亚历山大大学的数学教授，已经把大地和苍天转化为一幅由错综复杂的图形所构成的庞大图案。
他又运用他的惊人才智，指挥灵巧的手指将这个图案拆开，分成为简单的组成部分：点、线、角、平面、立体——把一幅无边无垠的图，译成初等数学的有限语言。
尽管欧几里得简化了他的几何学，但他坚持对几何学的原则进行透彻的研究，以便他的学生们能充分理解它。
据说，亚历山大国王多禄米曾师从欧几里得学习几何，有一次对于欧几里得一遍又一遍地解释他的原理表示不耐烦。
国王问道：“有没有比你的方法简捷一些的学习几何学的途径？”
欧几里得答道：“陛下，乡下有两种道路，一条是供老百姓走的难走的小路，一条是供皇家走的坦途。但是在几何学里，大家只能走同一条路。走向学问，是没有什么皇家大道的，请陛下明白。”
欧几里得的这番话后来推广为“求知无坦途”，成为传诵千古的箴言。
关于欧几里得的一生的细节，由于资料缺乏，我们知道得很少。有一个故事说的是欧几里得和妻子吵架，妻子很为恼火。
妻子说：“收起你的乱七八糟的儿何图形，它难道为你带来了面包和牛肉。”
欧几里得天生是个憨脾气，只是笑了笑，说道：“妇人之见，你知道吗？我现在所写的，到后世将价值连城！”
妻子嘲笑道：“难道让我们来世再结合在一起吗？你这书呆子。”
欧几里得刚要分辩，只见妻子拿起他写的《几何原本》的一部分投入火炉中。欧几里得连忙来抢，可是已经来不及了。
据说妻子烧掉的是《几何原本》中最后最精彩的一章。但这个遗憾是无法弥补的，她烧的不仅仅是一些有用的书，她烧的是欧几里得血汗和智慧的结晶。
如果上面这个故事是真的，那么他妻子的那场震怒可能并不是欧几里得引起来的。因为古代的作家们告诉我们，他是一个“温和慈祥的老头。”
由于欧几里得知识的渊博，他的学生们简直把他当作偶像来崇拜。欧几里得在教授学生时，像一个真正的父亲那样引导他们，关心他们。
然而有时，他也用辛辣的讽刺来鞭挞学生中比较傲慢的，使他们驯服。有一个学生在学习了第一定理之后，便问道：“学习几何，究竟会有什么好处？”
于是，欧几里得转身吩咐佣人说：“格鲁米阿，拿三个钱币给这位先生，因为他想在学习中获得实利。”
欧几里得主张学习必须循序渐进、刻苦钻研，不赞成投机取巧的作风，更反对狭隘的实用观念。后来者帕波斯就特别赞赏他这谦逊的品德。
像古希腊的大多数学者一样，欧几里德对于他的科学研究的“实际”价值是不大在乎的。他喜爱为研究而研究。
他羞怯谦恭，与世无争，平静地生活在自己的家里。在那个到处充满勾心斗角的世界里，对于人们吵吵闹闹所作出的俗不可耐的表演，则听之任之。
他说：“这些浮光掠影的东西终究会过去，但是，星罗棋布的天体图案，却是永恒地岿然不动。”
欧几里得除了写作重要几何学巨著《几何原本》外，还著有《数据》、《图形分割》、《论数学的伪结论》、《光学》、《反射光学之书》等著作。
说不尽的阿基米德
在古希腊后期，又出现了一位最伟大的科学家，他就是阿基米德。
他正确地得出了球体、圆柱体的体积和表面积的计算公式，提出了抛物线所围成的面积和弓形面积的计算方法。
最著名的还是求阿基米德螺线（ρ=α×θ）所围面积的求法，这种螺线就以阿基米德的名字命名。
锥曲线的方法解出了一元三次方程，并得到正确答案。
阿基米德还是微积分的奠基人。他在计算球体、圆柱体和更复杂的立体的体积时，运用逐步近似而求极限的方法，从而奠定了现代微积分计算的基础。
最有趣的是阿基米德关于体积的发现：
有一次，阿基米德的邻居的儿子詹利到阿基米德家的小院子玩耍。詹利很调皮，也是个很讨人喜欢的孩子。
詹利仰起通红的小脸说：“阿基米德叔叔，我可以用你圆圆的柱于作教堂的立柱吗？”
“可以。”阿基米德说。
小詹利把这个圆柱立好后，按照教堂门前柱子的模型，准备在柱子上加上一个圆球。他找到一个圆柱，由于它的直径和圆柱体的直径和高正好相等，所以球“扑通”一下掉入圆柱体内，倒不出来了。
