偶看新闻长沙市和顺石油:悖论边缘的世界图景：从哥德尔不完全性定理到非严格决定论
来源：百度文库 编辑：偶看新闻 时间：2024/04/20 02:47:07
悖论边缘的世界图景：从哥德尔不完全性定理到非严格决定论
丁 利
上帝是存在的，因为数学是逻辑一致的；
但魔鬼也是存在的，因为我们无法证明这一致性。
——魏尔
[作者按]
这篇文章构思于我在西南政法学院读大三的1990年，初稿写作于1992年。期间一个简单改写版曾以《“我知道怎么一来那种事就可能发生”》为题，作为王浩先生的《哥德尔》（康宏逹先生译）的读后感发表于《方法》杂志；旁涉人类社会制度的不完备性或不完美性的扩充版也在朋友圈内交流过。
今天来看这篇试笔之作，不乏稚嫩和疏漏之处。现在作为献给北京大学法学院百年纪念而拿出来的理由是，哥德尔不完全性定理(Incompleteness Theorem)与不动点定理(Fixed-point Theorem)以及博弈论中的纳什均衡(Nash Equilibrium)存在性定理，在我的生命和思考中有着无与伦比的意义。
从小我就被这样一个问题所困惑，我们作为个人在世界中处于什么位置？我所有的行动——包括我的思考，为什么是这样而不是那样的？我这样做是被一种力量严格决定着从而身不由己，还是我能“扼住命运的咽喉”？我对这个问题的思索和理解，本质上来源于哥德尔不完全性定理和纳什均衡存在性定理，而它们之间又通过据以提供其存在性的不动点定理被巧妙地联结起来。从不完全性定理引出的关于我们存在于其中的这个复杂世界的“物理学”意义，使我们可以持一种非严格决定论的世界观，从而为个人意志和自由选择提供了最低限度的可能性。在社会博弈的互动(interaction)中，通过纳什均衡存在性定理，我们的行为决策被赋予了一种合理性，即它是一种均衡策略行为：在别人都不改变策略的情况下，我的行为是对他们的可能行为的最优理性反应，而别人的行为也构成对我和其他人的可能行为的最优反应；在行为方案与信念系统的相互支持下，这个均衡的策略组合是一个自我实施(self-enforcing)的行动方案，或者说是关于博弈如何进行的一个自我实现(self-fulfilling)的预见。当然哥德尔定理依然对这种合理性施加了限制。在中国社会科学院经济研究所的博士后研究报告《理性、进化与均衡：博弈论解概念及其基础》，是这个没有终点的探索过程的一个局部反映。
至于这些定理背后的哲学思想反映在人类社会制度上的种种观念和拓展，已经被孔多塞、哈耶克、波普尔、阿罗、赫尔维茨、豪尔绍尼、罗尔斯、森等大师深刻而细致地探究。如，投票悖论和阿罗不可能性定理表明在规范意义上我们未必总是能够协调一致地寻找到合理的社会目标（包括各种所谓民主投票方式）；囚徒困境在实证意义上指出我们在实现社会最优问题上可望而不可及的“坦塔罗斯之痛苦”；既然所有不同层次的制度构成的阶梯系统的运行必须是自我实施的均衡，那么在多重均衡的可能情形下，自我加强的学习调整机制就会使一个社会在选择某种制度的进化过程中表现出随机性和路径依赖特征；而全知全能的超级智慧（譬如中央政府或完备法律）的不存在，则揭示出任何集中、构造性的社会决策都是不可行的，从而为个人自由在合法性上提供了基本辩护。这些在题为《博弈、博弈规则与规则博弈》的博士学位论文里有比较详细的整理介绍。
我相信，我们对包括法律、习俗、惯例等社会制度的理解，必然要以这三个基本定理为出发点。借用人们形容贝多芬最后六首弦乐四重奏的话，在社会科学意义上，三大定理是“人类存在经验的浓缩”。
引言
悖论是人类思维的难解之谜。当公元前六世纪的克里特哲学家埃皮曼尼德讲“克里特人总是说谎者” 时，它就已经成为困惑人心的理智漩涡了。无独有偶，在东方的道家和禅宗那里，悖论式的语言也随处可见。不过，道禅并不是去刻意消除悖论中的矛盾，却常常借以表述自己的思想。
因其“冷而严肃的美”（罗素），数学被认为是严密思维的典范。但本世纪初在作为现代数学之基础的集合论中，罗素又使那古老的说谎者悖论 复活了，引发第三次数学危机，由此导致希尔伯特提出其公理化纲领，企图从数学本身证明数学的无矛盾性，以“一劳永逸地消除数学中的基础问题”。但1931年哥德尔不完全性定理的证明却又使之破产。
哥德尔定理是元数学——证明论的最重要成果，即，从元理论的角度看，如果一个其公理集是递归集并能产生自然数论的形式系统是一致的 ，那么它是不完全的，它不能揭示它的一个模型 ——自然数集中的全部真命题，并且也不能证明其自身的无矛盾性 。
任何理论首先要能够描述世界。如果我们把“从元理论的角度看”作为一个原则，考察相对于一定的描述理论的世界是如何存在的。那么，在这个认识论向本体论的回归中，哥德尔定理为人类划定了一条“对于不可说的东西必须沉默”的界限。因为哥德尔定理——尤其是它的不可判定命题本身就建立在悖论边缘却又没有落入悖论，它只是断定了一种不可判定——在一定理论框架之内的不可说。那么，在悖论边缘是一幅怎样的世界图景呢？
随机性与对称破缺：不可判定性与非严格决定论
伽利略有句名言，宇宙这部书，上帝是用数学语言来写的。鉴于数学在人们心目中的地位，在当时这无异于说，宇宙间的天地万物都是被严格决定的，上帝的光辉里没有随机性的地盘。出生于伽利略去世那年的牛顿以其《自然哲学的数学原理》几乎实现了先辈之梦——虽然上帝除了“第一推动力”之外便无事可干。在原理的序言里牛顿写道：“全部哲学的任务看起来就在于这一点从——种种运动现象来研究各种自然力，再从这些力来表征其他现象；我愿我们能用同样推理方法，从机械原则导出其余的自然现象。” 后经欧拉、达朗贝尔、拉格朗日和拉普拉斯等人在学术上的推波助澜，一个像钟表一样精确的严格决定论的世界图景出现了，它由拉普拉斯在《概率论》引言中生动地描述：“让我们想象有个精灵，它知道在一定时刻的自然界里一切的作用力和组成这个世界的一切东西的位置；让我们又假定，这个精灵能够用数学分析来处理这些数据。由此，它能够得到这样的结果：把宇宙中最大物体的运动和最轻原子的运动都包括在同一个公式里。对于这个精灵来说，没有不确定的东西。过去和未来都会呈现在它的眼前。”
决定论与非决定也是本世纪著名的爱因斯坦与玻尔科学论战的焦点。他们之间的分歧典型地表现在爱因斯坦给玻恩的一封信中：“你相信掷骰子的上帝，我却信仰客观存在的世界中的完备定律和秩序。”
这个严格决定论的框架是建立在精灵的全知全能基础上的。但后面我们希望表明的是，如果我们承认哥德尔定理的效力，那么全知全能的精灵与希尔伯特纲领都是人类的坦塔罗斯痛苦 ——可望而不可及。其实，拉普拉斯本人就指出：“人在追求真理中的一切努力，目的是要愈来愈接近那个精灵，但是人仍然是永远无限地远离着它。”
必须指出，从元理论的角度看，所谓决定与非决定都是相对于一定的描述（刻画）世界的理论框架而言，因此判断上帝是否掷骰子应该结合判断工具作出。只要我们刻画世界的理论工具是不完全的，那么就不能消除我们观察并存在在其中的世界的不确定性和随机性；易言之，正因为没有全知全能的上帝，所以我们才说上帝也掷骰子。
世界的整个存在状态可被解释为一组真命题，由一种相当丰富的语言（甚至可以用世界自身的存在或其否定作语言）所表述。一个理论框架试图以其定理集囊括所有真命题，它的公理和推演规则对定理集的演绎决定关系相当于世界存在的时间序列中严格的因果决定关系。这些真命题构成一个一致的逻辑上相容的体系，也就是说，世界的存在本身是没有矛盾的，矛盾只有可能出现于刻画世界的理论中 。但是哥德尔定理给我们的启发是，此理论 如果是没有矛盾的，则它是不完全的，必然有一个真命题是不可判定的，也就是说不能用这个理论的公理和推演规则演绎出来。我们必须要求理论是没有矛盾的，因为一个不一致的理论可从推出任何命题（包括假命题），已失去理论正确描述世界的意义。如此，则理论的不完全是不可避免的。对任何理论而言，世界的存在状态中至少有一个是其所不能刻画的，这就意味着未来不可能由过去和现在的状态及演化规律（相当于理论框架的公理）所完全严格地决定。
