生殖门诊看什么病:小学 数学趣谈

来源:百度文库 编辑:偶看新闻 时间:2024/03/29 19:52:15

小学 
数学趣谈数字趣谈——“0--13” 我是“零”。我是有理数,是整数,是没有数的数。我是无中的有,又是有中的无,我是内在的有,我是特定的无,我最贫寒,贫寒的一无所有,但我又最富足,多少数能填满我的空腹?我是有的循环,是无的显露,有位哲人说,描示零的本质,需要深奥的思考,因为零比任何数内容都丰富,我虽然小于任何一位正数,但是我有我的哲学,拼命发挥长处。
我首先是万数之奴,我心甘情愿地为一切数的运动与发展服务。不然我的存在有何用途?我又是万数之王,零乘任何数都为零,我可用乘法否定一切数,
外在的我,含蓄又充实,内在的我,热情又质扑;我发挥我不可取代的作用,勤劳、忠诚、严肃,在平面与立体坐标系中,我隐居中心,一切尽从我这儿去表演奇幻多彩的魔术。我是数论的基础,是任何等量算式的保姆,我是出色的软工具,在计算机世界里,我顶半边天,我又为图论方程当支柱,我把度量带进数学。为极限、为导数、为函数、为无穷幂级数作公仆。称重量,求长度,我毫不含糊,我在小数点前后,精确地 察看,模糊地近似,成为宏观与微观世界的施主, 用我的有与无,可论证一般与特殊。
我是现实的有,是无价的财富,在有关领域显示我的有,勤勤恳恳,献上我的全身解数,我用圆圆的眼睛观天测地,我走向厂矿、农村、市场,默默地提供交换的媒介,义无反顾。我限定水的形态,是沸腾还是凝固,我平衡物体的地位,我标示力的静态与起伏,就是聪明的耗散理论,也以我为出发点和归宿,在人间竟争的交响乐中,我是报有恩情的音符,我为攀登成为兴奋的开始,我为实物筑一座悔叹的陵墓。月转星稀,我忙碌,人事沧桑,我关注。时间推移,我是新旧文的替点,新的白昼,从我这儿醒来,旧的黑夜,在我这儿结束。
圆的太阳毕竟是辉煌的闪光的,还有那谜一样的亿万星宿。每一个谜都是一个无,我虽日趋成熟,却还打着多层埋伏,就如宇宙里还有“黑洞”。零的无限世界里,每一个层次与结构都有需破译的密码与天书,谁能打开我更深一层的暗箱,找到我的新的功能和用途。谁一定惊奇欢呼,零的方法,原来是点金术。
我是智慧之母,我第一个高喝,用我们的智慧筑起我们新的长城,我是开拓之斧。头一个将空无变为有鲜花与粮粟,探索里只有乐趣,奥秘中只有内幕,谁能爱没有,我却偏探无,我为直觉搭起阶梯,为创造点亮蜡烛。每一个空白里都堆满珍珠,我钟情于探索者,期待着您的“悟”,我祭起法宝,否定束缚。君不见,在零的基础已站起并正在站起多少风流人物,从零开始,对挫折,不能服输,新的光荣,属于新的智能结构,新的未知,需要新的武器与头脑去征服,整数的零次幂都为“1”,方法对头人皆可为梁柱。

啊1,我赞美你
 
啊1,开口数数,首先数到的便是你。你是最基本的数量单位。只要有了你,进行运算就能得到一系列数,你用加法可得到任意自然数,你用加减法可得到任意整数,你用加减乘除四则运算可得到任意有理数,你用六种基本的代数运算可得到任意实数。你能衍生一切,你是数字的本源,万事的开端,高楼的基底,希望的萌芽,大千世界不就是由无数个一草一木,一山一水,一人一物,一时一秒,一滴水,一把土等聚集而成的吗?没有一人,就组不成人类群体,没有一木就形不成片片绿色森林,没有一星,我们就看不到群星璀灿的夜晚,没有一滴一滴的水珠,就不会有浩瀚无边的大海……
在用数表示量的多少时,你是单位,在用数表示顺序时,你是最前元素,而一个自然数是同时具有“多少”和“顺序”两种意义的。你既是单位,又是最前元素,你是最简单的数,但又能作为某些领域的标准。当我们需要的东西在数量上只有一个时,我们变毫不犹豫地选择,当我们进行任何第一次尝试的时候,我们总是兴奋悠悠。
“多”包含着1,这是显然的,因为任何表示“多”的数都是由你与某些运算构成的,这里你是“多”的一个部分,你包含于“多”中,另外,1是单位,“多”则是若干个单位之和,若采用某整体作单位时,“多”就转化为你。十多亿人口只是“一”个中国;千千万万个H2O分子只是一滴水,许许多多的物品只是一个集合。1000是“多”吧,但如用吨为单位,1000公斤才是“1”吨。1也包含着“多”,如在用较小单位时,你就包含“多”,一片森林;包含千万树木,一片花园,会开出千万枝花朵;一个单位,有几百个职工。1公里不算多,但用毫米作单位,1公里就是1000000毫米,正如恩格斯所说;“一和多是不能分离的,相互渗透的两个概念,而且多包含于一中,正如一包含于多中一样。”
啊1,你可以用多种形式表示,多一种形式,都意味着产生你的方式。被除数与除数相等的商是多少?不为零的任何实数的零次幂是多少?底数的对数是多少?全取组合数的值是多少?偶素数又有多少?它们都是1,是你的灵魂的各种显现。
1啊,有多少恒等式,方程式的右端是你哟。不论角度X是多少度,总有sin2x+cos2x =1,只要n趋于无穷无穷大,1/2+1/4+1/8++1/2n+=1,只要x2/a2+y2/b2=1,点A(x,y)就会沿着椭圆的轨道运行。数学中有了你,才使数学令人着迷,一道运算题的结果若是你,人们便立即欣赏感叹。你在数学中太重要了,有许多数列的极限是你,你的任何实数幂仍然是你,你同任何数相乘仍为任何数,你除以任何数还是任何数,任何数〈除零外〉除你就变成它的倒数。在许多运算中,你是变换的桥梁,简洁算法的关键,逻辑推理的灵魂,有了你五彩缤纷的变化,也就有了数学那丰富多彩的内容。
1,你又是对数系统的界限,当底数大于你时,一切大于你的数的对数是负数,当底数小于你时,又恰恰相反。而以任何意义所允许的数为底,你的对数都是零。在解析几何中,你是圆锥曲线分类的标准,据离心率大于等于或小于1,分别是双曲线,抛物线和椭圆。在三角函数中,正弦函数,余弦函数的最大值是你,最小数是你的相反数,啊1,你有时是那样地高高在上,遇到你也就达到正余弦函数值的最高峰了。
啊1,你太小了,太少了,再没有什么东西看起来比你这个数量单位更简单了,但是,只要把你和相应的多联系起来,并且按照你从相应的多中产生出来的各种方式加以研究,我们就会知道,再没有什么比你更多样化了。由你到多构成了一个完美无缺的整体,美就是你的永恒的光辉,透过物质现象的朦胧显现。啊1,我们赞美你!
2 隐藏在事物背后的神秘数字
 

自从人类产生起,我们的祖先为了自身的生存和社会的发展,在劳动中创造了语言;为了计数,表示多少个劳动产品,又在漫长的社会发展中发明了数字,他们根据人的左右耳,对称的眼睛和一双勤劳的手,两只不畏严寒的足,抽象出了这个隐藏在万事万物背后的特殊数字——“2”。其实他们哪里知道这只是“2”的初次显圣,随着社会的加速发展,它那神奇而特异的功能越来越显示出巨大的威力。看起来极为变通而简单,却包含着无穷无尽的奥妙。
今天,让我们揭开它那神奇的面纱,看看它的真实面目。二千多年以前,我国劳动人民为了研究自然变化的规律,便采用了天干,地支,“2”种顺次成双成对相结合的方法记载年和日,它以六十年〈或日〉为一个周期。在自然现象中,天与地一对,阴与阳成双,还有风与雨,雷与电,高与低,长与短,宽与窄,深与浅,大与小,多与少,轻与重,无生命物质与有生命物质,植物与动物等等,它们都是“2”在不同现象中的化身,也构成了对称式的事物的性质进行比较的不同方式。
在空间中,过两个定点只能确定唯一的一条直线;同一平面内,两条直线只有两种位置关系,它们或者平行或者相交;平行给人以平稳,宁静,宽广等美感,相交的两条直线中,如果规定了各自的正方向,原点及各自的单位,则它是一个二维射影坐标系,它能使抽象的射影变换具体化,直观化;如果这两条相交线互相垂直,正方向,原点不变,两条直线上的单位长度相同,那么这两条相交线就摇身一变成了特殊的二维射影坐标系,即二维欧氏空间——笛卡尔坐标系,这是一个多么神圣的十字架啊!它使人类变得越来越聪明,而不象基督教中那种迁腐的十字架,使人们走向岐途与无知。它巧妙地使平面点集与有序实数对建立了一一对应关系,更使人意想不到的是为代数与几何搭起了鹊桥,使解析几何得以产生和发展,又可建立复平面,使有关的向量的运算变得简单而易行,也为数学的统一美增添了新的风采。
作为自然数中的一个成员——“2”,在数学天地里都有着别具一格的优点和令人难以捉摸的规律。它是自然数“1”的唯一邻居,后继数是第一个奇素数“3”;后继数的后继数“4”又是第一个不是素数的偶数,而“2”却是一个唯一的既是偶数又是质数的自然数。二加二,二乘以二,二的二次方,神斧天工竟有共同的结果4;一个实数的平方总是非负数,一个正数的平方根总是绝对值相等,符号相反的一对数;两个正数的和除以2称作算术平均数;两个正数的积的平方根称为几何平均数;一个一元二次方程总是有2个根,或实或虚,或等或不等,可由判别式判断。在这里都有“2”的神秘影子,它起着某种奇妙的作用;如果成对的自然数的积顺次构成的列1×2,2×3,3×4……(n-1)n……,变成由每一项的倒数构成的倒数列1/1×2,1/2×3,1/3×4,1/(n-1)n……,那么要求它的前几项和似乎很困难,但是如果发现每项都有一个共同点,即1/n(n-1)=1/(n-1)-1/n时,那就是每项可以写成分为两个数的倒数之差,这样,前几项和的求法就变得非常简单,其结果为Sn=1-1/n,在这里,“2”既是秩序美的潜因,又起化繁为简的作用。
在现代社会中,我们采用十进制进行计量,采用六十进制计时,而谁又能想到最有发展前途的是二进制,它只有两个元素0,1,它的四则运算简单而明了,如1+1=10,它与八进制、十进制、十六进制互化极其方便。数理逻辑就是在二进制的基础上产生的。逻辑式的化简,解逻辑方程都离不开二进制作向导,如果说没有二进制,那么电子计算机至少不会象今天这样飞速发展,信息时代也不可能在当今的社会中实现,卫星上天也是一句空话。可见“2”的某些规律给人们带来了多么有意义的启示和灵感,更为数学迷宫笼罩了一层神妙而朦胧的面纱。
“2”在代数的世界里留下了神奇的足迹。有一位数学家风趣地说;“象评演员一样,如果在中学数学里评最佳定理,我就选勾股定理,二次三项式根的定理和棣莫佛定理。”在这里二次三项式,勾股定理,棣莫佛定理都显现着2的光彩。勾股定理的整数解是最为独特的、典型的。因为对于“an+bn=cn的不定方程,当n≥3时,找不到任何一组整数解,在这里2是神秘的荣幸者。棣莫佛定理是复数知识中最重要的定理,这里实部、虚部,复平面上的数组,都蕴含着“2”的本质。二次三项式根的定理确实是一个引人注目,运用最多的定理,即就是二次三项式以及与之有关联的一元二次函数,一元二次方程,一元二次不等式,也是整个中学数学的重要核心内容之一,各类考试无把它作为命题的重要内容。我国数学家杨乐,曾在一次讲话中专门论述了为什么二次三项式的内容受到高考命题的青睐,可见二次三项式及其影响极为深远,人们对其爱好不同寻常,进而人们对“2”产生了更加神秘而奇特的想象。
二元二次方程,几乎占据了中学解析几何中大部分内容,圆、椭圆、双曲线、抛物线等,它们的方程是二次方程,它们通称为二次曲线,这些曲线都是简洁的二元二次方程。二次曲线漂亮优美,二元二次方程对称优美。而其中的“2”则更为蕴意深刻,奇美无比了。
在数学王国里,二项式定理是一个完美的定理。我们说以“2”成双,成双为对,成对才能闪耀对称的光辉,而二项式定理的展开式就显现出了奇美对称的特点。从杨辉三角上看就会显明地看到这种美的形式的壮丽,然而,“一分为二”是一种认识事物的观点,而一个线段可以一分为二,我国古代就有人研究数列的极限问题,最典型的问题就是“一日之棰,日取其半,万世不揭”。
在各门学科中,许多问题常归结为“二”个方面或两个问题,而且多数都在某种意义上具有对立而又统一的关系。一方面的存在而往往是另一方面存在的前提。离开了其中一方,另一方就无从谈起。在哲学上,对立统一规律是宇宙中最为普通的规律,它正是“二”和“一”的深奥组合,它囊括万物,包罗万象,是照耀人类社会不断发展的一盏明灯;量变与质变又是事物发展变化的基本规律;事物总是在矛盾中发展的,它有共性与个性,主要与次要之分;同一矛盾也有主要方面和次要方面之分;感性认识与理性认识都有是认识的两个深浅不同的阶段;在事物发展变化中,内因起着决定作用,外因通过内因起作用;主观与客观也是一对矛盾关系。美学上存在着真与假、善与恶、美与丑,总是有着对立面的两个方面。物理学上有宏观与微观、引力与斥力、作用与反作用力、电场与磁场、正电荷与负电荷之分,伟大的物理学家爱因斯坦的相对论也有狭义与广义之分。医学上也有中医与西医,内科与外科之分,生物学有同化与异化之分,化学上有有机物与无机物、金属与非金属、化合与分解、树枝的聚合与石油的裂化等。在语言文学上则更是不胜枚举,就拿方位词来说有上下、左右、前后、内外之分。这些事物中,都无不存在两个方面,可见2处处存在,时时出现,“2”以某种天使般的能耐使事物显示出对称统一、和谐美的特征。
“2”给了我们许许多多的深刻启示,使人类不断开创了美好的世界,然而它仍然是神秘的,也许它还会有更多的严谨和均衡的内在美尚未被人发现,这就给我们留下了探索神秘的完美的目标和追求的信心




