大连海滩哪个更值得去:数学研究入门

中国田径队为在短跑项目上获得突破，几十年来一贯坚持训练“从难、从严、从实战出发”和“大训练量”的“三从一大”原则，这样做的结果不要说世界级比赛拿不到奖牌，甚至在亚洲也难拿冠军．2000年前后，中国田径教练孙海平通过引入新的训练理念和方法，在2004年的雅典奥运会上，成功地将刘翔推到110米栏世界冠军的宝座，而且后来刘翔还打破世界记录，让世界华人为之骄傲和自豪！孙海平在年轻的时候当过8年的职业运动员，尽管他那时训练刻苦，却一直默默无闻．当上教练员后，他通过改变训练方式，不但让刘翔在国际田径赛场上傲视群雄，更没有让其成为昙花一现的流星,这就是方法的功效. 同样的，做科研，我们要寻求并遵循做科研的方法.

人贵有自知之明,我这里总结的关于进行数学科研的一些心得也不是放之四海而皆准的真理.有兴趣的可以看华罗庚,王梓坤等数学大师的传记以获取更多的关于科研的诀窍，并根据自身的特点找出适合自己的科研方法.

一、研究的特点、层次和境界

研究是一个从search到research的反复过程．对于不同层次的人，人们对他做研究的要求也是不一样的. 一般来讲，老师给有答案的问题做是大学生做的事情；导师给没有答案的问题做是硕士生做的事情；自己发现问题并寻求答案是一个博士生也就是真正做科研的人做的事情．所以, 对于一个从事科研的人来讲, 能提和会提问题是很关键的．这就是为什么人们至今对希尔伯特一百多年前提出的二十三个问题津津乐道.所谓问题，就是对现有知识的异议和挑战．这要求我们要学会从学知识、运用知识到创造知识的转变．如果完成不了这个转变，即使大学阶段学习再好，也做不了研究．

关于做科研，著名数学家华罗庚总结出四种境界：

第一种是照葫芦画瓢模仿，实际上相当于做习题．在研究的初级阶段做些习题是有必要的，但是一辈子做习题而无创新就没有意思了.

第二种境界是套用现成的方法解决新问题．这和第一种境界没有太大的区别，但这样做时，由于过去的方法并不完全适用于现在的问题，所以还是有一些改进工作要做的．或许，在用老方法尝试解决新问题的时候会产生新的思路．我们不要小瞧这样的工作，著名数学家陈景润的1+2的研究成果就是利用挪威数学家布朗的“筛法”得到的．但一个人做科研不能老局限在这种境界里，要考虑针对新问题有无更有效的方法．否则，一发现新问题，就老想着把它归结到以前碰到过的问题类里面，这样会把自己的思维给限制住，影响我们的创造力．

这就引出了做科研的第三种境界：用创新性的方法解决遇到的新问题．这种境界完全有别于前两种境界，是能力提高的表现．

第四种境界是开辟新领域，新方向．这属于拓荒探宝性质的工作，其意义不言而喻．它要求很高，一般人很难达到．

做研究是要出成果的, 成果有多种形式.与上述境界相对应, 理论成果相应地分为如下几个层次: 能解决实际问题——这是科研成果的最高层次；能解释某种现象——具有所谓的理论意义；所得结果能自得其乐,被人欣赏——这在老外称为结果是interesting,这应是最起码的；完成科研任务(包括评职称)——尽管需要却是比较低级的；领单位的科研奖励——这是最低级的.

二、科研的步骤

如何找idea? 这是一个老生常谈的问题，要想写出好的科研论文，要掌握好几个环节，这里我们以做椅子为例进行类比分析．我们知道现在家俱商场里椅子的款式是各式各样．如果你也想做一些椅子到商场里去卖, 那么怎样做才有人喜欢买呢? 这要从以下几点入手：

1. Background

首先你要弄清楚椅子的结构和当今流行的款式. 光听别人说椅子多么好，如果你从来没见过椅子，你不可能做出招人喜欢的椅子来．你见过了，到上面坐坐，观察椅子每一部分的结构和用途，并调研一下现在流行的款式，才有可能做出新款式的椅子，做出后到商场展销的时候也会受顾客欢迎．写文章也是这样，它要求我们一开始就要把所研究的问题搞清楚：即弄清楚问题的性质，目前的研究现状以及所面临的困难．而要弄清楚这些，光在外围转悠是不行的，要深入到问题里面, 起码要把问题的来龙去脉搞清楚．

