周瑜的传说:对教师选择和编制中学数学习题的案例分析

    问题是数学的心脏，数学家提出不同的问题，质疑、思考、反复地求索与论证、解决问题，从而促进了数学的发展。教师通过问题的逐步设疑，引导学生思考解决问题的方法，而学生也是在一个个数学问题的解决过程中，提高了分析问题的能力，培养了逻辑思维的能力。从某种意义上说，在数学上，没有新的知识，永远存在的是新问题。总而言之，问题之于数学的重要性，每个学习过数学的人都很清楚。好的数学问题，对学生数学的进步、思维的训练很重要，而选择好的数学练习题或者编出高质量的练习题（不是难题），对训练学生的思维同等重要。
    在实践调查中发现，由于种种原因，教师选择、编制数学题有时缺乏深入的思考。或许是因为时间的紧迫，或许是由于面对题海，教师也失去了耐心，甚至是由于教师也没有思考清楚数学问题本身，比如平方根的意义到底有几个维度？到底应从哪几个方面考查有理数的意义？而编出恰当的数学题，对数学教师的数学素养和能力提出了更高的要求。
    但是，数学习题又不完全等同于数学问题，那么二者之间的区别和联系是什么呢？
    一、数学问题与数学习题的界定
    关于数学问题，国内外比较有代表性的定义有以下几种：
    (1)数学问题是一个集合。斯托利亚尔在《数学教育学》中给出了更抽象的定义：用数学术语记号叙述在某一个“对象领域”，这种对象领域可以用一个或几个集合，这几个集合能并成一个全集，与其中规定的谓词（表达这些集合的元素性质或它们之间的关系）构成的问题称为数学问题[1]。
    (2)数学问题是需要实际行动去解决的情况。最早提出这一观点的是波利亚(G.Polya)，他在《数学的发现》中提出：“有问题指的是：有意识地寻求某一适当的行动以便达到一个被清楚地意识到但又不能立即达到的目的。”《牛津大词典》中关于问题的解释是：“这是指那种并非可以立求解或困难的问题，那种需要探索、思考和讨论的问题，那种需要积极思维活动的问题。”[2]
    (3)数学问题是某种情境。ICME-6“问题解决、模型化和应用”组的课题报告认为：“一个（数学）问题是一个对人具有智力挑战特征的没有现成的直接方法，程序或算法的未解决的问题情境。”[3]
    (4)数学问题是一种数学模式序缺。王秋海在《基于“数学问题”探析》中提出数学问题新定义，数学问题，就是以潜问题的形式被主体数学心理场所所感知的数学模式序缺。这一定义的涵义：①明确了数学问题产生根源——数学模式序缺；②数学模式序缺只有被人们的数学心理感知方可成为真正的数学问题；③数学问题一旦出现，就成为一种客观存在，无论他人是否再度感知；④问题的解决即数学模式序缺被序化[4]。
    (5)数学问题形成一个题系统。
    以上的观点主要从以下几个方面界定数学问题：①从问题本身的结构来定义数学问题；②从解题者的角度看，问题是一种情境，需要用实际行动去解决的情况。
    数学习题应该包含在上面的五个类型之中[5]（新课程下初中数学习题的比较研究，赵珊），具备数学问题的特征，具备开放性、探究性、趣味性和挑战性，但又具有自身的特点：①习题是为教学服务的，是以教材内容为主，起到巩固知识，运用知识的作用，具有很强的指向性和目的性；②数学习题是教学内容的常规训练，面向的群体是学生，具有大众化的特点，而数学问题具有更加广泛的知识涵盖范围。
    本文研究的对象是数学习题，是课堂练习题（包括终结性考试题）。
    面对题海，选择数学练习题，是每个数学老师每天的工作，也是最基础的工作，而选择或者编制针对具体的教学内容或者教学目标，能够训练学生思维的练习题，并非一件容易的事情，这也考查了教师的数学素养。那么，好的数学题具有怎样的标准呢？
    舍菲尔德在1994年提出了下面五条审美原则作为衡量一个问题对其课程是否有用的标准[5]：
    一个好问题必须：
    ①是容易接近的（不需要大量的技巧）；
    ②有多种解题方法（或者至少有多种思路）；
    ③蕴涵了重要的数学思想（好的数学）；
    ④不故设机关；
    ⑤可以进一步开展和一般化（导致丰富的数学探索活动）。
    根据舍菲尔德的标准，一个好的数学习题应该：
    ①具有科学性和针对性；
    ②具有层次性和梯度性（学生可以接受的，不需要大量的技巧）；
    ③有多种解法或思路；
    ④蕴涵了好的思想或方法；
    ⑤具有探究性和开放性。
    二、数学练习题选择和编制的原则
    1.选择数学习题要有科学性
    选择、改编或者编制的数学习题要有科学性，这是最基本的一条原则。否则会对学生的学习造成干扰。
    具体为：(1)这些数学题的条件和结论不能有事实性的错误；(2)条件之间要相容，不能相互矛盾，不能有逻辑性的错误；(3)由条件当且仅当能够推出结论，最好不要有冗余的条件（为了考查学生的甄别能力，多设计条件以便造成干扰，此类题目，干扰条件要设计好）。
    例1　如图1，给出下列四组条件：
    