因而，宇宙也不是一部计算机，一旦借上帝之手开动，就会按固定的算法程序输出其存在状态。图灵以其关于图灵机的研究从另一个也许是更广泛的角度揭示了不完全性问题。图灵机在本质上可代替任何机械计算装置，但功能再强大的图灵机也面临着停机不可解问题，这同样表明了严格决定论的本质上不可避免的局限性。
当然，正象哥德尔定理并非否认，逻辑上可能存在一个一致且完全的数论形式系统，我们也可以承认存在一个象拉普拉斯精灵一样的把过去、现在和未来纳入同一框架的描述世界的完备模式。前者的存在要求把系统中所有为真的公式作为公理（哥德尔定理意味着这个过程不是能行可实现的），而后者也就要求拉氏精灵必须沿着时间之矢把世界的存在演化过程中的所有状态都记录下来才行。但是，显而易见，这就失去了谈论因果决定关系的必要和可能。因为，我们的任何描述世界的理论模式只能从可判定的递归公理集（在这里，即使是一个无限的递归公理集也因其是递归的而表现为可判定的）和推演规则出发。
公理集可以是一个递归可枚举集而非递归集，而递归可枚举集是由一递归函数严格决定的。但是原则上，如果我们能区分过去、现在和未来，那么我们必须能区别出非公理集合，从而公理集应当是递归集。因此，说一个把所有真命题纳为公理的系统便等于几乎什么也没说，也不存在一个确定有效的方法来构造实现它（即所谓能行性不可补足）。我们不知道与原始系统相独立的一个命题或其否定中的哪一个可作为公理，除非存在先验判断，而此先验判断可能是武断的。在此意义上，数论形式系统是本质上不可完全的，把不可判定命题纳为公理后还会产生新的不可判定命题，这个过程永远没有结束的时候。当然，哥德尔本人认为正是他的柏拉图主义或客观主义使他发现了完全性定理的证明，“我的客观主义的数学和元数学一般概念，特别是关于超穷思维的客观主义的观念，对于我的其他逻辑工作也是根本的” 。
彭罗斯认为，“这个世界很可能是决定性的，但同时却是不可计算的” 。“即使未来可以被现在所决定，它也不能从现在被计算出来”。换言之，在他看来可计算性概念比决定性更强。彭氏提出的证据是存在“决定论的但不可计算的波动方程”。波动方程的解作为一个不可计算的函数本身是决定性的，这类似于在逻辑中存在非递归的递归可枚举集，后者由一函数生成。不可计算函数的存在，表明有些严格决定论过程是不可计算的。但我们似乎有理由相信，函数相对于特定环境才有意义。，彭氏的讨论已经隐含地把讨论的问题放进一个背景里了，这个背景是我们从元理论的立场上强加的。换种说法，如前述拉氏精灵沿着时间之矢把世界的存在演化过程中的所有状态都记录下来，这是一种事后观点。
在此，我们也看到了逻辑公理系统与自组织系统的契合之处——对称破缺。不可判定命题的存在表明系统可以在此命题及其否定两个不同方向上加以扩展，因而存在两个模型（自然数集对数论形式系统而言不过是一个标准模型，在此模型中不可判定命题为真。同样，还存在另一个标准模型）。而这两个扩展方向是本质上对称的，它们独立于原来的公理系统，原来的公理系统不能确定选择哪一个。与此相对应，在自组织系统的进化过程中，当控制参量越过一定域值，新的有序结构的产生在本质上都是随机的，面对着两个原则上相同的进化方向，系统的具体选择表现为一种对称破缺 。按照李政道先生的说法，“所有的对称性都是基于某些基本量不可观测的假设” 。如果系统原来的历史根本不能区分这两种选择，也就不能必然地决定其中的任何一个。选择哪一条演化途径，完全取决于随机性。但演化途径一旦确定，那么在控制参量不变的情况下，系统是沿着决定论的轨道发展的。这正如一旦确定了一个公理系统的公理和推演规则，其定理集就被严格决定了。
这样，我们也就可以更好地理解方兴未艾的混沌研究了。以一维迭代 为例，当k达到临界值（约大于3.5699）时，系统呈现出混沌特性时，整个过程虽然是严格决定论的机制，但是对初值的测定却不可能是绝对精确的， 初值的微小变化都会引起整个过程的大相径庭。因此混沌理论主要意义在于揭示出，复杂的现象往往可以用简单的规律来把握 。当然它也同样表明，只要对世界的描述手段——理论或测量工具不能达到一种终极的完备，这个世界就必然要表现出随机性、偶然性 。
斯宾诺莎曾以不容置疑的口气写道：“其所以说一物是偶然的，除了表示我们的知识有了缺陷外，实在没有别的原因。” 但是笼统地把偶然性归因于知识的缺陷，隐含着这样一种看法，即理论和知识的不足可以经改进弥补而消除随机性。好比掷骰子，只要能针对每次投掷精确地搞清楚各种相关因素，就可以精确的确定是哪个面朝上，而代替统计学意义上每个面的六分之一概率。针对这种说法，彭加勒指出：“偶然性并非是我们给我们的无知所取的名字。” 我们需强调的是理论本质上的不可判定，不仅仅是理论的缺陷问题，它恰恰反映了理论背后的世界的一种本质属性。
在承认任何对世界的描述理论的不完全性基础上，决定论与随机性之间便不是必然对立的。仍以一维迭代 为例。我们知道，在控制参数k大于约3.5699的取值范围内，这个迭代过程呈混沌态：从一定的初值出发，可得到一个不重复的数字序列。因为整个过程是严格决定论的，因此这个数字序列只是“表面上”呈随机性。
由前式可得， 。为了于前述进化过程中选择的随机性相比较，我们把它写成 。我们规定在迭代过程中，高低取值的选择以抛硬币决定（如正面向上取高值，反面向上取低值），那么这也会得到一个不重复数字序列，但它是完全随机的。
由不同的初值选定，可分别得到两类无数的不重复数字序列。对比会发现，它们是镜像对称的。把后者的最后一个数字作为前者的第一个数便得到同样一个数列 。
这给人一个戏剧性的启发，不是现在严格地决定将来，反到是将来决定现在，现在决定了过去的状态。因为过去作为一种存在已经被严格决定了 ，它决定将来（或现在）不过在于为将来提供了一个时间序列的选择空间，而作出哪种选择却不能由它决定。也正因为关于将来的可能的选择空间是由过去决定的，由将来向过去的追溯才表现为一个逻辑上的决定过程。
由此，时间的不可逆性，单向性也就成为当然的。同热力学第二定律所揭示的熵增加的时间箭头相仿，在世界的存在过程中，时间的方向被描述为一个随着随机性选择的发生，可能性不断转化为现实性因而也就不断减少的方向，而对包括过去在内的整个过程而言，也就呈现出一幅复杂性不断增加的世界图景。这里，还有另外一种不完全性。在时间序列中，每个阶段世界的具体存在是确定不移的，但存在的可能性却不是唯一的。当然实在只是一种可能性的实现，不可能两种可能同时转化为现实。所以，我们的世界不过是不可数个可能的世界（也是埃弗雷特所讲的多重世界）之一。这种不完全性类似于数理逻辑中的斯科林奇论 ：公理系统在一个可数模型中为真，但它的一个定理却讲存在不可数集。但这并不构成矛盾，恰如一个理论体系中的一个真命题讲这个理论是不完全的，并不能必然地导致理论的不一致。
因数学的严密性而被清除出去的随机性、偶然性，又因数学的不完全性从后门跑回来了，但却被嵌入一个逻辑上自洽的随机过程（如马尔科夫过程）中。决定论与随机性的冲突让位于不完全性并因不完全性而消融。因而展现在我们面前的世界图景是非严格决定论的，用普里戈金的话来说，“伟大的宇宙教科书的最后一章还没有写出来呢 （19）。”
相关性：不完全性与随机性之源
我们的行文好像不是在悖论边缘，而是离悖论很远了。其实，“正如王浩所表明的，迄今已知的每一个语义悖论都可以转换成一个不完全性证明。” 所有的悖论都是以自我相关的形式出现的，虽然并不是所有的理论不完全性都表现为自我相关。但这种自我相关却是理论不完全性的本质根源。哥德尔正是受说谎者悖论和理查德悖论的启发而构造了一个意指自己不可证的公式从而证明了数论形式系统的不完全性。
对照一下哥德尔曾证明过的谓词逻辑的完全性是很有意义的。数论形式系统可以认为是谓词逻辑基础上的扩充。但为什么后者是完全的，而前者却本质上不可完全呢？答案即在于，数论形式系统的语言丰富到可以构造出具有元理论性质的句子（命题），使其自身在一定程度上成为自身的元理论，作为描述者的理论参与了被刻画对象并构成其不可分割的一部分。在此意义上，如果我们撇开完全性在数理逻辑中的特有内涵，那么谓词逻辑更是不完全的，因为有一个更大的包含其在内的逻辑空间它没涉及到。
