foreo买mini还是标准:用窗函数设计FIR滤波器

    我们要设计一个滤波器，跟前面设计IIR滤波器一样，得先知道一些关于滤波器的指标。在用窗函数设计FIR滤波器需要知道的指标是：通带，阻带的边界频率，阻带衰减和通带衰减。

    因为是FIR，有限冲激响应的滤波器，我们通常的理想滤波器的单位脉冲响应 h 是无限长的，所以我们需要通过窗来截断它，然后对它进行滤波器设计。

一、 加窗方法设计的步骤大概分以下几步：

1、根据阻带的衰减，选择合适的窗：

           最小阻带衰减     过渡带带宽△w

矩形窗      20.9dB            0.92π/M

汉宁窗      43.9dB            3.11π/M

海明窗      54.5dB            3.32π/M

布莱克曼窗  75.3dB            5.56π/M

    不同的窗有不同的性质：不同的窗函数，产生泄漏的大小不一样，频率分辨能力也不一样。信号的截断产生了能量泄漏，而用FFT算法计算频谱又产生了栅栏效应，从原理上讲这两种误差都是不能消除的，但是我们可以通过选择不同的窗函数对它们的影响进行抑制。(矩形窗主瓣窄，旁瓣大，频率识别精度最高，幅值识别精度最低；布莱克曼窗主瓣宽，旁瓣小，频率识别精度最低，但幅值识别精度最高)。

2、根据窗函数得到的序列经过firl或fir2得到一个滤波器传输函数系数的序列。

1）fir1 ： 用来设计传统的低通，高通，带通，带阻，多频带FIR滤波器；

   调用格式：b = fir1(N,Wn);

             b = fir1(N,Wn,‘high’);

             b = fir1(N,Wn, ‘stop’);

   参数说明：N：阶次，滤波器长度为N＋1；

             Wn：通带截止频率，其值在0～1之间，1对应Fs/2；

             b:滤波器系数。

  在上述所有格式中，若不指定窗函数的类型，fir1自动选择Hamming窗。

2）fir2 ： 用来设计具有任意幅度响应的FIR滤波器。

   调用格式：b = fir2(N, F, M);

   参数说明：F是频率向量，其值在0～1之间；

             M是和F相对应的所希望的幅频相应。

   如同fir1, 缺省时自动选用Hamming窗。

3）为了观测到设计出来的滤波器的特性，我们可以用impz得到它的脉冲响应，用freqz得到频率响应。

   其中在画频率响应的时候我们分为幅度和相位画出。

   又因为我们要观测的是衰减的大小程度，以dB为单位，所以我们在画幅度的时候纵坐标应该转换成dB。

   而相位，由于计算机中反正切函数规定，在一、二象限中的角度为0到π，三、四象限的角度为0到-π。我们一般要反应的角度变化是0到2π，但如果不经过处理，实际结果会在π处发生跳变，跳变的幅度为2π，这就是相位的卷绕。所以我们用解卷绕函数unwarp(w)，使相位在π处不发生跳变，从而反应出真实的相位变化。

二、实例

%%第一题、通带截止频率为0.2pi,阻带截止频率为0.3pi，阻带衰减不小于50dB，通带衰减不大于3dB，设计一个FIR滤波器，并验证。
wp=0.2*pi; ws=0.3*pi;    %性能指标
wdelta=ws-wp;           %过渡带宽度
M=ceil(3.32*pi/wdelta);  %滤波器长度，朝正无穷方向舍入
N=2*M+1;               %窗口长度
wc=(ws+wp)/2;           %截止频率
win=hamming(N);        %因为衰减不小于50dB，所以选择海明窗，这里得到海明窗的时域响应
b=fir1(N-1,wc/pi,win);
n=0:1:N;
[hi t]=impz(b,1,n);%得到脉冲响应
[hf w]=freqz(b,1,512);  %得到频率响应

figure(1);
subplot(3,1,1); stem(n,hi);
xlabel('n'); ylabel('Magnitude'); title('impulse response');
subplot(3,1,2); plot(w/pi,20*log10(abs(hf)));
xlabel('Frequency(Hz)'); ylabel('Magnitude(dB)');
title('Frequency response');
subplot(3,1,3); plot(w/pi,180/pi*unwrap(angle(hf)));
xlabel('Frequency(Hz)'); ylabel('Phase(degrees)');
title('Frequency response');
%验证：
nn=0:50;
x1=sin(nn*0.2*pi); x2=sin(nn*0.8*pi);%假设两个信号，低频和高频
in=x1+x2; out=filter(b,1,in); %滤波过程

