郑州航空港区马健:三角形内外心

来源：百度文库 编辑：偶看新闻 时间：2024/04/27 20:03:37

三角形内心

定义

　　在三角形中,三个角的角平分线的交点是这个三角形内切圆的圆心而三角形内切圆的圆心就叫做三角形的内心,

三角形内心的性质

　　设⊿ABC的内切圆为☉I(r)，角A、B、C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2．
　　1、三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心．
　　2、三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r．
　　3、r=S/p．
　　4、在Rt△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2．
　　5、∠BIC=90°+A/2．
　　6、点O是平面ABC上任意一点，点I是⊿ABC内心的充要条件是：
　　a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)=向量0．
　　7、点O是平面ABC上任意一点，点I是⊿ABC内心的充要条件是：
　　向量OI=[a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)]/(a+b+c)．
　　8、⊿ABC中，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，那么⊿ABC内心I的坐标是：
　　(ax1/(a+b+c)+bx2/(a+b+c)+cx3/(a+b+c)，ay1/(a+b+c)+by2/(a+b+c)+cy3/(a+b+c))．
　　9、(欧拉定理)⊿ABC中，R和r分别为外接圆为和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则OI^2=R^2-2Rr．
　　10、（内角平分线分三边长度关系）
　　⊿ABC中，0为内心，∠A 、∠B、 ∠C的内角平分线分别交BC、AC、AB于Q、P、R，
　　则BQ/QA=a/b, CP/PA=a/c, BR/RC=c/b.  

三角形外心

定义

　　三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心．

三角形外心的性质

　　设⊿ABC的外接圆为☉G(R)，角A、B、C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2．
　　1、三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心.
　　2、锐角三角形的外心在三角形内；钝角三角形的外心在三角形外；直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合.
　　3、GA=GB=GC=R.
　　3、∠BGC=2∠A，或∠BGC=2(180°-∠A).
　　4、R=abc/4S⊿ABC.
　　5、点G是平面ABC上一点，那么点G是⊿ABC外心的充要条件是：
　　(向量GA+向量GB)·向量AB= (向量GB+向量GC)·向量BC=(向量GC+向量GA)·向量CA=0.
　　6、点G是平面ABC上一点，点P是平面ABC上任意一点，那么点G是⊿ABC外心的充要条件是：
　　向量PG=((tanB+tanC)向量PA+(tanC+tanA)向量PB+(tanA+tanB)向量PC)/2(tanA+tanB+tanC).
　　7、点G是平面ABC上一点，点P是平面ABC上任意一点，那么点G是⊿ABC外心的充要条件是：
　　向量PG=(cosA/2sinBsinC)向量PA+(cosB/2sinCsinA)向量PB+(cosC/2sinAsinB)向量PC.
　　8、设d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。
　　重心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。

 
求证：三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形外心 知道3点，怎么求三角形外心 三角形外心有哪些性质和定理？ 三角形的外心也就是三角形的什么线的交点？ 在三棱锥p-ABC中，顶点p在平面ABC内的射影是三角形ABC的外心．求证：PA=PB=PC 三角形内1点连接各顶点，3条线段的和，为什莫在该点是外心的时候最短？ 请问三角形外心到各顶点的距离是多少 急！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！ 求助：三角形内心、外心、重心、垂心、旁心的性质。 三角形的内心，外心，垂心，重心有什么性质？ 三角形中重心垂心内心外心格式什么的焦点？ 三角形的外心和内心分别是什么的交点 怎样区别三角形的重心，垂心，中心，内心，外心 三角形的内心、外心、重心、垂心分别是什么 三角形的内心,外心,中心分别是什么的交点 求证，三角形ABC与三角形A’B’C’有相同的外心。 一个等腰三角形的外心在这个三角形的一边上，则此三角形是 关于三角形的外心．中心．内心．垂心．重心 三角形中，内心,外心,垂心,重心,还有一些心,各是什么? 三角形的内心，重心，垂心，外心的那些线为什么会交在同一点上 请问 三角形的中心 重心 外心 内心 各有什么特殊的性质?? 谁能帮我说一说关于三角形里的内心,外心,.中心,重心……的定义，性质？？？ 设O是锐角三角形ABCde外心，已知三角形BOC，三角形coa ，aob的面积依次成等差数列。 过三角形内的一点 选择题：平面上有O和I两点，以O为外心，I为内心的三角形（ ）