2. Motivation(Why)

数学研究可以从市场营销学的角度进行分析，既然市场上已经有很多同类商品了，为什么我们要生产我们的商品？我们的商品和别人的商品相比有什么优势？这种critical thinking很重要！下面我们仍以生产椅子为例进行说明．人最早的时候是坐木墩子，但木墩子太沉不好挪动，这就有了凳子；凳子的缺陷是坐时间久了，腰疼没法休息，于是有了靠背，出现了椅子；坐椅子时间久了，感觉胳膊没地方放，于是有了扶手，出现了圈椅．做研究也是这样，整理一篇论文之前我们一定要细心考虑我为什么要写这篇论文：这种研究是新的吗？意义何在? 目前有没有这方面的研究。如果有了，我整理的这篇论文有什么优势? 如果单纯为写论文而写论文，尽管有时也能发表，但时间久了自己都觉得没意思．在这方面的训练可以从读别人文献的时候开始：既然别人已经研究过这个体系，那么为什么这篇文章还要研究类似的东西？是它的结论推翻了以前的结论，还是它用了新的方法手段得到相同的结论？如果只是手段不同，换汤不换药，那么意义在什么地方？

3. How (Main Results)

问题的症结找到以后，怎么解决? 这里有两点，一是凭自己的基础、汗水和聪明才智进行创造性工作，找到解决问题的方法；二是借鉴别的东西，比如看到床上面铺上被子以后坐在上面很舒坦，受此启发，我们可以在椅子上也铺上被子，这样坐起来自然也应该很舒服，于是沙发出现了．写文章也是这样，我们可以通过阅读参考文献，借鉴别人研究问题的方法而构建自己的新方法．即所谓“它山之石，可以攻玉”．

三、课题的选取

选取课题当然要慎重.应用性的研究课题非常明确，一般没有选择的余地.对于理论型研究课题，王梓坤院士提示我们要坚持两点：坚持学科发展的最前沿，特别要选择前人未研究过但又有很大潜力和意义的新课题，力求创新；其次是攻克目前学科上的公认难题.从另一角度讲，选课题可采取如下两种策略：一是选择与别人正面交锋．在别人工作的基础上做进一步的改进，如使别人的结果为你所得结果的一个特殊情况，这也包括解决别人的公开问题或猜想．这样做的条件是你要有坚实的基础和扎实的功底．二是避开别人的强项，如同爬山，不与对方选择同一条线路，你从山左边跑，我从山右边跑．尽管我跑的速度不如对方，但由于线路不同，所以最后的胜利者难说一定是你．这种策略对应于研究问题时从不同的角度进行研究．

下面，我们介绍实现上述策略的几种方法．

1. 利用类比方法建立新理论和新方法

不同的学科之间是有很多共性的．所以我们对一些新问题的研究可以借鉴老问题的研究方法．这包含两个方面：

一是推广．如我们可以把实数范围内的一些结论推广到复数范围内，也可以尝试把低维空间中的一些结论推广到高维空间．这样做当然有些结论可能是不成立的，自然需要考虑建立新的结论．而且即使它成立，证明过程或借用的研究工具也可能是完全不同的．

二是利用新问题和某老问题的一些共性而借用解决老问题的方法提出解决新问题的方法．这方面的最典型的例子莫过于著名数学家欧拉对于倒数平方和级数的计算.

