苏州156路:蔡高厅高数视频目录

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下册46课开始之后自己整理。

001   前言

         第一章、函数

         §1.函数的概念

         一、区间、邻域

002   去心邻域

         二、函数的概念

         三、函数的几个简单性质

         1、函数的有界性

003   函数的上界、下界

         2、函数的单调性

         3、函数的奇偶性

         4、周期函数

         四、复合函数、反函数

         1、复合函数定义

004   复合函数例题

         2、反函数

         §2.初等函数

         一、基本初等函数

         二、初等函数

005   三、双曲函数

         第二章、极限

         §1.数列的极限

         一、数列极限的定义

006   (接上节)数列极限的定义、例题

         二、收敛数列的两个性质

         1、定理一（唯一性）

007   例题

         2、定理二（有界性）

         §2、函数的极限

         一、自变量x趋于一个定值x0的f(x)的极限（只是谈及）

008  （接一讲：自变量x趋于一个定值x0的f(x)的极限）

         分析，定义，几何意义，例题

009   左极限和右极限的定义，极限存在的条件

         二、自变量x趋于无穷大的函数f(x)的极限

         三、无穷小量和无穷大量

         1、无穷小量

         2、无穷大量

010  接着讲无穷大量和无穷小量

         注意2点

         例题

         3、无穷大量和无穷小量的关系

         四、海涅定理

         例题

011~020

         待续

022  第3章、导数与微分

         第一节　导数概念

         一、两个实例

         二、导数定义

023  三、导数的几何意义

         （求曲线上某点的切线方程和法线方程）

         四、函数的可导性与连续性关系

024  求基本初等函数的导数公式

025  第二节　函数的微分法

         一、函数的和、差、积、商的求导法则

         （只讲到和、差、积）

026  续上

         （函数商的求导法则）

         推导出tanx,cotx,secx,cscx的导数公式

         二、反函数的导数

         推导出反三角函数的导数公式

         arcsinx,arccosx,

         arctanx,arccotx,

027  求指数函数的导数

         三、复合函数的导数

         复合函数的求导法则

028  四、高阶导数(7')

         多做练习

029  第三节、隐函数、参量函数的导数

         一、隐函数的导数

         讲到了隐函数的求导，包括幂指函数的求导

030  二、参量函数的导数(6')

         三、*极坐标系下曲线的切线的斜率(38')

031  例1：求心形线......某一点处切线的斜率

         四、相关变化率(5'50)

         两个例子

         第四节、函数的微分(24')

         一、微分的概念

032  二、可微与可导的关系（互为充要条件）

         微分的几何意义

         三、微分公式

         1、基本初等函数的微分公式

         2、函数的和、差、积、商的微分公式

         四、复合函数的微分公式

         微分形式不变性

033  第四章、微分中值定理 导数的应用(0')

         第一节、微分中值定理

         一、Rolle定理(罗尔定理)

         二、Lagrange定理(拉格朗日定理)

         分析

034  Lagrange定理的证明

         利用它做证明题。

035  三、Cauchy定理(柯西定理)

         四、Taylor定理(泰勒定理)(23')

         其证明(未证完)

036  Taylor定理的继续证明

         f(x)的n阶Maclaurin公式－麦克劳林公式

037  罗必塔法则(0')

         0/0型

         法则I

         推论I

038  8/8型(7')

         法则II(不证，超出范围)

         推论II

         其它类型未定式(24'30")

         0.8型、8-8型、0^0型,1^8型,8^0型

         解决方法：化为0/0或8/8型

039  第三节、函数的增减性与极值

         1、函数单调增、减的必要条件

         2、函数单调增、减的充分条件

040  例2

         例3

         二、函数的极值、及求法(21')

         引进极值的概念

         1、极值的必要条件

041  极值存在的充分条件

         第一充分条件

         第二充分条件(37')

042  例3

         第四节、函数的最大、小值(11')

         例（未完）

043  例（续）

         利用函数的最值可以证明不等式

         例3

         第五节、函数的凹凸性、拐点

         函数的凹凸性的定义

         函数的凹凸性的判别

044  判定拐点的方法

         第六节、函数图形的描绘

045  一、曲线的渐近线

         二、函数图形的描绘(34')