    图1
    ①AB=DE，BC=EF，AC=DF；
    ②AB=DE，∠B=∠E，BC=EF；
    ③∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F；
    ④AB=DE，AC=DF，∠B=∠E。
    其中，能使△ABC≌△DEF的条件共有(　)
    A.1组　　B.2组　　C.3组　　D.4组
    分析：此题是江苏省2009年的中考选择题第7题。这道题本意是考查学生对全等三角形的判定条件的掌握。“边边角”不能作为两个三角形全等的判定条件。如果不加“如图1”，本题的答案是C，应该是本题设计的原意，但是，有了“如图1”之后，给学生的解答造成了困扰，图上的两个三角形是全等的，有的学生认为第4组也对。为了严谨起见，应该把“如图1”去掉，加上“在△ABC和△DEF中”。
    例2　△ABC的重心是M(-3，1)，C点在第一象限，线段BC的中点D(0，0)。∠A的平分线交BC于点E(-3，-3)，求点A、B、C的坐标。
    分析：根据重心和顶点之间的关系，以及条件“BC的中点D(0，0)”很容易得到A点的坐标是(-9，3)，，则，则AE⊥BC，那么△ABC是等腰三角形，AE是角平分线，所以AE也是中线，故点D与点E重合，这与题设条件矛盾，所以本题条件不相容。
    2.选题、编题要有针对性，目的要明确
    选择、改编或者自编的练习题，考查目的要明确，要有针对性。(1)理解和巩固新知识需要模仿性的习题；(2)解决重点难点是要针对学生在学习中易错误、把握不准的知识，或是针对教材中的重点、难点而布置和安排的习题；(3)选择具有系列变式的题目，能够拓展学生的思维[6]。否则，若选择的题目不合适，比如，题目涉及的内容还没有学习到，或者已经学习过了，或者题目考查目标不明确，就不能达到巩固知识，训练思维的能力。
    例3　如图2，两座建筑AB及CD，其地面距离AC为60米，从AB的顶点B测得CD的顶部D的仰角β=30°，测得其底部C的俯角α=45°，求两座建筑物AB及CD的高。（精确到0.1米）
    
    图2
    分析：此题是作为初中学习仰角、俯角这两个概念时的课堂练习，对学生来说，俯角的概念的理解与掌握是难点，经常把俯角混淆成视线与铅垂线的夹角。但是这道题在图中把仰角、俯角全部标出，无疑是转移了考查的目标，把对仰角、俯角概念的考查转化为对解直角三角形的考查了，没有突破难点。
    
    分析：本题主要考查不等式的解法，以及不等式组的解集的表示，部分学生在第一个不等式解得x＜3错误结果（去括号没有乘2），第二个不等式解对的情况下，却仍旧得到正确的答案。因此，此类题目不适合作为训练和考查题目，至少以选择或者填空题目的形式呈现，不容易看出学生的错误点。
    
