内的偏旁是什么:用文化润泽数学课堂(张齐华）

         数学，内在文化的消解及缘由

　　不得不承认，越来越多的人开始关注并认同“数学是一种文化”这一观点。然而作为一种推论，既然承认数学自身是一种文化，那么以传承数学为目的的数学课堂，就当然具有了一种内在的文化性。于此种语境之下，再谈“用文化润泽数学课堂”，是否有些不合逻辑？

　　问题恰在于此。认同某一事物具有文化性，并不等于这一事物就一定能在所有的境域中彰显出它的文化属性来。比方说，“鱼”很有营养价值，但糟糕的烹饪方式不仅会破坏其固有的营养价值，甚至还可能使其完全丧失营养、变成有害于健康的食物。

　　烹饪鱼是如此，教学数学又何尝不是这样？事实上，只要稍加辨析便不难发现，我们论定“数学是一种文化”，思考的对象是“科学范畴”里的数学，也即，我们探讨的还只是一般意义上的、以“学术形态”存在的客观的数学科学。此时的数学，它既是“人类创造活动的结晶”，同时，“对人的行为、观念、态度、精神等又具有重要影响”，无论从广义还是狭义上看，它都已具备作为一种文化的资格。然而进入学校视野、课堂范畴的数学，势必经历了一个从“科学数学”向“学校数学”，进而向“教育形态”的“课堂数学”的转换。转换的过程中是否消解了数学原有的文化属性，恰是我们深入探讨数学文化时应着力关注的话题。

　　现实境况不容乐观。反观当下的数学课堂，由于对知识、技巧等工具性价值的过度追逐，数学原本具有的丰富意蕴日益被单调、枯燥的数学符号所替代，并几乎成为了数学的全部，这使数学本该拥有的文化气质一点点被剥落、以致本属文化范畴的数学，正渐渐丧失着它的文化性。正是在这一意义上，重申“数学文化”，呼吁“还数学以文化之本来面目”，就成为数学实践层面迫切需要解决的问题。

　　数学的文化消解固然有多方原因，但教师对于数学不同的认知和理解所带来的教学行动的偏差却是重要的原因之一。试想，倘若教师在课堂中只认同数学是一门技术，那么习得、模仿、练习、熟练化势必会成为数学课堂中的强势语言。生活在这样的数学课堂里，学生如何去触摸、领略数学那开阔、丰富、优美、甚而是动人心魄的一面？而换一个视角，在我们的课堂中，倘若数学不再只是数字、符号、公式、规则、程序的简单组合，透过它们，我们可以感受数学丰富的方法、深邃的思想、高贵的精神和品格，领略数学发展进程中的五彩斑斓、多姿多彩，分享数学前行足迹中的创造、超越及其背后折射出的人类的智慧和人性光芒，此时的数学，又将以怎样的姿态展现在课堂？

　　如此看来，文化可以在课堂被消解，也同样可以在课堂被重拾。二者之间，差异恰在于视角的切换。所以我一直坚持，文化应该成为数学课堂理应选择的视角和姿态。唯有如此，数学课堂彰显其文化的本性方有可能。

　　数学文化：概念误读与意义重建

　　在实践和探索的过程中，概念或命题的被误读已不是什么新鲜事，数学文化同样没能幸免。如何被误读，为何被误读，值得我们思考。

　　首先是概念的窄化。将数学文化简单等同于数学史，以为渗透了数学史，那就是一堂体现数学文化的课。应该说，数学史是数学文化的重要组成部分，但数学文化还远不是数学史能包容和涵盖的。

　　其次是概念的泛化。将数学文化和课堂文化混为一谈。课堂上人与人的不断对话、交往、互动无疑是一种文化现象，人们通常称之为课堂文化。事实上，不存在挣脱文化现象的课堂行为。然而，这里的“文化”关涉的是课堂活动本身，而并非指课堂中所承载的数学内容。一个充满着文化现象的数学课堂里，传递的未必就是带有丰富文化意蕴的数学内容，这足以表明二者的区别。不少教师将民主对话、平等交流等都纳入数学文化的领域，这显然不妥，是对数学文化的一种泛化，不利于我们认识数学文化本身，不利于我们准确把握数学真正的文化价值。