哥德尔本人曾很详细地谈到其证明思想：“我们可以注意到一个形式系统的公式在形式上都表现为基本符号（变量、逻辑常项或中断符号）的一个有限序列。而且人们容易精确地去指明基本符号的哪些有限序列是有意义的公式和哪些不是有意义的公式。类似地，从形式的观点看，所谓证明实际上就是公式的一个有限序列。对于元数学来说，究竟用什么来作为基本符号当然是没有什么关系的。我们不妨就用自然数来作为基本符号。如此一个公式就是一个自然数的有限序列，而一个证明便是一个有限的自然数序列的有限序列。据此，元数学的概念（命题）也就变成了关于自然数或它们的序列的基本概念（命题），从而即可（至少是部分地）在（对象）系统本身的符号中得到表示，特别是人们可以证明‘公式’、‘证明’‘可证公式’等都可在对象系统中加以定义。” 通过哥德尔配数法的运用和对递归函数的研究，这是完全可以做到的。（与此类似，对世界的描述也以一定方式表现为构成世界的一部分，从而可在一定程度上用其语言来处理。）既然对一个系统的解释又可以映射在系统内，那么根据递归定理（不动点定理） 的思想，这种描述者与被描述者的参与必然会造成自我相关命题的出现，使这个命题既是一个被描述的对象，又是一个用以刻画自身的符号。
自我相关并不必然造成悖论，如“我这句话是真话”就没有矛盾，它可以为真，也可以为假。而说谎者悖论“我这句话是假话”则既不能为真也不能为假。如果我们把它们看作一理论的语言所表述的命题中的两个，那么从元理论的角度看，两者也都表明了它们在理论中的不可证性（塔式基的真理论中，说谎者悖论在元语言中判定为假 。塔式基证明了一种语言不能在对此语言中的“真”加以定义，否则会出现说谎者悖论，证明直接利用了哥德尔不完全性定理的思想。），故而显示了理论的不完全性。其它语义悖论也可作如是观。把“真实性”代以“可证性”，就会出现哥德尔定理中的不可判定命题，它断定了自身在数论形式系统中的不可证性。利用这个结果进而可以证明，数论形式系统如果是无矛盾的，那么它的无矛盾性也可转化在系统中可表达的命题，但这个也不能被证明，这又是数论形式系统及一切类似系统不完全性的必然表现。
完全性可看作对整体世界的确定性描述。但当把描述者和被描述者作为一个整体来考察时，描述者却不能对这个包括自身在内的整体做完整地把握，原因也正在于描述者对被描述者的参与，对世界的描述直接构成世界的一部分。并且哥德尔定理还表明，从元理论的角度看，描述者所不能描述的也构成其描述对象的一部分，因为这是能用它的语言来表达的，不可判定命题即是例子。这也说明了语言较于理论的丰富性（作为哥德尔定理的推广，由索洛莫诺夫、察廷和柯尔莫哥洛夫 发展起来的随机串理论对一个理论的证明能力作了更严重的限制 ）。而且，自我相关命题的不可避免代表了极限情况下理论本质上的不完全性 。可以说，这个世界的复杂性是任何理论都不能完全把握的，虽然我们可以有哥德尔定理及其推广表明这个事实本身。在理论不断扩展的无穷过程中它永远不能取得一个像上帝或拉普拉斯精灵一样的绝对元理论地位。而即使是拉普拉斯精灵也不能把自身可实现（形式化）地包含于内，正如上帝不能造出一个它不能战胜的对手。换言之，绝对元理论地位不存在。
与数学中的哥德尔定理相对应，在量子力学领域我们可看到另一种不完全性
——测不准原理。对爱因斯坦来说，量子力学“不能使我满意的，是它对于那个在我看来是全部物理学纲领性目标的态度。这个目标就是：要对任何（单个的）实在状态（假定它是不依赖于任何观察或者证实的动作而存在的）作完备的描述。” 但是，海森堡指出：“关于‘实际事物’的任何知识——根据量子论的定律在其——真正的本质上都是不完备的知识。” 我们知道量子力学的最终结果是对包括实验装置在内的整个系统的描述，“写出的几率函数是代表进行测量时实验状况的”，“这种几率函数代表两种东西的混合物，一部分是事实，另一部分是我们对事实的知识。” 所以，像后来波姆等人所主张的隐变量理论如果也不能避免量子力学的这种相关性，那它只能是空中楼阁，至少它无法经实验检验证实。
在此基础之上，如果承认“物理学涉及的是关于自然我们能说些什么”，那么玻尔的互补原理就是对量子力学不完全性的一种合理解释 。这样一个整体参与的世界里，如玻尔所说，在生活的戏剧中，我们既是观众，又是演员。并且，首先是演员，其次才是观众。作为演员的世界可谓以其自身为最好的描述，作为观众的任何一种理论框架是无法把包括自己的世界完全装进去的。因而世界的存在表现出开放性，理论也正因为构成了一个封闭的模式而表现为不完备。相对于任何理论的封闭模式，世界表现为不断突破原来结构而不断增加复杂性的生成过程。新的结构以其自身的存在证明其在时间序列中的逻辑相容性，并“刻画”了其存在的合理性，恰如不可判定命题以说明自身的不可证性而真实、独立地存在于自然数集的命题中。
无限的层次
世界的这种开放性、生成性 ，使我们对无限的理解也增添了新的内容。
本世纪初数理逻辑三大流派之争的一个焦点就是无限。遥承柏拉图的康托尔、罗素、希尔伯特等实无限论者认为，可以把无限作为一种完成物，一种实在的存在来处理；而肇始于亚里士多德的克罗内克、布劳维尔、外尔等潜无限论者认为无限“永远停留于创造（生成）的状态之中，而绝不是一个存在于自身之中的事物的封闭领域（外尔）。”
超越实无限与潜无限之争而代之以无限的层次性，是可以实现双方阵营之间的（绥靖）的。其实，实无限论者康托尔证明实数系不可数的工作就对无限作了可数与不可数的划分。
利用对角线方法，康托尔证明，对任何一个可数的无限实数集合，总可以通过对对角线元素的否定构造出一个不属于它的实数来，把这个实数加到原来集合中，又可以构造出新的不能包括的实数。哥德尔定理中不可判定命题也是用对角线方法作出的。并且，汤姆逊的工作表明，几乎所有悖论都建立在对角线方法上。
如自然之无限不可等同于实数之无限所表明的，对角线方法的实质在于揭示了无限的层次性，一个高层次者（相当于潜无限）与低层次者（相当于已完成的实无限）有本质的区别，后者永远不能趋进或代替前者，借布劳维尔“存在必须被构造”的话，有些存在是不可能仅仅通过构造的方法把握住的。因而希尔伯特纲领的堂吉诃德色彩不在于对无限可认识性的坚持上，倒在于它过于宏伟了，欲在一个完整的框架内超越无限的这种层次性。怀特海说得好，“有限本质上涉及一个无限的背景”，而任何理论模式都因其封闭性本质上是有限的（低层次的实无限也是如此）。当然“无限本来是无意义的和无价值的，它靠具体化为有限实体而获得意义和价值。” 哥德尔定理不过是宣告了以终极意义和价值的寻求是一座注定不可建成的“巴别塔”。
因此，理论进步的标尺即在于，在一定的简洁性之上，描述范围的扩大与描述细节的更精致，就像相对论力学取代牛顿力学而把后者作为一种特例包括进来，虽然新理论依然不能避免希腊神话中那个不停地推石头上山的西绪福斯的命运。
结语
但这不应成为悲观论调的借口。固然，哥德尔定理指出我们任何描述世界的理论的不完全性；在世界不可逆的无限发展进程中，随机性、偶然性使人感到扑朔迷离，无所适从。但是，我们也应看到，人类作为一种自由的存在，除了奠基于世界的可认识性之上，随机性是另一块不可缺少的基石。只有随机性才可能赋以人类在一个整体参与世界中的选择主体地位 。在一个铁的规律决定的世界里，如果连对规律的认识以及所谓利用规律改造世界的选择都是被预先安排了的，自由只是一种奢想——连奢想本身也是不可更改的命运的一部分。既然一个人为恶为善都是他身不由己的，要求他为善而不作恶有什么意义呢？判他有罪并加以惩罚的理由也只好说这是审判官也身不由己的行为了。甚至，我们谈论自由这种行为本身，譬如我这会儿写下这行字，都是一部庞大的钟表一样的机器使我作为上面的一个零件而不得不干的。所谓自由实际上成了我们的一种幻觉。故此，在康德的视野里，为了“解决”这种冲突，人和自然界被人为的割裂开来，随机性在自然中是清除对象，而“自由因”则莫名其妙地留给了人以树立其理性的崇高 。