    分析：这个题考查学生对函数图像与二元一次方程组关系的题目。我们在访谈学生中发现，很多学生不能够把方程组的解与函数图像的交点建立起对应关系，对方程组的几何意义以及函数图像交点的代数表示都没有理解，那么这道题目就达到了考查的目的。对于概念理解的题目，教师应该选择一些反映基本概念内涵的题目，触发学生的思考，深入剖析概念。
    例6　针对平行四边形对角线的教学，为了使学生更好地理解平行四边形的性质及其判定，教师选择如下的系列变式课堂习题：
    原题如图3，点E、F在对角线AC上运动，使AE=CF。试判断四边形BFDE的形状并说明理由。
    
    图3
    变式1　由原题中“AE=CF”改为“E、F分别从A点、C点同时出发，均以2cm/s的速度运动了2s”，结论有改变吗？为什么？
    变式2　由原题中“AE=CF”改为“BE∥DF”，结论有改变吗？为什么？
    变式3　将原题中“AE=CF”去掉，改为“当E、F满足什么条件时四边形BFDE是平行四边形”？
    
    图4
    变式4　如图4，点E、F在对角线AC上运动，点G、H在BD上运动，当E、F、G、H分别运动到OA、OC、OB、OD的中点时，四边形EGFH是平行四边形吗？为什么？
    
    图5
    变式5　如图5，点E、F在对角线AC的延长线上运动，使AE=CF。试判断四边形BFDE的形状并说明理由。
    分析：通过一个基本图形的系列变式，一步步深入地思考，加深对概念及性质的理解，在此过程中，训练学生“在变化中抓住不变”的能力，深化学生的纵向思维水平，理解数学概念的本质。
    3.选题、编题要有层次性
    选题、编题要有层次性，有两层含义：
    (1)教师选择、改编或者自编的题目本身要有梯度，要层层深入，不宜知识点过于集中，技巧性很强，使学生无从下手；
    (2)选择、编写题目时要考虑学生数学水平的差异性。面对学生参差不齐的水平，老师们不能采用“一刀切”的习题方式，要考虑的是分层教学。而作为分层教学的重要形式之一，是课堂及课后练习实施分层。一般地，老师们根据成绩把学生A、B、C三个水平，不同水平的学生要求练习的题目是不一样的，A水平的学生的题目难一些，C水平的相对简单，巩固基本概念和运算规则即可，但对每个层次的题目却没有很好地考虑和选择。对部分农村教师（“绿色耕耘中学数学再提高班”项目的学员）的访谈得知，他们经常要求A水平的学生把学案所有的题目做完，而要求C水平的学生完成基础知识部分即可；而对学案呈现的题目没有选择和取舍，自然达不到很好的分层练习的效果。老师应该精选一些题目，根据对学生的了解，分出层次，以便考查出学生的问题，有的放矢地展开教学。
    4.题目最好具有多种解法或者思路
    一题多解，引导学生用不同的思路、不同的方法，获得不同的解题途径。一题多解，能够调动学生的积极性，激发探索求知的渴望；也能够锻炼学生思维的灵活性；还能够促进学生深入的理解知识及其相互之间的联系。教师要引导学生分析不同方法或思路之间的联系或者共性，使得方法进一步提升。那么，一题多解中的“题”如何选择？一题多解中的“多解”，又该如何去启发学生，如何抓住“多解”中的本质？这些都需要教师具有很好的学科专业素养。
    
    图6
    例7　如图6，已知AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的点，，求AD的长。
    解法1　（简证）
    如图7，延长BC、AD相交于点E，连接AC。
    