神秘的“3
我们在三维空间里自由自在地生活,对于“3”一定应感受最深,认识最多了,从一开始数数,数2后就是3,但3对于2来说已不仅仅是“差一个数量级了,它的蕴意变化万千,给我们以神秘的、无穷的感受。
“道生一,一生二,二生三,三生万物”,道家一言道出了3的真谛,3为什么竟能衍生万物,这确是我们百思不能求解的问题。2确实不多,但加1成3便为多,三人为众,三木为森,三石为磊,三车轰隆有声,三日晶晶闪烁,三火焱焱燃烧。
物理学中的三棱镜可将太阳光折射出七色光芒;画家可将三种原色按比例掺配,画“五彩缤纷”的图画;三个臭皮匠,就可以胜过诸葛亮;三人同行,必有我师;三人同心黄土变金。一个单位只要有三个党员,就可以组成一个党支部。可见3已是一个足够大的数字了,有了3就具备了足够的原料,奠定了扎实的基础。
三如果意味多的话,则一就意味少了,因此 对联常在上下联中分别嵌入三和一,使对联工整有趣,如“千程怀抱三杯酒,万里千山一水搂”,“三顾频频天下计,一番唔对古今情”。
在数学中,2和3的差距简直太大了,使人不可想象,苦思费解,如任意两点总在一条直线上,而三点却可以不在一条直线上,两点只能确定一条直线,而不在一条直线的三个点可以确定一个平面,两条直线无法组成闭合多边形,但有了恰当的三条线,可以构成一个三角形。方程xn+yn=gn,当n=3时或者n>3时就没有一组整数解,圆规二等分一个角是极容易的事,而圆规三等分一个角,我们却无法做到。谈到这里,我们不禁想问,为何3只多了一个数量单位,就使有关 3的数学问题结论截然不同,可见3在数学领域里是一个极神秘的。数学中三是对立统一的和谐整体,三的构造是一种很美丽的宝塔形,所以它普遍得到艺术家的偏爱,画家作画爱画三件物(或人);作家著书爱写三部曲——上,中,下集;诗人作诗爱用“三”这个数字,如唐代大诗人李白在《望庐山瀑布》中留下了“飞流直下三千尺,疑是银河落九天”的光辉诗句。我国计划生育提倡一对夫妻只生一个孩子,一家三口人,包含三种关系,形成稳定的结构,3成了每个家庭偏爱的数字。
自然数中3是个最小的不是偶数的质数,3的平方是9,而9是个奇妙无比的数字,一个数是否能被3整除,只要它的各位数字和能被3整除,则这个数就一定能被3整除。如123、1356、2421它们的和分别是6、15、21都能被3整除,则可断定它们都能被3整除。
平面几何中,三角形简直是一个三的世界,任何一个三角形都有三条边,三个角,三条角平分线,三条中线,三条中位线和三条高。直角三角形的勾股数是三个和谐的整数,代数中,三角函数知识包括着许多许多的奇妙的公式和有趣的恒等式,形式多样,变化万千,给学习者以无限的乐趣,立体几何中的三垂线定理,应用广泛,可解许多不可直观想象的问题。
三在汉语中,也有其丰富的含意。汉语常用“三”及其倍数“九”表示多数。清人王中在《 三九》中说:“一奇,二偶,一二不可为数,2加1为3,故三者,数之成积而为十则复归一,十不可以为数,故九者为数之也”,还说“生人三措辞凡一、二所不能尽者,则约之三,以见其多,三之所以不能尽者,则约之九,以见其多,此语言之虚数也”。以三表示多数,古已有之,翻开典籍比比皆是。《左传,十八年》中“楚有三施,我有三怨,怨已多,将何以战”,是说楚国有三件恩惠,我却有三件怨恨,怨既已众多了,怎能战呢?三件怨恨便认为是多了,《左传,定公十三年》说;“三折肱,知为良友”,“三折”是指多次折断胳臂。
在谚语及成语中“三”更是大放异彩,“一日三秋”,“一正避三邪”,“三变斯言”,“韦编三绝”,“无风三尺浪”,“秀才造反,三年不成”,“学善三年,受恶一朝”,“一盘家棋下三天”——“棋逢对手”。“三思而行”、“三下五除二”、“不管三七二十一”等把三用得活灵活现,妙到好处。
3确实是一个神秘的数字,生活中3与我们亲密相关,科学领域里,3给我们留下一串串的问号,汉语中,用三可以成妙语,数量上3是一个够大的数字,数学中,3成了数学问题的精灵,面对三维空间的世界,我们苦思冥想,也难以了解3给我们留下的深奥无穷的种种问题。

啊!圣洁的四
 
“创造诸神和人类的神圣的数啊!愿你赐福我们!啊!圣洁的、圣洁的四啊!你孕育着永流不息的创造源泉!因为你起源于纯洁而深奥的1,渐渐达到圣洁的四,然后走出圣洁的十,它为天下之母,无所不 无所不包 ,首出名世,永不偏倚,永不倦怠,成为万物之锁钥”。
这就是毕达哥拉斯学派对“圣四”的祷文,提起四,人们便能想起许多与四有关的事情,如一年有四季,春夏秋冬,地理有四方:东南西北;汉语拼音中有四声:阴平,阳平,上声,去声;扑克牌有四个花样:红桃,黑桃,方块,梅花;人体有四肢,建筑上有四合院,动物中有四不象,古有四书,四大古典小说,民间有四大传说,汉字书法有四体。这些无不说明四在人类生活中应用之广泛,联系之密切。
横向两直线与纵向两直线必然构成一个矩形,也就是两条具有广阔的宁静的水平线,与两条具有上腾和挺拔美的纵线,可以构成一个方方正正、整整齐齐,四方对称的图形,这也许是长方形被人们喜欢的缘故吧,长方形具有四条边,四个角,而这四个角都是直角,而用长方形可以无缝隙的铺满地面,将许多长方面排在一起,又是那样的整齐好看,人们生活中创造出了许多与长方形有关的作品,如国旗、办公桌、书本、象棋盘等,看来数四与直角的关系特别亲近,是因为周角的四分之一为直角吗?或是国为具有四个角的矩形有四个直角?在直角坐标系中,有四个坐标轴,四个象限,这是直角与四在平面坐标系下共同创造了一种和谐的美。
4,作为自然数在数学领域里,有其独特的性格与规律,4居3之后,居5之前,4的在邻右舍3与5都是质数,而4却是自然数中第二个平方数,它有三个约数:1,2,4,是一个等比数列,所以4是一个合数,又是一个最小的不是质数的偶数,2作为它的因数,与它有着天生的不解之缘,4的一半是2,2加2,2乘2,2的2次幂其结果都是4,4还与它的左邻右舍3与5有一次最佳的合作:即;32+42=52,被人们赞美不已,它是发现勾股定理的线索、萌芽及启示。
我们来看这三个数“4,6,10,它们有一种内在的奇妙的联系,当然最明显的一点是4+6=10,可它们还有一些潜在的联系会使人们感到惊奇,比如,前四个数之和为10,即:1+2+3+4=10,而4前面的三个数之和为6,即;1+2+3=6,在下列式中:42=16,242=576,6242=389376……,我们看到,这些数的平方数的后几位数与这个数之和为102,而这些数的个位数是4,平方的末位数为6,这些数就是自补数。它奇妙地将4、6、10三个数溶为一体。正方体是大家最熟悉的,它是仅有的五个正多面体之一,正方体有六个面,这六个面都是正四边形,6与4在正方体上巧遇,创造了优美的正方体,在正方体上还可以切出截面为正四边形以及正六边形的截面,而在正四面体中,有四个顶点,四个面,有六个棱,4与6这些常常相伴的奇妙特性,真令人赞叹不已。
在数论中,有一个函数φ(m)叫做欧拉函数,它表示小于m且与m互素的正整数个数,这样当m≥x,且(a.m)=1则φ(m)≡1(modm),这里我们所感兴趣的是φ(10)=4。而且对于任何自然数n,n的个位数与n4k+1的个位数相同,如35=243,175=1419457,如果我们想求一个数的很高次方的个位数是多少时,只要把指数用4去除,然后把所得的余数看成是原来数的指数,这样所得到的个位数就是所要求的高次方的个位数,例如:19102的个位数与192的个位数相同,因为102÷4所得余数是2,这里的个位数与10有关系,实际上这个个位数就是除10的余数,而指数幂的个位数的变化规律与4有关系,即用4可以规划指数幂除以10的余数规律。
绘制一幅无论如何复杂的地图,仅用四种颜色就可以将相邻的各区域用不同的颜色分开来。四的神妙的性质竟在地图上出现了惊人的奇迹。
我们在学习心理学、教育学、教学法的过程中,也许因为这些学科是研究人的活动的,许多结论竟往往归纳出四条,如大脑的功能有四个方面:收集,储存,应用,加工;世界上不多不少只有四种教学方式:呈现方式,发现方式,实践方式,强化方式;学习应有四个步骤:理解,巩固,应用,系统化;掌握知识应从四个方面学习去学习:即基本的事实,理论,技能,思维方式;就是我们数学学科的严谨性要求也是四个方面,即语言准确,思维缜密,言必有据,思路清淅等等。也许我们永远解答不了这是为什么,但我们模糊地感到四是一个完美的整体,有了四,就可以组成一个严缜的稳定的结构,在文学中,有关“四”的故事成语非常多,其寓意也广泛完美,如四面八方,四指东南西北。四海为家,四为全国各地。四体不勤,四指双手双脚。四邻不安,四却是分散破碎。四不拗六,四竟含少数之人。四才实学,四又为身言书判;四大皆空,四则指地、水、空、风。因此四蕴藏着无穷的含意、无限的奥妙,我们也禁不住有这样的感叹:啊,圣洁的、圣洁的四啊,一个优美无比的数字,今天我们步入社会主义四个现代化的时期,运用四将又给我们多少皆慧与启示,勤奋学习,努力工作,我们都得从神圣的“四化”着眼。