　　那么，究竟什么才是数学文化？数学又拥有怎样的文化价值呢？此处笔者无意于给出关于数学文化的确切定义，倒是更倾向于从这样一个角度给出自己对数学文化的理解。作为一种“看不见的文化”，数学在其发展过程中，伴随着数学知识的发生、生成、传播而在特定的数学共同体内积蓄下的对人的发展具有重要促进和启迪价值的数学思考方法、数学思想观念及数学精神品格等，这些都属于数学文化。具体而言，数学的文化价值主要表现在：首先，“数学是思维的体操”，由于数学并非对客观事物或现象量性特点的直接研究，而是通过相对独立的“模式”的建构，因而它有重要的思维训练功能，对于创造性思维的发展尤具重要意义。其次，数学学习需要激情，但更需要理智，需要数学地思维，因而其对于人类理性精神的养成与发展具有特别重要的意义。再次，数学看起来似乎与价值判断无关，然而数学依然具有至高无上的“善”，数学学习同样具有独特的“教化”功能：比如探索过程中的执着与坚韧；比如论证过程中的务实与谨严；比如数学规则推导过程中的理智与自律；比如数学创造过程中的开拓与超越，甚至于耐心、责任感、敬业品质、民主精神等。正是这些，见证着数学更为深沉的文化力量，使数学可以超越知识本身，找寻到更为朴素、更为丰富，也更为动人的内涵。

　　文化，如何润泽数学课堂

　　“有些数学课很难体现数学文化，比如‘数与代数’领域的许多内容，尤其像计算课……”类似的声音并不鲜见，我以为，这同样涉及对数学文化价值的定位问题。正如前文所言，如果将数学文化窄化为数学史，那么，“数学文化”势必会成为某些数学课堂的奢侈品，而在更加普遍、更为一般的数学课堂里，它必然只是难以登堂入室的“稀客”。反之，对数学文化的泛化理解，又会带来这样的后果：一切皆为文化，也就没有了文化。

　　如此看来，教师首先要做的是调适好自己的数学观、数学文化观、数学价值观，这是文化能否润泽课堂的重要前提。唯有澄清了认识，实践才不至于迷失方向。至于如何澄清，那就涉及阅读与积累的问题了。比如，适当阅读一些关于数学文化领域的书籍、资料等，廓清自己对数学文化的理解。再如，可以涉猎一些关于数学历史典故、趣闻轶事等，必要时，还可以了解一些高等数学方面的内容、思想、方法，这对于打开自己的数学视野不失为一种可行的路径。

　　具体的课堂实践，我努力从数学概念、数学规则、数学思想方法及情感态度价值观四个方面切入，试图以更为日常化、更具涵盖性的数学内容和更加朴素的教学实践表达对数学文化的理解，追求数学文化的教育价值。

　　1．数学概念，在“头脑创造”中还原生命活力。

　　即便在“学校数学”的范畴里，概念通常也是以一种冷冰冰的姿态呈现在教材或者课堂上。但我们应明白，任何数学概念的形成、发展、生成，都经历了数学家无数的观察、分析、猜测、实验、判断、辨析、调整、优化等一系列数学思维活动。由此想见，即使是静态的数学概念，其必沉淀下丰富的数学内涵、数学思考、数学观念。如果课堂仅仅停留于对数学概念的被动认识、理解和传递上，那么内涵于“冰冷的美丽”背后的这些“火热的思考”将无法为学生所触及、所分享，数学概念“可能”的文化价值也无法成为“现实”力量。数学课堂，恰恰需要在这儿做一些工作。

　　比如“认识乘法”，当学生已经感受到用“2＋2＋2＋2＋2＋2＋2＋2＋2”表示“9个2相加”比较麻烦时，教师直接告知乘法算式“2×9”是一种方式，引导学生自己想办法去“创造”一种新的算式表示“9个2相加”也是一种方式。但后一种方式更加充满挑战，也预示着更多生成的可能。在我的课堂里，有学生选择了“2＋2＋……2（9）”，有学生选择了“2＋2（9）”，有学生选择了“29”，在教师的引导和点拨下，又有学生选择了“2·9”或者“2★9”等。静态、冰冷的乘法概念在这一刻绽放了绚丽的光芒。可以想见，这些看似不太科学、不够准确的“乘法”表达形式背后，折射出了学生多少生动、活泼的数学思考，比如观察、概括、想像、推理、优化、调整、创造，而这恰恰正是数学的“文化力量”。

　　再如认识“长方体的长、宽、高”，作为规定性知识，直接告知未尝不可。然而，倘若引导学生作这样的思考：如果将长方体12条棱中擦掉1条，你还能想像出这个长方体的大小吗？如果擦掉2条、3条……呢？试一试，看至少留下几条棱，才能确保想像出长方体的大小？当学生在经历尝试、探索、操作、优化等数学活动后不约而同地选择了这样三条棱（如右）时，规定性的数学常识“长、宽、高”在这一刻被“活化”了，并被学生生动、深刻地予以建构。我以为，像这样的“头脑创造”可以还原数学概念的内在生命力量，相对于概念的授受而言，其文化价值显然更大。

　　2．数学规则，在充满张力的数学思考中绽放理性之美。

　　和数学概念一样，对数学规则的学习同样面临着一个“冰冷美丽”和“火热思考”之间的抉择和转换。处理不当，规则学习会诱导学生陷入机械记忆、单纯模仿、反复操练的窠臼。如何将学生置身于规则发生、发展、形成的生动过程，引导他们亲历观察、猜想、验证、建模、应用等数学活动，进而获得一种更有力度、充满张力的数学思考以及触及心灵的精神愉悦，这是我在课堂教学中一直关注并努力实践的问题。