    
    如图11，过点C作CF⊥AB于点F，CE⊥AD于点E
    
    分析：本题条件简练，图形简洁，却能从不同角度切入，选用不同的工具，如角平分线定理、三角形的相似、三角形的全等、三角函数等（方法还有很多，不仅仅限于所列举的）。但在以上方法中，都要选择同一个工具，直径所对的圆周角相等。教师要引导学生发现在不同的解法中的共性，即关键条件，对于提高学生的分析问题的能力大有裨益。
    5.题目最好蕴涵好的思想，具有可探究性和开放性，激发学生进一步思考
    选择、改编或者自编的题目最好具有进一步研究的价值，能够激发学生进一步思考，开拓思路，训练思维，引导学生由浅入深一步步深入下去。探究性数学题也是考试很热门的一种题型。题中或由于缺少一定的题设条件，或结论不明确使得思考方向难以确定。由于此类题的综合性较强，逻辑性要求又较高，所以能够较好地考查学生观察、分析、比较、归纳、猜想等多方面的能力。
    例8　如图12，在△ABC中，点O是AC上的一个动点，过点O平行于BC的直线，交∠BCA的平分线于E，交∠BCA的外角∠ACN平分线于F。
    (1)请猜测OE与OF之间的关系，并说明理由；
    (2)点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？写出推理过程；
    (3)在什么条件下，四边形AECF是正方形？
    
    图12
    解(1)OE=OF，证明如下：
    由于EC、FC是∠BCA及其外角的平分线
    则∠ECB=∠ECO，∠OCF=∠FCN
    又因为EF∥BC
    则∠ECB=∠CEO，∠FCN=∠OFC
    则∠CEO=∠ECO，∠OCF=∠OFC
    则OE=OC，OC=OF
    所以OE=OF
    (2)当O运动到AC中点时，四边形AECF是矩形。证明如下：
    因为OE=OF，AO=CO
    则四边形AECF是平行四边形
    由于EC、FC是∠BCA及其外角的平分线
    则∠ECF=90°
    则四边形AECF是矩形
    (3)当O为AC的中点，∠ACB=90°时，四边形AECF是正方形。证明如下：
    当O为AC的中点时，四边形AECF是矩形
    若∠ACB=90°，则∠CEO=∠OFC=45°
    则EC=FC
    即四边形AECF是正方形
    分析：运动带来变化，也因此带来趣味。学生在运动变化中分析给定的数量关系，找到其中的不变量，发现一些特殊位置的特殊关系，这对学生分析问题的能力提出了很高的要求[7]。而从数学发展来看，揭示图形的不变量，是几何研究的一个重要内容。(1)学生通过观察和直觉判断，能够猜想出OE=OF，进而利用角平分线得到的角相等的关系，不难证出。本小题难度较低，相当于为后面的分析推理铺设了一个平台。(2)学生需要思考判断四边形是矩形的条件，结合第一问的结论，以及动点的规律，从而得到正确的判断。(3)在第二问的基础上通过推理、计算得到四边形AECF是正方形。选择这样的一些具有探究性的题目，能够引发学生的思考，激发其探究的兴趣。
    学生学习数学不能不做题，但往往陷入题海，不堪重负。作为数学老师应该从题海中寻找或者创造出能够锻炼学生数学思维的精华题目，减少学生无意义的重复性演算或者机械练习，让学生有更多的机会接触数学本质。学海无涯，并不一定需要苦作舟，也可以乐在其中！这样，在提高学生的数学思维能力的同时，也能减轻学生的学业负担，还能激发学生学习数学的兴趣，给学生思考的空间。
    在选题或者编题时，除了注意上面的原则之外，对数学知识的讲解，也应该从数学本身的发展以及与生活实践的联系两个方面，让学生去认识数学。但我们并不提倡把数学和生活生硬地拼装在一起，把一些生活情境冠以数学的帽子。所以，选题或者编题，对数学教师提出了很高的要求，而不是随便选择一些题目，丢给学生去做。
    另外，在实践教学中，教师若能够适当地引导和指导学生选择数学题或者编数学题，留一些课堂时间让学生去展示和交流，也会收到很不错的教学效果。作为教师，如何指导学生编题，进行编题的教学，这又是值得研究的问题。