uu上买诛仙积分账号:17二元一次方程组及其解法

二元一次方程组及其解法
　　　　　　　　　　撰稿：范兴亚　　　 审稿：董萍　　　 责编：孙景艳
教学目标：
　　了解二元一次方程（组）及解的定义，熟练掌握用代入法和加减法解二元一次方程组的方法并能灵活运用。

重点、难点：
　　1．二元一次方程（组）及解的应用
　　　 注意：方程（组）的解适合于方程，任何一个二元一次方程都有无数个解，有时考查其整数解的情
　　　 　　　况，还经常应用方程组的概念巧求代数式的值。
　　2．解二元一次方程组
　　　 解方程组的基本思想是消元，常用方法是代入消元和加减消元，转化思想和整体思想也是本章重点.

教学内容解析：
一、二元一次方程组的有关概念复习：
　　1. 二元一次方程
　　　 含有 两个 未知数，并且未知数的 项 的次数都是 一次，这样的方程叫做二元一次方程.
　　2. 二元一次方程组
　　　 由 几 个 一 次方程组成，并且含有 两 个未知数的方程组叫做二元一次方程组.
　　　 在初中只研究由两个二元一次方程组成的二元一次方程组，它的一般形式是
　　　 （其中是不全为零）
　　3．方程组的解
　　　 方程组里 各个 方程的 公共 解叫做这个方程组的解.
　　4．解方程组
　　　 求方程组的 解 或判断该方程组 无解 的过程叫做解方程组.

　　【例1】 已知方程.
　　⑴写出用表示的式子; ⑵写出方程的4个解来.
　　解：⑴原方程可化为:,移项,得:,
　　　　　所以. ①
　　　　⑵在①中分别给一些数值,就可以求出的对应值,把它们放在一起就是原方程的一个解.
　　　　　于是可以求出原方程的4个解为:
　　　　　;;;.
　　说明：①原方程去括号时,要乘以括号中的每一项;②移项时要注意改变符号;③第⑵小题的解有无数对.

　　【例2】 选择题:
　　⑴下列方程中,二元一次方程是( )
　　A． 　　　B． 　　　C． 　　　D．

　　⑵下列六个方程组中,是二元一次方程组的有( )
　　　① 　　②　　　 ③
　　　④ 　　　⑤　　　　　　 ⑥
　　A．1个　　　 B．2个　　　 C．3个　　　 D．4个

　　⑶下列各组数中① ② ③ ④是方程的解的有( )
　　A．1个　　　 B．2个　　　 C．3个 　　　D．4个
　　解：⑴在B中,项是二次的,不是一次,应排除;
　　　　　在C中, 项是二次的,不是一次,应排除;
　　　　　在D中,只有一个未知数,少另一个未知数,不是二元,应排除;
　　　　　而A确是二元一次方程,故应选A.
　　　　⑵①不是整式方程,故不是二元一次方程组;②中求知数的项的次数出现了2次,故也不是二元一次方
　　　　　程组;③中一共出现了3个未知数,故也不是二元一次方程组;④、⑤、⑥均是二元一次方程组.
　　　　　故应选择C项.
　　　　⑶把①代入方程,左边=,右边=10.
　　　　　因为左边=右边,所以①是方程的解.
　　　　　同理可知④也是方程的解,而②和③不满足方程.故应选择B项.
　　说明：
　　㈠根据下列两条来判断一个方程是不是二元一次方程:①方程中是否只含有两个未知数;②未知项的次数
　　　是否为1.
　　㈡判断方程组是否是二元一次方程组,按照其定义看方程组中的方程是不是整式方程,是否一共只有两个
　　　未知数,且未知项的次数是否为1.
　　㈢判断一组数是不是二元一次方程的解,只要把这一组数代入方程左右两边,若能使两边相等,则是方程
　　　的解,若两边不相等,则不是方程的解.

　　【例3】下列每个方程组后的一对数值是不是这个方程组的解?
　　⑴,
　　⑵ ,
　　解：⑴因为,所以是方程组的解.
　　　　⑵因为,所以不是的解.
　　说明：判断一对数是不是方程组的解,按照定义只需看它是不是方程组中每一个方程的解.具体方法是把这一对数值代入方程组中进行检验,只要不是其中一个方程的解,那么它就不是方程组的解.

