代曙光这名字:正比例和反比例

小学数学总复习专题讲解及训练（八）

主要内容
正比例和反比例

学习目标
1、使学生结合实际情境认识成正比例和反比例的量，能根据正、反比例的意义判断两种相关联的量是否成正比例或反比例。
2、使学生初步认识正比例的图像是一条直线，能利用给出的具有正比例关系的数据在方格纸上画出相应的直线，能根据具有正比例关系的一个量的数值看图估计另一个量的数值。
3、使学生在认识成正比例、反比例的量的过程中，初步体会数量之间相依互变的关系，感受有效表示数量关系及其变化规律的不同数学模型，进一步提升思维水平。
4、使学生进一步体会数学与日常生活的密切联系，增强探索数学知识和规律的意识，养成积极主动地参与学习活动的习惯，提高学好数学的信心。

考点分析
1、两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。如果这两种量中相对应的两个数的比的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们之间的关系叫做正比例关系。
如果用字母ｘ和ｙ分别表示两种相关联的量，用ｋ表示它们的比值，正比例关系可以用这样的式子来表示：  = K（一定）。
2、用“描点法”可以得到正比例的图像，正比例的图像是一条直线。对照图像，能根据一种量的值，估计另一种量相对应的值。
3、两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们之间的关系叫做反比例关系。
如果用字母ｘ和ｙ分别表示两种相关联的量，用ｋ表示它们的积，反比例关系可以用这样的式子来表示：ｘｙ = K（一定）。
4、两个变量的比值一定，这两个变量成正比例；两个变量的积一定，这两个变量成反比例；没有上述两种关系，这两个变量不成比例。

典型例题
例1、（正比例的意义）一列火车行驶的时间和路程如下表。这两种量有什么关系？

时间/时 1 2 3 4 5 6 ……
路程/千米 120 240 360 480 600 720 ……

分析与解：（1）从上表可以看出，表中有时间和路程两种量。
（2）从左往右看，时间扩大，路程也扩大；从右往左看，时间缩小，路程也缩小。所以它们是两种相关联的量。
（3）路程和时间的比值始终不变，  = 120，  = 120，  = 120……这个比值就是火车的行驶速度。
通过观察和计算，我们对路程和时间的关系有两点发现：第一点路程和时间是两种相关联的量，也就是时间变化，路程也随着变化；第二点路程和对应的时间的比的比值（也就是速度）是一定的，有这样的关系：  = 速度（一定）。
具备了这两个条件，我们就可以得到结论：行驶的路程和时间成正比例关系；行驶的路程和时间成正比例的量。

点评：判断两种量是不是成正比例，分三步：一看它们是不是相关联的两种量；二是看一种量变化，另一种量是不是也随着变化；满足了前面两个条件，再看它们的比值是否一定。不要省去任何一步。如果用字母ｘ和ｙ分别表示两种相关联的量，用ｋ表示它们的比值，正比例关系可以用这样的式子来表示：  = K（一定）。

例2、（判断是否成正比例）
练习本的单价一定，买练习本的数量和总价是不是成正比例？为什么？
分析与解：根据正比例的意义，看两个变量的比值是否一定，如果两个变量的比值一定，那么这两个变量就成正比例，反之，则不成正比例。
买练习本的数量和总价是两种相关联的量，它们与练习本的单价有下面的关系：
  = 练习本的单价（一定）
所以练习本的数量和总价成正比例。

例3、（正比例的图像）磁悬浮列车匀速行驶时，路程与时间的关系如下。

时间/分 1 2 3 4 5 6  7 ……
路程/千米 7 14 21 28 35 42 49 ……

（1）图中的点A表示时间为1分钟时，磁悬浮列车驶过的路程为7千米。请你试着描出其他各点。
（2）连接各点，它们在一条直线上吗？

（3）根据图像判断，列车运行2分半钟时，行驶的路程是多少千米？行驶30千米大约需要几分钟？  路程/千米
42
35
28
21
14
7   ●A
0
     1  2  3  4 5  6  7 时间/分

分析与解：根据提供的各组数据描出图像的许多个点，再依次连成直线。路程和时间相对应的数的比值都是7，即速度一定，路程和时间成正比例，图像是一条直线。对照图像，可以根据时间的值估计出路程的值，也可以根据路程的值估计出时间的值，估计时允许有一定的出入。
（1）描点、连线如图。
               路程/千米
42                 ●
35              ●
28           ●
21        ●
14      ●
7   ●A
0
     1  2  3  4 5  6  7 时间/分

（2）在一条直线上，因为路程和时间成正比例，正比例的图像是一条直线。
（3）根据图像，列车运行2分半钟时，行驶的路程是17.5千米；行驶30千米大约需要4.3分钟。