奇妙的5
 
记得我认识阿拉伯数字,与5开始接触时,就对5产生了一种奇特的感觉。在这多年的感受中,我愈来愈觉得5是个完全的、奇妙的数。
朋友!你可否知道:“5是一只手”、“5是半个世界”,因为,十是完美的象征,以十代表宇宙,则五应代表半个世界。一只手恰有五个指头,两只手有十个指头,难道5不是半个世界吗?
在观察中发现,5在日常生活中应用极其广泛,可谓是无处不有处处有;无时不在时时在。就从我们人体上来说,每个人每只手都有5个手指、5个脚指,有五官,有五脏等,假如比5少一个或比5多一个,那将是人生最大的痛苦。而且头与四肢鼎立时,才显示人体形态的俊美,更为奇妙的是喝酒猜拳时,人们最爱喝彩的还是五魁首,赢的概率就大了。
日常生活中,人们对五也有许多美丽的描绘,如“五光十色,五彩缤纷,五湖四海,五颜六色,五味俱全等”,更使人惊讶的是许多伟大的变革性的革命运动及节日,都离不开这奇妙的5,如历史上著名的五四运动,四五运动,还有五一国际劳动节、五四青年节等。
这些对完全、奇妙、神奇的五来说,仅算九牛之一毛,沧海之一瓢,在深奥、神圣的数学领域中,5更是大显神威,发挥其独特的作用。
自然数中,5是一个质数,是第一阴性数和第一个阳性数的综合。因此,有人常用5来表示婚姻,但5就其本身又有许多奇妙的性质,在尾数是5的两位数平方运算中,还有奇妙的特点,如152=225 252=625 352=1335……
观察可知其特点是,最末两位数依次是5、2;其首位上的数是这个两位数首位数与其加1所得的数的积,这样就可知其果,也常使速算者们兴奋不已。
5与任何奇数相乘其末尾数是5。而5既是自生数又是自补数,52=25,5+5=10,这一性质称自补数,而52的末位数又再现了5,这一性质称自生数。还有许多这样的数:如5,25,625,90625……都是自生数,而象5、75、375、9375……则是自补数。
在复杂神秘的几何中,象正五边形、五角形都与5密切联系,不可分割。特别是五角星具有稳定性,它的五个角均匀分布在五个方向上,下边两个角、左右两个角、上边一个角,给人一种绝对的和谐美感,我们的国旗就采用了五角星作图案的,组成了一个漂亮的图形。这是因为,在五角星中,有许多黄金分割点,表现了有变化的统一,显示了其内部点系的和谐。
正五边形也有许多奇妙的性质,各边相等,每个边所对的圆心角为1/5×360°度,没有余数。而五边形每两个对顶角的连线构成五角星。因此其内部也蕴含着许多奇妙无比的美。
五行学说在我国古代科学领域产生了巨大影响。
在商周时,人们认为金、木、水、火、土,是组成万物本源,称它们为五行。并且在人们的生活中,关于五行学说也很多,如邹衍的五行相生、五行相克思想,五行学说对我国后世科学、哲学、伦理、社会、生活等各个方面的影响是很大的,五行:金木水土火; 五色:黑赤青白黄
五味:苦酸甜辣咸;
五常:智礼仁义信;
五方:东南西北中央;
五脏:心肝肺肾胃;五帝;黄帝颛顼、帝唐尧、还有五微:五轮、五官、五谷、五刑、五性、五代、五更、五毒、五事、五犯、五音、五齿、五岭、五金等,真不知道为什么世界上的万事万物都要分成五类!

五在我们生活中应用极为广泛,关于5的美丽描述也甚多,5还有许多奇妙的性质,奇特的应用,只要我们勤奋的探索,就可以打开这个奇异的美丽的黄金宝库,让5的美丽光泽遍天普照。

6的赞美

你对我了解的不够多,我不仅仅是实数、有理数、整数、自然数、偶数,我还是一个完全的、无私的、神秘的数。
你开始学数数:1、2、3,你那会知道这1、2、3正是我的全部除数,你说我该不该自豪,最开头连续的三个自然数完全是我的因数,即1×2×3等于我,而且这三个数的和也是我,这一定使你惊讶吧!有人竟称我为最吉祥最神圣的数,在民间,常说三、六、九这些日子好,出门顺。在中国,各民族掀起为十一届亚运会捐款的热潮,有人寓意深刻地捐赠“六元六角六分”,诚恳祝愿我国第一次亚运会一切顺利,获得成功。实际上,最使我满意的称呼则是完全数,对!我是一个在一位数里唯一的完全数,其它一位数不是亏数,就是盈数,唯我既不盈余又不亏欠,我恰恰等于我的除数之和。
有的圣经解释家认为,我和我们第二个完全数的弟兄二十八是上帝创造世界时所用的基本数字,他们指出,创造世界花了六天,二十八天则是月亮绕地球一周的天数。其实,我这个数本身就是完美的,并不是上帝创造世界用了六天,事实恰恰相反,因为,我这个数是完全数,所以上帝在六天之内,把一切都赶着造好了。即使没有上帝六天创造世界这个事,我仍旧不失其完全数的美称。
常言道:“雪飞六出”,雪花和冰晶的形状大多数是六角形的,这是大自然的奥秘,还是由于我的完美?就连蜜蜂也喜欢我,将蜂房造成六边形。我与对称的关系非常密切,在所有的正多边形中,正六边形画起来最为简单,在圆内,以圆半径来截同圆,正好得六个分点,依次连结就得到一个正六边形,正多面体只有五个,而最为常见的却是正方体,而正方体恰有六个面。
我是完美的、也是无私的,我的奉献精神是崇高的、伟大的,也许你不全承认,事实却不需要我有更多的分辨,在与偶数姐妹们做乘法时,其结果总是归于对方,从不表现自己,如:2×6=12,4×6=24,8×6=48,看;2与我相乘,其结果我们仍奉出一个2,4与我相乘,8与我相乘,我同样分别再现一个4、8,我与它们共同劳动,共同演算,我从不摘取果实,全部奉献给了对方,这种无私奉献精神难道还不够使你赞不绝口吗?另外我还有教育别人,影响别人的作用,使它们变自私为无私,如26,76,376,126,626,876……它们都由于我的存在,也变得风格高尚起来,也有再现别的数的能耐。你不信试试看,26×12=312,76×92=6992,126×488=61488,376×488=13488…
我又能完全塑造自我,有人称我是自生数,具有自己创造自己的本领:62=36,63=216,64=1296,65=7776……。不管让我进行多少次相乘,其结果,全神奇地会再现一个我,我总是守在一长串数字的最前头,是火车头、是航舵、是向导……随便你作何联想。在这一系列的运算中,由简单到复杂,任凭“风云起,海浪涌”,我处“岿然不动”!
经过千锤百炼,在风风雨雨中,烈火熊熊中,我仍然是我,日新月异,时光流逝,可我总是存在,我获得了永生,而且这种“永生”,我还会带给别人,把这种永生发扬广大,如76,376,9376,109376……是由于我的导引,我的存在,它们也同样在自乘时,获得一个完完全全的自我,再现自身,永远存在。
我是一个普通的自然数,但我与别的自然数有其本质不同的区别,我有我自己的风格,有我自己的处世哲理,有我自己独特的存在方式。

7是什么?

7是什么?是欢乐,是爱情,是阳光,是绚丽多彩的图画。
7、7、7……到处有这奇妙的数字,《白雪公主与七个小矮人》,北斗星由七颗星组成,世界分为七大洲,伊斯兰教偏爱七,他们常念七节,开斋节常念的七大赞词,传统匀惯要念七遍,北京伊斯兰教经学院正门的台阶是七阶,永堂前的拱门是七个,相传人的启蒙者是来自天上的七颗行星上的七位国王。
7是什么?是一个素数,一个独立的、不可分离的、 富有无穷内含的自然数。
7是什么?是欢乐和自由,一周里共有七天,每过六天,人们可得到自由活动的一天,会友探亲,出游观赏,均是乐事。
7是什么?7是音乐,7种音符组成一个奇妙的音乐世界,给人们带来无限欢乐,使这个世界更加丰富多彩,每一部乐曲悦耳动听,有起有伏,有悲伤有凄凉,有欢乐有深沉,变化多端,都是由七个音符巧妙地排列组合而成的。
7是什么?是阳光分出来的颜色个数,七色阳光,绚丽多彩,七色彩虹,天上奇观。赤、橙、黄、绿、青、蓝、紫,可描画出无数动人的图画,七种颜色,构成我们整个世界的所有景色。
王母娘娘有七个仙女摘仙桃、舞彩虹、踏歌舞……,仙女下凡总是七人一往,翩翩飘来。七个仙女,七种姿态,七种打扮。七个仙女中,唯老七最多情,留恋凡尘,爱上人间男郎,结为夫妻,恩爱情长。而牛郎和织女会面之日是七月七,人们每年都牵挂着这个日子,祝贺分别一年的牛郎与织女再次相会,叙说离别之苦、相爱之情。若再问七是什么?七是耕种爱情的好时机,是获得爱情的吉日。
7是构成人体美的最佳数字,英俊脸庞,是由7的均衡分布而成,多于7或少于7,是人生的最大痛苦。 7是什么?是和谐,是漂亮的姑娘,是均衡,是英俊的男郎。
7既无酸性,又无碱性,当PH值大于7时,物质显碱性,而当PH值愈大,碱性就愈强,当PH小于七时物质显俊性,PH值越小酸性越强,唯有PH值等于7,物质就显中性。因此,7是酸碱度的中界,又是人们追求的标准数,获得7这一数字,食物才可口香甜,不酸不咸。
7是什么,7是诗歌,七律诗最令人欣赏,七言绝句最能表达诗情画意,7是歌谣的精灵,十九世界初,在美国阿母斯所考的算术中有这样一首诗谣:
我赴圣地爱弗西,途遇妇女数有七。
借问妇女携何物,一个七袋手中提。
一袋七猫数整齐,一猫七子紧相依。
妇与布袋猫与子,几何同时赴圣地。
显然,妇女与布袋,猫与子组成一等比数列,7、72、73、74。这里7象夜色天空的繁星一样闪闪发光。有了7使歌谣语言活泼,形式新颖。
七巧板是七块神奇的魔板,有了一组七巧魔板,可以组成千奇百怪的万物形象,斧头、镰刀、猫、鸡、手枪、房子,真是形象逼真、妙趣横生。
7的倒数是循环小数,使7变得奇妙神秘、令人惊讶,他们有相似的规律,呈现出一幕幕和谐美妙的循环艺术。1/7=0.142857,2/7=0.285714,3/7=0.428571,4/7=0.571428,5/7=0.714285, 6/7=0.857142。他们实质上是以142857这样一个顺序的环形而截成的6个线性排列,从这六个分数的不同排列来看,又是按严格规律变化的,具有统一、和谐、均衡的美,可见7是统一和谐美的自然数。
7具有顽强的补全精神,1×7=7,1+7=8并没有使1获得补全的余数,但7并不灰心丧气,经再次的顽强努力,最终会求得这种补全精神:1×7×7=49,终于1+9=10。1获得了完美的补数。而2×7×7=78,2+8=10。 3×7×7=147,3+7=10。 4×7×7=196,4+6=10。当然7 补全别人,7需要付出两次的艰苦努力,但这正说明它的精神的可贵而伟大。
7是什么?它不仅是一个素数,它是快乐的源泉,是爱情的机遇,是阳光的成份,是构成绚丽多彩的图画的各种颜色,是歌曲的和谐;7有补全精神,具有内在的和谐美,7又是可口食物计量标准,是一个具有奥秘无穷的自然数。
“8”的联想