046  例子：作图(续)

         第七节、曲率(14'30")

         一、弧的微分

         光滑曲线

         有向光滑曲线弧长的度量

         一、弧微分

047  二、曲率的概念(2')

         直线的曲率为0

         圆的曲率为1/R

048  曲率的计算公式(0')

         例1

         例2

         第五章、不定积分(21')

         第一节、不定积分概念

         一、原函数与不定积分

049  二、不定积分的几何意义(9')

         三、不定积分性质

         四、不定积分的基本公式－基本积分表

050  几个例子

         第二节、换元积分法(20')

         可分为

         第一换元法(讲)，第二换元法(后讲)

051  第一换元积分法的几个例子

052  二、第二换元法(0')

053  第二换元法的例子

         第三节、分部积分法(41')

054  分部积分法的证明

         分部积分法的几个例子

055  第四节、几类函数的积分法

         一、有理函数的积分

         056

         部分分式(和)的积分

057  二、三角函数有理式的积分

         举例

         三、两种无理函数的积分

         第一类

058  第二类

         第六章、定积分(15')

         第一节、定积分概念

         一、实例

         1、曲边梯形的面积

         分割

         作积

         求和

         取极限

059  待续

060  三、定积分的几何意义

         例1、利用定积分的几何意义来求定积分值

         例2、应用定积分的定义来求定积分值

         第二节、定积分性质、定积分中值定理

         一、定积分性质(24')

061  定积分性质

062  二、定积分中值定理

         1、定积分第一中值定理

         2、定积分为(第二)中值定理

         第三节、定积分与原函数的关系

         一、变上限的定积分

063  (继)

         <定理>

         二、牛顿－莱布尼兹公式(Newton-Leibniz)

         <定理2>

064  举例

         第四节、定积分计算法(31')

         一、定积分的换元积分法

065  证明(定积分的换元积分法)

         举例

066  例

         二、定积分的分部积分法

067  第六节、广义积分、T-函数（咖玛函数）(0')

         一、无穷限的广义积分(4'40")

         二、无界函数的广义积分(41')

068  三、T－函数(咖玛函数)(21'20")

069  第七节、定积分在几何上的应用

         一、定积分元素法

         二、平面图形面积(29')

         1、直角坐标情形

070  例子

         2、极坐标的情况(15')

         三、求立体的体积(34')

         1、平行截面面积为已知的立体的体积

071  例子

         2、旋转体的体积(12')

072  四、平面曲线的弧长

         1、直角坐标的情形

         2、极坐标的情形(25')

073  五、旋转体的侧面积

         第八节、定积分在物理上的应用(29')

         一、变力做功

074  例子

         电荷做功

         抽水做功

         弹簧弹性力做功(19')

         二、引力(35')

         例

075  续例

         三、液体的侧力(29'20)

         推出公式

076  例子

         四、函数值的平均值(22')

         算术平均值

         例子(37'33")

077  第七章、空间解析几何　矢量代数

         §1.空间直角坐标系

         一、空间点的直角坐标

078  二、空间中两点间的距离

         例1

         例2

         §2.矢量代数(24')

         一、矢量概念

         二、矢量运算

         1.矢量加法

079  思考题：

         2.矢量减法

         3.矢量与数的乘法

080  三、矢量的坐标表达法

         1.矢量在轴上的投影

081  2.矢量的坐标表达式

082  3.矢量的模和方向余弦

         四、二阶及三阶行列式基本知识

         1.二阶行列式

         2.三阶行列式

083  五、数量积，矢量积(19')

         1.两矢量的数量积

084  2.两个矢量的矢量积

085  例1

         例2

         例3

         习题：7-2 10,11,13,17

086  §3.平面及其方程

         一、曲面方程的概念

         例1

         例2

         例3

         二、平面的点法式方程

         例1

         例2

087  例2（另解）

         例3

         三、平面的一般式方程

         四、平面的截距式方程(44'20")

088  五、两平面夹角(2'30")