figure(2);
subplot(2,2,1); stem(x1);
xlabel('n'); ylabel('Magnitude');
title('x1'); axis([0 50 -1 1]);
subplot(2,2,2); stem(x2);
xlabel('n'); ylabel('Magnitude');
title('x2'); axis([0 50 -1 1]);
subplot(2,2,3); stem(in);
xlabel('n'); ylabel('Magnitude');
title('x1+x2 before filter'); axis([0 50 -2 2]);
subplot(2,2,4); stem(out);
xlabel('n'); ylabel('Magnitude');
title('x1+x2 after filter'); axis([0 50 -1 1]);

在这题要主要的是求分贝的公式：20*log10(abs(hf)),还有解卷绕函数的调用180/pi*unwrap(angle(hf))。

从上面的程序可以得到图：

%第二题，取1中相同的滤波器类型和阶数，通带和阻带的临界频率也相同，分别用矩形窗，汉宁窗，海明窗和布莱克曼窗设计滤波器，并分析它们的性能。
wp=0.2*pi;
ws=0.3*pi;    %性能指标
wdelta=ws-wp;           %过渡带宽度
M1=ceil(0.92*pi/wdelta);  
M2=ceil(3.11*pi/wdelta);
M3=ceil(3.32*pi/wdelta);
M4=ceil(5.56*pi/wdelta);
N1=2*M1+1; 
N2=2*M2+1;
N3=2*M3+1;
N4=2*M4+1;
wc=(ws+wp)/2;   %截止频率
win1=boxcar(N1);  %矩形窗的时域响应
win2=hanning(N2);  %汉宁窗的时域响应
win3=hamming(N3);  %海明窗的时域响应
win4=blackman(N4);  %布莱克窗的时域响应

b1=fir1(N1-1,wc/pi,win1);   
b2=fir1(N2-1,wc/pi,win2);  
b3=fir1(N3-1,wc/pi,win3); 
b4=fir1(N4-1,wc/pi,win4);  
[h1 w1]=freqz(b1,1,512); 
[h2 w2]=freqz(b2,1,512) ;
[h3 w3]=freqz(b3,1,512) ;
[h4 w4]=freqz(b4,1,512) ;
figure(3);
subplot(4,2,1); plot(w1/pi,20*log10(abs(h1)));
ylabel('Magnitude');  title('Rectangle Window');
subplot(4,2,2); plot(w1/pi,180/pi*unwrap(angle(h1)));
ylabel('Phase(degrees)');  title('Rectangle Window');

subplot(4,2,3); plot(w2/pi,20*log10(abs(h2)));
ylabel('Magnitude'); title('Hanning Window');
subplot(4,2,4); plot(w2/pi,180/pi*unwrap(angle(h2)));
ylabel('Phase');  title('Hanning Window');

subplot(4,2,5); plot(w3/pi,20*log10(abs(h3)));
ylabel('Magnitude'); title('Hamming Window');
subplot(4,2,6); plot(w3/pi,180/pi*unwrap(angle(h3)));
ylabel('Phase');  title('Hamming Window');

subplot(4,2,7); plot(w4/pi,20*log10(abs(h4)));
ylabel('Magnitude'); title('Blankman Window');
subplot(4,2,8); plot(w4/pi,180/pi*unwrap(angle(h4)));
ylabel('Phase');  title('Blankman Window');

这题只是单纯的重复4次滤波器的设计，设计的方法同第一题一样。得到的图如下：

从上可以观察到，

1、衰减：从上到下，衰减依次增大，以布莱克曼窗的为最优，矩形窗最差。

2、过渡带：从上到下，过渡带逐渐增宽，以矩形窗的为最优，布莱克曼窗最差。

其实，改善阻带衰减的一种办法是加宽过渡带宽，以牺牲过渡带换取阻带衰减的增加。也就是以增加主瓣宽度为代价来降低旁瓣。

所以，我们在设计滤波器的时候，要根据不同的指标，性能，需求去选择合适的窗来进行设计。