于是，詹利大声喊叫阿基米德，当阿基米德看到这一情况后，思索着：圆柱体的高度和直径相等，恰好嵌入的球体不就是圆柱体的内接球体吗？
但是怎样才能确定圆球和圆柱体之间的关系呢？这时小詹利端来了一盆水说：“对不起，阿基米德叔叔，让我用水来给圆球冲洗一下，它会更干净的。”
阿基米德眼睛一亮，抱着小詹利，慈爱地说：“谢谢你，小詹利，你帮助解决了一个大难题。”
阿基米德把水倒进圆柱体，又把内接球放进去；再把球取出来，量量剩余的水有多少；然后再把圆柱体的水加满，再量量圆柱体到底能装多少水。
这样反复倒来倒去的测试，他发现了一个惊人的奇迹：内接球的体积，恰好等于外包的圆柱体的容量的三分之二。
他欣喜若狂，记住了这一不平凡的发现：圆柱体和它内接球体的比例，或两者之间的关系，是3∶2。
他为这个不平凡的发现而自豪，他嘱咐后人，将一个有内接球体的圆柱体图案，刻在他的墓碑上作为墓志铭。
阿基米德的惊人才智，引起了人们的关注和敬佩。朋友们称他为“阿尔法”，即一级数学家（α—阿尔法，是希腊字母中第一个字母）。
阿基米德作为“阿尔法”，当之无愧。所以20世纪数学史学家E.T.贝尔说：“任何一张列出有史以来三个最伟大的数学家的名单中，必定包括阿基米德。
“另外两个数学家通常是牛顿和高斯。不过以他们的丰功伟绩和所处的时代背景来对比，拿他们的影响当代和后世的深邃久远来比较，还应首推阿基米德。”
我们说，阿基米德的数学成就在于他既继承和发扬了古希腊研究抽象数学的科学方法，又使数学的研究和实际应用联系起来，这在科学发展史上的意义是重大的，对后世有极为深远的影响。
阿波罗尼
亚历山大前期著名的三大数学家除欧几里得、阿基米德外，还有一位重要人物，他就是欧几里得的学生阿波罗尼。
阿波罗尼（约前262～约前190）生于佩尔格，年青时到亚历山大跟随欧几里得的后继者学习。他的主要成就是建立了完美的圆锥曲线论。
他在总结前人的成就的基础上，再加上自己的研究成果，撰写了《圆锥曲线论》8大卷，将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地。
《圆锥曲线论》是圆锥曲线的经典之作，写作风格和欧几里得、阿基米德是一脉相承的，先设立若干定义，再由此依次证明各个命题，推理是十分严格的。
《圆锥曲线论》的出现，引起了人们的重视，被公认为是这方面的权威之作，被认为是古希腊最杰出的数学著作之一。
阿波罗尼是第一个从同一圆锥的截面上来研究圆锥曲线的人，他以一个平面按不同的角度与圆锥相交，分别得出抛物线、椭圆和双曲线。
同时，他也弄清楚了双曲线有两个分支，并给出了圆锥曲线的定义。
在这一书中，他说明了求一圆锥曲线的直径，有心圆锥曲线的中心、抛物线和有心圆锥曲线的轴的方法和作圆锥曲线的切线的方法，讨论了双曲线的渐近线和共轭双曲线，研究了有心圆锥曲线焦点的性质等等。
阿波罗尼这时尚无坐标的概念，但在他的讨论中已隐含了坐标的意思。
《圆锥曲线论》是一部经典巨著，它可以说是代表了希腊几何的最高水平，自此以后，希腊几何便没有实质性的进步。
直到17世纪的笛卡尔和帕斯卡，圆锥曲线的理论才有所突破。以后便向着两个方向发展，一是笛卡尔的解析几何，二是射影几何，两者几乎是同时出现。
这两大领域的思想和基本原理，都可以在阿波罗尼的工作中找到萌芽。当然这是后话，暂且不提。
和阿基米德相比较，阿波罗尼注意图形的几何性质，而阿基米德侧重数值计算，这是他成为微积分先驱的重要原因。
《圆锥曲线论》的篇幅很大，第1～7卷就有387个独立命题，完全用文字来表达，没有使用符号和公式。命题的叙述相当冗长，言辞有时是含混的，这在希腊的著作中，是较难读的一种。