         例1

         六、平面外一点到平面的距离

         §4.空间直线及其方程

         一、空间曲线及其方程

089  二、直线的对称式和参量式方程

         例1

         三、直线的一般式方程

         例2

         四、直线的相互关系

         五、直线与平面的夹角

090  例3

         例4

         习题：7-4 1,3,4,5,6,7,8,11,13

         §5.曲面与方程

         一、柱面

         例1

091  二、旋转曲面

         例1

         例2

         习题：7-5 1,3,4,6,8

092  §6.二次曲面

         一、椭球面

         二、抛曲面

093  三、双曲面(12')

         1.单叶双曲面

         2.双叶双曲面

         例1

         习题：7-6 1,2,3

094  §7.空间曲线及其方程

         一、空间曲线的一般方程

         例1

         例2

         二、空间曲线的参量方程

         例3

095  三、空间曲线在坐标面上的投影曲线

         例1

         例2

101  第8章、多元函数微积分

         §1.多元函数概念

         一、平面点集的基本知识

         1.邻域

         2.区域

         3.聚点

102  4.n维空间(5')

         二、多元函数的概念

         例1

         例2

103  二元函数的几何意义

         例1

         例2

         习题：8-1 1,2,4,7,8(1)(4)(6)

         三、二元函数的极限

104  例1

         二元函数极限的四则运算(15')

         例2

         例3

         四、二元函数的连续性

105  在有界闭区域上连续的多元函数性质

         1.最大、最小值存在性定理

         2.介值定理

         §2.偏导数

         一、偏导数概念

106  例1

         例2

         例3

         例4

         二元函数偏导数的几何意义

         二、高阶偏导数

107  例5

         例6

         习题：8-2 1(1)(4)(5)(8)(9),2(4)(5)(7),9,11,12,13,15

         §3.全微分

         一、全微分概念

108  例

         全微分定义

         ＜定理1＞（可微分的必要条件）

         习题：8-3 1(1)(5)(7)(9)(10)

109  二、可微的充要条件

         例1

         ＜定理2＞（可微分的充分条件）

         证明

110  （续证）

         例1

         总结

         §4.多元复合函数微分法

         一、多元复合函数微分法

         ＜定理＞

         证明

111  复合函数结构示意图

         例1

         例2

         例3

         例4

         例5

112  一、多元复合函数微分法（续）

         二、全微分形式不变性(4'15")

         三、多元复合函数的高阶偏导数（本节核心、重点内容）

         例1

         例2(39'50")

         习题：8-4 17,18,19,20,22,23

113  例3　

         §5.隐函数的微分法(21')

         隐函数：（定义）

         一、一个方程所确定的隐函数

         ＜隐函数存在定理1＞

         例1

114  一、一个方程所确定的隐函数（续）

         例2

         ＜隐函数存在定理2＞(15'40")

         例1(30')

         例2(40')

115  二、方程组所确定的隐函数

         ＜隐函数存在定理3＞

         例1(22')

         例2(34'30")

         习题：8-4 17,18,19,20,22,23

         　　　8-5 1,2,3,6,7,8,9,10,14,15,18,20,21

116  §6.方向导数，梯度(0')

         一、方向导数

         ＜定理＞

         证

         例1

117  二、梯度

         ＜梯度定义＞

         例1

         例2(32')

         §7.偏导数在几何上的应用

         一、空间曲线的切线和法平面

118  （续前节）

         例1

         例2(22'30")

         习题：8-6 2,3,4,5,7,9

         　　　8-7 2,3,4,6,8

         二、曲面的切平面和法线

         证明

119  §7.偏导数在几何上的应用（续）

         结论

         ＜定义＞切平面

         曲面的法线

         法线的方程

         例1

         例2

120  例3(1')证明：

         §8.多元函数的极值和求法(14')

         一、二元函数的极值和求法

         ＜二元函数极值定义＞

         1、＜极值存在的必要条件＞

         2、＜极值存在的充分条件＞

121  求二元函数极值的步骤

         例1(8')

         二、求二元函数的最大值、最小值

         例2(26')

         习题：8-7 11,13,14,18,20,22,23

122  §8.多元函数的极值和求法(续)