数学王国,数字之多,说不完,道不尽。数字本身之神秘,与大千世界之万事万物联想之巧妙,却实在令人陶醉,令人深思……“8”就是这众多数中之一。
人常说:“要得发,不离八”,凡是与“八”相关的词语都披上了一种神秘的色彩。
古代传说中的八仙,来到人间,惩治邪恶,挽救善良,从此留下了许多美丽动人的传说。人有八命,民间算命也要打八卦;写文章总是不出“八股”文的规格。西游记中的“八戒”憨态可掬、逗人喜爱。
传说,三国时诸葛亮在川陕布八阵图,按照八卦学说进行创制,每日每时变化无穷,胜过十万精兵,制服陆逊,羞辱司马懿,一时传为佳话,八阵为何就有如此威力呢,而七阵,九阵就没有战斗力呢?这里八蕴含着一种非常神秘的意义,杜甫也有诗歌云:“功盖三分国,名成八阵图”,真是推崇备至。
据心理学家发现,人们对“8”有特殊的好感,我国建军节在八月的第一天,8月是收获的季节,八月十五是中秋节,三月的第八天是妇女节。而聪明的商人总喜欢在商品的标价上出现“八”以吸引顾客。解析几何中,把三维空间分为八个卦线,因而“8”显示出一个完美的平面方位。“8”它是第一个立方数,我们可坚持这样看;因为1不论是多少次幂,其结果都是1,因而将1从素数领域中开除出去,而8却是数2的立方数,巧妙的是2与8之和是10,尽获得十全十美的结果。一个数除以8的余数是多少,我们不必去做除法,只要由2做一个简单的运算,就可立即得到,如:123÷8的余数由2×12+3=27,2×2+7=11,2×1+1=3得到,其结果是3。
8的倒数的倍数,却与5有着奇巧神秘的联系,请看下列等式:
1/8=0.125 ,125×633=79125, 125×417=52125;
2/8=0.25 ,25×633=15825, 25×417=10425;
3/8=0.375, 375×633=237357 ,357×417=156375.
而小数点后面的数,无论是与633还是与417这类数相乘,都能再现自己,这种美妙的特征正是“8”与“5”之间的神秘联系所在,令人惊讶,令人迷恋。末位数有“8”的数,其中也有规律可循。如8、68、568……、812568,可表成8=2×4、 68=22×17 、568=23×71、………813568=29×1589。
又如23=8 ,2+8=10; 683=314432, 68+32=100 ;5683=183250432, 568+432=1000;……8135683=……186432, 813568+186432=1000000。这些奇特的规律,吸引着人们探索的兴趣。
6与10关于8对称,而102-62=82,这里8也充当了勾股数的角色,因为62+82=102。8可以二等分,四等分,八等分,许多数学家说,如果现在决定计数的进位制,那么八进制是最佳的选择,因为八的因数1、2、4、8是那样有规律的四个数,它们组成等比数列。
在西方,人们对8更崇拜,英国的长度单位中,一英寸=8英分,在原苏联的容积单位中,1俄石=8俄斗,1俄斗=8俄升等,在中国旧时的重量单位中,1斤=16两,半斤=8两。
现在电子计算机中,已经普遍采用了二进制,但二进制书写起来相当麻烦,因此在电子计算机中,普遍使用八进制作为一种过渡的中间计数制,在我们国产的许多型号的电子计算机里,都采用八进制数作为指令代码。
“8”象征着圆满,象征着吉祥,从古至今有多少人崇拜着它,迷恋它。但8本身究竟蕴含着多少秘密,还有待于人们进一步去探索、去挖掘。

神奇美妙的九
 
九,是我们中华民族所崇拜的数字,在中国古代人们的观念中,将天称为“九天”、“九重”、“九霄”;将地划为“九州”、“九域 ”;将宗庙称为“九庙”;道路谓之“九陌”;山有“九崇”;水曰“九河”;地有“九泉”;人分“九级”;官为“九品”。在古乐古诗中有九辩、九喜、九歌、九章等。九在中国人的心中竟拥有如此神奇的地位;作为一个数学爱好者,应该去深入探索它的本质及其它美妙的蕴意。
《易经》上说,九数含有吉祥的意思,如果按照“阴阳”来说,奇数为阳,偶数为阴,而九是阳数中最大的,称为“极阳数”。十是一个完美的数字,而九接近十而不到十,具有很强的倾向性,一位数字只有十个,而九是最大的一个,故为数字之极,寓义崇高。也许,就是这个原因,九有其最多的奇妙特点,最多的趣味性质。
九有一个非常奇妙的性质,是其它数字所没有的。如果要求一个自然数除以九的余数,则只要将这个数各位数字相加,其和如果仍是两位以上的数,则再将这个和的各位数字相加,最后所得的一位数,就是这个自然数除以九的余数。九的这一奇妙特点,总使数学爱好者十分着迷,许多趣味数学游戏,都与九的这一规律有关。数学老师常用“凑九”法验算学生的算式是否有误,而“凑九”法就是采纳了这一原理。九的倍数的各位数字之和也一定是九的倍数,可知九的倍数是一个非常和谐圆满的数系。
八位数12345679,如果将它同九相乘,奇怪的很,其积竟是全由1组成的数字111111111;如再乘18(九的2倍),可得九个2,乘27(九的3倍),可得九个3……,直到乘81,就可以得到九个9。这种整齐统一的特点,给人以多么美妙的印象啊!也许有人要问为什么把8去掉,填上会有规律吗?若把7、8都去掉,或把6、7、8都去掉,仍用九去乘,还有规律吗?答案是肯定的。九这个数字就是这么神奇,我们来看下列算式:
9×9=81
8=1+7
19×9=171
7=1+6
129×9=1161
6=1+5
1239×9=11151
5=1+4
12349×9=111141
4=1+3
123459×9=1111131
3=1+2
1234569×9=11111121
2=1+1
12345679×9=111111111
1=1+0
123456789×9=1111111101
纵观上面九个算式,不仅算式的结果很有规律,且积的数字之和都为九。第一个算式到第九个算式的变化,更能显示出奇妙无比的秩序美。
如果你随便找来一个两位以上的自然数,比如是317,将此数打乱,变成173、731、713吧,我们现在求出新数与原数的差,你猜会有什么结论?这些差144、414、396竟然全是九的倍数。在这里,无论是定数字,还是打乱所找数字的顺序,都是多么的随心所欲啊!可是在这种繁乱中竟能出现规律,这种规律的主宰者却是九。假如再随意找一个两位以上的数,比方418,①先将它的各位数字之和求出;②用原数减去其数字之和(418-18),其差405也是九的倍数。
下列算式的确是种简明的公式:100a+10b+c-(a+b+c)=99a+9b,公式的结果竟然是一个常数,且还是九的倍数,如所选的数是4位、5位,是否还有规律呢?我们敢于肯定地说,九的奇妙一定处处再现,无论是多少位,九的统一美的光芒定会时时闪耀。
九是一个神奇的反序数,在算式1089×9=9801中可知,九乘某一个数字,能使其顺序正好颠倒过来。从算式123456789×8+9=987654321中也可知,九加某数也竟能使其顺序颠倒;九也是一个神圣的自补数,因为92=81,1+9=10;992=9801,1+99=102;9992=998001,1+999=103;……又99×47=4658,而53+47=102,999×321=320679,而670+321=103,九又是一个神秘的自生数,93=729,993=970299,9993=997002999;九也是一个奇妙的再植数,从算式109890×9=989010中看出,9竟然将这个数的最高两位变成最低两位。九还是有趣的勾股数中不可缺少的成员:
92+402=412、92+122=152、而40+41=92、12+15=33=3×9。啊!九的奇特,操纵着无数数学运算和游戏,它不愧为一位伟大的魔术师。
在除法中,九的奇异也使人迷恋。看下列等式:1/9=0.111……,2/9=0.222……,8/9=0.888……,多有规律啊!在化循环小数为分数时,九又是大显神手,10是完美的数字,对于10,9和11是对称的,这种对称下也隐藏着许多秘密:1/11=0.09,2/11=0.18,3/11=0.27,…,9/11=0.81,10/11=0.90,真巧,分母含11的倍数,化成循环小数,其循环节的两个数竟然也是九的倍数。
九,在代数的世界里留有神奇的足迹……。
九的有趣性质简直是太多啦!实在是举不胜举。这么独特的数字,难怪人们特别喜欢它,非常崇拜它。正值冬天时,人们不数3,也不数10,偏偏数九:“头九不算九;二九冻死狗;三九、四九掩门唤狗;五九、六九水走头;七九、八九河边看柳;九九又一九,犁牛遍地走”。重阳节是双九,人们十分重视这个节日,因为“九月九”家家有,此时正是收获的季节。唐代诗人孟浩然写出“待到重阳日,还来就菊花”的诗句,至今一直被文人墨客所称道。用九来起名的我国古代数学家泰九韶,所著的书名是《算术九章》,而书中共分九大类,每类又有九道题,他简直是九的又一个崇拜者。过去北京的许多建筑都和“九”这个数目有关。例如,北京城内最早是九个城门,天安门的城楼是九重楼,故宫四个角楼的结构是九梁十八柱,皇家建筑物大门上的钉数是纵九横九,北海和故宫的九龙壁,都是九只龙,更有趣的是天坛有个历代皇帝祭天的地方,无论是洁白的石栏杆,或是圆台上磨平的石块,其数目都和九字有关。在改革之年,我相信人们将会以九牛二虎之力,去九天、到九州探宝,朝着九千九百九十九的通天大路奋勇向前。
九,这个数字王国中的明珠,它太神奇,太美妙啦!得到人们最高的崇尚,最好的赞扬,最多的欣赏,最有情感的偏爱。看起来,它是一个很普通的数,只不过与完美的数字10差1,只不过是一个完全平方数,只不过是一个最大的个位数,但恰恰就这点原因,竟蕴藏着变幻无穷的秘密,在你随时随地的数字运算过程中,也许就会突然发现九之规律所在,你会为此兴奋不已,感叹不尽。可你要知道,你这也仅仅是在九的奇妙独特性质的海岸上,拾到的一块小小的贝壳而已!要真正地全面了解九的神奇,九的美妙,无论是那个数学爱好者,都必须进行艰苦的探索和顽强的钻研。