2. 改变问题的描述形式

当我们对一些问题的研究没有任何进展的时候，可以考虑对问题的表述形式进行转换，这样做可以使我们转换角度研究问题，有利于我们借助新的研究工具打开一个新的研究渠道．如方程组问题也可以表述成最优值为零的无约束优化问题。这样,我们就可以利用最优化方法里的一些工具研究方程组问题．最优化算法中著名的共轭梯度算法就是通过这种转化建立的．

3. 通过归纳推理建立结论

对于简单枚举推理结论的或然性，华罗庚先生曾做过通俗的说明：从一个袋子里摸出来的第一个是红玻璃球，第二个是红玻璃球，甚至第三个、第四个、第五个都是红玻璃球的时候，我们立刻会出现一种猜想：“是不是这个袋子里的东西都是红玻璃球？”当我们有一次摸出一个白玻璃球的时候，这个猜想失败了．这时，我们会出现另一个猜想：“是不是袋里的东西都是玻璃球？”当有一次摸出来的是一个木球的时候，这个猜想又失败了．那时我会出现第三个猜想：“是不是袋里的东西都是球？”这个猜想对不对，还必须继续加以检验，只有把袋里的东西全部摸出来，才能见分晓．

这是简单枚举推理的过程，其可靠程度取决于所考察对象的范围及数量．简单枚举推理固然有“以偏概全”的缺点，光使用它是不够的，所以我们需要进一步分析某类事物中的部分对象之所以具有某种属性的内在原因，然后推出关于此类事物的一般性结论．这种不完全归纳推理称为科学归纳推理．比如，人们对金属热胀冷缩的现象就是先通过简单枚举然后经过研究其分子结构而通过科学归纳法得到的．由于科学归纳推理是通过对事物因果联系的科学分析得出结论的，所以只要人们对事物原因的分析是正确的，那么，其结论就是可靠的．

4. 探求因果联系

俗话说：“无风不起浪．”任何现象的出现都不可能没有原因．所以，因果联系具有确定性．据此，我们可以由某种结果探明其原因．比如在数值计算过程中,若不时出现某种稀奇的结果,这时我们就要对算法、程序或对计算的问题进行细究，找出原因.

四、科研档次的提高

一个人做科研不能老局限于华老所说的第二种境界．王梓坤先生说过：做学问一定先打破一个缺口，在一个方向上有自己的建树，建立自己所谓的根据地．但做科研不能老局限于自己的“责任田”里，而要通过扩大自己的知识面加强自己的主攻方向，扩大自己的根据地. 策略是顺藤摸瓜，展开与自己的研究领域相关的其他领域的研究，以实现专和博的统一．有时我们会从一个研究分支转到另一个研究分支，但这并不是把原来所搞分支丢掉跳到另一分支，而是在搞熟弄通的分支附近，扩大眼界,在这个过程中逐渐转到另一分支.这样，原来的知识在新的领域就能有用，选择的范围就会越来越大. 这样做要求我们有比较宽的知识面和扎实的基础．事实上,在应用数学方面有所建树的人其数学功底都很深．如同相声演员, 有的不但能说学逗唱，而且还能吹拉弹唱，甚至称得上专业，这值得我们思考．不过话说回来，尽管我们要求做研究的人知识面要宽，但千万千万不要看着别人做得很来劲，就抛弃自己正在做的研究去跟着别人跑，因为这无异于拿自己的短处跟别人的长处相比．

五、做研究所需要的基本条件

王梓坤院士认为做科学研究需要德、识、才、学四个要素．所谓德是指一个人的品德,它不但包括我们和别人相处过程中所表现出的谦虚、谨慎的优良品质，还包括我们在研究过程中所需要的实事求是，勤勤恳恳和脚踏实地的实干精神.所谓学,它指的是一个人的学问，也就是扎实的基础.才是指一个人的才干，也就是一个人利用所掌握的知识解决实际问题的能力.一个人基础好还不够，只有当他把所掌握的知识真正用来解决实际问题时，他的知识才是真正有用的. 识是指一个人直觉的观察力和丰富的想象力。直觉的观察力是指对问题一针见血的分析能力，这是发现问题和解决问题的关键.对一个问题,它值得不值得解决，如果要解决的话应从哪里入手，对于一个成熟的研究人员来讲,他心中一定要有数. 同时，一个人要想在科学上有所建树，他必须有丰富的想象能力，因为按部就班的人是没有创造力的.