今天，该是重建人和自然联盟的时代了 ，统一的纽带——非严格决定论不是出于证明人类自由的臆想，它本身就根植于世界，深埋在任何关于世界的描述理论的不完全性中——哥德尔定理是它最好的注解。
【注释】标准的说谎者悖论为“我正在说的这句话是假的”。
罗素悖论是：一个由所有不属于自身的集合所组成的集合是否属于自身？显然，不管肯定或否定的回答都会引向其反面。
在哥德尔原来的论文中是更强的“ （奥米加）一致性”，后来罗塞尔将其减弱到“一致性”。
模型中的解释的意义：我们把数论形式系统中的可推演定理解释为（赋予其意义于）自然数集中的真命题。而在通俗的语言上，是用理论作为现象的“解释”（描述）。后文的讨论中，我们取模型论的用法，我们认为理论中的命题被解释为现象。
后来甘钦用更强的超穷归纳证明了自然数论的一致性，但不完全性定理依然成立。
转引自贝尔纳《历史上的科学》中文版P276，科学出版社1959年出版。
引自弗兰克《科学的哲学》中文版P282，许良英译，上海人民出版社1985年出版。
《爱因斯坦文集》第一卷P415，许良英、范岱年等译，商务印书馆出版。
引自弗兰克《科学的哲学》中文版P282，许良英译，上海人民出版社1985年出版。
此处的矛盾是逻辑意义上的，不同于辩证法中的“矛盾”，但后者也不应违背矛盾律。
理论应能展开自然数论似乎是不容置疑的。克罗内克有句名言：上帝创造了自然数，其余都是人造的。
Wang Hao (1974): From mathematics to philosophy, p9。
彭罗斯《皇帝新脑》P195，湖南科技出版社1995年，吴忠超译。
数学中已发展出分歧理论来处理它。
李政道《对称、不对称和粒子世界》中文本P4，科学出版社1991年出版，吴元芳译。
混沌理论的代表人物之一福特有句论断：“混沌是哥德尔定理的孩子”。
在《科学》季刊43卷4期P269，郝柏林先生以“有限性”概念表述了同样观点。
斯宾诺莎《论理学》中译本P30，商务印书馆1958年版。
彭加勒《科学与方法》中译本《科学的价值》P388，光明日报出版社。
参见卢侃等编译《混沌动力学》P340，上海翻译出版公司1990年版。其实，这也没什么奇怪之处，二者之间的镜像对称关系已由两个迭代式之间的转换关系所决定。
作为一种实在它是不可更改的，对过去的不同理解是另外一回事，哥德尔曾指出爱因斯坦的相对论中有可能出现“向过去的自己开枪”的怪事，考虑到下文提到的时间单向性，过去依然不会被改变。
参见克林《元数学导论》下册中译本P472，科学出版社，莫绍揆译。
转引自《世界科学》1991年12期P3。
莫斯托夫斯基《数学基础研究三十年》P15，华中工学院出版社，郭世铭等译。实际上哥德尔本人就曾指出“任何认识论悖论都可以用来做一存在不可判定命题的相仿证明”。
转引自徐利治《数学方法论选讲》P148，149，华中工学院出版社1982年版。
参见《元数学导论》下册第十二章，尤其P394的讨论。可插入的一句话是，递归定理与布劳维尔不动点定理等的相似之处对理解关于离散和连续的关系也极有启发。
参见三联书店涂纪亮编《语言哲学名著选》P254。
柯氏作为二十世纪最有造诣的俄罗斯数学家，早期的经典贡献是概率论公理化，中期是以KAM定理为代表的动力系统理论，二者一在随机性，一在决定论，后期的这个算法信息论（算法复杂性理论）的贡献在他看来统一了随机性与决定论。
参见《今日数学》中译本P296－300，上海科学技术出版社1982年，马继芳译。
我们在东西方文化中都可发现理论的自我相关的影子。“认识你自己”是古希腊特尔斐神庙上的一句铭言。而苏格拉底以“我知道自己什么也不知道”（柏拉图《苏格拉底的申辩》P57，商务印书馆1983年版，严群译）表现了伦理哲人的睿智，笛卡尔则以“我思故我在”从另一侧面为其理论找到了“坚实”的出发点（《西方哲学原著选读》P368，商务印书馆1982年版）。最后，哥德尔以不完全性定理给“认识你自己”作了不利的终身判决。东方的禅宗又以其特有的形式表达了对这种不完备的直观理解，如有名的禅语“不可说”、“才开口便错”。当我们欲以对世界作一总体把握时，我们的开口说话——对世界描述本身就是世界的组成部分。参与并改变了世界的存在状态，在原来的状态中至少又加上了一个“说话”。所以在总体意义上不可能对世界作全面完整地把握的。庄周则以“人生也有涯，而知也无涯”的喟叹表达了同样的思想。不过须强调的是，以老庄佛禅为代表的东方思想常以“超逻辑”自傲，但任何理论都不应违背逻辑上的一致性去追求一种空幻的“完备性”。
许良英等编译《爱因斯坦论文集》第一卷P366，商务印书馆出版。
海森伯《物理学与哲学》中文本P15，商务印书馆1981年版，范岱年译。
《物理学与哲学》P92。
吴大猷先生指出，这种不完全性以及由此引出的非严格决定论（随机性）由量子力学形式体系的预设所蕴涵。
或者如禅宗所言存在的“活泼性”。
引自徐利治《数学方法论选讲》P162。
参见夏基松、郑毓信《西方数学哲学》P162－167，人民出版社1984年版。
怀特海《数学与善》，载《数学哲学译文集》P347，知识出版社1986年版，林夏水主编。
爱因斯坦有云，“我所真正感兴趣的是，上帝是否能以不同的方式来创造世界；也就是说，必要的逻辑简单性是否为自由选择留下任何余地。”
康德从“先天综合命题如何可能”这样一种元理论思考展开其哲学体系。虽然“二律背反”已经涉及理论不完全性，但因圉于牛顿力学和欧氏几何的影响（当时的时代流行看法），其自然哲学思想也带上了严格决定论色彩。
参见普里戈金等《从混沌到有序》之“序：人与自然的新对话”，上海译文出版社1987年版P26，曾庆宏、沈小峰译。
标签: 数学－哲学－世界
丁 利
上帝是存在的，因为数学是逻辑一致的；
但魔鬼也是存在的，因为我们无法证明这一致性。
——魏尔
[作者按]
这篇文章构思于我在西南政法学院读大三的1990年，初稿写作于1992年。期间一个简单改写版曾以《“我知道怎么一来那种事就可能发生”》为题，作为王浩先生的《哥德尔》（康宏逹先生译）的读后感发表于《方法》杂志；旁涉人类社会制度的不完备性或不完美性的扩充版也在朋友圈内交流过。
今天来看这篇试笔之作，不乏稚嫩和疏漏之处。现在作为献给北京大学法学院百年纪念而拿出来的理由是，哥德尔不完全性定理(Incompleteness Theorem)与不动点定理(Fixed-point Theorem)以及博弈论中的纳什均衡(Nash Equilibrium)存在性定理，在我的生命和思考中有着无与伦比的意义。
从小我就被这样一个问题所困惑，我们作为个人在世界中处于什么位置？我所有的行动——包括我的思考，为什么是这样而不是那样的？我这样做是被一种力量严格决定着从而身不由己，还是我能“扼住命运的咽喉”？我对这个问题的思索和理解，本质上来源于哥德尔不完全性定理和纳什均衡存在性定理，而它们之间又通过据以提供其存在性的不动点定理被巧妙地联结起来。从不完全性定理引出的关于我们存在于其中的这个复杂世界的“物理学”意义，使我们可以持一种非严格决定论的世界观，从而为个人意志和自由选择提供了最低限度的可能性。在社会博弈的互动(interaction)中，通过纳什均衡存在性定理，我们的行为决策被赋予了一种合理性，即它是一种均衡策略行为：在别人都不改变策略的情况下，我的行为是对他们的可能行为的最优理性反应，而别人的行为也构成对我和其他人的可能行为的最优反应；在行为方案与信念系统的相互支持下，这个均衡的策略组合是一个自我实施(self-enforcing)的行动方案，或者说是关于博弈如何进行的一个自我实现(self-fulfilling)的预见。当然哥德尔定理依然对这种合理性施加了限制。在中国社会科学院经济研究所的博士后研究报告《理性、进化与均衡：博弈论解概念及其基础》，是这个没有终点的探索过程的一个局部反映。