除了《圆锥曲线论》外，阿波罗尼还有其他一些有价值的著作，它们是《论接触》，《平面轨迹》、《12面体与20面体对比》、《倾斜》等。
古罗马的三个数学家
到了古罗马时期，其政治、军事日益强大，它雄踞西方，称霸一时。它在经济上曾经很是繁荣，技术上也有不少的成绩，但它在科学上、在科学思想上几乎无所建树。
古罗马以基督教为国教，实行思想统治，禁锢了人们的思想，古希腊时期那种活跃的学术气氛不复存在，新鲜的思想也难露头角。数学科学更是举步不前。
在这一时期，比较著名的数学科学家有丢番图、帕波斯和希帕蒂娅。
说起数学家丢番图的生平，还有一则别开生面的记载，在一本《希腊诗文选》中收录了丢番图的奇特的墓志铭，现转抄于下：
坟中安葬着丢番图，
多么令人惊讶，
它忠实地记录了所经历的道路。
上帝给予的童年占六分之一，
又过十二分之一，两颊长胡，
再分七分之一，点燃起结婚的蜡烛。
五年之后天赐贵子，
可怜迟到的宁馨儿，
享年仅及其父的一半，便进入冰冷的坟墓。
悲伤只有用数论的研究去弥补，
又过四年，他也走完了人生的旅途。
细心的读者已经发现，这独特的墓志铭就是丢番图一生的履历表，而且它本身就是一道耐人寻味的年龄计算题。
让我们来解开丢番图的年龄之谜：
设丢番图的年龄为×，则
丢番图大致活动于公元250年前后，其生平不详。他的著作《算术》和关于所谓多角数（形数）一书，这是世界上最早的系统的数学论文。
《算术》共13卷，现存6卷。这本书可以归入代数学的范围。代数学区别于其他学科的最大特点是引入了未知数，并对未知数加以运算。
它根据问题的条件列入方程，然后解方程求出未知数，如我们前边关于丢番图年龄的计算。
算术也有未知数，这未知数就是答案，一切运算只允许时已知数来施行。在代数中既然要对未知数加以运算，就需要用某种符号来表示它。
丢番图将这方面的成果冠以算术之名是很自然的，因此，他被后人称作是“代数学之父”的美誉。
希腊数学自毕达哥拉斯学派以后，兴趣中心都在几何，他们认为只有经过几何论证的命题才是可靠的。为了逻辑的严密性，代数也披上了几何的外衣。
所以一切代数问题，甚至简单的一次方程的求解，也都纳入僵硬的几何模式之中。直到丢番图的出现，才把代数解放出来，摆脱了几何的羁绊。
例如，（a＋b）2=a2＋2ab＋b2的关系在欧几里得《几何原本》中是一条重要的几何定理，而在丢番图的《算术》中，只是简单代数运算法则的必然后果。
丢番图认为，代数方法比几何的演绎陈述更适宜于解决问题。解题过程中显示出高度的巧思和独创性，在希腊数学中独树一帜。
如果丢番图的著作不是用希腊文写的，人们就不会想到这是希腊人的成果，因为看不出有古典希腊数学的风格，从思想方法到整个科目结构都是全新的。
如果没有丢番图的工作，也许人们以为希腊人完全不懂代数，有人甚至猜想他是希腊化了的巴比伦人。
丢番图在《算术》中，除了代数原理的叙述外，还列举了属于各次不定方程式的许多问题，并指出了求这些方程解的方法，识别了实根、有理数可能是“根”和正根。
为了表示求知数及其幂、倒数、等式和减法，他使用了字母的减写，用并列书写表示两个量的加法，量的系数则在量的符号之后用阿拉伯数字表示。
在两个数的和与差的乘法运算中采用了符号法则。他还引入了负数的概念，并认识到负数的平方等于正数等问题。
丢番图在数论和代数领域作出了杰出的贡献，开辟了广阔的研究道路。这是人类思想上一次不寻常的飞跃，不过这种飞跃在早期希腊数学中已出现萌芽。
丢番图的著作成为后来许多数学家，如费尔马、欧勒、高斯等进行数论研究的出发点。数论中两大部分均是以丢番图命名的，即丢番图方程理论和丢番图近似理论。
丢番图的《算术》虽然还有许多不足之处，但瑕不掩瑜，它仍不失为一部承前启后的划时代著作。
再说古罗马时期的另一位科学家帕波斯，他最有价值的著作是《数学汇编》。