例4、（辨析）圆的周长和直径成正比例，圆的面积和半径成正比例？

分析与解：圆的周长和直径成正比例，而圆的面积和半径却不成正比例。

可列表判断。
半径/cm 1 2 3 4 5 6 ……
直径/cm 2 4 6 8 10 12 ……
周长/cm 6.28 12.56 18.84 25.12 31.4 37.68 ……
面积/cm2 3.14 12.56 28.26 50.24 78.5 113.04 ……
圆的周长和直径的相对应的数的比值都是3.14，所以圆的周长和直径成正比例。而圆的面积和半径的相对应的数的比值是变化的，所以圆的面积和半径不成正比例。
圆的周长和直径成正比例，圆的面积和半径却不成正比例。
例5、（反比例的意义）
下表是王师傅加工一批零件时，每小时加工零件个数随时间变化的情况。这两种量有什么关系？

每小时加工零件的个数/个 20 30 40 60  80 ……
加工的时间/时 12 8 6 4 3 ……

分析与解：（1）从上表可以看出，表中有每小时加工零件的个数和加工的时间两种量。（2）从左往右看，每小时加工零件的个数扩大，加工的时间反而缩小；从右往左看，每小时加工零件的个数缩小，加工的时间反而扩大。所以它们是两种相关联的量。（3）每小时加工零件的个数和相对应的加工的时间的积都始终不变，如20 × 12 = 240，30 × 8 = 240，40 × 6 = 240……而这个积就是这批零件的总个数。
通过观察和计算，我们发现：每小时加工零件的个数和加工的时间是两种相关联的量，每小时加工零件的个数随着加工的时间变化而变化，但无论它们怎么变化，相对应的积是一定的，有这样的关系：每小时加工零件的个数 × 加工的时间 = 零件的总个数（一定）。
所以每小时加工零件的个数和加工的时间成反比例的量，它们之间的关系叫做反比例关系。

点评：判断两种量是不是成反比例，和正比例一样，分三步：一看它们是不是相关联的两种量；二是看一种量变化，另一种量是不是也随着变化；满足了前面两个条件，再看它们的乘积是否一定，进行判断。不要省去任何一步。如果用字母ｘ和ｙ分别表示两种相关联的量，用ｋ表示它们的比值，正比例关系可以用这样的式子来表示：ｘｙ = K（一定）。

例6、（判断是否成反比例）
总产量一定，每公顷的产量和公顷数是不是成反比例？为什么？
分析与解：根据反比例的意义，看两个变量的乘积是否一定，如果两个变量的积一定，那么这两个变量就成反比例，反之，则不成反比例。
每公顷的产量和公顷数是两种相关联的量，它们与总产量有下面的关系：
每公顷的产量 × 公顷数 = 总产量（一定）
所以每公顷的产量和公顷数成反比例。

例7、（辨析）和一定，一个加数和另一个加数成反比例。
分析与解：判断两个变量是否成反比例，关键是看两个变量的乘积是否一定。很明显，和一定，两个加数的积是变化的，所以它们不成反比例。
和一定，一个加数和另一个加数不成反比例。因为它们的积不一定。
点评：有些相关联的量，虽然也是一种量变化，另一种量也随着变化，但它们不是积一定，也       不是比值一定，它们就不成比例。像这样的还有：人的跳高高度和身高；减数一定，被减数和差等。

例8、（综合题1）
（1）长方形的面积一定，长和宽成反比例吗？为什么？
（2）长方形的周长一定，长和宽成反比例吗？为什么？
分析与解：判断时可以用列表的方式列举数据，也可以根据计算的公式来推导。
（1）因为长方形的长 × 宽 = 长方形的面积（一定），所以长和宽成反比例。
（2）长方形的周长 = （长+宽）× 2 ，长方形的周长一定，长+宽的和一定，但不是积一定，所以长和宽不成反比例。

例9、（综合题2）
分别说明大米的总千克数、每天吃的千克数和天数这三种量中，每两种量的比例关系。
（1）大米的总千克数一定，每天吃的千克数和天数；
（2）每天吃的千克数一定，大米的总千克数和天数；
（3）天数一定，大米的总千克数和每天吃的千克数。

分析与解：在大米的总千克数、每天吃的千克数和天数这三种量中，当某一种量一定时，另外两种量可能成正比例关系，也可能成反比例关系。可以根据数量关系式来判断。
（1）因为每天吃的千克数 × 天数 = 大米的总千克数（一定），所以大米的总千克数一定时，每天吃的千克数和天数成反比例。
（2）因为  = 每天吃的千克数（一定），所以每天吃的千克数一定时，大米的总千克数和天数成正比例。
（3）因为  = 天数（一定），所以天数一定时，大米的总千克数和每天吃的千克数成正比例。