10是最美的数字
 
普洛克拉斯说:“那里有数,那里就有美”。数字这种表达量的符号,从古到今,人们都有认为它们是构成美的基本元素。而数字10却被认为是这些所有数字中最美的数。
我从认识阿拉伯数字10开始,就对10产生了一种奇特的感觉。因为这个数字在日常生活中处处可以遇到,时时可以看见。伸开我们的双手,就会看到10个指头,同样一个人长有10个脚指,我们记载数字就是按照十进制进行的。
早在公元前六世纪,科学美学的鼻祖毕达哥学派认为,10是最美的数字,10代表宇宙,其原因是整个宇宙能用10种对立的范畴来描述,即奇与偶,有界与无界,善与恶,左与右,多与少,雌与雄,直与曲,正方与长方,明与暗,静与动。毕达哥拉斯学派在历史上是最早涉及研究数字美的问题的,由于他们认为万物的本源是数,因而将1、2、3、4这四个数称为“四象”,这四个数是最美的,为什么呢?其原因是1+2+3+4=10。
希腊人认为:人的心智可以体验出最美的和最完美的几何图形和数,他们凭着美感一直认为:圆是最完美的几何图形,匀速运动是最美最完美的运动,而10是最美、最理想、最完善的数字,为了符合10的完美性,就需要用十种对立的范畴来描述整个宇宙,这十种对立统一的范畴不仅对天文学起作用,而且对生物学、物理学、数学、伦理学、光学、哲学起重要作用。
我国古代儒家董仲舒的“天人感病说”中称天与人之间有着一种密切关系,从天到人正好是十种事物:天,地,阴,阳,木,火,土,金,水,人。天之数毕,意味着天至于人而毕,而这正好是十种。
“十”在我国语言文学中是圆满、完美的意思。十分漂亮、十全十美等,其中的十都表达了一事物是非常美好的含义,是对这一事物最好的评价。可见十是一个很大的数字,什么事物有了十个,就已经完美了,没有什么缺陷而言了。在生活中,与10有关的事物很多,有十个方位:东,南,西,北,东南,西南,西北,东北,上,下,左,右称十方。古代十部儒家经典称“十书”;十大药物和方剂总称为“十剂”;位于两手十指尖端的针灸穴位名称“十宣”;中国古代王朝所定的不可赦免的十种重大罪,名称“十恶”,十种光学现象称“十辉”;道教说大地名山间有“十大洞天”,是仙人居处。可见十是人们追求的一种数量级,在我国的成语中含有十的成语具有很丰富的内涵,如:“十字街头”,“十室九空”“十恶不赦”“十年树木,百年树人”,“十拿九稳”,其中的十也有不同的内容。一个叫奥维德的外国人写了一首诗,表达了对“十”崇拜的心情:
古罗马历,一年月亮绕十个圈,
当时把这个数奉为至尊至上,
或者因为我们习惯了用手指来数数,
或者因为妇人十月怀胎才分娩,
再不然就因为数字增到了十便回头来从一开始循环。
数组、再植数、反序数等等,它们那种奇特的性质,只有在十进制中才能显示出来。
苏联的十月革命,我们祖国的“十一”国庆节,这使我们对十更加热爱了,十这个神奇美妙的数,为什么会成为人们特别喜欢崇尚的数字?我们现在仍然找不到最好的答案,但我们确信10是最美的数字,十全十美是人们永远追求的目标,这点是无疑的了!

有趣的“12
 
一年有12个月,一天有12个时辰,人有12生肖,音乐中有12平均律,钟表上时针旋转一圈是12小时。12,这一普普通通的数竟与我们的日常生活息息相关,密不可分,它所蕴含的许多奇妙性质竟能给人以无穷的遐想。
粗看12,也可发现它的一些巧妙的特点,它的数字结构中,十位数字是1,个位数字是2。它的因数竟将前四个自然数全部包含,秩序是一种美,而12是蕴含着内在秩序美的一个数字。12的因数的个数竟是它的一半。12是因数比较多的一个数,人们考虑到这一点,总觉得应将12定为进位制比较优越。
如果你要知道一个整数除以12的余数是12,只要你将个位数乘20,十位数乘(-2)1,百位数乘22,千位数乘(-2)3……依次类推,即第n位数乘(-2)n即可,最后将各数加起来,就可以知道其余数。如1651除以12的余数是7,而我们可不做除法,只要求出:1×1+5×(-2)+6×4+1×(-8)的值即可,它正是7。从中可知12与它的因子2的密切关系了。如果从1—12个数中选取K个数,使这K个数两两作差,便能得到从1到12的十二个数,问最小的K值是什么,巧得很,它正是12的因子6,这6个数其中一种选法是0,1,4,7,10,12。12的倒数你可知道是多少吗,它竟然基本是由它的因数3组成,它是0.833……,而这个数里含有的8也正是它的因子2与因子4的乘积。
12的因子与12有多少奥妙所在?我们难于列举。如果我们掉过头来再从12的倍数中去观察。可知12更是一个美的使者。12的2倍是二十四,可是一年有二十四节气,一天有二十四个小时。12的3倍是36,兵法有三十六计,如果你感冒了,那么在鼻翼两侧,用大拇指摩擦36下,就有好转,36下很有讲究,多一下少一下都认为不妥。12的5倍是60,每小时60分,每分60秒,每亩地有六十平方丈。12的六倍是72,可七十二行,行行出状元,孙悟空神通广大有七十二种变化。12是一个有趣的数,可9也是一个奇妙的数,9与12的乘积108就更令人神秘难测了,我国素有古代钟王之称的永乐大钟,每次撞钟都是108下。为什么要撞108下,有人解释为“扣一百零八声者一岁一意也,每年有十二月,二十四气,七十二候,正是此数。”古时和尚的念珠也是108颗。在青铜峡电站的附近,远远可看见一群群整整齐齐的高塔,塔群依山势自下而上,按奇数列成12行,总计108座。有的气功功法所做动作,如果做108下,效果就好,108还可以写成2和3的各自次方乘积,整齐是一种美,而22×33=108,不正体现了整齐美之所在吗?108的种种特点,又给12披上了一层神秘的面纱。
有人可能要问,12及其倍数24,36,60,72,108,为何在人们的生活中有那么重要的地位,并能显示出神秘的光彩?如果你懂得医学,你就会知道,原来人体结构竟是12的天地,人体上的许多结构竟与12奇巧地挂钩。如脑共有12经脉,12经脉与12藏相对应,沟通人体脏腑、表里上下的联系,小肠的第一部分叫十二指肠,胸部是十二的大本营,十二块胸椎,12对肋骨,脊髓有十二胸节,并由此发生12对神经等等,这些广泛的用途不说明了12的有趣吗?
在西方人眼里,13是一个不吉利的数字,但其邻居12却备受人们青睐,如长度单位一英尺等于12英寸,重量单位用金,药衡中一磅等于12盎司,一先令等于12便士,一打等于12个,足球比赛点球距离为12码等。
12的确是一个非常有趣的数,它在数字王国里是一颗闪着神奇光芒的明珠,它那些神奇的性质给人们以多么美好的意蕴,多么有趣的遐想啊!
  

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看完让你爱上数学!!数学竟然是如此神奇的东西!

死理性派的小编经常会被问到的一个问题:数学到底哪里有趣了,数学之美又在哪里?这篇文章精心选择了 10 个老少咸宜的算术问题,以定理、趣题甚至未解之谜等各种形式带领大家窥探数学世界的一角。不少问题背后都蕴含了深刻的数学知识,触及到数学的各个领域。希望从小数学就不及格的朋友们能够喜欢上数学这门充满乐趣的学科。

1.数字黑洞 6174
任意选一个四位数(数字不能全相同),把所有数字从大到小排列,再把所有数字从小到大排列,用前者减去后者得到一个新的数。重复对新得到的数进行上述操作,7 步以内必然会得到 6174。
例如,选择四位数 6767:
7766 - 6677 = 1089
9810 - 0189 = 9621
9621 - 1269 = 8352
8532 - 2358 = 6174
7641 - 1467 = 6174
……
6174 这个“黑洞”就叫做 Kaprekar 常数。对于三位数,也有一个数字黑洞——495。

2.3x + 1 问题
从任意一个正整数开始,重复对其进行下面的操作:如果这个数是偶数,把它除以 2 ;如果这个数是奇数,则把它扩大到原来的 3 倍后再加 1 。你会发现,序列最终总会变成 4, 2, 1, 4, 2, 1, … 的循环。
例如,所选的数是 67,根据上面的规则可以依次得到:
67, 202, 101, 304, 152, 76, 38, 19, 58, 29, 88, 44, 22, 11, 34, 17,
52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1, ...
数学家们试了很多数,没有一个能逃脱“421 陷阱”。但是,是否对于 所有 的数,序列最终总会变成 4, 2, 1 循环呢?
这个问题可以说是一个“坑”——乍看之下,问题非常简单,突破口很多,于是数学家们纷纷往里面跳;殊不知进去容易出去难,不少数学家到死都没把这个问题搞出来。已经中招的数学家不计其数,这可以从 3x + 1 问题的各种别名看出来: 3x + 1 问题又叫 Collatz 猜想、 Syracuse 问题、 Kakutani 问题、 Hasse 算法、 Ulam 问题等等。后来,由于命名争议太大,干脆让谁都不沾光,直接叫做 3x + 1 问题算了。
直到现在,数学家们仍然没有证明,这个规律对于所有的数都成立。

3.特殊两位数乘法的速算
如果两个两位数的十位相同,个位数相加为 10,那么你可以立即说出这两个数的乘积。如果这两个数分别写作 AB 和 AC,那么它们的乘积的前两位就是 A 和 A + 1 的乘积,后两位就是 B 和 C 的乘积。
比如,47 和 43 的十位数相同,个位数之和为 10,因而它们乘积的前两位就是 4×(4 + 1)=20,后两位就是 7×3=21。也就是说,47×43=2021。
类似地,61×69=4209,86×84=7224,35×35=1225,等等。
这个速算方法背后的原因是,(10 x + y) (10 x + (10 - y)) = 100 x (x + 1) + y (10 - y) 对任意 x 和 y 都成立。

4.幻方中的幻“方”
一个“三阶幻方”是指把数字 1 到 9 填入 3×3 的方格,使得每一行、每一列和两条对角线的三个数之和正好都相同。下图就是一个三阶幻方,每条直线上的三个数之和都等于 15。
 
大家或许都听说过幻方这玩意儿,但不知道幻方中的一些美妙的性质。例如,任意一个三阶幻方都满足,各行所组成的三位数的平方和,等于各行逆序所组成的三位数的平方和。对于上图中的三阶幻方,就有
816^2 + 357^2 + 492^2 = 618^2 + 753^2 + 294^2
利用线性代数,我们可以证明这个结论。

5.天然形成的幻方
 
从 1/19 到 18/19 这 18 个分数的小数循环节长度都是 18。把这 18 个循环节排成一个 18×18 的数字阵,恰好构成一个幻方——每一行、每一列和两条对角线上的数字之和都是 81 (注:严格意义上说它不算幻方,因为方阵中有相同数字)。

6.196 算法
一个数正读反读都一样,我们就把它叫做“回文数”。随便选一个数,不断加上把它反过来写之后得到的数,直到得出一个回文数为止。例如,所选的数是 67,两步就可以得到一个回文数 484:
67 + 76 = 143
143 + 341 = 484
把 69 变成一个回文数则需要四步:
69 + 96 = 165
165 + 561 = 726
726 + 627 = 1353
1353 + 3531 = 4884
89 的“回文数之路”则特别长,要到第 24 步才会得到第一个回文数,8813200023188。
大家或许会想,不断地“一正一反相加”,最后总能得到一个回文数,这当然不足为奇了。事实情况也确实是这样——对于 几乎 所有的数,按照规则不断加下去,迟早会出现回文数。不过,196 却是一个相当引人注目的例外。数学家们已经用计算机算到了 3 亿多位数,都没有产生过一次回文数。从 196 出发,究竟能否加出回文数来?196 究竟特殊在哪儿?这至今仍是个谜。

7.Farey 序列
选取一个正整数 n。把所有分母不超过 n 的 最简 分数找出来,从小到大排序。这个分数序列就叫做 Farey 序列。例如,下面展示的就是 n = 7 时的 Farey 序列。
 
定理:在 Farey 序列中,对于任意两个相邻分数,先算出前者的分母乘以后者的分子,再算出前者的分子乘以后者的分母,则这两个乘积一定正好相差1 !
这个定理有从数论到图论的各种证明。甚至有一种证明方法巧妙地借助 Pick 定理,把它转换为了一个不证自明的几何问题!

8.唯一的解
经典数字谜题:用 1 到 9 组成一个九位数,使得这个数的第一位能被 1 整除,前两位组成的两位数能被 2 整除,前三位组成的三位数能被 3 整除,以此类推,一直到整个九位数能被 9 整除。
没错,真的有这样猛的数:381654729。其中 3 能被 1 整除,38 能被 2 整除,381 能被 3 整除,一直到整个数能被 9 整除。这个数既可以用整除的性质一步步推出来,也能利用计算机编程找到。
另一个有趣的事实是,在所有由 1 到 9 所组成的 362880 个不同的九位数中,381654729 是唯一一个满足要求的数!