至于这些定理背后的哲学思想反映在人类社会制度上的种种观念和拓展，已经被孔多塞、哈耶克、波普尔、阿罗、赫尔维茨、豪尔绍尼、罗尔斯、森等大师深刻而细致地探究。如，投票悖论和阿罗不可能性定理表明在规范意义上我们未必总是能够协调一致地寻找到合理的社会目标（包括各种所谓民主投票方式）；囚徒困境在实证意义上指出我们在实现社会最优问题上可望而不可及的“坦塔罗斯之痛苦”；既然所有不同层次的制度构成的阶梯系统的运行必须是自我实施的均衡，那么在多重均衡的可能情形下，自我加强的学习调整机制就会使一个社会在选择某种制度的进化过程中表现出随机性和路径依赖特征；而全知全能的超级智慧（譬如中央政府或完备法律）的不存在，则揭示出任何集中、构造性的社会决策都是不可行的，从而为个人自由在合法性上提供了基本辩护。这些在题为《博弈、博弈规则与规则博弈》的博士学位论文里有比较详细的整理介绍。
我相信，我们对包括法律、习俗、惯例等社会制度的理解，必然要以这三个基本定理为出发点。借用人们形容贝多芬最后六首弦乐四重奏的话，在社会科学意义上，三大定理是“人类存在经验的浓缩”。
引言
悖论是人类思维的难解之谜。当公元前六世纪的克里特哲学家埃皮曼尼德讲“克里特人总是说谎者” 时，它就已经成为困惑人心的理智漩涡了。无独有偶，在东方的道家和禅宗那里，悖论式的语言也随处可见。不过，道禅并不是去刻意消除悖论中的矛盾，却常常借以表述自己的思想。
因其“冷而严肃的美”（罗素），数学被认为是严密思维的典范。但本世纪初在作为现代数学之基础的集合论中，罗素又使那古老的说谎者悖论 复活了，引发第三次数学危机，由此导致希尔伯特提出其公理化纲领，企图从数学本身证明数学的无矛盾性，以“一劳永逸地消除数学中的基础问题”。但1931年哥德尔不完全性定理的证明却又使之破产。
哥德尔定理是元数学——证明论的最重要成果，即，从元理论的角度看，如果一个其公理集是递归集并能产生自然数论的形式系统是一致的 ，那么它是不完全的，它不能揭示它的一个模型 ——自然数集中的全部真命题，并且也不能证明其自身的无矛盾性 。
任何理论首先要能够描述世界。如果我们把“从元理论的角度看”作为一个原则，考察相对于一定的描述理论的世界是如何存在的。那么，在这个认识论向本体论的回归中，哥德尔定理为人类划定了一条“对于不可说的东西必须沉默”的界限。因为哥德尔定理——尤其是它的不可判定命题本身就建立在悖论边缘却又没有落入悖论，它只是断定了一种不可判定——在一定理论框架之内的不可说。那么，在悖论边缘是一幅怎样的世界图景呢？
随机性与对称破缺：不可判定性与非严格决定论
伽利略有句名言，宇宙这部书，上帝是用数学语言来写的。鉴于数学在人们心目中的地位，在当时这无异于说，宇宙间的天地万物都是被严格决定的，上帝的光辉里没有随机性的地盘。出生于伽利略去世那年的牛顿以其《自然哲学的数学原理》几乎实现了先辈之梦——虽然上帝除了“第一推动力”之外便无事可干。在原理的序言里牛顿写道：“全部哲学的任务看起来就在于这一点从——种种运动现象来研究各种自然力，再从这些力来表征其他现象；我愿我们能用同样推理方法，从机械原则导出其余的自然现象。” 后经欧拉、达朗贝尔、拉格朗日和拉普拉斯等人在学术上的推波助澜，一个像钟表一样精确的严格决定论的世界图景出现了，它由拉普拉斯在《概率论》引言中生动地描述：“让我们想象有个精灵，它知道在一定时刻的自然界里一切的作用力和组成这个世界的一切东西的位置；让我们又假定，这个精灵能够用数学分析来处理这些数据。由此，它能够得到这样的结果：把宇宙中最大物体的运动和最轻原子的运动都包括在同一个公式里。对于这个精灵来说，没有不确定的东西。过去和未来都会呈现在它的眼前。”
决定论与非决定也是本世纪著名的爱因斯坦与玻尔科学论战的焦点。他们之间的分歧典型地表现在爱因斯坦给玻恩的一封信中：“你相信掷骰子的上帝，我却信仰客观存在的世界中的完备定律和秩序。”
这个严格决定论的框架是建立在精灵的全知全能基础上的。但后面我们希望表明的是，如果我们承认哥德尔定理的效力，那么全知全能的精灵与希尔伯特纲领都是人类的坦塔罗斯痛苦 ——可望而不可及。其实，拉普拉斯本人就指出：“人在追求真理中的一切努力，目的是要愈来愈接近那个精灵，但是人仍然是永远无限地远离着它。”
必须指出，从元理论的角度看，所谓决定与非决定都是相对于一定的描述（刻画）世界的理论框架而言，因此判断上帝是否掷骰子应该结合判断工具作出。只要我们刻画世界的理论工具是不完全的，那么就不能消除我们观察并存在在其中的世界的不确定性和随机性；易言之，正因为没有全知全能的上帝，所以我们才说上帝也掷骰子。
世界的整个存在状态可被解释为一组真命题，由一种相当丰富的语言（甚至可以用世界自身的存在或其否定作语言）所表述。一个理论框架试图以其定理集囊括所有真命题，它的公理和推演规则对定理集的演绎决定关系相当于世界存在的时间序列中严格的因果决定关系。这些真命题构成一个一致的逻辑上相容的体系，也就是说，世界的存在本身是没有矛盾的，矛盾只有可能出现于刻画世界的理论中 。但是哥德尔定理给我们的启发是，此理论 如果是没有矛盾的，则它是不完全的，必然有一个真命题是不可判定的，也就是说不能用这个理论的公理和推演规则演绎出来。我们必须要求理论是没有矛盾的，因为一个不一致的理论可从推出任何命题（包括假命题），已失去理论正确描述世界的意义。如此，则理论的不完全是不可避免的。对任何理论而言，世界的存在状态中至少有一个是其所不能刻画的，这就意味着未来不可能由过去和现在的状态及演化规律（相当于理论框架的公理）所完全严格地决定。
因而，宇宙也不是一部计算机，一旦借上帝之手开动，就会按固定的算法程序输出其存在状态。图灵以其关于图灵机的研究从另一个也许是更广泛的角度揭示了不完全性问题。图灵机在本质上可代替任何机械计算装置，但功能再强大的图灵机也面临着停机不可解问题，这同样表明了严格决定论的本质上不可避免的局限性。
当然，正象哥德尔定理并非否认，逻辑上可能存在一个一致且完全的数论形式系统，我们也可以承认存在一个象拉普拉斯精灵一样的把过去、现在和未来纳入同一框架的描述世界的完备模式。前者的存在要求把系统中所有为真的公式作为公理（哥德尔定理意味着这个过程不是能行可实现的），而后者也就要求拉氏精灵必须沿着时间之矢把世界的存在演化过程中的所有状态都记录下来才行。但是，显而易见，这就失去了谈论因果决定关系的必要和可能。因为，我们的任何描述世界的理论模式只能从可判定的递归公理集（在这里，即使是一个无限的递归公理集也因其是递归的而表现为可判定的）和推演规则出发。
公理集可以是一个递归可枚举集而非递归集，而递归可枚举集是由一递归函数严格决定的。但是原则上，如果我们能区分过去、现在和未来，那么我们必须能区别出非公理集合，从而公理集应当是递归集。因此，说一个把所有真命题纳为公理的系统便等于几乎什么也没说，也不存在一个确定有效的方法来构造实现它（即所谓能行性不可补足）。我们不知道与原始系统相独立的一个命题或其否定中的哪一个可作为公理，除非存在先验判断，而此先验判断可能是武断的。在此意义上，数论形式系统是本质上不可完全的，把不可判定命题纳为公理后还会产生新的不可判定命题，这个过程永远没有结束的时候。当然，哥德尔本人认为正是他的柏拉图主义或客观主义使他发现了完全性定理的证明，“我的客观主义的数学和元数学一般概念，特别是关于超穷思维的客观主义的观念，对于我的其他逻辑工作也是根本的” 。
彭罗斯认为，“这个世界很可能是决定性的，但同时却是不可计算的” 。“即使未来可以被现在所决定，它也不能从现在被计算出来”。换言之，在他看来可计算性概念比决定性更强。彭氏提出的证据是存在“决定论的但不可计算的波动方程”。波动方程的解作为一个不可计算的函数本身是决定性的，这类似于在逻辑中存在非递归的递归可枚举集，后者由一函数生成。不可计算函数的存在，表明有些严格决定论过程是不可计算的。但我们似乎有理由相信，函数相对于特定环境才有意义。，彭氏的讨论已经隐含地把讨论的问题放进一个背景里了，这个背景是我们从元理论的立场上强加的。换种说法，如前述拉氏精灵沿着时间之矢把世界的存在演化过程中的所有状态都记录下来，这是一种事后观点。