公元4世纪，希腊数学已是强弩之末，“黄金时代”的几何巨匠已离去五六百年了，到公元146年，罗马人占领亚历山大后，科学便凋谢了。
公元后，除了托勒密等科学家有所建树外，理论几何的活力已经用完。在此情况下，总结数百年来前人披荆斩棘所取得的成果，以免年久失传，已是十分重要和必要的。
帕波斯正是在这种情况下，着手搜集整理前人的成果，把它们编成了重要的著作：《数学汇编》。
《数学汇编》在历史上占有特殊地位，这不仅仅是它本身有许多发明创造，更重要的是记述了大量前人的工作，保存了一大批现在在别处无法看到的著作。它和普罗克洛斯的《概要》是研究希腊数学科学史的两大原始资料，其功不可没。
帕波斯还写过关于地理、音乐、流体静力学等方面的书，注释过托勒密、欧几里得的著作。他是博学多才的。
而他的主要的贡献，正是我们介绍的，是收集、总结、补充和评述几乎是整个希腊时期的学术工作，使它流传下来并发扬光大。这些功劳是不可磨灭的。
下面再谈一位科学家希帕蒂娅。我们在这里介绍她，完全是因为希帕蒂娅是有史记载的第一位女科学家、哲学家。
希帕蒂娅早年跟随父亲学习，她在数学上的成就主要是帮助父亲评注托勒密的数学名著《大汇编》，还协助其父编辑了欧几里得的《几何原本》。
据古代一本辞典记载，希帕蒂娅还评注丢番图的《算术》和阿波罗尼的《圆锥曲线》等名著，可惜这些评注本都已失传。
希帕蒂娅也在亚历山大从事科学和哲学活动，讲授数学和新柏拉图主义。她的哲学兴趣比较倾向于研究学术与科学问题，而较少追求神秘性和排他性。
约在公元400年左右，希帕蒂娅成为亚历山大的新柏拉图主义学派的领袖。由于她的学术声望，甚至有的基督徒也拜她为师。
但是，早期的基督徒在很大程度上把科学视为异端邪说，把传播希腊传统文化视为异教徒加以迫害。公元415年，希帕蒂娅被信奉基督教的一群暴民私刑处死。
她的悲壮身世，成为一些文艺作品的主题，著名作家金斯利把她写进小说《希帕蒂娅》中。小说中的希帕蒂娅，聪明、美丽、展雄辩之才又虚怀若谷。
古印度数学成就
古印度在数学方面有相当大的成就，在世界数学史上有重要地位。自哈拉巴文化时期起，古印度人用的就是十进位制，但是早期还没有位值法。
大约到了公元7世纪以后，古印度才有了位值法记数，不过开始时还没有“0”的符号，只用空一格来表示。公元9世纪后半叶有了零的符号，写作“.”。
这时，古印度的十进制位值法记数就完备了。后来这种记数法为中亚地区许多民族采用，又经过阿拉伯人传到了欧洲，逐渐演变为现今世界上通用的“阿拉伯记数法”。
所以说，阿拉伯数字并不是阿拉伯人创造的，他们只是起了传播作用。而真正对阿拉伯数字有贡献的，正是古印度人。
《准绳经》是现存古印度最早的数学著作，这是一部讲述祭坛修筑的书，大约成于公元前5至前4世纪，其中包含有一些几何学方面的知识。
这部书表明，他们那时已经知道了勾股定理，并使用圆周率π为3.09，古印度人在天文计算的时候已经运用了三角形，公元499年成书的《圣使集》中有关数学的内容共有66条，包括了算术运算、乘方、开方以及一些代数学、几何学和三角学的规则。
圣使还研究了两个无理数相加的问题，得到正确的公式，在三角学方面他又引进了正矢函数，他算出的π为3.1416。
公元7～13世纪是古印度数学成就最辉煌的时期，其间的著名人物有梵藏（约589～？）、大雄（9世纪）、室利驮罗（999～？）和作明（1114～？）。
梵藏约于628年写成了《梵明满悉檀多》，对许多数学问题进行了深人的探讨，梵藏是古印度最早引进负数概念的人，他还提出负数的运算方法。
梵藏对零作为一个数已有所认识，但他却错误地认为零除零还是等于零的结论。他提出了解一般二次方程的规则，得出二次方程x2+px-q=0的根为
梵藏还给出了ax＋by=0的整数解和处理不定方程ax2＋1=y2的方法。他最重要的成就是得出了求等差数列末项以及数列之和的正确公式。