　　比如教学“笔算两位数加两位数（进位加）”时，“从个位加起，满十进一”是绕不开的计算规则。在成人看来，“从个位加起”应是一件再自然不过的事，但学生究竟会如何理解、建构这一规则呢？教学时，我放手让学生自己探索24＋18的笔算方法，没想到，竟有不少学生选择了从十位加起（事实上，要合并两堆小棒，我们通常不也是先数数一共有多少捆，然后再将零散的小棒满十根一捆，最后得出结果的吗），过程如下：

　　24

　　＋18

　　432(注：3划去)

　　面对这一状况，草率地否定这一思考显然不够理智，急于纠正更显得缺乏智慧，还是让他们自己在比较中去发现、去感悟吧。结果，正是这样一份理解和从容，不但让他们在两种不同计算规则的比较中深化了对“从个位加起”的合理性认知，同时也让大家深刻地感受到了计算规则丰富和确定的辩证统一，体验到了规则生成过程中丰富的数学思考。

　　此外，“满十进一”也是数学中重要的规则之一。教学时，我没有仅仅停留于“告诉”，而是在学生认识“十进制”后，进一步拓展他们的视野，给他们介绍了关于五进制、七进制、十二进制的知识，并引导他们思考诸如“不同的进制之间有什么共同的地方”、“十进制之所以被广泛应用，可能的原因是什么”、“如果将十进制改为七进制，对已有的数会产生怎样的影响”等问题。或许这样的思考对于学生巩固或强化十进制并无太大帮助，然而正是有了这样的适度开掘，学生的视野开阔了，尤其是，数学发展过程的多元化，数学思考的多样性，数学发展过程中所展现出的无穷智慧等，渐渐沉积为学生的内在涵养，成为一种文化积淀。

　　3．方法、策略和思想的有效渗透与主题实践。

　　离开学校后，真正能留存于个体脑海中的具体数学知识、技能往往很少，但数学方法、策略、思想却常常以更为内敛、潜在的方式沉积于学生内心深处，成为他们进行数学思考的重要支撑。这是数学文化价值集中体现的又一重要方面。

　　较之于知识、技能而言，方法、思想和策略更为内隐，常潜伏于许多看似普通的数学知识、数学技能的学习过程中，需要教师敏锐地予以捕捉、判断、放大、外化，并在课堂中予以传递。

　　如教学“认识分数”时，面对如下问题“在括号里填上合适的分数”（见下图），我有意将后两幅图中的等分线隐去，使这一内容诱导出了更多的数学内涵。

　　其中有估计意识的培养（估计后两幅图中涂色部分占整体的几分之一）、有思维策略的综合应用（对第三幅图的估计）、有极限思想的渗透（引导学生想象并感受：如果继续往下平均分，份数越多，表示每一份的分数会怎样）等。朴素的内容完全可以承载丰厚的数学内涵，每一堂课，我们都可以作出这样的思考。

　　此外，我还结合具体数学内容进行“数学思维方法”或“问题解决策略”的主题性教学实践（义务教育课程标准苏教版小学数学教材将“解题策略”作为具体板块进行教学，比如“综合与分析”、“画图与列表”、“倒推”、“假设”、“枚举”、“转化”等），效果也很好。

　　4．挖掘数学内容中的丰富情感、态度和价值观。

　　在更多课堂，一句“使学生感受数学与生活的密切联系，体验数学的应用价值”，往往便将数学学习中原本更为丰富、多元、立体的情感、态度和价值观掩盖。事实上，数学可以给予个体情感、态度、价值观方面的影响远不止于此，前文第二小节已有描述，此处不赘。具体的实践过程中，我认为应注意两个问题。

　　首先是如何正确对待数学史料的问题。历史往往沉淀下许多值得流传的史实与价值观念。我们不能仅仅停留于对史实的介绍上，而应引导学生透过史实，触摸到史实背后的价值和观念，使其构成一种更有教育意义的积极影响。如祖冲之是中国古代研究圆周率的骄傲，但仅到此为止，并进行肤浅的爱国主义教育是不够的。他在研究过程中如何“借助正多边形周长研究圆周长”的数学思想和智慧；他不满足于既有结论，不断超越、执着奋进的探索精神等，更应该透过课堂浸润到学生的内心深处。我在教学时，将这一段数学历史有机融入到具体的周长公式的探索过程中来，学生的感受更丰富了，认识也更全面了。此外，我还适时地介绍了我国古代数学的领先与现代数学的落后，并给学生分析造成这一后果的内在原因，深刻的民族尊严感和为中华数学之崛起而奋斗的决心在学生心中升腾。

                                                                              转自《人民教育》张齐华