具体说来，做研究的必要条件有一下几点：

1. 有扎实的基础

一个想要真正做研究的人一定要精读一些优秀教材，对该学科的基本知识和基本理论有一个全面、系统的了解，使自己真正进入这一学科领域。如果有条件允许可以读一些本学科现代的经典著作，这是是研究生攀登这一门学科的最好的阶梯和捷径。在大学阶段，我们获得了一定的基础知识，接受了科学的基本训练，但这是初步的，仅打下了一个基础。到研究生阶段，我们要尽可能对本学科领域作全面、深入的了解，根基愈宽阔，则将来可致力的范围亦愈广阔。当我们研究一门学问向上攀登时，就必须对前人的工作进行研究，弄清楚他们的思想、他们的理论、他们科学研究的过程，了解他们遇到的困难、他们受到的种种局限。如果把这些情况研究得一清二楚了，你就能创造自己的东西了。“传承拓新”，这是科学研究的一个普遍规律。

随着一个人研究工作的推进，他的基础会渐渐显露出来.讲到基础，凡是作过科学研究或即将从事科学研究的人总会发问：基础要多大才好？如果我们笼统地回答说，基础愈大愈好，是不解决问题的.对此，我们很难界定一个具体的标准，我们的建议是若遇到自己所掌握的知识不足以支撑我们的研究需要时，最好能抽出一定的时间补一下自己的基础.

2. 善于思考，保持思路清醒的头脑   

只有善于思考的人才会在研究中少走弯路，并善于在研究中发现新思路．独立思考是科学研究的根本．历史上，任何一个重大的发明不是没有通过独立思考就能搞出来的.由于一切事物都在不断地发展着，昨天已经获得的成果，固然变成了我们知识上的财富，但当这些财富不能用来解决今天遇到的新问题的时候，我们就必须创造新方法，如此，便必须依赖于突破前人成规的独立思考能力.当然，独立思考也并不是说不要读书，不要看文献，不要听老师的讲述了.书本、文献、老师都是要的，牛顿的成功尚且归功于自己站在巨人的肩上何况我们呢？只是我们不要拘泥于这些.独立思考也不是说一个人独自在那里冥思苦想，不和他人交流.因为独立思考也要借助别人的结果和智慧.

3. 善于思考，激发灵感

谈到灵感，很多人会想到美国发明家爱迪生的那句名言：“天才就是百分之九十九的汗水加百分之一的灵感”。这是不少人的座右铭, 似乎只要“出大力, 流大汗”就可以成才. 但许多人并不知道,爱迪生这句名言还有下半句:“但是,这百分之一的灵感恰恰是最重要的!有时要比那百分之九十九的汗水还要重要! ” 不管对于一个科学家, 艺术家, 还是对于一个普通人, 汗水和灵感都是至关重要的.那么，什么是灵感?灵感是创造性劳动过程中出现的“一闪念”的一种心里状态，它不但能由表及里，透过表面现象看本质，体现出高度的抽象概括能力和敏锐的洞察力，而且还能由此及彼体现出丰富的想象力和一定的创造性。古往今来，历史上的无数发明创造都离不开人的灵感。汗水产生量变,灵感产生质变.灵感是知识的一个升华过程。我们要善于激发自己的灵感.灵感并不是什么神秘的东西，而是经过长时间的思考和实践之后，思想处于高度集中和紧张时，对所考虑的问题已基本成熟但又没有彻底成熟，一旦受到某种启发时融会贯通时所产生的新思想.

许多事实证明：灵感多数是在思维长期处于紧张状态而暂时松弛时得到的. 对于炭的化学结构，德国化学家凯库勒苦苦思索不得其解，但在乘车回家的路上他忽然毛塞顿开.相反，过久地考虑同一个问题会使我们陷入死胡同，白白地浪费精力和实践.与其这样，不如先把它放一放，换一个问题或角度思考.然后再转过头考虑原来的问题，并努力把他们串起来，这样有利于新思想的出现.

4. 经常参加一些学术活动, 练好外语

要想提高自己的科研水平，就必须经常参加一些学术活动，以及时掌握科研发展的动向和目前科研的主流. 参加学术活动对我们的另外一个好处是，一旦碰到自己感兴趣的课题，并且自己有一点想法，就可以尝试与这方面的专家等进行实质性沟通.这很可能就是自己研究道路的一个转折点.

