偶看新闻郑州港区房价下跌:“数学思想”在因式分解中的应用
来源：百度文库 编辑：偶看新闻 时间：2024/04/25 16:18:29
“数学思想”在因式分解中的应用
作者：钱驰新 文章来源：校长办公室 点击数：268 更新时间：2007-10-6
江苏省张家港市鹿苑中学 陈冬 215616
同学们通过学习《因式分解》这一节内容，已经初步了解、掌握因式分解的四种常用方法：提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法。但同学们在学习过程中是否注意到其中所包含的数学思想呢？笔者根据多年的教学经验以及精心研究，借本文剖析“数学思想”在因式分解中的应用，供同学们学习时参考。
1、类比思想
根据《数学课程标准》的要求，本章教材介绍了最基本的常用分解因式的方法：提公因式法和应用公式法（平方差公式、完全平方公式）。从全章的引入到每一节课的引入，都立足渗透类比这种重要的数学思想。因此如果同学们掌握了类比的思想方法，那么在学习因式分解时，就会将因式分解与因数分解作如下类比：
从因式分解的形式上类比，把整数60因数分解是3×4×5，类似地，整式a2－b2是a+b与a－b乘积的结果，因而多项式a2－b2因式分解为（a+b）（a－b），那么a+b与a－b都是 a2－b2 的因式。这样类比，不仅有利于领会因式分解的意义，而且为因式分解的方法指明了思路。
从因式分解的结果上类比，算术里把一个整数分解为质因数幂的形式，如24=23×3，类似地，把一个多项式分解因式，要分解到每一个因式都不能再分解为止，即分解后的因式必须是质因式。
这样的类比，能使学生认识到因式分解是数到式的发展过程，是特殊与一般的思维体现，由此产生对概念的迁移，正确辨别出数、式分解的相同点和不同点，从而达到真正理解因式分解。
2、分类思想
很多多项式都不能直接运用提公因式法或直接运用公式法分解，但是，进行分组后，就可以先在局部上，进而在整体上运用这两种方法进行分解，使问题迎刃而解。所以，“分组”步骤的作用，在于促进了提公因式法和公式法的应用，使多项式从不能分解的形态向能分解的状态转化。我们可以看到，分组的过程，实质是通过添括号的方式，把有公因式的各项归为一组，并使组之间产生新的公因式，如因式分解6ax－3ay+2bx－by时，可将6ax与－3ay，2bx与－by各分一组或将6ax与2bx，－3ay与－by各分一组；也可把能运用公式的各项归为一组，如因式分解9m2－6m－4n2+1时，可将9m2，－6m与1这三项归为一组（注：这三项可运用完全平方公式来分解）， 而－4n2单独为一组，然后再运用平方差公式分解等等。由此可见，分组要注意统观全局，分组分解因式要有预见性，关键要突出如何将多项式的各项准确地分类，合理地选择分组方案，使分解过程趋向简单，最终准确实现分解因式。
3、转化思想
解决数学问题的策略思想多种多样，在教学研究中，使一种研究对象在一定条件下转化为另一种研究对象的数学思想称为转化思想。体现在数学解题中，就是将原问题进行变形，使之转化为我们所熟悉的或已经解决的或者易于解决的问题。就这一点来说，解题过程实质上就是不断转化的过程。在“因式分解”这一部分，我们接触到许多数学方法——提公因式法、运用公式法、十字相乘法、分组分解法等。只要我们学会了这些方法，按知识──方法──思想的顺序提炼数学思想方法，与整式乘法作类比，在转化思想的指导下根据题目特点就能解决很多与分解因式相关的问题。如计算10032－10022 时，则应考虑运用平方差公式将原式分解为(1003+1002)(1003－1002)来计算比较简便。另外要实现同一个转化目标，往往有不同的转化方法，既然有不同的方法达到同一个目标，因而方法之间就可能有优劣或繁简之别。当你较为熟练地掌握因式分解方法（如分组分解法）之后，就应该探索最优解决方法，以求迅速准确地实现转化目标。如因式分解x2－xz+xy－yz－x－y时，同学甲采用第一与三，二与四，五与六项分组法，同学乙采用第一、二与五，三、四与六项分组法，同学丙采用第一与二，三与四，五与六项分组法，同学丁采用第一、二、三与四，五与六项分组法。这四位同学的解法各有特色，同学丙、丁的解法是在数学思想的指导下，间接地实现目标，是可行的，而同学甲、乙的解法更直接些，具有较强的观察力，一步分组即能实现目标，非常简洁，是一种十分优美的解法。
4、整体思想