在此，我们也看到了逻辑公理系统与自组织系统的契合之处——对称破缺。不可判定命题的存在表明系统可以在此命题及其否定两个不同方向上加以扩展，因而存在两个模型（自然数集对数论形式系统而言不过是一个标准模型，在此模型中不可判定命题为真。同样，还存在另一个标准模型）。而这两个扩展方向是本质上对称的，它们独立于原来的公理系统，原来的公理系统不能确定选择哪一个。与此相对应，在自组织系统的进化过程中，当控制参量越过一定域值，新的有序结构的产生在本质上都是随机的，面对着两个原则上相同的进化方向，系统的具体选择表现为一种对称破缺 。按照李政道先生的说法，“所有的对称性都是基于某些基本量不可观测的假设” 。如果系统原来的历史根本不能区分这两种选择，也就不能必然地决定其中的任何一个。选择哪一条演化途径，完全取决于随机性。但演化途径一旦确定，那么在控制参量不变的情况下，系统是沿着决定论的轨道发展的。这正如一旦确定了一个公理系统的公理和推演规则，其定理集就被严格决定了。
这样，我们也就可以更好地理解方兴未艾的混沌研究了。以一维迭代 为例，当k达到临界值（约大于3.5699）时，系统呈现出混沌特性时，整个过程虽然是严格决定论的机制，但是对初值的测定却不可能是绝对精确的， 初值的微小变化都会引起整个过程的大相径庭。因此混沌理论主要意义在于揭示出，复杂的现象往往可以用简单的规律来把握 。当然它也同样表明，只要对世界的描述手段——理论或测量工具不能达到一种终极的完备，这个世界就必然要表现出随机性、偶然性 。
斯宾诺莎曾以不容置疑的口气写道：“其所以说一物是偶然的，除了表示我们的知识有了缺陷外，实在没有别的原因。” 但是笼统地把偶然性归因于知识的缺陷，隐含着这样一种看法，即理论和知识的不足可以经改进弥补而消除随机性。好比掷骰子，只要能针对每次投掷精确地搞清楚各种相关因素，就可以精确的确定是哪个面朝上，而代替统计学意义上每个面的六分之一概率。针对这种说法，彭加勒指出：“偶然性并非是我们给我们的无知所取的名字。” 我们需强调的是理论本质上的不可判定，不仅仅是理论的缺陷问题，它恰恰反映了理论背后的世界的一种本质属性。
在承认任何对世界的描述理论的不完全性基础上，决定论与随机性之间便不是必然对立的。仍以一维迭代 为例。我们知道，在控制参数k大于约3.5699的取值范围内，这个迭代过程呈混沌态：从一定的初值出发，可得到一个不重复的数字序列。因为整个过程是严格决定论的，因此这个数字序列只是“表面上”呈随机性。
由前式可得， 。为了于前述进化过程中选择的随机性相比较，我们把它写成 。我们规定在迭代过程中，高低取值的选择以抛硬币决定（如正面向上取高值，反面向上取低值），那么这也会得到一个不重复数字序列，但它是完全随机的。
由不同的初值选定，可分别得到两类无数的不重复数字序列。对比会发现，它们是镜像对称的。把后者的最后一个数字作为前者的第一个数便得到同样一个数列 。
这给人一个戏剧性的启发，不是现在严格地决定将来，反到是将来决定现在，现在决定了过去的状态。因为过去作为一种存在已经被严格决定了 ，它决定将来（或现在）不过在于为将来提供了一个时间序列的选择空间，而作出哪种选择却不能由它决定。也正因为关于将来的可能的选择空间是由过去决定的，由将来向过去的追溯才表现为一个逻辑上的决定过程。
由此，时间的不可逆性，单向性也就成为当然的。同热力学第二定律所揭示的熵增加的时间箭头相仿，在世界的存在过程中，时间的方向被描述为一个随着随机性选择的发生，可能性不断转化为现实性因而也就不断减少的方向，而对包括过去在内的整个过程而言，也就呈现出一幅复杂性不断增加的世界图景。这里，还有另外一种不完全性。在时间序列中，每个阶段世界的具体存在是确定不移的，但存在的可能性却不是唯一的。当然实在只是一种可能性的实现，不可能两种可能同时转化为现实。所以，我们的世界不过是不可数个可能的世界（也是埃弗雷特所讲的多重世界）之一。这种不完全性类似于数理逻辑中的斯科林奇论 ：公理系统在一个可数模型中为真，但它的一个定理却讲存在不可数集。但这并不构成矛盾，恰如一个理论体系中的一个真命题讲这个理论是不完全的，并不能必然地导致理论的不一致。
因数学的严密性而被清除出去的随机性、偶然性，又因数学的不完全性从后门跑回来了，但却被嵌入一个逻辑上自洽的随机过程（如马尔科夫过程）中。决定论与随机性的冲突让位于不完全性并因不完全性而消融。因而展现在我们面前的世界图景是非严格决定论的，用普里戈金的话来说，“伟大的宇宙教科书的最后一章还没有写出来呢 （19）。”
相关性：不完全性与随机性之源
我们的行文好像不是在悖论边缘，而是离悖论很远了。其实，“正如王浩所表明的，迄今已知的每一个语义悖论都可以转换成一个不完全性证明。” 所有的悖论都是以自我相关的形式出现的，虽然并不是所有的理论不完全性都表现为自我相关。但这种自我相关却是理论不完全性的本质根源。哥德尔正是受说谎者悖论和理查德悖论的启发而构造了一个意指自己不可证的公式从而证明了数论形式系统的不完全性。
对照一下哥德尔曾证明过的谓词逻辑的完全性是很有意义的。数论形式系统可以认为是谓词逻辑基础上的扩充。但为什么后者是完全的，而前者却本质上不可完全呢？答案即在于，数论形式系统的语言丰富到可以构造出具有元理论性质的句子（命题），使其自身在一定程度上成为自身的元理论，作为描述者的理论参与了被刻画对象并构成其不可分割的一部分。在此意义上，如果我们撇开完全性在数理逻辑中的特有内涵，那么谓词逻辑更是不完全的，因为有一个更大的包含其在内的逻辑空间它没涉及到。
哥德尔本人曾很详细地谈到其证明思想：“我们可以注意到一个形式系统的公式在形式上都表现为基本符号（变量、逻辑常项或中断符号）的一个有限序列。而且人们容易精确地去指明基本符号的哪些有限序列是有意义的公式和哪些不是有意义的公式。类似地，从形式的观点看，所谓证明实际上就是公式的一个有限序列。对于元数学来说，究竟用什么来作为基本符号当然是没有什么关系的。我们不妨就用自然数来作为基本符号。如此一个公式就是一个自然数的有限序列，而一个证明便是一个有限的自然数序列的有限序列。据此，元数学的概念（命题）也就变成了关于自然数或它们的序列的基本概念（命题），从而即可（至少是部分地）在（对象）系统本身的符号中得到表示，特别是人们可以证明‘公式’、‘证明’‘可证公式’等都可在对象系统中加以定义。” 通过哥德尔配数法的运用和对递归函数的研究，这是完全可以做到的。（与此类似，对世界的描述也以一定方式表现为构成世界的一部分，从而可在一定程度上用其语言来处理。）既然对一个系统的解释又可以映射在系统内，那么根据递归定理（不动点定理） 的思想，这种描述者与被描述者的参与必然会造成自我相关命题的出现，使这个命题既是一个被描述的对象，又是一个用以刻画自身的符号。
自我相关并不必然造成悖论，如“我这句话是真话”就没有矛盾，它可以为真，也可以为假。而说谎者悖论“我这句话是假话”则既不能为真也不能为假。如果我们把它们看作一理论的语言所表述的命题中的两个，那么从元理论的角度看，两者也都表明了它们在理论中的不可证性（塔式基的真理论中，说谎者悖论在元语言中判定为假 。塔式基证明了一种语言不能在对此语言中的“真”加以定义，否则会出现说谎者悖论，证明直接利用了哥德尔不完全性定理的思想。），故而显示了理论的不完全性。其它语义悖论也可作如是观。把“真实性”代以“可证性”，就会出现哥德尔定理中的不可判定命题，它断定了自身在数论形式系统中的不可证性。利用这个结果进而可以证明，数论形式系统如果是无矛盾的，那么它的无矛盾性也可转化在系统中可表达的命题，但这个也不能被证明，这又是数论形式系统及一切类似系统不完全性的必然表现。