小学数学总复习专题讲解及训练（八）

模拟试题
1、仔细观察每张表格，思考表格中两种量之间有关系吗？有什么关系？为什么？
表格1
数量/本 1 3 6 8 10 20 ……
总价/元 4 12 24 32 40 80 ……
表格2
单价/元 1.5 2 3 4 5 6 ……
总价/元 6 8 12 16 20 24 ……
表格3   用60元钱购买笔记本，笔记本的单价和可以购买的数量如下表：
单价/元 1.5 2 3 4 5 6 ……
数量/本 40 30 20 15 12 10 ……
2、用一批纸装订练习本，每本25页，可以装订400本。如果要装订500本，每本有X页。
题中（     ）量一定，关系式：（    ）○（    ）＝（   ）（一定），（    ）和（   ）成（   ）比例。
3、一间会客室地面用边长0.3米的正方形地砖铺，需要640块。如果改用边长0.4米的正方形地砖，需要Y块。
题中（       ）量一定，关系式：（      ）○（      ）＝（     ）（一定），（    ）和（     ）成（    ）比例。
4、在圆柱的侧面积、底面周长、高这三种量中
   当底面周长一定时，（   ）与（   ）成（  ）比例；
   当高一定时，（   ）与（   ）成（   ）比例；
   当侧面积一定时，（   ）与（   ）成（   ）比例。
5、在被除数、除数、商这三种量中，
   当（   ）一定时，（   ）与（   ）成正比例；
   当（   ）一定时，（   ）与（   ）成反比例；
6、当 a × b ＝ c（ a、b、c 为三种量，且均不为0）。
 (   )一定，（   ）与（   ）成（   ）比例；
（   ）一定，（   ）与（   ）成（   ）比例；
（   ）一定，（   ）与（   ）成（   ）比例；
7、判断。
（1）、工作总量一定，工作效率和工作时间成反比例。（      ）
（2）、图上距离和实际距离成正比例。（       ）
（3）、X和Y表示两种变化的相关联的量，同时5X－7Y＝0，X和Y不成比例。（      ）
（4）、分数的大小一定，它的分子和分母成正比例。          （     ）
（5）、在一定的距离内，车轮周长和它转动的圈数成反比例。  （     ）
（6）、两种相关联的量，不成正比例，就成反比例。          （     ）
（7）订阅《小学数学评价手册》的份数与所需钱数成正比例。   (     )
（8）在400米赛跑中，跑步的速度和所用时间成反比例。       (     )
（9）工作总量一定，已完成的量和未完成的量成反比例。       (     )
（10）正方体的棱长和体积成正比例。                        (     )
（11）被除数一定，除数和商成反比例。                      (     )
（12）圆的周长和它的直径成正比例。                        (     )
8、判断下面每题中的两种量是不是成比例，如果成比例，成什么比例。
（1）、装配一批电视机，每天装配台数和所需的天数（         ）。
（2）、正方形的边长和周长（           ）。
（3）、水池的容积一定，水管每小时注水量和所用时间（               ）。
（4）、房间面积一定，每块砖的面积和铺砖的块数（              ）。
（5）、在一定时间里，加工每个零件所用的时间和加工零件的个数（           ）。
（6）、在一定时间里，每小时加工零件的个数和加工零件的个数（              ）。

9、思考：明明三岁时体重12千克，十一岁时体重44千克。于是小张就说：“明明的体重和身高成正比例。”你认为小张的说法对吗？为什么？

10、某造纸厂每小时造纸1.5吨，2小时、3小时┈┈各造纸多少吨？
（1）把下表填写完整。
造纸时间/时 1 2 3 4 ……
造纸吨数/吨 1.5    ……
（2）根据表中的数据，在下图中描出造纸时间和造纸吨数对应的点，再把它们连起来。             吨数/吨
6 
5
4
3
2
1
0
     1  2  3  4 5  6  7 时间/时
（3）造纸吨数与造纸时间成正比例吗？为什么？
（4）根据图像判断， 5小时造纸多少吨？

参考答案：

1、仔细观察每张表格，思考表格中两种量之间有关系吗？有什么关系？为什么？
表格1
数量/本 1 3 6 8 10 20 ……
总价/元 4 12 24 32 40 80 ……
  = 4，  = 4，  = 4  ……
因为  = 单价（一定），所以单价一定时，总价和数量成正比例。
表格2
单价/元 1.5 2 3 4 5 6 ……
总价/元 6 8 12 16 20 24 ……
  = 4，  = 4，  = 4  ……
因为  = 数量（一定），所以数量一定时，总价和单价成正比例。
表格3   用60元钱购买笔记本，笔记本的单价和可以购买的数量如下表：
单价/元 1.5 2 3 4 5 6 ……
数量/本 40 30 20 15 12 10 ……
1.5 × 40 = 60 ，2 × 30 = 60 ，4 × 15 = 60  ……
因为单价 × 数量 = 总价（一定），所以总价一定时，单价和数量成反比例。