在因式分解中，对于结构较复杂的多项式，若通过整理把其中某部分看作一个整体，则能使多项式结构明朗化，问题简单化，便于因式分解。这就是我们常说的整体思想。利用整体思想分解因式的学习可按以下两步进行：（1）学生通过换元可以加深对整体思想的理解。如因式分解 (x2+x)2－14(x2+x)+24，在变量思想的指导下，同学们会很快地想到用换元法对例题进行分解因式，即设x2+x=a，则原式=a2－14a+24=(a－2)(a－12)=(x2+x－2)(x2+x－12)=(x+2)(x－1)(x+4)(x－3)。在此基础上，引导学生抓住换元法的特点是把x2+x看作一个整体，让学生加深对整体思想的理解。（2）学生通过解题可以拓展整体思想。如因式分解(x2－3x+2)(x2－3x－4)－72，在整体思想的指导下，学生也很容易地得到以下的几种解题方案。方案1：将x2－3x看作一个整体，则原式=(x2－3x)2－2(x2－3x)－80=…=(x－5)(x+2)(x2－3x+8)；方案2：将x2－3x+2看作一个整体，则原式=(x2－3x+2)2－6(x2－3x+2)－72=…=(x－5)(x+2)(x2－3x+8)；方案3：将x2－3x－4看作一个整体，则原式=(x2－3x－4+6)(x2－3x－4)－72=(x2－3x－4)2+6(x2－3x－4)－72=…=(x－5)(x+2)(x2－3x+8)。综观上述两例，正是由于整体思想，使得繁与简、新与旧达到了和谐的统一。
5、数形结合思想
所谓数形结合，其实质是将抽象的数学语言与直观图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合起来，实现抽象概念与具体形象的联系和转化，化难为易，化抽象为直观。在实际的数学学习中我们要尽量发掘数与形的本质联系，促使学生善于运用数形结合的思想方法去分析问题，解决问题，从而提高学生的数学能力。
我们知道因式分解的常用方法——十字相乘法，实际上是借助十字交叉线分解系数。建立的十字交叉线图既直观，又易于比较系数之间的关系，尤其是方便调整因数（式），使之达到和谐的系数统一，最终完成因式的分解。如因式分解2x2－7x+3时，先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数。具体分解二次项系数(只取正因数)：2＝1×2＝2×1；分解常数项：3=1×3=3×1=(－3)×(－1)=(－1)×(－3) 用画十字交叉线方法表示下列四种情况：
1 1 2 1 1 －1 2 －1
2 3 1 3 2 －3 1 －3
1×3+2×1=5 1×1+2×3=7 1×(－3)+2×(－1) =－5 1×(－1)+2×(－3)=－7经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数－7。
用数学思想指导因式分解，灵活运用，进行一题多解的练习，培养思维的发散性、灵活性、敏捷性；对习题灵活变通，引申推广，培养思维的深刻性、抽象性；组织引导对解法简捷性的反思评估，不断优化思维品质，培养思维的严谨性、批判性。对同一数学问题的多角度的审视引发的不同联想，是一题多解的思维本源，是类比、分类、转化、整体、数形结合等数学思想运用的必然。数学思想的自觉运用往往使我们运算简捷、推理机敏，是提高数学能力的必由之路。
作者：钱驰新 文章来源：校长办公室 点击数：268 更新时间：2007-10-6
江苏省张家港市鹿苑中学 陈冬 215616
同学们通过学习《因式分解》这一节内容，已经初步了解、掌握因式分解的四种常用方法：提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法。但同学们在学习过程中是否注意到其中所包含的数学思想呢？笔者根据多年的教学经验以及精心研究，借本文剖析“数学思想”在因式分解中的应用，供同学们学习时参考。
1、类比思想
根据《数学课程标准》的要求，本章教材介绍了最基本的常用分解因式的方法：提公因式法和应用公式法（平方差公式、完全平方公式）。从全章的引入到每一节课的引入，都立足渗透类比这种重要的数学思想。因此如果同学们掌握了类比的思想方法，那么在学习因式分解时，就会将因式分解与因数分解作如下类比：
从因式分解的形式上类比，把整数60因数分解是3×4×5，类似地，整式a2－b2是a+b与a－b乘积的结果，因而多项式a2－b2因式分解为（a+b）（a－b），那么a+b与a－b都是 a2－b2 的因式。这样类比，不仅有利于领会因式分解的意义，而且为因式分解的方法指明了思路。
从因式分解的结果上类比，算术里把一个整数分解为质因数幂的形式，如24=23×3，类似地，把一个多项式分解因式，要分解到每一个因式都不能再分解为止，即分解后的因式必须是质因式。
这样的类比，能使学生认识到因式分解是数到式的发展过程，是特殊与一般的思维体现，由此产生对概念的迁移，正确辨别出数、式分解的相同点和不同点，从而达到真正理解因式分解。
2、分类思想
很多多项式都不能直接运用提公因式法或直接运用公式法分解，但是，进行分组后，就可以先在局部上，进而在整体上运用这两种方法进行分解，使问题迎刃而解。所以，“分组”步骤的作用，在于促进了提公因式法和公式法的应用，使多项式从不能分解的形态向能分解的状态转化。我们可以看到，分组的过程，实质是通过添括号的方式，把有公因式的各项归为一组，并使组之间产生新的公因式，如因式分解6ax－3ay+2bx－by时，可将6ax与－3ay，2bx与－by各分一组或将6ax与2bx，－3ay与－by各分一组；也可把能运用公式的各项归为一组，如因式分解9m2－6m－4n2+1时，可将9m2，－6m与1这三项归为一组（注：这三项可运用完全平方公式来分解）， 而－4n2单独为一组，然后再运用平方差公式分解等等。由此可见，分组要注意统观全局，分组分解因式要有预见性，关键要突出如何将多项式的各项准确地分类，合理地选择分组方案，使分解过程趋向简单，最终准确实现分解因式。