二、二元一次方程组的解法
1. 解二元一次方程组的基本思想是
　　

2. 解二元一次方程组的基本方法
　　(1) 代入消元法：
　　【例1】用代入法解方程组
　　　　　
　　解：把①代入②，得
　　　　
　　　　所以
　　　　把代人①，得.
　　　　所以

　　【例2】（为例1的变式）解方程组
　　　　　
　　分析：
　　(1)从方程的结构来看：例2与例1有什么不同？
　　 　例1是用直接代人②的．而例2的两个方程都不具备这样的条件都不能直接代入另一条方程
　　(2)如何变形？
　　　 把一个方程变形为用含的式子表示（或含的式子表示）．
　　(3)那么选用哪个方程变形较简便呢？
　　　 通过观察，发现方程①中的系数为－1，因此，可先将方程①变形，用含的代数式表示，再代
　　　 入方程②求解．
　　解：由①得， ③ ，
　　　　把③代人②，得（问：能否代入①中？）
　　　　，
　　　　所以,
　　　　.
　　　　（问：本题解完了吗？把代入哪个方程求较简单？）
　　　　把代入③，得
　　　　
　　　　所以
　　　　所以

　　(2) 加减消元法：
　　【例3】解方程组
　　解法一：由①得： 代人方程②，消去.
　　解法二：把看作一个整体，由①得,代入方程②，消去.
　　　　　　肯定两解法均正确，并比较两种方法的优劣．解法二整体代入更简便，准确率更高．
　　　　　　有没有更简洁的解法呢？教师可做以下启发：
　　问题1．观察上述方程组，未知数x的系数有什么点？（相等）
　　问题2．除了代入消元，你还有别的办法消去吗？
　　（两个方程的两边分别对应相减，就可消去x，得到一个一元一次方程．）
　　解法三：①－②得：,所以
　　　　　　代人①或②，得到
　　　　　　所以原方程组的解为

　　[变式一]：
　　启发：
　　问题1．观察上述方程组，未知数的系数有什么特点？（互为相反数）
　　问题2．除了代入消元，你还有别的办法消去吗？
　　（两个方程的两边分别对应相加，就可消去，得到一个一元一次方程．）
　　解后反思：从上面的解答过程来看，对某些二元一次方程组可通过两个方程两边分别相加或相减，消去其中一个未知数，得到一个一元一次方程，从而求出它的解．这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法．
　　想一想：能用加减消元法解二元一次方程组的前提是什么？
　　两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等.
　　[变式二]：
　　观察：本例可以用加减消元法来做吗？
　　必要时作启发引导：
　　问题1．这两个方程直接相加减能消去未知数吗？为什么？
　　问题2．那么怎样使方程组中某一未知数系数的绝对值相等呢？
　　仔细观察方程组的结构特点，发现的系数成整数倍数关系．
　　因此：②×2，得
　　由①－③即可消去，从而使问题得解．
　　（追问：③－①可以吗？怎样更好？）
　　[变式三]：
　　想一想：本例题可以用加减消元法来做吗？
　　怎样变形才能使方程组中某一未知数系数的绝对值相等呢？
　　分析得出解题方法：
　　解法1：通过由①×3，②×2，使关于的系数绝对值相等，从而可用加减法解得．
　　解法2：通过由①×5，②×3，使关于的系数绝对值相等，从而可用加减法解得．
　　怎样更好呢？
　　通过对比，总结出应选择方程组中同一未知数系数绝对值的最小公倍数较小的未知数消元．
　　解后反思：用加减法解同一个未知数的系数绝对值不相等，且不成整数倍的二元一次方程组时，把一个（或两个）方程的两边乘以适当的数，使两个方程中某一未知数的系数绝对值相等，从而化为第一类型方程组求解．
　　从例1、例2、例3可知，只要方程组中未知数的系数及常数项一旦确定，那么它的解也就随着确定了，这就使我们思考一个问题：二元一次方程组的解与及这六个系数之间有什么样的关系？如果找到这个关系，我们就可不再从头一步一步地解，可直接利用这个关系得到方程组的解.
　　解：
　　　　若先消去y,
　　　　得：
　　　　得：
　　　　③+④得：
　　　　当时，.
　　　　若消去，
　　　　得：
　　　　得：
　　　　⑤+⑥得：
　　　　当时，.
　　　　∴ 当时，原方程组的解为
　　　　这就是我们所要得到的结果.

　　练习：用上面的结果解方程组
　　解：
　　　　
　　　　∴ 原方程组的解为

　　【例4】已知关于的方程组和的解相同，求的值. 分析：既然两个方程组的解相同，那么两个方程组的解也应与方程组的解相同，将此方程组的解代入含有、的另两个方程，则解关于、的二元一次方程组，从而求出、的值.
　　解：求得方程组的解为，将其代入和可得：
　　　　
　　　　，得： ，
　　　　将 代入①得, 所以