9.数在变,数字不变
123456789 的两倍是 246913578,正好又是一个由 1 到 9 组成的数字。
246913578 的两倍是 493827156,正好又是一个由 1 到 9 组成的数字。
把 493827156 再翻一倍,987654312,依旧恰好由数字 1 到 9 组成的。
把 987654312 再翻一倍的话,将会得到一个 10 位数 1975308624,它里面仍然没有重复数字,恰好由 0 到 9 这 10 个数字组成。
再把 1975308624 翻一倍,这个数将变成 3950617248,依旧是由 0 到 9 组成的。
不过,这个规律却并不会一直持续下去。继续把 3950617248 翻一倍将会得到 7901234496,第一次出现了例外。

10.三个神奇的分数
1/49 化成小数后等于 0.0204081632 …,把小数点后的数字两位两位断开,前五个数依次是 2、4、8、16、32,每个数正好都是前一个数的两倍。
100/9899 等于 0.01010203050813213455 … ,两位两位断开后,每一个数正好都是前两个数之和(也即 Fibonacci 数列)。
而 100/9801 则等于 0.0102030405060708091011121314151617181920212223 … 。
利用组合数学中的“生成函数”可以完美地解释这些现象的产生原因。 

整除的几条性质

  整除的以下性质是最基本的,也是最常用的。

  (1aaa为非零整数);

  (2)若ab,且ba,那么ab

  (3)若cb,且ba,那么ca

  (4)若ca,且cb那么c|(ab);若ab,那么c|(ab);

  (5)若m是非零整数,且ba,则必有bmam;反之,若bmam,则必有ba

  (6)如果baca,且bc没有除1以外的公共约数(此时称bc互质),那么bca

  对于(3),如由24412,可推出212

  对于(4),如由436416,可推出4|(3616),4|(3616)。

  对于(5),如由39可推出3×49×4。反之,由3×49×4可推出39

  对于(6),如由324224,且32之间没有1以外的公共约数(即32互质),可推出3×224。这一性质在很多情况下将被多次使用。

1 求一个首位数字为5的最小六位数,使这个数能被9整除,且各位数字均不相同。

分析:由于要求被9整除,可只考虑数字和、又由于要求最小的,故从第二位起应尽量用最小的数字排,并试验末位数字为哪个数时,六位数为9的倍数。

解:一个以5为首位的六位数5×××××,要想使它最小,只可能是501234(各位数字均不相同)。

  但是501234的数字和为50123415,并不是9的倍数,故只能将末位数字改为7。这时,501237189的倍数,故5012379的倍数。

  即501237是以5为首位,且是9的倍数的最小的六位数。

2 老师买了72本相同的书,当时没有记住每本书的价格,只用铅笔记下了用掉的总钱数,回校后发现有两个数字已看不清了。你能帮助补上这两个数字吗?(□13.7□元,□中为看不清的数字)。

分析:首先将□13.7□元化为分,这样总钱数就是□137□分(整数分)。由于每本书价格相同,所以72|□137□。但728×9,所以89都应整除□137□。

  由于8整除□137□,所以837□。由此可知,当37□=376时,才有8376。故原数为□1376

  又由于9整除□1376,所以其数字和□+1376必为9的倍数。

  即9|(□+17)。而□只能是19中的某个数,所以□只能是1

  因此,原数为11376分,即113.76元。

3 568后面补上三个数字,组成一个六位数,使它能分别被345整除,且使这个数尽可能的小。

  数分别被345整除,故它应满足如下三个条件:

  (1)数字和(568abc)是3的倍数;

  

  (3)末位c05

  

  又因3|(568abc),即3|(568ab0),所以

  当b2时,3|(568a2),a可为0369

  当b4时,3|(568a4),a可为147

  当b6时,3|(568a6),a可为258

  当b8时,3|(568a8),a可为0369

  当b0时,3|(568a0),a可为258

 

4 求能被26整除的六位数□1993□。

分析与解:由于262×13,所以所求六位数□1993□应分别被213整除。

  被2整除的数个位只能是02468;所求六位数被13整除,必有□1993□的差(93□-□19)是13的倍数。

  (1)当原数个位为0时,93071×137,故□19也应满足被13除余7

  □19100×□+1367×13×□+9×□+136

  =137×□+1)+9×□+6

  即9×□+613K7

  ∴ 9×□-1应是13的倍数,故□只能是3。即六位数为319930

  (2)当原数个位数为2时,93271×139,故□19也应满足被13除余9

  由于□19=(7×□+1)×139×□+6

  ∴9×□+613K9,故9×□-3应是13的倍数,□只能是9。即六位数为919932

  (3)当原数个位数为4时,93471×1311,故□19也应被13除余11

  由于□19=(7×□+1)×139×□+6

  ∴ 9×□+613K11,即9×□-5应是13的倍数,故□只能是2。即六位数为219934

  (4)当原数个位数为6时,93672×13,所以□19也应被13整除。

  由于□19=(7×□+1)×139×□+6

  ∴9×□+613K9×□-71313K,故9×□-7应是13的倍数,□只能是8。即六位数为819936

  (5)当原数个位数为8时,93872×132,故□19也应被13除余2

  由于□19=(7×□+1)×139×□+6

  ∴9×□+613K2,即9×□+4应是13的倍数,□只能是1。即六位数为119938

  综合以上情况,满足条件的六位数有:

  319930919932219934819936119938,共五个。

5 将自然数123…依次写下去组成一个数12345678910111213…。如果写到某个自然数时,所组成的数恰好第一次能被72整除,问这个自然数是多少?

分析与解:由于要求恰好第一次能被72整除,因此,应以从前往后的顺序去寻找。

  如果先考虑被8整除,那么末位应为偶数,且末三位数字组成的三位数应是8的倍数。

  因而依次看三位数

  234456678810112314516718192920202212122222232324242252526262272728282930132334536738394…中哪些是8的倍数。

  如知4561128的倍数,就要再看123456以及123456789101112是否为9的倍数。由于123456的数字和为21123456789101112的数字和为56,都不是9的倍数,所以不满足题目的条件。满足条件的数要在其它8的倍数中寻找。

  象这样试验三位偶数能否被8整除,速度较慢,由于被8整除的数一定能被4整除,故只须对被4整除的数(这种数极易看出)进行检验即可。

  经检验,形如123456…,末三位为516192920232272728的自然数都不是9的倍数。而当末三位为536时,才满足题目的条件,即

  12345678910111233343536

  恰被72整除,故所求自然数为36

  现在换一种方法,先考虑被9整除,再考虑被8整除,由于数 12345678910111218192021…前九个数字之和为45,是9的倍数,故在考察位数超过九的数是否被整除时,前九个数字可不再看;

  接下来,由于101112131415161718的数字之和为45,是9的倍数,故在考察位数超过27位的数是否被9整除时,前27个数字可不再看;

  1920212223242526的数字之和为36,是9的倍数,因而在考察位数超过43位的数是否是9的倍数时,前43个数字可不再看;

  272829303的数字的之和为36,是9的倍数,因而在考察位数超过52位的数是否被9整除时,前52个数字可不再看;

  1323的数字和为9,因而在考察位数超过56位的数是否被9整除时,前56个数字可不再看;

  33343536的数字和为27,因而在考察位数超过63位的数是否被9整除时,前63个数字可不看。

  以上做法把按自然数依次写下去组成的数分成若干段,各段的数字和均为9的倍数,即

  123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536|…

  然后从中再看各段末三位数字组成的三位数是否为8的倍数。

  789718526627303435都不是8的倍数,但5368的倍数。即写到36时,第一次恰好是72的倍数。这样做比先考虑被8整除,后考虑被9整除要快速简单得多。

  