3、转化思想
解决数学问题的策略思想多种多样，在教学研究中，使一种研究对象在一定条件下转化为另一种研究对象的数学思想称为转化思想。体现在数学解题中，就是将原问题进行变形，使之转化为我们所熟悉的或已经解决的或者易于解决的问题。就这一点来说，解题过程实质上就是不断转化的过程。在“因式分解”这一部分，我们接触到许多数学方法——提公因式法、运用公式法、十字相乘法、分组分解法等。只要我们学会了这些方法，按知识──方法──思想的顺序提炼数学思想方法，与整式乘法作类比，在转化思想的指导下根据题目特点就能解决很多与分解因式相关的问题。如计算10032－10022 时，则应考虑运用平方差公式将原式分解为(1003+1002)(1003－1002)来计算比较简便。另外要实现同一个转化目标，往往有不同的转化方法，既然有不同的方法达到同一个目标，因而方法之间就可能有优劣或繁简之别。当你较为熟练地掌握因式分解方法（如分组分解法）之后，就应该探索最优解决方法，以求迅速准确地实现转化目标。如因式分解x2－xz+xy－yz－x－y时，同学甲采用第一与三，二与四，五与六项分组法，同学乙采用第一、二与五，三、四与六项分组法，同学丙采用第一与二，三与四，五与六项分组法，同学丁采用第一、二、三与四，五与六项分组法。这四位同学的解法各有特色，同学丙、丁的解法是在数学思想的指导下，间接地实现目标，是可行的，而同学甲、乙的解法更直接些，具有较强的观察力，一步分组即能实现目标，非常简洁，是一种十分优美的解法。
4、整体思想
在因式分解中，对于结构较复杂的多项式，若通过整理把其中某部分看作一个整体，则能使多项式结构明朗化，问题简单化，便于因式分解。这就是我们常说的整体思想。利用整体思想分解因式的学习可按以下两步进行：（1）学生通过换元可以加深对整体思想的理解。如因式分解 (x2+x)2－14(x2+x)+24，在变量思想的指导下，同学们会很快地想到用换元法对例题进行分解因式，即设x2+x=a，则原式=a2－14a+24=(a－2)(a－12)=(x2+x－2)(x2+x－12)=(x+2)(x－1)(x+4)(x－3)。在此基础上，引导学生抓住换元法的特点是把x2+x看作一个整体，让学生加深对整体思想的理解。（2）学生通过解题可以拓展整体思想。如因式分解(x2－3x+2)(x2－3x－4)－72，在整体思想的指导下，学生也很容易地得到以下的几种解题方案。方案1：将x2－3x看作一个整体，则原式=(x2－3x)2－2(x2－3x)－80=…=(x－5)(x+2)(x2－3x+8)；方案2：将x2－3x+2看作一个整体，则原式=(x2－3x+2)2－6(x2－3x+2)－72=…=(x－5)(x+2)(x2－3x+8)；方案3：将x2－3x－4看作一个整体，则原式=(x2－3x－4+6)(x2－3x－4)－72=(x2－3x－4)2+6(x2－3x－4)－72=…=(x－5)(x+2)(x2－3x+8)。综观上述两例，正是由于整体思想，使得繁与简、新与旧达到了和谐的统一。
5、数形结合思想
所谓数形结合，其实质是将抽象的数学语言与直观图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合起来，实现抽象概念与具体形象的联系和转化，化难为易，化抽象为直观。在实际的数学学习中我们要尽量发掘数与形的本质联系，促使学生善于运用数形结合的思想方法去分析问题，解决问题，从而提高学生的数学能力。
我们知道因式分解的常用方法——十字相乘法，实际上是借助十字交叉线分解系数。建立的十字交叉线图既直观，又易于比较系数之间的关系，尤其是方便调整因数（式），使之达到和谐的系数统一，最终完成因式的分解。如因式分解2x2－7x+3时，先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数。具体分解二次项系数(只取正因数)：2＝1×2＝2×1；分解常数项：3=1×3=3×1=(－3)×(－1)=(－1)×(－3) 用画十字交叉线方法表示下列四种情况：
1 1 2 1 1 －1 2 －1
2 3 1 3 2 －3 1 －3
1×3+2×1=5 1×1+2×3=7 1×(－3)+2×(－1) =－5 1×(－1)+2×(－3)=－7经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数－7。
用数学思想指导因式分解，灵活运用，进行一题多解的练习，培养思维的发散性、灵活性、敏捷性；对习题灵活变通，引申推广，培养思维的深刻性、抽象性；组织引导对解法简捷性的反思评估，不断优化思维品质，培养思维的严谨性、批判性。对同一数学问题的多角度的审视引发的不同联想，是一题多解的思维本源，是类比、分类、转化、整体、数形结合等数学思想运用的必然。数学思想的自觉运用往往使我们运算简捷、推理机敏，是提高数学能力的必由之路。