在几何学方面，梵藏有以四边形之边长求四边形面积的正确公式，即
长。
而大雄继续了他前人的工作，他的主要著作是《计算精华》。他认识到零乘以任何一个数都等于零，不过他又错误地认为以零除一个数仍然等于这个数。
大雄对分数的研究也很有意义，他认识到以一个分数除另外一个分数，等于把这个分数的分子分母颠倒相乘。
现存的室利驮罗的数学著作有《算法概要》一书，据说他还有一部专论二次方程的著作。他的主要工作是研究二次方程的解法。
在这一时期，数学上成就最大的要数作明。他的《历数全书头珠》中的《嬉有章》和《因数算法章》反映了古印度数学的最高成就，是那个时期的代表作。
作明对零进行了进一步的研究，正确地指出以零除一个数为无限大。他继续研究二次方程求解的问题，知道一个数的平方根有两个数，一正一负。
他还明确地指出负数的平方根是没有意义的。作明在不定方程的研究中取得了十分显著的成绩，他用巧妙的方法解决了许多不定方程的求整数解的问题。
如下列方程：
6x2＋2x=y， 5x4-100x2=y2，
等等。
古印度数学科学的发展便趋缓慢，没有更多引人注目的东西了。
巴比论的数学
在公元前3000年左右，巴比伦开始有了像点样的数字了。现在考古发现的巴比伦泥板文书对研究数学史，提供了有力的证明。这些泥板书是在胶泥软时刻上字后，晒干保存下来的。
这些泥板书大致是于两个时期制成的，有些是公元前2000年左右，大部分是公元前600年到公元300年的。
较早的泥板是用断面呈三角形的笔斜刻的，刻痕显楔形，因此这种文字叫楔形文字。在楔形文字中，已经出现了1到60的整数写法和记号。
巴比伦人也会表示分数，但一组记号所表示的分数也可以作多种理解，这是一种混淆不清的表示法。
巴比伦人还有表示平方、平方根、立方和立方根的数表。当方根是整数时，给出的是准确值。对于非整数的方根，相应的60进制数值只是近似的。
这时他们使用的圆周率π=3.125。在一块泥板上，我们竟然看到他们解了这样一个指数方程：（1＋0.2）x=2，x＝3.8。
在巴比伦时期，求给定宽和高的一扇门对角线问题时出现了平方根，他们给出的答案没有说明是怎样求出来的。
但是，他们却很好地用了求对角线长的近似公式：
其中d为对角线长，w为宽，h为高。
早期巴比伦有一个代数基本问题，是求出一个数，使它与它的倒数之和等于已给定的数。这个问题的解答是要解一个二次方程。这说明巴比伦人已经知道二次方程求根方法。
巴比伦人还可以解出含有5个未知量的五元一次方程来。他们用一种特殊的方法结合各个方程，最后算出所有未知量。
数学在巴比伦人的生活中的很多地方都起到了作用。巴比伦位于古代贸易通道上，他们商业活动范围很广。他们用算术和简单代数知识来表示长度和重量，来交换各种商品和兑换钱币。
现在发现的牵涉到数学的大多数楔形文字著作是关于经济问题的。显然，经济对数学的发展是十分显著的。
其次，在工程建设上，需要用到计算，比如挖运河，修堤坝，以及其他水利工程都要用到计算。所以说，巴比伦的数学和人们实际应用是分不开的。
巴比伦的占星术很兴盛，他们认为数学本身就具有一种神秘性，因此可以用数学预卜未来。
在《圣经》中可以看到巴比伦人预卜未来的做法。希伯来人的“科学”测字术就是根据巴比伦人的预卜术而来的。有个预言说：狮子宣告巴比伦城的沦落，就是根据巴比伦预卜学原则而得出的结论。
古埃及的数学
再说在古埃及，文明的发展是在没有外来势力的影响下独自进行的。埃及人靠着尼罗河带来的肥沃的土壤，创造着自己生生不息的文明和科学。
古埃及人造出了几套自己的文字，其中有一套是象形文字，每个文字记号是某件东西的图形，直到公元纪元前后，埃及的象形文字还用在纪念碑文和器皿上。