关于数学的美

2011-3-22 09:55| 来自: 福建中小学生在线

摘要: 数学并不像有些人认为的那般枯燥乏味,它不是长篇的定理公式的累积,而是一种美的学科。在中国书香四溢的文学背景下,数学也闪烁着不一样的光

 著名数学家陈省身先生曾不止一次地提出:“数学是美的。”数学的美体现在方方面面,也许美在她是探求世间现象规律的出发点,也许美在她用几个字母符号就能表示若干信息的简单明了,也许美在她大胆假设和严格论证的伟大结合,也许美在她对一个问题论证时殊途同归的奇妙感受,也许美在数学家耗尽终生论证定理的锲而不舍,也许美在她在几乎所有学科中的广泛应用。
  而美的数学,在自古崇尚诗书传世的中国,竟也浸染着扑鼻的书香。中国悠久历史所积淀出来的文学底蕴,为中国的数学染上了一层夺目的别样颜色,这就是数学的文采。
  自然美
  刘勰《文心雕龙》以为文章之可贵,在尚自然。文章是反映生活的一面镜子,脱离生活的文学是空洞的,没有任何用处。数学也是这样。
  数学存在的意义,在于理性地揭示自然界的一些现象规律,帮助人们认识自然,改造自然。可以这样说,数学是取诸生活而用诸生活的。数学最早的起源,大概来自古代人们的结绳记事,一个一个的绳扣,把数学的根和生活从一开始就牢牢地系在了一起。后来出现的记数法,是牲畜养殖或商品买卖的需要,古代的几何学产生,是为了丈量土地。中国古代的众多数学著作(如:《九章算术》)中,几乎全是对于某个具体问题的探究和推广。
  在中国,数学源于生活,在外国,历代数学家也都宗法自然。阿基米德的数学成果,都用于当时的军事、建筑、工程等众多科学领域,牛顿见物象而思数学之所出,即有微积分的创作。费尔玛和尤拉对变分法的开创性发明也是由探索自然界的现象而引起的。
  简洁美
  世事再纷繁,加减乘除算尽;
  宇宙虽广大,点线面体包完。
  这首诗,用字不多,却到位地概括出了数学的简洁明了,微言大义。数学和诗歌一样,有着独特的简洁美。
  诗歌的简洁,众所周知——着寥寥几字,却为读者创造出了广阔的想象空间,这大概正是诗歌的魅力所在。
  美国著名心理学家L?布隆菲尔德(L.Bloonfield)说:“数学是语言所能达到的最高境界。”如果说,诗歌的简洁,是写意的,是欲言还休的,是中国水墨画中的留白,那么数学语言的微言大义,则是写实的,是简洁精确、抽象规范的,是严谨的科学态度的体现。数学的简洁,不仅使人们更快、更准确地把握理论的精髓,促进自身学科的发展,也使数学学科具有了很强的通用性。目前,数学作为自然科学的语言和工具,已经成了所有科学———包括社会科学在内的语言和工具。
  最为典型的例子,莫过于二进制在计算机领域的的应用。试想,任何一个复杂的指令,都被译做明确的01数字串,这是多么伟大的一个构想。可以说,没有数学的简化,就没有现在这个互联网四通八达、信息技术飞速发展的时代。
  对称美
  中国的文学讲究对称,这点可以从历时百年的楹联文化中窥见一斑。而更胜一筹的对称,就是回文了。苏轼有一首著名的七律《游金山寺》,便是这方面的上乘之作:
  《游金山寺》
  潮随暗浪雪山倾,远浦渔舟钓月明。/桥对寺门松径小,槛当泉眼石波清。/迢迢绿树江天晓,霭霭红霞晚日晴。/遥望四边云接水,碧峰千点数鸥轻。
  不难看出,把它倒转过来,仍然是一首完整的七律诗:
  轻鸥数点千峰碧,水接云边四望遥。/晴日晚霞红霭霭,晓天江树绿迢迢。/清波石眼泉当槛,小径松门寺对桥。/明月钓舟渔浦远,倾山雪浪暗随潮。
  这首回文诗无论是顺读或倒读,都是情景交融、清新可读的好诗。类似的又如“香莲碧水动风凉,水动风凉夏日长。长日夏凉风动水,凉风动水碧莲香”。这些诗凭着精巧的构思,给人以奇妙的感受,每每读之,读者都会暗自叫绝。
  而数学中,也不乏这样的回文现象,如:
  12×12=144,21×21=441;
  13×13=169,31×31=961;
  102×102=10404,201×201=40401;
  103×103=10609,301×301=90601;
  9+5+4=8+7+3,92+52+42=82+72+32.
  而数学中更为一般的对称,则体现在函数图象的对称性和几何图形上。前者给我们探求函数的性质提供了方便,后者则运用在建筑、美术领域后给人以无穷的美感。
  悬念美
  文学中的小说以设置悬念见长,在开头先抛出一个引人入胜的画面、出人意表的事件、叫人揪心的矛盾、令人关注的悬念、发人深省的问题,然后一步步去描写、讲述、展开、解答、思考;或者在最后留下一个无结局、无论断、无答案、无终点的结尾,让读者自己去想象、去求证、去追问、去体验。照米兰?昆德拉的说法:小说家的才智就是把一切肯定变成疑问,教读者把世界当成问题来理解。
  这种现象,在数学中绝非少见。许多数学问题都是从一个看不出任何端倪的方程式开始,运用各种方法,一步步求解,最终得出一个清楚明白的结论。而数学的乐趣,在于人们抱着探求事实真相的态度,满怀好奇的求解过程和最终真相大白时的快感。这一点,和人们读悬疑小说所产生的感觉是相似的,难怪有人说,世界本身就是个未知数,而文学本身就是探索世界之谜的方程式。
  意象美
  诗与数学之间最深刻的关系莫过于数学概念或意象(imagery)与诗歌的结合。
  七八个星天外,两三点雨山前。(辛弃疾)
  一去二三里,烟村四五家。亭台六七座,八九十枝花。(邵雍)
  一帆一桨一渔舟,一个渔翁一钓钩。一俯一仰一顿笑,一江明月一江秋。(纪晓岚)
  一别之后,二地相悬,只说是三四月,又谁知五六年,七弦琴无心抚弹,八行书无信可传,九连环从中折断,十里长亭我眼望穿,百思想,千系念,万般无奈叫丫环。万语千言把郎怨,百无聊赖,十依阑干,九九重阳看孤雁,八月中秋月圆人不圆,七月半烧香点烛祭祖问苍天,六月伏天人人摇扇我心寒,五月石榴如火偏遇阵阵冷雨浇花端,四月枇杷未黄我梳妆懒,三月桃花又被风吹散!郎呀郎,巴不得二一世你为女来我为男。(卓文君)
  读上面这些诗,每个人都能明显感到,诗的意境全来自那几个数词,无论是数词的单个应用,重复引用,抑或是循环使用,看似毫无感染力的数词竟也都能表现出或寂寥,或欣然,或恬淡,或伤感的思想感情。
  在外国,中世纪欧洲两个最伟大的诗人——但丁(Dante,1265~1321)和乔叟(G.Chaucer,1342~1400)的作品也无不充满着数学知识。17世纪,英国著名形而上学诗人约翰?多恩(JohnDonne,1572~1631)和安德鲁?马佛尔(AndrewMarvell,1621~1678)通过圆规、欧氏几何中的平行线之类的数学概念来类比爱情。后者的《爱的定义》尤为有趣:
  像直线一样,爱也是倾斜的/它们自己能够相交在每个角度/但我们的爱确实是平行的/尽管无限,却永不相遇。爱情,向来是难以用语言表达清楚的一个名词。作者用读者都熟悉的平行线,借助数学丰富的意象,巧妙地向读者准确地传达了自己的意思。
  逻辑美
  提起逻辑,就不能不提中国四大名著之一的《红楼梦》。复杂的人物关系,缜密的故事情节,引得至今仍有大量学者终生考证,乐此不疲。
  《红楼梦》迷人之处在于由卷初一首诗开始,章回紧扣地发展下来。优美的数学也是在一个宏观的概念之下,经由严谨的论证,简单有力地表达出来。
  数学规律就如《红楼梦》,由一些基本定理出发,雅洁、鲜明地表达出来。大多数的数学论文都是艰涩难懂,有些却能令人留连再三。牛顿三大定律,非常简单,但可以解释非常繁杂的现象,如天体运行的规律。这就是数学家的口味,不够严谨,经不起推敲,就不入法眼。
  数学和文学作品不但同样讲究严谨的逻辑论证,还同样遵从由局部结构发展到大范围结构的发展规律。
  同文学极为相似的是,从局部结构发展到大范围结构也是近代数学发展的过程。文学的局部到大范围,往往通过比兴的手法来处理:即对事物有不同的感受,同一事或同一物可以产生不同的吟咏。对事物有不同的感受后,往往通过比兴的方法另有所指,例如“美人”有多重意思,除了指美丽的女子外,也可以指君主。屈原《九章》:“结微情以陈词兮,矫以遗夫美人。”也可以指品德美好的人,《诗经?邶风》:“云谁之思,西方美人。”苏轼《赤壁赋》:“望美人兮天一方。”而几何学和数论都有这一段历史,代数几何学家在研究奇异点时通过爆炸的手段,有如将整个世界浓缩在一点。微分几何和广义相对论所见到的奇异点比代数流形复杂,但是也希望从局部开始,逐渐了解整体结构。数论专家研究局部结构时则通过素数的模方法,将算术流形变成有限域上的几何,然后和大范围的算术几何对比,得出丰富的结果。此外,数学家对某些重要的定理,也会提出很多不同的证明。例如勾股定理的不同证明有10个以上,等周不等式亦有五六个证明,高斯则给出数论对偶定律6个不同的看法。不同的证明让我们以不同的角度去理解同一个事实,往往引导出数学上不同的发展。这也可算是局部到大范围的一个例子。
  总之,数学并不像有些人认为的那般枯燥乏味,它不是长篇的定理公式的累积,而是一种美的学科。在中国书香四溢的文学背景下,数学也闪烁着不一样的光辉。
一共75道逻辑题,你会做多少呢?【1】假设有一个池塘,里面有无穷多的水。现有2个空水壶,容积分别为5升和6升。问题是如何只用这2个水壶从池塘里取得3升的水。【2】周雯的妈妈是水泥厂的化验员。一天,周雯来到化验室做作业。做完后想出去玩。“等等,妈妈还要考你一个题目。”她接着说,“你看这6只做化验用的玻璃杯,前面3只盛满了水,后面3只是空的。你能只移动1只玻璃杯,就把盛满水的杯子和空杯子间隔起来吗?”爱动脑筋的周雯是学校里有名的“小机灵”,她只想了一会儿就做到了。请你想想看,“小机灵”是怎样做的?【3】三个小伙子同时爱上了一个姑娘,为了决定他们谁能娶这个姑娘,他们决定用手枪进行一次决斗。小李的命中率是30%,小黄比他好些,命中率是50%,最出色的枪手是小林,他从不失误,命中率是100%。由于这个显而易见的事实,为公平起见,他们决定按这样的顺序:小李先开枪,小黄第二,小林最后。然后这样循环,直到他们只剩下一个人。那么这三个人中谁活下来的机会最大呢?他们都应该采取什么样的策略?【4】一间囚房里关押着两个犯人。每天监狱都会为这间囚房提供一罐汤,让这两个犯人自己来分。起初,这两个人经常会发生争执,因为他们总是有人认为对方的汤比自己的多。后来他们找到了一个两全其美的办法:一个人分汤,让另一个人先选。于是争端就这么解决了。可是,现在这间囚房里又进来一个新犯人,现在是三个人来分汤。必须寻找一个新的方法来维持他们之间的和平。该怎么办呢?按:心理问题,不是逻辑问题【5】在一张长方形的桌面上放了n个一样大小的圆形硬币。这些硬币中可能有一些不完全在桌面内,也可能有一些彼此重叠;当再多放一个硬币而它的圆心在桌面内时,新放的硬币便必定与原先某些硬币重叠。请证明整个桌面可以用4n个硬币完全覆盖。【6】一个球、一把长度大约是球的直径2/3长度的直尺,你怎样测出球的半径?方法很多,看看谁的比较巧妙。【7】五个大小相同的一元人民币硬币。要求两两相接触,应该怎么摆?【8】猜牌问题S先生、P先生、Q先生他们知道桌子的抽屉里有16张扑克牌:红桃A、Q、4,黑桃J、8、4、2、7、3,草花K、Q、5、4、6,方块A、5。约翰教授从这16张牌中挑出一张牌来,并把这张牌的点数告诉P先生,把这张牌的花色告诉Q先生。这时,约翰教授问P先生和Q先生:你们能从已知的点数或花色中推知这张牌是什么牌吗?于是,S先生听到如下的对话:P先生:我不知道这张牌。Q先生:我知道你不知道这张牌。P先生:现在我知道这张牌了。Q先生:我也知道了。听罢以上的对话,S先生想了一想之后,就正确地推出这张牌是什么牌。请问:这张牌是什么牌?【9】一个教授逻辑学的教授,有三个学生,而且三个学生均非常聪明!一天教授给他们出了一个题,教授在每个人脑门上贴了一张纸条并告诉他们,每个人的纸条上都写了一个正整数,且某两个数的和等于第三个!(每个人可以看见另两个数,但看不见自己的)教授问第一个学生:你能猜出自己的数吗?回答:不能,问第二个,不能,第三个,不能,再问第一个,不能,第二个,不能,第三个:我猜出来了,是144!教授很满意的笑了。请问您能猜出另外两个人的数吗?【10】某城市发生了一起汽车撞人逃跑事件该城市只有两种颜色的车,蓝色15%,绿色85%。事发时有一个人在现场看见了他指证是蓝车但是根据专家在现场分析,当时那种条件能看正确的可能性是80%那么,肇事的车是蓝车的概率到底是多少?【11】有一人有240公斤水,他想运往干旱地区赚钱。