完全性可看作对整体世界的确定性描述。但当把描述者和被描述者作为一个整体来考察时，描述者却不能对这个包括自身在内的整体做完整地把握，原因也正在于描述者对被描述者的参与，对世界的描述直接构成世界的一部分。并且哥德尔定理还表明，从元理论的角度看，描述者所不能描述的也构成其描述对象的一部分，因为这是能用它的语言来表达的，不可判定命题即是例子。这也说明了语言较于理论的丰富性（作为哥德尔定理的推广，由索洛莫诺夫、察廷和柯尔莫哥洛夫 发展起来的随机串理论对一个理论的证明能力作了更严重的限制 ）。而且，自我相关命题的不可避免代表了极限情况下理论本质上的不完全性 。可以说，这个世界的复杂性是任何理论都不能完全把握的，虽然我们可以有哥德尔定理及其推广表明这个事实本身。在理论不断扩展的无穷过程中它永远不能取得一个像上帝或拉普拉斯精灵一样的绝对元理论地位。而即使是拉普拉斯精灵也不能把自身可实现（形式化）地包含于内，正如上帝不能造出一个它不能战胜的对手。换言之，绝对元理论地位不存在。
与数学中的哥德尔定理相对应，在量子力学领域我们可看到另一种不完全性
——测不准原理。对爱因斯坦来说，量子力学“不能使我满意的，是它对于那个在我看来是全部物理学纲领性目标的态度。这个目标就是：要对任何（单个的）实在状态（假定它是不依赖于任何观察或者证实的动作而存在的）作完备的描述。” 但是，海森堡指出：“关于‘实际事物’的任何知识——根据量子论的定律在其——真正的本质上都是不完备的知识。” 我们知道量子力学的最终结果是对包括实验装置在内的整个系统的描述，“写出的几率函数是代表进行测量时实验状况的”，“这种几率函数代表两种东西的混合物，一部分是事实，另一部分是我们对事实的知识。” 所以，像后来波姆等人所主张的隐变量理论如果也不能避免量子力学的这种相关性，那它只能是空中楼阁，至少它无法经实验检验证实。
在此基础之上，如果承认“物理学涉及的是关于自然我们能说些什么”，那么玻尔的互补原理就是对量子力学不完全性的一种合理解释 。这样一个整体参与的世界里，如玻尔所说，在生活的戏剧中，我们既是观众，又是演员。并且，首先是演员，其次才是观众。作为演员的世界可谓以其自身为最好的描述，作为观众的任何一种理论框架是无法把包括自己的世界完全装进去的。因而世界的存在表现出开放性，理论也正因为构成了一个封闭的模式而表现为不完备。相对于任何理论的封闭模式，世界表现为不断突破原来结构而不断增加复杂性的生成过程。新的结构以其自身的存在证明其在时间序列中的逻辑相容性，并“刻画”了其存在的合理性，恰如不可判定命题以说明自身的不可证性而真实、独立地存在于自然数集的命题中。
无限的层次
世界的这种开放性、生成性 ，使我们对无限的理解也增添了新的内容。
本世纪初数理逻辑三大流派之争的一个焦点就是无限。遥承柏拉图的康托尔、罗素、希尔伯特等实无限论者认为，可以把无限作为一种完成物，一种实在的存在来处理；而肇始于亚里士多德的克罗内克、布劳维尔、外尔等潜无限论者认为无限“永远停留于创造（生成）的状态之中，而绝不是一个存在于自身之中的事物的封闭领域（外尔）。”
超越实无限与潜无限之争而代之以无限的层次性，是可以实现双方阵营之间的（绥靖）的。其实，实无限论者康托尔证明实数系不可数的工作就对无限作了可数与不可数的划分。
利用对角线方法，康托尔证明，对任何一个可数的无限实数集合，总可以通过对对角线元素的否定构造出一个不属于它的实数来，把这个实数加到原来集合中，又可以构造出新的不能包括的实数。哥德尔定理中不可判定命题也是用对角线方法作出的。并且，汤姆逊的工作表明，几乎所有悖论都建立在对角线方法上。
如自然之无限不可等同于实数之无限所表明的，对角线方法的实质在于揭示了无限的层次性，一个高层次者（相当于潜无限）与低层次者（相当于已完成的实无限）有本质的区别，后者永远不能趋进或代替前者，借布劳维尔“存在必须被构造”的话，有些存在是不可能仅仅通过构造的方法把握住的。因而希尔伯特纲领的堂吉诃德色彩不在于对无限可认识性的坚持上，倒在于它过于宏伟了，欲在一个完整的框架内超越无限的这种层次性。怀特海说得好，“有限本质上涉及一个无限的背景”，而任何理论模式都因其封闭性本质上是有限的（低层次的实无限也是如此）。当然“无限本来是无意义的和无价值的，它靠具体化为有限实体而获得意义和价值。” 哥德尔定理不过是宣告了以终极意义和价值的寻求是一座注定不可建成的“巴别塔”。
因此，理论进步的标尺即在于，在一定的简洁性之上，描述范围的扩大与描述细节的更精致，就像相对论力学取代牛顿力学而把后者作为一种特例包括进来，虽然新理论依然不能避免希腊神话中那个不停地推石头上山的西绪福斯的命运。
结语
但这不应成为悲观论调的借口。固然，哥德尔定理指出我们任何描述世界的理论的不完全性；在世界不可逆的无限发展进程中，随机性、偶然性使人感到扑朔迷离，无所适从。但是，我们也应看到，人类作为一种自由的存在，除了奠基于世界的可认识性之上，随机性是另一块不可缺少的基石。只有随机性才可能赋以人类在一个整体参与世界中的选择主体地位 。在一个铁的规律决定的世界里，如果连对规律的认识以及所谓利用规律改造世界的选择都是被预先安排了的，自由只是一种奢想——连奢想本身也是不可更改的命运的一部分。既然一个人为恶为善都是他身不由己的，要求他为善而不作恶有什么意义呢？判他有罪并加以惩罚的理由也只好说这是审判官也身不由己的行为了。甚至，我们谈论自由这种行为本身，譬如我这会儿写下这行字，都是一部庞大的钟表一样的机器使我作为上面的一个零件而不得不干的。所谓自由实际上成了我们的一种幻觉。故此，在康德的视野里，为了“解决”这种冲突，人和自然界被人为的割裂开来，随机性在自然中是清除对象，而“自由因”则莫名其妙地留给了人以树立其理性的崇高 。
今天，该是重建人和自然联盟的时代了 ，统一的纽带——非严格决定论不是出于证明人类自由的臆想，它本身就根植于世界，深埋在任何关于世界的描述理论的不完全性中——哥德尔定理是它最好的注解。
【注释】标准的说谎者悖论为“我正在说的这句话是假的”。
罗素悖论是：一个由所有不属于自身的集合所组成的集合是否属于自身？显然，不管肯定或否定的回答都会引向其反面。
在哥德尔原来的论文中是更强的“ （奥米加）一致性”，后来罗塞尔将其减弱到“一致性”。
模型中的解释的意义：我们把数论形式系统中的可推演定理解释为（赋予其意义于）自然数集中的真命题。而在通俗的语言上，是用理论作为现象的“解释”（描述）。后文的讨论中，我们取模型论的用法，我们认为理论中的命题被解释为现象。
后来甘钦用更强的超穷归纳证明了自然数论的一致性，但不完全性定理依然成立。
转引自贝尔纳《历史上的科学》中文版P276，科学出版社1959年出版。
引自弗兰克《科学的哲学》中文版P282，许良英译，上海人民出版社1985年出版。
《爱因斯坦文集》第一卷P415，许良英、范岱年等译，商务印书馆出版。
引自弗兰克《科学的哲学》中文版P282，许良英译，上海人民出版社1985年出版。
此处的矛盾是逻辑意义上的，不同于辩证法中的“矛盾”，但后者也不应违背矛盾律。
理论应能展开自然数论似乎是不容置疑的。克罗内克有句名言：上帝创造了自然数，其余都是人造的。
Wang Hao (1974): From mathematics to philosophy, p9。
彭罗斯《皇帝新脑》P195，湖南科技出版社1995年，吴忠超译。
数学中已发展出分歧理论来处理它。
李政道《对称、不对称和粒子世界》中文本P4，科学出版社1991年出版，吴元芳译。
混沌理论的代表人物之一福特有句论断：“混沌是哥德尔定理的孩子”。
在《科学》季刊43卷4期P269，郝柏林先生以“有限性”概念表述了同样观点。
斯宾诺莎《论理学》中译本P30，商务印书馆1958年版。
彭加勒《科学与方法》中译本《科学的价值》P388，光明日报出版社。