那时埃及人的书写方式是用墨水写在草片上，草片很容易干裂成粉末，所以除了铭刻在石头上的象形文字外，古埃及的文件很少保存下来。
古埃及人在数学科学上的工作，我们现在知道得不太多，这可能与草书不耐保存，有很大的关系。
埃及的代数中实际上没有成套的记号，加法和减法用一个人走近和离去的腿形来表示。表示平方根的记号是两个「的直角。
埃及的几何和算术也是合在一起的。埃及人也和巴比伦人一样，把几何看成实用工具。他们把算术和代数用来解有关面积、体积和其他几何性质的问题。
由于尼罗河涨水而产生了古埃及的几何学，使埃及人研究出计算矩形、三角形和梯形面积的死方法。
埃及人对于圆面积的计算有其独到之处。如S=（8d/9）2，其中d为直径。这就等于π取3.1605。
埃及人也有算立方体、箱体、柱体和其他图形体积的法则。有些法则是对的，有些也只能算是近似的。
这里最了不起的法则要算用来计算棱台体积的公式。棱台底是正方形，这个公式用现代记号是：
V=h/3（a2＋ab＋b2）， h是高，o、 b是上下底的边长。这个公式之所以了不起，是因为正确，而且形式是对称的。
埃及数学的另一个主要用途是天文测量和计算，这从相当早的时期就是这样了。
尼罗河是埃及人生命的源泉，他们靠耕种河水泛滥后淤土覆盖的田地谋生，但他们也得准备好应付洪水的危害，因此就得预报洪水到来的日期。这就需要计算。
埃及人还把他们的天文知识和几何知识结合起来用于建造他们的神庙，使一年里某几天的阳光能以特定方式照射到庙宇里。
金字塔是代表埃及人对几何的另一种用法。金字塔是帝王的陵墓。埃及人竭力使金字塔的底有正确的形状，那么底和高的尺寸就有重大意义，这又需要精密的计算。
所以说，倘若数学是应人类需要而产生和发展的，那么在古埃及，这一点是最明显不过的了。
古代阿拉伯的数学家
古代阿拉伯的数学是在引进印度和希腊数学之后起步的，在不长的时期内，他们取得了可观的成绩。
阿拉伯头一位著名的数学家是花拉子密，他在数学上的成就比起天文学上的成就还要大一些。他的算术和代数学的著作很早就流传欧洲，对欧洲的数学有颇大的影响。
欧洲人主要就是从他那里学会了使用“阿拉伯记数法”。我们前面已经讲到，欧洲人自古希腊时候起即擅长几何学，他们也习惯于用几何学方法来解决代数学的问题，因此他们的数学有很大的局限性。
花拉子密的代数学著作《还原与对消》记述了800多个代数学问题，包括了一次方程和二次方程的解法。
这部著作在12世纪期间即被译成拉丁文，直至16世纪以前仍是欧洲各大学的主要数学教科书，在欧洲产生了很大影响。
拉丁语中algebra（代数学）一词就是从这部著作中的名称演化而来的。欧洲人对代数的研究从接受阿拉伯人的代数学才正式开始的。这与花拉子密的功劳不无关系。
花拉子密的天文表中包括有三角学的内容，他不仅运用了正弦函数，还引进了正切函数。不过也有人怀疑正切函数是后人修订天文表时加进去的。
另一个阿拉伯数学家白塔尼在天文学的研究中也涉及到三角学的问题。他在他的著作中又引入了余切函数，并且造出了从1°到90°之间相隔1°的余切表。
曾主持马腊格天文台的奈绥尔丁也是一位很有成就的数学家。原先的三角学只不过是天文计算中的一种工具，奈绥尔丁则致力于使它成为一门独立的学科。
他还提出了解球面直角三角形的6个基本公式，并且指出解一般三角形的方法。欧洲人到15世纪中期才知道奈绥尔丁的工作，在此之前，欧洲人还从未把三角学看成是数学上的一个分支。
在这一时期，还有一位重要科学家，他叫卡西（？～1436？）。他在圆周率的研究上取得了显著的成绩。
他是用穷竭法求圆周率的，他计算了圆内接和外接3×228边正多边形的周长，求得圆周率π=3.141，592，653，589，793，25，即准确至小数后第17位。
他打破了我国祖冲之保持了近千年的世界纪录，1000年后才又为欧洲人所超过。