他每次最多携带60公斤,并且每前进一公里须耗水1公斤(均匀耗水)。假设水的价格在出发地为0,以后,与运输路程成正比,(即在10公里处为10元/公斤,在20公里处为20元/公斤......),又假设他必须安全返回,请问,他最多可赚多少钱?【12】现在共有100匹马跟100块石头,马分3种,大型马,中型马跟小型马。其中一匹大马一次可以驮3块石头,中型马可以驮2块,而小型马2头可以驮一块石头。问需要多少匹大马,中型马跟小型马?(问题的关键是刚好必须是用完100匹马)【13】1=5 2=15 3=215 4=2145 那么5=?【14】有2n个人排队进电影院,票价是50美分。在这2n个人当中,其中n个人只有50美分,另外n个人有1美元(纸票子)。愚蠢的电影院开始卖票时1分钱也没有。问:有多少种排队方法使得每当一个拥有1美元的人买票时,电影院都有50美分找钱注:1美元=100美分拥有1美元的人,拥有的是纸币,没法破成2个50美分【15】一个人花8块钱买了一只鸡,9块钱卖掉了,然后他觉得不划算,花10块钱又买回来了,11块卖给另外一个人。问他赚了多少?【16】有一种体育竞赛共含M个项目,有运动员A,B,C参加,在每一项目中,第一,第二,第三名分别得X,Y,Z分,其中X,Y,Z为正整数且X>Y>Z。最后A得22分,B与C均得9分,B在百米赛中取得第一。求M的值,并问在跳高中谁得第二名。【17】前提:1、有五栋五种颜色的房子2、每一位房子的主人国籍都不同3、这五个人每人只喝一种饮料,只抽一种牌子的香烟,只养一种宠物4、没有人有相同的宠物,抽相同牌子的香烟,喝相同的饮料提示:1、英国人住在红房子里2、瑞典人养了一条狗3、丹麦人喝茶4、绿房子在白房子左边5、绿房子主人喝咖啡6、抽PALL MALL烟的人养了一只鸟7、黄房子主人抽DUNHILL烟8、住在中间那间房子的人喝牛奶9、挪威人住第一间房子10、抽混合烟的人住在养猫人的旁边11、养马人住在抽DUNHILL烟的人旁边12、抽BLUE MASTER烟的人喝啤酒13、德国人抽PRINCE烟14、挪威人住在蓝房子旁边15、抽混合烟的人的邻居喝矿泉水问题是:谁养鱼?【18】5个人来自不同地方,住不同房子,养不同动物,吸不同牌子香烟,喝不同饮料,喜欢不同食物。根据以下线索确定谁是养猫的人。1.红房子在蓝房子的右边,白房子的左边(不一定紧邻)2.黄房子的主人来自香港,而且他的房子不在最左边。3.爱吃比萨的人住在爱喝矿泉水的人的隔壁。4.来自北京的人爱喝茅台,住在来自上海的人的隔壁。5.吸希尔顿香烟的人住在养马人的右边隔壁。6.爱喝啤酒的人也爱吃鸡。7.绿房子的人养狗。8.爱吃面条的人住在养蛇人的隔壁。9.来自天津的人的邻居(紧邻)一个爱吃牛肉,另一个来自成都。10.养鱼的人住在最右边的房子里。11.吸万宝路香烟的人住在吸希尔顿香烟的人和吸“555”香烟的人的中间(紧邻)12.红房子的人爱喝茶。13.爱喝葡萄酒的人住在爱吃豆腐的人的右边隔壁。14.吸红塔山香烟的人既不住在吸健牌香烟的人的隔壁,也不与来自上海的人相邻。15.来自上海的人住在左数第二间房子里。16.爱喝矿泉水的人住在最中间的房子里。17.爱吃面条的人也爱喝葡萄酒。18.吸“555”香烟的人比吸希尔顿香烟的人住的靠右【19】斗地主附残局地主手中牌2、K、Q、J、10、9、8、8、6、6、5、5、3、3、3、3、7、7、7、7长工甲手中牌大王、小王、2、A、K、Q、J、10、Q、J、10、9、8、5、5、4、4长工乙手中牌2、2、A、A、A、K、K、Q、J、10、9、9、8、6、6、4、4三家都是明手,互知底牌。要求是:在三家都不打错牌的情况下,地主必须要么输要么赢。问:哪方会赢?【20】一楼到十楼的每层电梯门口都放着一颗钻石,钻石大小不一。你乘坐电梯从一楼到十楼,每层楼电梯门都会打开一次,只能拿一次钻石,问怎样才能拿到最大的一颗?【21】U2合唱团在17分钟内得赶到演唱会场,途中必需跨过一座桥,四个人从桥的同一端出发,你得帮助他们到达另一端,天色很暗,而他们只有一只手电筒。一次同时最多可以有两人一起过桥,而过桥的时候必须持有手电筒,所以就得有人把手电筒带来带去,来回桥两端。手电筒是不能用丢的方式来传递的。四个人的步行速度各不同,若两人同行则以较慢者的速度为准。Bono需花1分钟过桥,Edge需花2分钟过桥,Adam需花5分钟过桥,Larry需花10分钟过桥。他们要如何在17分钟内过桥呢?【22】一个家庭有两个小孩,其中有一个是女孩,问另一个也是女孩的概率?(假定生男生女的概率一样)【23】为什么下水道的盖子是圆的?【24】有7克、2克砝码各一个,天平一只,如何只用这些物品三次将140克的盐分成50、90克各一份?【25】芯片测试:有2k块芯片,已知好芯片比坏芯片多.请设计算法从其中找出一片好芯片,说明你所用的比较次数上限。其中:好芯片和其它芯片比较时,能正确给出另一块芯片是好还是坏。坏芯片和其它芯片比较时,会随机的给出好或是坏。【26】话说有十二个鸡蛋,有一个是坏的(重量与其余鸡蛋不同),现要求用天平称三次,称出哪个鸡蛋是坏的!【27】100个人回答五道试题,有81人答对第一题,91人答对第二题,85人答对第三题,79人答对第四题,74人答对第五题,答对三道题或三道题以上的人算及格,那么,在这100人中,至少有()人及格。【28】陈奕迅有首歌叫十年吕珊有首歌叫3650夜那现在问,十年可能有多少天?【29】11 12 11 2 1 11 1 1 2 2 1下一行是什么?【30】烧一根不均匀的绳要用一个小时,如何用它来判断半个小时?烧一根不均匀的绳,从头烧到尾总共需要1个小时。现在有若干条材质相同的绳子,问如何用烧绳的方法来计时一个小时十五分钟呢? (微软的笔试题)【31】共有三类药,分别重1g,2g,3g,放到若干个瓶子中,现在能确定每个瓶子中只有其中一种药,且每瓶中的药片足够多,能只称一次就知道各个瓶子中都是盛的哪类药吗?如果有4类药呢?5类呢?N类呢(N可数)?如果是共有m个瓶子盛着n类药呢(m,n为正整数,药的质量各不相同但各种药的质量已知)?你能只称一次就知道每瓶的药是什么吗?注:当然是有代价的,称过的药我们就不用了【32】假设在桌上有三个密封的盒,一个盒中有2枚银币(1银币=10便士),一个盒中有2枚镍币(1镍币=5便士),还有一个盒中有1枚银币和1枚镍币。这些盒子被标上10便士、15便士和20便士,但每个标签都是错误的。允许你从一个盒中拿出1枚硬币放在盒前,看到这枚硬币,你能否说出每个盒内装的东西呢?【33】有一个大西瓜,用水果刀平整地切,总共切9刀,最多能切成多少份,最少能切成多少份?主要是过程,结果并不是最重要的【34】一个巨大的圆形水池,周围布满了老鼠洞。猫追老鼠到水池边,老鼠未来得及进洞就掉入水池里。猫继续沿水池边缘企图捉住老鼠(猫不入水)。已知V猫=4V鼠。问老鼠是否有办法摆脱猫的追逐?【35】有三个桶,两个大的可装8斤的水,一个小的可装3斤的水,现在有16斤水装满了两大桶就是8斤的桶,小桶空着,如何把这16斤水分给4个人,每人4斤。没有其他任何工具,4人自备容器,分出去的水不可再要回来。【36】从前有一位老钟表匠,为一个教堂装一只大钟。他年老眼花,把长短针装配错了,短针走的速度反而是长针的12倍。装配的时候是上午6点,他把短针指在“6”上,长针指在“12”上。老钟表匠装好就回家去了。人们看这钟一会儿7点,过了不一会儿就8点了,都很奇怪,立刻去找老钟表匠。等老钟表匠赶到,已经是下午7点多钟。他掏出怀表来一对,钟准确无误,疑心人们有意捉弄他,一生气就回去了。这钟还是8点、9点地跑,人们再去找钟表匠。老钟表匠第二天早晨8点多赶来用表一对,仍旧准确无误。请你想一想,老钟表匠第一次对表的时候是7点几分?第二次对表又是8点几分?【37】今有2匹马、3头牛和4只羊,它们各自的总价都不满10000文钱(古时的货币单位)。如果2匹马加上1头牛,或者3头牛加上1只羊,或者4只羊加上1匹马,那么它们各自的总价都正好是10000文钱了。问:马、牛、羊的单价各是多少文钱?【38】一天,harlan的店里来了一位顾客,挑了25元的货,顾客拿出100元,harlan没零钱找不开,就到隔壁飞白的店里把这100元换成零钱,回来给顾客找了75元零钱。过一会,飞白来找harlan,说刚才的是假钱,harlan马上给飞白换了张真钱,问harlan赔了多少钱?【39】猴子爬绳这道力学怪题乍看非常简单,可是据说它却使刘易斯.卡罗尔感到困惑。至于这道怪题是否由这位因《爱丽丝漫游奇境记》而闻名的牛津大学数学专家提出来的,那就不清楚了。总之,在一个不走运的时刻,他就下述问题征询人们的意见:一根绳子穿过无摩擦力的滑轮,在其一端悬挂着一只10磅重的砝码,绳子的另一端有只猴子,同砝码正好取得平衡。当猴子开始向上爬时,砝码将如何动作呢?“真奇怪,”卡罗尔写道,“许多优秀的数学家给出了截然不同的答案。普赖斯认为砝码将向上升,而且速度越来越快。克利夫顿(还有哈考特)则认为,砝码将以与猴子一样的速度向上升起,然而桑普森却说,砝码将会向下降!”一位杰出的机械工程师说“这不会比苍蝇在绳子上爬更起作用”,而一位科学家却认为“砝码的上升或下降将取决于猴子吃苹果速度的倒数”,然而还得从中求出猴子尾巴的平方根。严肃地说,这道题目非常有趣,值得认真推敲。它很能说明趣题与力学问题之间的紧密联系。【40】两个空心球,大小及重量相同,但材料不同。一个是金,一个是铅。空心球表面涂有相同颜色的油漆。现在要求在不破坏表面油漆的条件下用简易方法指出哪个是金的,哪个是铅的。【41】有23枚硬币在桌上,10枚正面朝上。假设别人蒙住你的眼睛,而你的手又摸不出硬币的反正面。让你用最好的方法把这些硬币分成两堆,每堆正面朝上的硬币个数相同。【42】三个村庄A、B、C和三个城镇A、B、C坐落在如图所示的环形山内。由于历史原因,只有同名的村与镇之间才有来往。为方便交通,他们准备修铁路。问题是:如何在这个环形山内修三条铁路连通A村与A镇,B村与B镇,C村与C镇。而这些铁路相互不能相交。(挖山洞、修立交桥都不算,绝对是平面问题)。想出答案再想想这个题说明什么问题。
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    ●●●●●●●●●C●●●●●●●●●●● ●● ●● ●● ●● ●● ●A C B● ● ●● ● ●● ● ●● ● ●● ● ●● ● ●● ● ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●【43】屋里三盏灯,屋外三个开关,一个开关仅控制一盏灯,屋外看不到屋里。怎样只进屋一次,就知道哪个开关控制哪盏灯?四盏呢~【44】2+7-2+7全部有火柴根组成,移动其中任何一根,答案要求为30说明:因为书写问题作如下解释,2是由横折横三根组成,7是由横折两根组成【45】5名海盗抢得了窖藏的100块金子,并打算瓜分这些战利品。这是一些讲民主的海盗(当然是他们自己特有的民主),他们的习惯是按下面的方式进行分配:最厉害的一名海盗提出分配方案,然后所有的海盗(包括提出方案者本人)就此方案进行表决。如果50%或更多的海盗赞同此方案,此方案就获得通过并据此分配战利品。否则提出方案的海盗将被扔到海里,然后下一名最厉害的海盗又重复上述过程。所有的海盗都乐于看到他们的一位同伙被扔进海里,不过,如果让他们选择的话,他们还是宁可得一笔现金。他们当然也不愿意自己被扔到海里。所有的海盗都是有理性的,而且知道其他的海盗也是有理性的。此外,没有两名海盗是同等厉害的——这些海盗按照完全由上到下的等级排好了座次,并且每个人都清楚自己和其他所有人的等级。这些金块不能再分,也不允许几名海盗共有金块,因为任何海盗都不相信他的同伙会遵守关于共享金块的安排。这是一伙每人都只为自己打算的海盗。最凶的一名海盗应当提出什么样的分配方案才能使他获得最多的金子呢?【46】他们中谁的存活机率最大?5个囚犯,分别按1-5号在装有100颗绿豆的麻袋抓绿豆,规定每人至少抓一颗,而抓得最多和最少的人将被处死,而且,他们之间不能交流,但在抓的时候,可以摸出剩下的豆子数。问他们中谁的存活几率最大?提示:1,他们都是很聪明的人2,他们的原则是先求保命,再去多杀人3,100颗不必都分完4,若有重复的情况,则也算最大或最小,一并处死 

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