5. 要善于与导师交流

与导师和周围的人之间建立和谐的关系相当重要．即使你比导师还聪明，但不要表现得比他厉害．这是一个人的品德问题．无论是研究生还是博士生一定要明白一个道理：学习主要靠自己，指导教师的作用是次要的。尽管如此，在学习期间，与指导教师经常交流还是十分重要的。研究生从交流中向指导教师学习，学习老师是如何思考问题的，如何深入研究的，如何撰写论文的，如何治学的，等等。因此，判断师生之间关系是否融洽、培养是否收到成效、教师是否称职、学生是否努力的一个重要要素就是师生之间能否经常交流。要知道优良的导师有无数成功的和失败的经验，特别是后者，往往是在书本上不易找到的——因为书本上仅仅记录了成功的创作，而很少记录下在发明之前无数次失败和无数次逐步推进的艰苦思索过程.而优良的导师正如航行的领航者一样，他可以告诉你哪儿有礁石，哪儿是航道,特别是在自己读了很多书或论文没有任何想法的时候．

6. 要虚心、善于与人合作

我们每个人都有自己擅长的地方也有自己的弱项，这要求我们在做研究时要学会搭配．比如，有的人功底很好，可找不到题目,而有的人很会提问题，自己却不能解答．这两类人在一起，如果合作愉快会产生1+1>2的效果．当然，合作有时会因为作者排名产生不愉快，所以我们说善于与人合作实在是一种优秀的品德．

7. 摆正心态，忌图侥幸　

任何发明创造和科研成果都不是偶然出现的.牛顿看见苹果从树上掉下来并非是他发现万有引力定律的真正原因，我们只能说这个现象启发了他．阿基米德发现浮力定律就是在他沉溺于浮力问题的思考中在他下游泳池的时候豁然开朗的.所以，科学上的灵感不是坐待可以得来的.如果说科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种“偶然的机遇”只能给那些学有素养的人，给那些善于独立思考的人，给那些具有锲而不舍精神的人，而不会给懒汉.

关于心态，我们要避免两种倾向：对自己的专业漫不经心，这山看着那山高，控制论，航天宇宙都了解一点但都是皮毛，一看自己的专业就觉得没有多大意思，这无异于逛过花花世界的人瞧不起自己的家乡一样，最终只能一事无成.另外一种倾向是只守住自己专业的那个小角落，不观察世界新局势.长此以往，不但会使自己的思想枯竭，而且性情也会孤僻.

8. 耐得住寂寞

一个做科学研究的人，一定要有科学的态度，做一个经受得住寂寞的人。

现如今浮躁的心态和不健全的考核制度使很多刚进入科学研究的年轻人急于出成果，见效益。但一个真正想做研究的人，要想在学术界立住脚，他的工作必须令人信服，而这需要有成果来支撑。而别人一旦发觉你的某个成果站立不住，它的反面影响力远比你文章的正面影响力深远。所以，做研究的人要严谨，要有诚信，要尊重事实，并捍卫真理。不要有了结果，即使数据靠不住，也出文章。要做到这一点，就要耐得住寂寞。我们都熟知陈景润为解决哥德巴赫猜想废寝忘食的故事。我们年轻一代人可能受不了这个苦。不过，我们还是要说：要想出成果，就得耐得住寂寞. 一个浮躁的人是做不了研究的。

9. 重视点滴工作，从手头做起，循序渐进

不要轻视容易解决的问题和忽视点滴工作.科学之所以得有今日，并不是由于极少数的天才一步登天般地创造出来的，而是由于人类日积月累长期辛勤思考的结果.任何一个成功的科学工作，如果分析一下，都是由于不少步骤所组成的.由第一步看第二步，是容易的，较直觉的；由前一步看后一步，也莫不如此.但是，一连若干步贯穿起来，这便成为一件烦难而深入的工作了.所以，我们的着眼点应是从容易入手，逐步深入，一步不苟地进入科学内核之中. 对于任何一个问题的研究都不是一下子就得到问题的正确答案的.人们在一开始是得到一个近似答案或近似解，然后一步步逼近正确答案.

祝愿各位读者能在数学上做出突出的成绩！