参见卢侃等编译《混沌动力学》P340，上海翻译出版公司1990年版。其实，这也没什么奇怪之处，二者之间的镜像对称关系已由两个迭代式之间的转换关系所决定。
作为一种实在它是不可更改的，对过去的不同理解是另外一回事，哥德尔曾指出爱因斯坦的相对论中有可能出现“向过去的自己开枪”的怪事，考虑到下文提到的时间单向性，过去依然不会被改变。
参见克林《元数学导论》下册中译本P472，科学出版社，莫绍揆译。
转引自《世界科学》1991年12期P3。
莫斯托夫斯基《数学基础研究三十年》P15，华中工学院出版社，郭世铭等译。实际上哥德尔本人就曾指出“任何认识论悖论都可以用来做一存在不可判定命题的相仿证明”。
转引自徐利治《数学方法论选讲》P148，149，华中工学院出版社1982年版。
参见《元数学导论》下册第十二章，尤其P394的讨论。可插入的一句话是，递归定理与布劳维尔不动点定理等的相似之处对理解关于离散和连续的关系也极有启发。
参见三联书店涂纪亮编《语言哲学名著选》P254。
柯氏作为二十世纪最有造诣的俄罗斯数学家，早期的经典贡献是概率论公理化，中期是以KAM定理为代表的动力系统理论，二者一在随机性，一在决定论，后期的这个算法信息论（算法复杂性理论）的贡献在他看来统一了随机性与决定论。
参见《今日数学》中译本P296－300，上海科学技术出版社1982年，马继芳译。
我们在东西方文化中都可发现理论的自我相关的影子。“认识你自己”是古希腊特尔斐神庙上的一句铭言。而苏格拉底以“我知道自己什么也不知道”（柏拉图《苏格拉底的申辩》P57，商务印书馆1983年版，严群译）表现了伦理哲人的睿智，笛卡尔则以“我思故我在”从另一侧面为其理论找到了“坚实”的出发点（《西方哲学原著选读》P368，商务印书馆1982年版）。最后，哥德尔以不完全性定理给“认识你自己”作了不利的终身判决。东方的禅宗又以其特有的形式表达了对这种不完备的直观理解，如有名的禅语“不可说”、“才开口便错”。当我们欲以对世界作一总体把握时，我们的开口说话——对世界描述本身就是世界的组成部分。参与并改变了世界的存在状态，在原来的状态中至少又加上了一个“说话”。所以在总体意义上不可能对世界作全面完整地把握的。庄周则以“人生也有涯，而知也无涯”的喟叹表达了同样的思想。不过须强调的是，以老庄佛禅为代表的东方思想常以“超逻辑”自傲，但任何理论都不应违背逻辑上的一致性去追求一种空幻的“完备性”。
许良英等编译《爱因斯坦论文集》第一卷P366，商务印书馆出版。
海森伯《物理学与哲学》中文本P15，商务印书馆1981年版，范岱年译。
《物理学与哲学》P92。
吴大猷先生指出，这种不完全性以及由此引出的非严格决定论（随机性）由量子力学形式体系的预设所蕴涵。
或者如禅宗所言存在的“活泼性”。
引自徐利治《数学方法论选讲》P162。
参见夏基松、郑毓信《西方数学哲学》P162－167，人民出版社1984年版。
怀特海《数学与善》，载《数学哲学译文集》P347，知识出版社1986年版，林夏水主编。
爱因斯坦有云，“我所真正感兴趣的是，上帝是否能以不同的方式来创造世界；也就是说，必要的逻辑简单性是否为自由选择留下任何余地。”
康德从“先天综合命题如何可能”这样一种元理论思考展开其哲学体系。虽然“二律背反”已经涉及理论不完全性，但因圉于牛顿力学和欧氏几何的影响（当时的时代流行看法），其自然哲学思想也带上了严格决定论色彩。
参见普里戈金等《从混沌到有序》之“序：人与自然的新对话”，上海译文出版社1987年版P26，曾庆宏、沈小峰译。
标签: 数学－哲学－世界
2008-02-27 07:16:38 米牛牛
不完备性、测不准性(互补)、非决定性表明
我们目前的科学认识方法论中
有很多类似于宗教的"迷信"成分在里面
让我们假设一个相信上帝创世传说的中世纪僧侣、坐上啦宇宙飞船从而可以从外部来观测太阳系、他会怎么想？
他和可能会吧他所看到的很多现象称为悖论
然后如果他比较开明、他可能会建立一种"弱上帝"教义
来设法协调新得到的观察结果和新的想法
如果他走的更远、可能会更多地、甚至怀疑旧约中的创世说
与此类似的、由于科学曾经取得啦大量的成功
所以我们在心理上逐步出现啦一种类似于宗教信仰的、乐观的潜意识
我们倾向于去相信科学"正面"的形象
比如简洁而优美、抓住本质、举一反三、融会贯通、"冷静而坚硬的美"
"几行公式就可以同时反映力学和电动力学"等等
但是这种潜意识是不大靠得住的
一个形式系统是无矛盾的但却是不完备的、这很奇怪吗？
2个互补的物理量不能同时测准、这可不可以是一件很正常的事情？
如果现在有人说上帝不是万能的、很多人一点反应都没有、和没说一样
但是如果倒退几百年、可能就会引起轩然大波
这个世界即使是强非决定论的、又如何呢？
一个"协调的公理系统"的本质非完备性、
是否可能并不是存在不存在哥德尔数
而是该系统缺乏相应于"砍头不过碗大的疤"、
或是"做人要厚道"这样的高级行为特征和内在调节机制
从而是一个"死的"系统
而一个"死的"系统、又有什么资格谈论完备性呢？
凭什么研究主体一定可以抓住被研究对象的本质？
甚至谁保证说一定存在本质？
谁说人至少可以逐步逼近真理？谁说自然语言/人工语言一定可以记录表达真理？
谁保证一个研究者创立的科学理论、可以至少近似地被另一个研究者所正确理解？
如果我们认真地反思的话
科学研究方法论的问题太多啦
象哥德尔、海森博格、玻尔
揭出一些小矛盾、不协调、这都算是很客气、很给面子啦
但就这样爱因斯坦还是不依不饶的在那里硬撑、一定要强决定、脾气特别倔象一个任性的小娃使劲和别人吵架:):)
科学研究方法论的问题很多、其中一个很大的问题就是：
科学来自于测量(马赫、爱因斯坦、玻尔)
认识主体和被认识客体应该在科学中各占一半
但是科学方法论却尽量试图创立出一个主体不在场的研究结果
即所谓客观性、我认为这是不可能的
当人脑创立出一组公理之后
却想要立刻消失、并希望之后会出现一个协调而又完备的系统
这是非常幼稚可笑的、大量的悖论都来自于此
总之、科学最初由人来建立、最后又靠人来理解
但却又要追求客观性、这是"揪着头发、或提着鞋带"把自己往上拽
不出悖论才怪:):)
一个新的科学认知方法论、应该引入认知主体因素并作为基础参量
假设来说、比如对一个物理系统的描述中
是否应该有"测量者参量"?
更进一步地、当多于1个测量者时
测量者之间可否"互相关注"、甚至"加为好友"？
测量者是否需要先"登录"被测物理系统？(忍住先不要笑:):) 好好想想这个问题！！:):):))
在历史上、科学曾经代表人类征服自然的力量
是人性解放的标志
但却不知为什么竟然越来越陷入"客观性"的泥潭而不能自拔
科学本来是反宗教的先锋、但是现在自己却越来越貌似另一种宗教
这种科学的"客观性"带来的反人性的一面
由于一批数学家、物理学家的的工作、正在逐步被暴露出来
爱因斯坦相信上帝不掷骰子
表面上是相信人类认识世界的能力、是对人本身的肯定
但实际上是要建立一种人不在场的理论
即他要发现一种不需要主观参与的所谓"客观性"
并且潜在地、他期望主观性将被这种所谓"客观性"所推导(决定)出来
这实际上在某种深层意义上是反人性的、(从而)也是不可能的
完全性这一杰出成果使人们有了一种安全感，希尔伯特规划有望向前推进了，但随后的不完全性定理……出处
完全性截瘫的定义
从叶子边缘发芽的植物？
谁有一些经典的悖论;什么是悖论
关于“郑州烈士墓”的内容图景！！！
国际分工的不完全性
一个悖论的问题！
悖论的影响
三角形的悖论
谁知道芝诺的悖论？
很简单的悖论
一个有趣的悖论
奇怪的悖论
函数的上凸和下凹是什么样的图景？
讲几个有名的悖论？
罗素悖论怎么解决的？
悖论和错误的区别~
有哪些著名的悖论？
给几个有趣的悖论
给几个有趣的悖论
不可分量悖论的解法
cctv6, 6月11号晚上探索影厅播放的“世界的边缘”英文名是什么
马克思主义的认识论与哥德尔定理认为人类面对的两个世界是什么
世界十大定理之一：这个世界上，男的总比女的多