2、用一批纸装订练习本，每本25页，可以装订400本。如果要装订500本，每本有X页。
题中（   纸的总页数  ）量一定，关系式：（  每本页数  ） × （ 装订本数 ）＝（ 纸的总页数  ）（一定），（  每本页数  ）和（  装订本数 ）成（  反  ）比例。
3、一间会客室地面用边长0.3米的正方形地砖铺，需要640块。如果改用边长0.4米的正方形地砖，需要Y块。
题中（  会客室地面面积 ）量一定，关系式：（ 每块砖的面积 ）×（  砖的块数  ）＝（  会客室地面面积   ）（一定），（  每块砖的面积  ）和（  砖的块数   ）成（  反  ）比例。
4、在圆柱的侧面积、底面周长、高这三种量中
   当底面周长一定时，（ 侧面积  ）与（ 高  ）成（正）比例；
   当高一定时，（  侧面积 ）与（  底面周长 ）成（正）比例；
   当侧面积一定时，（   底面周长 ）与（  高 ）成（  反 ）比例。
5、在被除数、除数、商这三种量中，
   当（ 除数  ）一定时，（  被除数 ）与（  商 ）成正比例；
   当（ 被除数  ）一定时，（  除数  ）与（  商  ）成反比例；
6、当 a × b ＝ c（ a、b、c 为三种量，且均不为0）。
 (  c  )一定，（  a ）与（  b ）成（  反  ）比例；
（  a ）一定，（  c ）与（  b ）成（  正 ）比例；
（  b ）一定，（  c ）与（  a ）成（  正 ）比例；
7、判断。
（1）、工作总量一定，工作效率和工作时间成反比例。       （ √ ）
（2）、图上距离和实际距离成正比例。                     （  × ）
（3）、X和Y表示两种变化的相关联的量，同时5X－7Y＝0，X和Y不成比例。（   ×   ）
（4）、分数的大小一定，它的分子和分母成正比例。          （  √   ）
（5）、在一定的距离内，车轮周长和它转动的圈数成反比例。  （  √  ）
（6）、两种相关联的量，不成正比例，就成反比例。          （  ×  ）
（7）订阅《小学数学评价手册》的份数与所需钱数成正比例。   (  √  )
（8）在400米赛跑中，跑步的速度和所用时间成反比例。       (  √  )
（9）工作总量一定，已完成的量和未完成的量成反比例。       (  ×  )
（10）正方体的棱长和体积成正比例。                        (  ×  )
（11）被除数一定，除数和商成反比例。                      (  √  )
（12）圆的周长和它的直径成正比例。                        (  √ )
8、判断下面每题中的两种量是不是成比例，如果成比例，成什么比例。
（1）、装配一批电视机，每天装配台数和所需的天数（   反比例      ）。
（2）、正方形的边长和周长（   正比例        ）。
（3）、水池的容积一定，水管每小时注水量和所用时间（     反比例         ）。
（4）、房间面积一定，每块砖的面积和铺砖的块数（      反比例        ）。
（5）、在一定时间里，加工每个零件所用的时间和加工零件的个数（  反比例  ）。
（6）、在一定时间里，每小时加工零件的个数和加工零件的个数（  正比例  ）。
9、思考：明明三岁时体重12千克，十一岁时体重44千克。于是小张就说：“明明的体重和身高成正比例。”你认为小张的说法对吗？为什么？
答：小张的说法是错误的，体重和身高不是两种相关联的量，体重和身高不成比例。
10、某造纸厂每小时造纸1.5吨，2小时、3小时┈┈各造纸多少吨？
（1）把下表填写完整。

造纸时间/时 1 2 3 4 ……
造纸吨数/吨 1.5 3 4.5 6 ……

（2）根据表中的数据，在下图中描出造纸时间和造纸吨数对应的点，再把它们连起来。             吨数/吨

6           ● 
5
4
3      ●
2
1    
0
1  2  3  4 5  6  7 时间/时
（3）造纸吨数与造纸时间成正比例吗？为什么？
因为  = 每小时造纸吨数（一定），所以每小时造纸吨数一定时，造纸吨数与造纸时间成正比例。

（4）根据图像判断，5小时造纸多少吨？
根据图像判断，5小时造纸7.5吨