         例

         三、条件极值(22'30")----Lagrange系数法

         解决条件极值的方法，有两种：

123  解决条件极值的方法（续）

         例1

         习题：8-8 1(2)(4),2,4,5,9,10,15,16,18

         第9章、重积分(37')

         §1、二重积分的概念、性质

         一、实例

         1、曲顶柱体体积

124  §1.二重积分的概念、性质（续）

         2、平面薄板质量

         二、二重积分定义(29')

125  三、二重积分性质(3'40")

         介值定理

         中值定理

         §2.二重积分的计算(21')

         一、在直角坐标系下

126  （续）

         计算二重积分步骤

         例1

         例2

127  （续）

         例3

         例4

         例5(36')

         习题：9-1 2(1)(4),3(2)(3)

         9-2 1(3)(4)(5),2(2)(3),3(1)(3)(4)(6)(8)(9),4(3)(4)

128  §2.二重积分的计算(续)

         二、在极坐标下

         1、二重积分由直角坐标变换为极坐标的变换公式

         2、极坐标下的累次积分

129  （续）极坐标下的累次积分

         例1(4')

         例2

         例3(25'18")

         例4(40')

         习题：9-2 5(1)(2)(4),6(2)(3),7(1)(2)(3)(5)(7)

130  例4（续）

         例5(2'20")

         §3.三重积分(19'30")

         一、三重积分定义

         二、三重积分性质(38'30")

131  三重积分性质

         例1

         §4.三重积分的计算(20')

         一、直角坐标系下

132  三重积分的计算

         在空间之间坐标系下

         例一

         例二

         例三 36’00”

         习题9-4 1（1）(2)(4) 2(1)(2)(3)(4)

133  待续

134  续例2

         三球面坐标系下

         例1  42'

         习题：9-4 3(1)(2)(3)(5)

135  在球面坐标系下，三重积分化为三次积分

         例1

         例2 20'

         习题： 9-4 4(1)(2)(3)(5) 5(3)(5)

136  第五节 重积分的应用

         一在几何上的应用

         1立体的体积

         例1

         例2

         2曲面的面积

137  例1 04'14''

         例2 13'08''

         二重积分在物力上的应用

         1物体的质量

         2无锡的重心

         习题9-5 1(1)(2)(3) 2(1)(2)(5)

138  1平面薄板的重心

         2空间立体的重心

         例1 28'26''

139  续例1

         例2 3'10''

         3物体的转动惯量 25'

140  例1

         例2 17'

         习题9-5 6,7,8,10,12,14

         第十章曲线积分与曲面积分

         例1

         第一类曲线积分

141  一第一类曲线积分的概念和性质

         二第一了曲线积分的计算

         证明

142  例1

         例2 8'30''

         例3 18'50''

         习题10-1 2,3,5,7,10,11,15

         第二节第二类曲线积分 24'50''

         一矢量场的概念

         二第二类曲线积分概念性质

         例

143  第二类曲线积分 19'56''

         性质1，2，3

144  三第二类曲线积分的计算 9'30''

145  例1

         例2 11'30''

         例3 28'24''

146  两类曲线积分的关系

         格林公式18’10”

         格林公式证明（单连通域）

147  格林公式证明（一般情况证明）

         格林公式的应用34’10”

         求面积35’

148  例二：格林公式计算曲线积分

         例三：17’10”

         平面上曲线积分与路径无关的条件43’38”

149  续上一节，平面上曲线积分与路径无关的条件

150  续上一节，平面上曲线积分与路径无关的条件

         例一：27’50”

151  例二

         例三

         第四节第一类曲面积分40’20”

152  第一类曲面积分

153  第一类曲面积分 例二

         第二类曲面积分 22’10”

154  第二类曲面积分的定义和简单性质

         两类曲面积分的关系38’14”

155  第二类曲面积分的计算方法

         例一28’20”

156  例二求矢量场

         第六节高斯公式32’30”

157  高斯公式证明

         例一：18’20”

         例二：28’20”

158  曲面积分与曲面无关的条件

         第七节斯托克斯公式7’5”

         例一21’55”

         空间曲线积分与路径无关的条件39’42”